江苏省宿迁中学2025届高三实验部学业质量检测(一)数学试卷(解析版)

高三年级学业质量检测（一）
数学试卷（实验部）
试卷满分（150分） 考试时间（120分钟）
一、单选题（每小题5分，共8小题，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合{
}{}=1,2,3,4,5,6,A B
y y x A
==
∈，则A B = （ ）
A. {}1,2
B. {}1,2,3
C. {}1,3,5
D. {}1,2,3,4,5,6
【答案】A 【解析】
【分析】先求出集合B ，再根据交集的定义即可求出.
【详解】{}=1,2,3,4,5,6A
，{
}{B
y y x A ∴==
∈=
，
{}1,2A B ∴= .
故答案：A. 2. 已知()2x
f x =，则()3f =（ ）
A. 8
B. 9
C. 2log 3
D. 3log 2
【答案】C 【解析】
【分析】根据指数、对数运算以及函数的概念求得正确答案. 【详解】令23x =，可得2log 3x =，则()23log 3f =. 故选：C
3. 已知,R a b ∈．则“0a >且0b >”是“2a b b
a
+
≥”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.
为.
【详解】当0a >且0b >时，0,0a b b a >>，所以2a b b a +≥=，当且仅当a b b a
=，即a b =时取等
号，
所以由0a >且0b >可以得出2a b b
a
+≥，
显然，当2a b ==−，有2a b b a
+≥成立，但得不出0a >且0b >，
所以“0a >且0b >”是“2a b b
a
+
≥”的充分而不必要条件，
故选：A.
4. 已知0a >，0b >，直线(1)10a x y −+−=
和210x by ++=垂直，则21
a b
+的最小值为（ ） A. 16 B. 8
C. 4
D. 2
【答案】B 【解析】
【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得21a b +=，再利用基本不等式，求得21
a b
+的最小值． 【详解】0a > ，0b >，直线1:(1)10l a x y −+−=，2:210l x by ++=，且12l l ⊥， (1)1120a b ∴−×+×=，即21a b +=．
则
212424224448
a b a b b a a b a b a b +++=+=+++≥+=+=，当且仅当122a b ==时，等号成立， 故
21
a b
+的最小值为8， 故选：B ．
5. f(x)是定义域在R 上的奇函数,若0x ≥时()2
2f x x x =+，则()2f −等于
A. 8
B. 4
C. 0
D. -8
【答案】D 【解析】
【分析】根据函数是奇函数得到()()22f f −=
−,再将2代入函数解析式得到函数值. 【详解】根据函数是奇函数得到()()22f f −=−，由0x ≥时()2
2f x x x =+可得到
()()()28.?228.f f f =−=−=−
故答案为D.
【点睛】这个题目考查的是函数奇偶性的应用，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接
着再按照定义域验证()f x 和 ()-f x 的关系. 6. 给出下列命题：
①如果不同直线,m n 都平行于平面α，则,m n 一定不相交； ②如果不同直线,m n 都垂直于平面α，则,m n 一定平行；
③如果平面,αβ互相平行，若直线m α⊂，直线n β⊂，则//m n ； ④如果平面,αβ互相垂直，且直线,m n 也互相垂直，若m α⊥，则n β⊥； 其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】A 【解析】
【分析】根据已知线面、面面的位置关系，结合平面基本性质及空间想象，即可判断各项正误. 【详解】①如果不同直线,m n 都平行于平面α，则,m n 相交、平行或异面，错误； ②如果不同直线,m n 都垂直于平面α，则由线面垂直的性质定理得,m n 一定平行，正确； ③如果平面,αβ互相平行，若直线m α⊂，直线n β⊂，则,m n 相交、平行或异面，错误； ④如果平面,αβ互相垂直，且直线,m n 也互相垂直，若m α⊥，则n 与β相交或平行，错误． 故选：A
7. 已知函数()(),f x g x 的定义域均为R ，()()22f x g x +−=
，()()44f x g x −−=，()20f −=，则()()20182024g g +=（ ） A. 4− B. 2−
C. 2
D. 4
【答案】B 【解析】
【分析】已知条件可求得2())6(g x g x +−=
−，代入2024计算即可. 【详解】2()(2)f x g x +−=
，以4x −代x ，有2()46)(f x g x −+−=， 又4(()4)f x g x −−=
，得2(()6)g x g x −+=−， 所以()()()()201820242024620242g g g g +=
−+=−. 故选：B.
