滑移边界条件下的渗流基本微分方程

滑移边界条件下的渗流基本微分方程
宋付权1)
（浙江师范大学，数理与信息工程学院，浙江金华 321004）。

摘要在微尺度下液体的流动研究表明：流动在固壁边界附近存在滑移现象，以及由此引起的流动阻力减
小。

在液体流过多孔介质的实验也表明，水在疏水性表面流动时，具有流动边界速度滑移现象。

首先根据
牛顿流体的应力和应变的关系，以及在层流条件下，在固壁附件滑移长度和滑移速度的线性关系，得到了
在层流条件下，具有滑移边界的圆管中的速度公式和流量公式；然后采用毛细管束模型，推导出了在多孔
介质中具有滑移效应的渗流速度方程，和滑移渗流的基本微分方程。

方程中的渗透率由非滑移渗透率和相
对滑移渗透率组成，相对滑移渗透率的数值取决于毛管半径R和滑移长度b。

其中滑移长度是下一步研究
具有边界滑移效应的渗流问题的重点。

关键词滑移效应，滑移边界，低渗透多孔介质，减阻，流量公式
引 言
随着微机电系统的发展，微米尺度下的流动研究日益增多。

在微尺度下液体的流动研究表明：流动在固壁边界附近存在滑移现象，以及由此引起的流动阻力减小。

Pit等[1]在190微米裂缝的两平行圆板间发现了流体流动的滑移现象。

Zhu等[2]研究结果表明：滑移长度与速度梯度、流动的水力半径有关。

微管中的水流动实验表明[3]，流体壁面滑移特征取决于微流动管道的特征及其表面的物理化学性质。

Derek等[4]研究表明：纳米点阵可以大幅度增加流体流动的滑移效应；Cecile等[5]在研究微通道内的流动时发现：润湿性和表面粗糙度的协同效应可以极大地降低流体通过边界的摩阻，流体在微通道边界的滑移显著增加；余永生等[6]，利用水洞进行减阻实验，实验平板模型尺寸分别为950mm ×392 mm ×5mm，水流动的最大减阻效率超过了10%（润湿角为124 º）；凌智勇等[7]在内径50μm微圆管道内表面自组装一层疏水性单分子OTS膜来改变界面性质，实验结果表明：去离子水在疏水性的管道中流动时，其流量比亲水表面大9%。

叶霞、周明等[8]在超疏水光栅表面（接触角为159 º）组成的长100μm、宽为110μm的矩形管中进行实验，水的减阻比疏水的光滑玻璃表面（接触角为113 º）减小19%；霍素斌等[9]在内径为0.60mm、接触角为153 º的微通道中进行水流动实验，水的减阻率为25%。

同时，这些实验[6-13]也分析了流体在壁面附近的滑移特征。

在液体流过多孔介质的实验中：Barrat等[10]通过计算预测, 当水在疏水多孔介质中流动时，会出现很大的滑移，从而可以提高水在多孔介质中流动的渗透率。

Churaev等[11]通过实验方法证实了Barrat的计算结果。

狄勤丰[12]用实验的方法研究了亲油纳米SiO2（12-14nm）对岩心的流动能力的影响，流动试验结果表明：经纳米流体处理后，岩石的水相渗透率大幅提高，平均提高47%；而郭东红等[13]研究表明：表面活性剂在低渗透油藏注水减阻中，好的情况可以降低注入压力40%-60%，这表明表面活性剂改性，对水在低渗透多孔介质中流动阻力降低的效果毫不比昂贵的亲油纳米SiO2处理的差。

遗憾的是至今还没有建立考虑滑移效应的多孔介质渗流模型，本文在假设液体在多孔介质中渗流时间存在滑移效应，从存在滑移效应的毛细管流量模型出发，推导出了具有滑移效应的渗流模型。

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1 具有滑移边界的圆管中的流量公式
假定牛顿流体的在半径为R 的圆管中流动，牛顿流体的应力和应变的关系式
τμγ=& （1）
式中：τ为应力；μ为流体粘度；γ
&为应变。

在圆管中层流条件下，由做匀速直线运动的流体受力分析可得
d d 2d d r p v l r μ= （2）
式中：r 为圆管径向坐标；p 为压力；v 为流速；l 为流线方向坐标。

