2018届高三数学(理)《函数单调性与最值》课后作业2

北京八中2018届高三数学（理科）复习
函数作业3（单调性与最值2）
1、函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上为增函数。

若()(2)f a f ≤，则实数a 的取值范围是( ) A.2a ≤
B.2a ≥-
C.22a -≤≤
D.2a ≤-或2a ≥
2、设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数(),()(),()K f x f x K f x K f x K
≤⎧=⎨>⎩。

取函数||()2x f x -=，当1
2K =时，函数()K f x 的单调递增区间为
( ) A.(,0)-∞
B.(0,)+∞
C.(,1)-∞-
D.(1,)+∞
3、已知函数2()2f x x ax a =-+，在区间(,1)-∞上有最小值，则函数()
()f x g x x
=在区间(1,)+∞上一定( ) A.有最小值
B.有最大值
C.是减函数
D.是增函数
4、已知函数2
()24(3)5
f x ax a x =+-+在区间(,3)-∞上是减函数，则a 的取值范围是_______________。

5、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =+≥，若2(3)(2)f a f a ->，则实数a
的取值范围是____________。

6、已知函数21,0()1,0
x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是_________。

7、已知函数2,0
()21,0x e x f x ax x -⎧-≤=⎨->⎩
(a 是常数且0a >)。

对于下列命题：
①函数()f x 的最小值是1-； ②函数()f x 在R 上是单调函数；
③若()0f x >在1
[,)2+∞上恒成立，则a 的取值范围是1a >；
④对任意的120,0x x <<且12x x ≠，恒有1212()()
(
)22
x x f x f x f ++<。

其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)。

8、函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时，()1f x >。

(1)求证：()f x 是R 上的增函数；
(2)若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<。

9、已知函数()y f x =在定义域[1,1]-上是奇函数，又是减函数。

(1)求证：对任意12,[1,1]x x ∈-，有1212[()()]()0f x f x x x +⋅+≤；(2)若2(1)(1)0f a f a -+-<，求实数a 的取
值范围。

函数作业3答案——单调性与最值(2)
1、函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上为增函数。

若()(2)f a f ≤，则实数a 的取值范围是( ) A.2a ≤
B.2a ≥-
C.22a -≤≤
D.2a ≤-或2a ≥
解析：由已知y ＝f(x)在[0，＋∞)上递减，f(a)≤f(2)⇔f(|a|)≤f(2)⇔|a|≥2⇔ a≤－2或a≥2. 答案：D
2、设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数(),()(),()K f x f x K f x K f x K
≤⎧=⎨>⎩。

取函数||()2x f x -=，当1
2K =时，函数()K f x 的单调递增区间为
( ) A.(,0)-∞
B.(0,)+∞
C.(,1)-∞-
D.(1,)+∞
解：||||1||212,22
()11,222x x x f x ---⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩⇔||
121(),112()1,112
x x x f x x ⎧≤-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩或
12
()f x 的图象如上图所示，因此12
()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-．
答案 C
3、已知函数2()2f x x ax a =-+，在区间(,1)-∞上有最小值，则函数()
()f x g x x
=在区间(1,)+∞上一定( ) A.有最小值
B.有最大值
C.是减函数
D.是增函数
解：由题意a ＜1，又函数g (x )＝x ＋a
x
－2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D. 答案 D
4、已知函数2
()24(3)5
f x ax a x =+-+在区间(,3)-∞上是减函数，则a 的取值范围是_______________。

解：①当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上为减函数；②当a ＞0时，要使f (x )＝2ax
2
＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x ＝3－a a 必在x ＝3的右边，即3－a a
≥3，
故0＜a ≤3
4
；③当a ＜0时，不可能在区间(－∞，3)上恒为减函数．综合知：a 的取值范围
是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，34
.
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，34 5、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =+≥，若2(3)(2)f a f a ->，则实数a
的取值范围是____________。

解：依题意得，函数f (x )＝x 2
＋2x 在[0，＋∞)上是增函数，又因为f (x )是R 上的奇函数，所以函数f (x )是R 上的增函数，要使f (3－a 2
)＞f (2a )，只需3－a 2
＞2a .由此解得－3＜a ＜1，即实数a 的取值范围是(－3,1)． 答案 (－3,1)
6、已知函数21,0()1,0
x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是_________。

解：f (x )＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋1，x ≥0，
1，x <0的图象如图所示，
不等式f (1－x 2
)>f (2x )等价于⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x 2
>0，
2x ≤0，或⎩⎪⎨⎪
⎧
1－x 2
>0，2x >0，1－x 2>2x ，
解得－1<x <2－1 答案 (－1，2－1)
7、已知函数2,0
()21,0
x e x f x ax x -⎧-≤=⎨->⎩(a 是常数且0a >)。

对于下列命题：
①函数()f x 的最小值是1-； ②函数()f x 在R 上是单调函数；
③若()0f x >在1
[,)2+∞上恒成立，则a 的取值范围是1a >；
④对任意的120,0x x <<且12x x ≠，恒有1212()()
(
)22
x x f x f x f ++<。

其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)。

解：根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在
R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×1
2－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任
意的x 1＜0，x 2＜0 且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2成立，
故④正确．
答案 ①③④
8、函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时，()1f x >。

(1)求证：()f x 是R 上的增函数；
(2)若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<。

(1)证明 设x 1，x 2∈R，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1.
f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)
＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0. ∴f (x 2)>f (x 1)．即f (x )是R 上的增函数． (2)解 ∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3，
∴原不等式可化为f (3m 2
－m －2)<f (2)，
∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2
－m －2<2，解得－1<m <43，故解集为⎝
⎛⎭⎪⎫－1，43.
9、已知函数()y f x =在定义域[1,1]-上是奇函数，又是减函数。

(1)求证：对任意12,[1,1]x x ∈-，有1212[()()]()0f x f x x x +⋅+≤；(2)若2(1)(1)0f a f a -+-<，求实数a 的取
值范围。

解：(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然不等式成立． 若x 1＋x 2＜0，则－1≤x 1＜－x 2≤1， ∵f (x )在[－1,1]上是减函数且为奇函数， ∴f (x 1)＞f (－x 2)＝－f (x 2)， ∴f (x 1)＋f (x 2)＞0.
∴[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)<0成立． 若x 1＋x 2＞0，则1≥x 1＞－x 2≥－1， 同理可证f (x 1)＋f (x 2)＜0， ∴[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)≤0成立． (2)∵f (1－a )＋f (1－a 2
)＜0 ⇔f (1－a 2
)＜－f (1－a )＝f (a －1)，
∴由f (x )在定义域[－1,1]上是减函数得 ⎩⎪⎨⎪
⎧
－1≤1－a 2
≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2＞a －1，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤a 2
≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2＜0.
解得0≤a＜1.故所求a的取值范围是[0,1)．。