8. 已知函数
22
4
()3f x x x
=−+，()2g x kx =+，若对任意的1[1,2]x ∈−，总存在2x ∈，使得12()()g x f x >，则实数k 的取值范围是（ ）．
A. 1,12
B. 12,33 −
C. 1,12
−
D. 以上都不对
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意得1min 2min ()()g x f x >，再分别求函数的最小值即可得答案.
【详解】解：∵x ∈，∴2[1,3]x ∈， ∴22
4
()3[1,2]f x x x =
−∈+． 当0k >时，()[2,22]g x k k ∈−++，所以只需满足：12k <−+，解得01k <<； 当0k =时，()2g x =．满足题意．
当0k <时，()[22,2]g x k k ∈−++，所以只需满足：122k <+，解得1
02
k >>−．
∴1,12k ∈−
．
故选：C ．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y
f x x a b ∈，()[],,y
g x x c d ∈
（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；
（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．
二、多选题（每小题6分，共3小题，计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知正数a ，b 满足22a b ab +=，则下列说法一定正确的是（ ） A. 24a b +≥ B. 4a b +≥ C. 8ab ≥
D. 2248a b +≥
【答案】AD 【解析】
【分析】由基本不等式判断AD ，取
1,2b a ==判断BC. 【详解】由题意可知
1112b a +=，1122(2)2422a b a b a b b a b a
+=++=++
（当且仅当22a b ==时
取等号），故A 正确；
取
1,2b a ==，则3,2a b ab +==，故BC 错误；
因为22a b ab +≥2ab （当且仅当22a b ==时取等号），则22448a b ab + （当且仅当22a b ==时取等号），故D 正确； 故选：AD
10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()f x f x f x y f xy ×−−=
，当()(),00,x ∈−∞∪+∞，时，()0f x ≠.下列结论正确的是（ ） A. 11
22
f =
B. ()101f =
C. ()f x 是奇函数
D. ()f x 在R 上单调递增
【答案】ACD 【解析】
【分析】利用赋值法得到()()f x f x =
−−，由此判断出()f x 的奇偶性.利用赋值法求得()()0,1f f ，进而求得()110,2f f
，根据函数单调性的定义，计算()()12f x f x −的符号来判断函数()f x 的单调性. 【详解】令0x
y ==，可得()00f =. 令1x
y ==，可得()()2
[1]1f f =.因为当0x >时，()0f x ≠，所以()11f =. 令x y =，可得()()
22[]0f x f x =
≥.
因为20x ≥，所以当0x ≥时，()0f x ≥.
又因为当0x >时，()0f x ≠，所以当0x >时，()0f x >.
令1y =，可得()()()()1f x f x f x f x ×−−=
，①
所以()()()()11,11f x f x f x f x −−=
+−=，两式相加可得()()112f x f x +−−=. 令1y =−，可得()()()()1f x f x f x f x ×−+=− .②
①-②可得()()()()()11f x f x f x f x f x ×+−−=−−
，
化简可得()()f x f x =
−−，所以()f x 是奇函数，C 正确. 由()()11f x f x −−=
，可得： ()()()()()()()2112,3213,4314,,1010f f f f f f f =+==+==+== ，B 错误.
由()()()()11f x f x f x f x +−= =−−
可得111221122f f f f
−−=
=−−
解得
11
22
f = ，A 正确. 令112,x
x y x x ==−，可得()()()()
()
112121f x x x f x f x f x −−=. 令210x x <<，则()121120,0x x x x x −>−>.
因为当0x >时，()0f x >，所以()()()
11120,0f x f x x x >−>，
所以()(
)120f x f x −=
>，即()()12f x f x >，
所以()f x 在()0,∞+上单调递增.