将方程（2）进行积分，得
s d d d 2d v R v r r p v r l μ=∫
∫ （3） 在层流条件下，在固壁附件滑移长度和滑移速度的线性关系[14]为 s s wall wall d d d d v v b v v b r r =⇒=⋅ （4）
式中：R 为圆管半径；p 为压力；v s 为滑移速度；b 为滑移长度。

由方程（2）可得
wall d d d 2v R r l μ=d p
（5）
由方程（4）和方程（5）可得 s d 2d R p
v b l μ=⋅ （6）
对方程（3）进行积分，结合方程（6）得
222d 4d R b R r p v l μ⎡⎤+⋅−=−⎢⎥⎣⎦ （7）
方程（7）为在层流条件下，具有滑移边界的圆管中的速度方程，负号表示速度的方向与压力梯度方向相反。

由方程（7）积分可得半径为R 毛细管中层流流动的流量为，
40(14/)d 2d 8d R R b R p Q v r r l
ππμ+=⋅⋅=−∫
（8） 式中：Q 为流量。

2 滑移边界的达西定律
对于多孔介质中流体的渗流，我们采用毛细管束模型[15]，来推导在多孔介质中具有滑移效应的渗流模型。

假设截面积为A 的多孔介质有一系列毛细管组成，并假设半径为r i 的毛细管个数为N i
（i-1,2,…,n ）。

由方程（9）可得半径为r i 单个毛细管中层流流动的流量为，
22i i i 2d 4d r b r r p v l μ⎡⎤+⋅−=−⎢⎥⎣⎦ （9）
由方程（10）可得半径为ri 单个毛细管中层流流动的流量为，
4i i i (14/)d 8d r b r p Q l
πμ+=− （10） 则总的流量为 4i i 1
(14/)d 8d n i i r b r p Q N l πμ=+=−∑ （11）
定义孔隙度φ定义[15]为 2i 11n i i N r A φπ==∑ （12） 由方程（11）的得具有滑移边界的速度方程，
43i i 1(4)d 1d d 8n
i i r br Q K p v N d p A l A πμμ
=+==−=−∑l （13） 定义渗透率公式为
4
230i
i rb i 1111,48n n n n i i i i i i i k N r N r k N br N φ======∑∑∑∑2i i r （14）
则得具有滑移边界的速度方程
0rb (1)d d k k p v l
μ+=− （15） 假定微管的半径相同R ，则速度方程简化为
2
0rb 0rb (1)d , ,4d 8
k k p R v k l φμ+=−==k bR （16）
推广到各项异性的三维空间中 rb 000(1)d d d d d d x y z k p p p v k i k j k k x y z μ⎡⎤+=−++⎢⎥⎣⎦
v v v v （17） 对于各向同性的多孔介质，有
0rb (1)d d d d d d k k p p p v i j k x y z μ⎡⎤+=−++⎢⎥⎣⎦
v v v v （18）
3 考虑滑移效应的多孔介质渗流基本微分方程的推导
3.1 连续性方程
根据质量守恒定律，得多孔介质渗流的连续性方程为
()()v q t
ρφρρ∂+∇=∂v （19）
式中：t 为时间；ρ为流体密度；q 为源汇项。

3.2 多孔介质中流体的状态方程
流体和孔隙在压力的作用下的性质为 []0f 0exp ()c p p ρρ=− （20）
00exp ()c p p φφφ⎡⎤=−⎣⎦ （21）
流体压缩系数c ρ的定义为单位压强下密度变化率
f 1d d c p
ρρ= （22） 孔隙压缩系数c φ的定义为单位压强下孔隙变化率
1d d c p
φφφ=
（23） 流体和孔隙在压力的作用下的近似为 []0f 01()c p p ρρ≈+−
（24） 01()c p p φφφ0⎡⎤≈+−⎣⎦
（25）
式中：下标0表示初始状态。

3.3 基本微分方程 根据连续性方程、达西定律和状态方程，得多孔介质渗流的偏微分方程为
22222200(1)(1)
t rx ry rz rb rb c p p p p q k k k x y y k k t k k φμμ∂∂∂∂++=−∂∂∂+∂+ （26） 式中：t c c c ρφ=+为综合压缩系数，下标r 表示相对数值；x , y , z 表示空间坐标。

对于各向同性的多孔介质，没有源汇项时渗流的偏微分方程为
2222220(1)t rb c p p p p x y y
k k φμ∂∂∂∂++=∂∂∂+∂t （27）
4 滑移渗流基本微分方程的应用
对于一般的过孔介质，液体在其中的流动没有滑移效应，只有当多孔介质的孔隙内壁经过某种物理或者化学处理后，成为疏水表面或者超疏水表面，水在其中的流动才有滑移效应，此时可以应用方程（27）。

方程中k0为没有经过处理的多孔介质的渗透率，k rb由经过处理的多孔介质渗流实验确定，对于具有滑移效应的渗流，以后的研究内容就是如何确定k rb及其影响因素。

在层流状态下，由公式（16）可知，k rb及其影响因素取决于毛管半径R和滑移长度b，并与他们成正比，其中毛管半径R很容易测量，那么滑移效应的研究就转变为对滑移长度b的研究。

5 小结
5.1 通过具有滑移效应的流变学方程，推导出了圆管中考虑边界滑移效应的流量方程，以及渗流微分方程；
5.2 指出了下一步研究具有边界滑移效应的渗流方程应用时，主要研究滑移长度的特征。

参 考 文 献
1 Pit R, Hervet H,Leger L. Direct Experimental Evidence of Slip in Hexadecane: Solid Interfaces[J]. Phys.
Rev. Lett., 2000, 85(5): 980-983.
2 Zhu Y, Granick S. Limits of the Hydrodynamic No-slip Boundary Condition[J]. Phys. Rev. Lett., 2002,
88(10): 106102.
3 Luaga E, Stone H A. Effective Slip in Pressure Driven Stokes Flow[J] .J. Fluid Mech., 2003, 489(1):
55-77.
4 Derek C tretheway, Carl D. meinhart, Apparent fluid slip at hydrophoblic micro-channel walls[J], Physics
of fluids, 2002, 14: 9-12.
5 Cecile Cottin-bizonne, Jean-louis barrat lydericbocquet, low friction flows of liqiuid at nanopatterned
interfaces[J], Nature material letters, 2003, 2: 237-240.
6 余永生，魏庆鼎,，疏水性材料减阻特性实验研究[J]. 实验流体力学，2005，19(2):60-66.
7 凌智勇，刘勇，丁建宁等，亲水性和疏水性微管道中流动滑移特性的实验研究[J]，中国机械工程，
2006，17（22）：2326-2329.
8 叶 霞，周 明，蔡 兰等，超疏水光栅微结构表面减阻试验研究[J]. 中国机械工程，2007，18(23):
2779-2785.
9 霍素斌，于志家，李艳峰等，超疏水表面微通道内水的流动特性[J]. 化工学报，2007，58(11):
2721-2726.
10 BarratJ, Bocquet L. Large Slip Effect at a Nonwetting Fluid Solid Interface[J]. Phys. Rev. Lett., 1999,
82(23):4671-4674.
11 Churaev N, Sobolev V, Somov A. Slippage of Liquids over Lyophobic Solid Surfaces[J]. J. Colloid
Interface Sci.,1984, 97(2):574-581.
12 狄勤丰, 顾春元, 施利毅, 方海平，疏水性纳米SiO2增注剂的降压作用机理[J]，钻采工艺，2007，
30(4)：91-94.
13 郭东红，谢慧专，张淑华，表面活性剂在特殊油藏开发中的一些应用[J]. 精细石油化工进展，.2006，
7(2)：5-8.
14 Navier C L M H. M, moire our lea loin du mouvement dea fluidea. M,m l'Acad lioy Sci l'Inst Fh-ance,
1823, 6: 389-440
15 孔祥言，高等渗流力学[M]，中国科学技术大学出版社，合肥，1999.
THE DIFFERENTIAL EQUATION OF FLOW THROUGH POROUS MEDIA
WITH SLIP-BOUNDARY CONDITION
SONG Fu-quan
（College of mathematics, physics and information Engineering, Zhejiang Normal University, Jinhua, Zhejiang 321004）
Abstract The experiments of liquid flow through micro-structures shows that there are flow slip effects on the boundaries, and the studies also appear slip effects and flow resistance reduction for flow through low permeability porous media with hydrophobicity. Based on the relation between stress and strain of Newtonian fluid, and the linear model of slip length, the formulae of flow velocity and rate were derived for flow with slip effect; Then from the model of capillary tubes, the equations of velocity and differential equation for flow in porous media with slip boundary were obtained. The permeability of porous media is consisted of no-slip permeability and slip effect permeability which is determined by the radium of capillary and slip length, and the slip length is more important for flow slip effect.
Key words flow slip effect，slip boundary，low permeability porous media，drug reduction，flow rate formula。