因为()f x 为奇函数，所以()f x 在R 上单调递增，D 正确. 故选：ACD
【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数12,x x ，且12x x <，然后通过计算()()12f x f x −的符号，如果()()120f x f x −<，则()f x 在给定区间内单调递增；如果()()120f x f x −>，则()f x 在给定区间内单调递减. 11. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1AA 的中点，点F 满足
()11101A F A B λλ=≤≤
，则（ ）
A. 当0λ=时，1AC ⊥平面BDF
B. 任意[]0,1λ∈，三棱锥F BDE −的体积是定值
C. 存在[]0,1λ∈，使得AC 与平面BDF 所成的角为π3
D. 当2
3λ=
时，平面BDF 截该正方体的外接球所得截面的面积为
56π19
【答案】ACD 【解析】
【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A ，0λ=时，F 与1A 重合，故只需验证1AC ⊥面1BDA 是否成立即可，对于B ，由11A B 不与平面BDE 平行，即点F 到面BDE 的距离不为定值，由此即可推翻B ，对于C ，考虑两种极端情况的线面角，由于F 是连续变化的，故AC 与平面BDF 所成的角也是连续变化的，由此即可判断；对于D ，求出平面BDF 的法向量，而显然球心坐标为()1,1,1O ，求出球心到平面
BDF 的距离，然后结合球的半径、勾股定理可得截面圆的半径，进一步可得截面圆的面积.
【详解】如图所示建系，()()()()()110,0,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,2D B A A C ，
所以()()()112,2,0,2,0,2,2,2,2DB DA AC =
==
−
，
从而111440,440AC DB AC DA ⋅=−+=⋅=−+= ，
所以111,AC DB AC DA ⊥⊥，
又11,,DB DA D DB DA ∩
=⊂面1BDA ， 所以1AC ⊥面1BDA ，
0λ=时，F 与1A 重合，平面BDF 为平面1BDA ， 因为1AC ⊥面1BDA ，1AC ∴⊥平面BDF ，A 对.
11A B 不与平面BDE 平行，F ∴到面BDE 的距离不为定值，
∴三棱锥F BDE −的体积不为定值，B 错.
设面1BDA 的法向量为()1111,,n x y z =
，
则1111111220
220
n DB x y n DA x z ⋅=+= ⋅=+=
，令11x =，解得111,1=−=−y z ， 即可取()11,1,1n −−
， 而()2,2,0AC =
− ，
所以AC 与平面BDF
所成角的正弦值为1
11cos
,AC n AC n AC n ⋅==⋅
， 又()()12,2,0,0,0,2BD BB =−−=
所以1440,0AC BD AC BB ⋅=−=⋅=
，
所以1,AC BD AC BB ⊥⊥，
又11,,BD BB B BD BB =
⊂ 面1DBB ， 所以AC ⊥面1DBB ，
当F 在1A 时，AC 与平面BDF
<
，此时AC 与平面BDF 所成角小于π3， 当F 在1B 时，AC 与平面BDF 所成角为
ππ
23
>， 所以存在[]0,1λ∈使AC 与平面BDF 所成角为π
3
，C 正确.
()()()0,0,0,2,2,0,2,2,2D B F λ，
设平面BDF 的法向量为()0220,,,,22200n DB x y n x y z x y z n DF λ ⋅=
+= ∴
++=⋅= ， 不妨设1x =，则()()1,1,1,1,1,2,2,0y z n AC λλ=−=−=−−=
−
. 2
3λ=，则4
2,,23
F
，平面BDF 的法向量11,1,3n
=−−
，显然球心()1,1,1O ，
O 到面BDF
的距离OD n
d n
⋅==
R =
∴截面圆半径的平方为2225619r R d =−=
，所以
256
ππ19
S r ==，D 对. 故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是利用向量法求出球心到截面BDF 的距离，由此即可顺利得解.
三、填空题（每小题5分，共3小题，计15分）
12.
函数()f x =
____________．
【答案】[)()2,33,∪+∞ 【解析】
.
【详解】()f x =
20x −≥且||30x −≠，解得2x ≥且3x ≠.
故答案为：[)()2,33,∞∪+
13. 已知一个四棱柱，其底面是正方形，侧棱垂直于底面，它的各个顶点都在一个表面积为4π2cm 的球面上.如果该四棱柱的底面边长为1cm ，则其侧棱长为____________cm .
【解析】
【分析】根据已知四棱柱结构特征确定外接球球心位置，结合球体表面积公式确定球体半径，进而求侧棱长. 【详解】四棱柱底面是正方形，侧棱垂直于底面，此四棱柱外接球的球心为体对角线的中点， 因为球表面积为4π2cm ，所以球的半径为1cm ，故体对角线长为2 cm ， 设侧棱长为h
2h =⇒
的
14. 已知函数()()()
21(1)
{
?1x
a x x f x a x −+<=≥满足对任意的12x x <，都有()()12f x f x <恒成立，那么实数a 的取值范围是______________ 【答案】3
,22
【解析】
【详解】∵函数f （x ）满足对任意x 1＜x 2，
都有f （x 1）＜f （x 2）成立，∴函数f （x ）在定义域上是增函数，则满足20
2
3
{1?{1?2
2
213
2
a a a a a a a a −><>∴>∴≤<−+≤≥
, 故答案为3,22
.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.）
15. 已知集合
{|A x y ==
，{}22|60B x x ax a =
−−<，其中0a ≥. （1）当1a =时，求集合A B ∪，()R C A B ∩；
（2）若()R C A B B ∩=
，求实数a 的取值范围. 【答案】()[)()13,3,()1,3R A B C A B ∪=−∩= ()20a = 【解析】
【分析】（1）先求集合B,再根据交集、并集以及补集得定义求结果，（2）先根据条件化为集合关系，再结合数轴求实数a 的取值范围.
【详解】
(1){()(){}
[]||3103,1A x y x x x ==+−≥=−
当1a =时，{}{}()2
22
|60|602,3B x x
ax a x x
x =
−−<=
−−<=
−,
所以[)3,3,A B ∪=− 因为()()(),31,R C A =
−∞−∪+∞,所以()()1,3R C A B ∩=
(2)因为()R C A B B ∩=
，所以R B C A ⊆, 当B =∅时,0a =,满足条件，
{}
()220|602,3a B x x ax a a a >=−−<=−当时,不满足条件，
因此0a =.
【点睛】防范空集.在解决有关,A B A B ∩=
∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.
16. 已知()y f x =(x R ∈)是偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =−．
(1) 求()f x 的解析式；
(2) 若不等式()f x mx ≥在12x ≤≤时都成立，求m 的取值范围．
【答案】(1) f (x )＝222,02,0
x x x x x x −≥ +< (2)1m ≤−
【解析】
【详解】试题分析：已知函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性常见考试题，函数f(x)为偶函数，求x<0的解析式，利用-x>0,f(x)=f(-x)去求；解决不等式恒成立问题首选方法是分离参数借助极值原理去解决，本题注意到x 的范围，由于x 为正，所以分离参数时，不等号的方向不变，再求最值，最后的处m 的取值范围
试题解析：
（1）设x ＜0时，则－x ＞0，
∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2
＋2x ． ∴f (x )＝222.02,0x x x x x x −≥ +<
; (2) 由题意得x 2
－2x ≥mx 在1≤x ≤2时都成立，
即x －2≥m 在1≤x ≤2时都成立，
即m ≤x －21≤x ≤2时都成立，
当1≤x ≤2时，(x －2)min ＝－1，
则m ≤－1．
【点睛】函数的奇偶性常见问题（1）利用函数的奇偶性求值，（2）利用函数的奇偶性分析函数的图象，借助单调性解不等式，（3）利用函数的奇偶性求函数的解析式；解决不等式恒成立问题首选方法是分离参数借助极值原理去解决，当然也有很多恒成立问题需要对参数进行讨论才能解决.
17. （2016年苏州19）设函数()1f x x x m =−+．
（1）当2m =−时，解关于x 的不等式()0f x >；
（2）当1m >时，求函数()y f x =在[0,]m 上的最大值．
在
【答案】（1）(2,)+∞（2
）2max ,(){1,14m m f x m m ≥
=+<< 【解析】
【详解】（1）借助绝对值的定义运用分类整合的数学思想将问题转化为求两个二次不等式的解集，最后再求其并集；（2）依据题设条件先运用分类整合思想求出函数的解析式，再分别借助二次函数的图像和性质求二次函数的最大值问题 ：
解：(1) 当1x >时，()2
20f x x x =−−>，解得2x >或1x <−，所以2x > 当1x ≤时，()2
20f x x x =−−>，得x 无实数解， 综上所述，关于x 的不等式()0f x >的解集为()2,+∞．
(2) 当[]0,1x ∈时，()()1f x x x m −+ 2
21124x x m x m =−++=−−++ ， 当12
x =时，()max 14f x m =+． 当(]1,x m ∈时，()()1f x x x m =−+= 221124x x m x m −+−+−
， 因为函数()y f x =在(]1,m 上单调递增，所以()()2max f x f m m =
=． 由214m m ≥+，得2104m m −−≥，又1m >
，所以m ≥． 所以(
)2max ,1,14m m f x m m ≥
= + << 18. 已知函数22()4422f x x ax a a −+−+.
（1）若2a =，求函数()f x 在区间(1,2)−上的值域；
（2）若函数()f x 在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值.
【答案】（1）[]2,14−
（2
）1a =
5a =+．
【解析】
【分析】（1）把a 的值代入函数解析式，再判断函数在已知区间上的单调性，进而可以求解， （2）讨论对称轴与已知区间的三种位置关系，分别求出最小值，令其为3，解出来a 的值，进而可以求解．
【小问1详解】
若2a =，则22()4824(1)2f x x x x =−+=−−，对称轴为1x =，
函数()f x 在区间[1−,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，
所以()min ()12f x f ==−，max ()(1)14f x f =−=；
所以()f x 的值域为[]2,14−
【小问2详解】
2()4()222
a f x x a =−−+，对称轴为2a x =， ①当02
a ≤，即0a ≤时，函数()f x 在[0,2]上是增函数． 2()(0)22min f x f a a ∴==−+，
由2223a a −+=，得1a =±．
0a ≤ ，1a ∴= ②当022
a <<，即04a <<时，min ()()222a f x f a ==−+． 由223a −+=，得1(0,4)2
a =−∉，舍去． ③当22
a ≥，即4a ≥时，函数()f x 在[0,2]上是减函数， ()min ()2f x f =21018a a =−+．
由210183a a −+=，得5a =±．
4a ≥ ，5a ∴=+，
综上所述，1a =5a =+
19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥侧面PAB ，F 为BD 中点，E 是PA 上的点，2PA PD ==，PA PD ⊥．
（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）若二面角E DF A −−
，求E 到平面PBC 的距离 【答案】（1）证明见解析
（2
【解析】
【分析】（1）由面面垂直和线面垂直性质可得PD AB ⊥，结合AB AD ⊥，由线面垂直和面面垂直的判定方法可证得结论；
（2）取AD 中点O ，结合面面垂直性质可知,,OF AD OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角
坐标系，设()01AE AP λλ=
≤≤ ，根据二面角的向量求法可构造方程求得λ的值，进而根据点面距离的向量求法求得结果.
【小问1详解】
平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD ∩平面PAB PA =，PA PD ⊥，PD ⊂平面PAD ， PD ∴⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，PD AB ∴⊥；
四边形ABCD 为正方形，AB AD ∴⊥，
PD AD D = ，,PD AD ⊂平面PAD ，AB ∴⊥平面PAD ，
AB ⊂ 平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD .
【小问2详解】
取AD 中点O ，连接,OP OF ，
PA PD = ，O 为AD 中点，OP AD ∴⊥，
平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD AD =，OP ⊂平面PAD ， OP ∴⊥平面ABCD ，
,O F 分别,AD BD 中点，//OF AB ，又AB AD ⊥，OF AD ∴⊥；
以O 为坐标原点，,,OA OF OP 正方向为,,x y z 轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，
为
2PA PD == ，PA PD ⊥
，AD ∴
，
12OP AD ==
()D ∴
，)A
，(P
，)B
，()C
，()F ，
)DF ∴
，PB
，()BC =−
，(AP =
，
()DA = ，
设()01AE AP λλ=≤≤
，则()AE = ，
()DE DA AE ∴=+= ，
设平面DEF 的法向量(),,n x y z = ，
则(
)00
DE n x z DF n ⋅= ⋅=+
，令x λ=，解得：y λ=−，2z λ=−，(),,2n λλλ∴=−− ；
z 轴⊥平面ADF ，∴平面的一个法向量()0,0,1m = ，
cos ,m n m n m n ⋅∴==⋅ ，解得：1λ=−（舍）或1
2λ=
，
AE ∴=
，EP AP AE ∴=−=
；
设平面PBC 的法向量(),,t a b c =
，
则00PB t
BC t ⋅=+− ⋅=−=
，令1b =，解得：0a =，2c =，()0,1,2t ∴= ，
∴点E 到平面PBC
的距离EP t d t ⋅=
=
.。