自动控制理论第四版课后习题详细解答参考答案(夏德钤翁贻方版)

《自动控制理论（夏德钤）》习题答案详解
第二章
2-1试求图2-T-1所示RC 网络的传递函数。

(a)11111111+=+⋅=Cs R R Cs
R Cs R z ，22R z =，则传递函数为： (b)设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压方程： 并且有
联立三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：
2-2假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以i u 为输入，o u 为输出的传递函数。

(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：dt
du C dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=， 对上式进行拉氏变换得到
故传递函数为
(b)由运放虚短、虚断特性有：02
2=-+--R u R u u dt du C c c i c ，0210=+R u R u c ， 联立两式消去c u 得到
对该式进行拉氏变换得
故此传递函数为
(c)02/2/110=+-+R u R u u dt du C c c c ，且2
1R u R u c i -=，联立两式可消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得到
故此传递函数为
2-3试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输入量，以电动机的转角θ为输出量的微分方程式和传递函
数。

解：设激磁磁通f f i K =φ恒定
2-4一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。

电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c 表示电位器滑动触点的位置。

另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r 表示）即为该随动系统的参考输入。

两电位器滑动触点间的电压差e u 即是无惯性放大器（放大系数为a K ）的输入，放大器向直流电动
机M 供电，电枢电压为u ，电流为I 。

电动机的角位移为θ。

解：()()()φφφπφm A m e a a a a m A C K s C C f R i s J R f L i Js iL C K s R s C +⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++=26023 2-5图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流d i 与d u 间的关系为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-110026.06
d u d
e i 。

假设电路中的Ω=310R ，静态工作点V u 39.20=，A i 301019.2-⨯=。

试求在工作点),(00i u 附近)(d d u
f i =的线性化方程。

解：()2.0084.01019.23-=⨯--d d u i
2-6试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力—电压的相似量画出相似电路。

解：分别对物块1m 、2m 受力分析可列出如下方程：
代入dt dy v 11=、dt
dy v 22=得 2-7图2-T-7为插了一个温度计的槽。

槽内温度为i θ，温度计显示温度为θ。

试求传递函数
)()(s s i ΘΘ（考虑温度计有贮存热的热容C 和限制热流的热阻R ）。

解：根据能量守恒定律可列出如下方程：
对上式进行拉氏变换得到
则传递函数为
2-8试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数)
()(s R s C 。

解：(a)化简过程如下 传递函数为 (b)化简过程如下 传递函数为 2-9试简化图2-T-9所示系统的框图，并求系统的传递函数)
()(s R s C 。

解：化简过程如下
G 3 G 1 H 1
_ G 2 G 1 R(s ) C(s) + + + + C(s) R(s ) + _ G 1+G 2 G 1+H 1 G 3 R(s ) C(s ) G 1+G 2 C(s ) R(s ) H 3 C(s) + + _ G 1 G 4 G 3 H 1 G 2 G 2 H 2 1/G _ + R(s ) R(s ) G 4+G 2G 3 H 3+H 2/G 1 + _ C(s) C(s) R(s) G 1 G 2 G 3 H 1 + _ + _ + C(s ) R(s) a) + G 1 H 1 G 2 G 4 H 3 G 3 H 2 + + + + _ _ R(s) C(s) b) 图2-T-8 +
+ R(s C(s
系统的传递函数为 2-10绘出图2-T-10所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数)
()(s R s C 。

系统的传递函数为 2-11试绘出图2-T-11所示系统的信号流程图，并求传递函数)()(11s R s C 和)
()(22s R s C （设0)(2=s R ）。

解：系统信号流程图如图所示。

题2-11系统信号流程图 2-12求图2-T-12所示系统的传递函数)()(s R s C 。

解：(a)系统只有一个回环：cdh L =∑1， 在节点)(s R 和)(s C 之间有四条前向通道，分别为：abcdef P =1，abcdi P =2，agdef P =3，agdi P =4，相应的，有：14321=∆=∆=∆=∆
则
(b)系统共有三个回环，因此，s
C R s C R s C R L 2122111111---=∑， 两个互不接触的回环只有一组，因此，2212122112111s
C C R R s C R s C R L =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=∑ 在节点)(s R 和)(s C 之间仅有一条前向通道：22112111111111s
C C R sC R sC P =⋅⋅⋅⋅=，并且有11=∆，则 2-13确定图2-T-13中系统的输出)(s C 。

解：采用叠加原理，当仅有)(s R 作用时，121222111)()(H G G H G G G s R s C ++=， 当仅有)(1s D 作用时，1
21222121)()(H G G H G G s D s C ++=， 当仅有)(2s D 作用时，121222231)()(H G G H G G s D s C ++=-， + + 0.0.K _ _ R(s ) C(s ) + _ K 0.R(s )
C(s ) C(s ) R(s ) G 1 H 1 G 2 H 2 G 4 G 3 _ + + + + + R(s C(s ) 图2-T-10 + _ C 1(s) +
G 1 G 6 G 4 H 1 G 3 H 2
G 2 G 5 + _ + + R 2(s) R 1(s )
C 2(s) 图2-T-11 R(s) _ + G 1 G 2 H 1 H 2 + + + + + + _ _
D 1(s ) D 3(s
D 2(s ) C(s)
当仅有)(3s D 作用时，1
2122121341)()(H G G H G H G G s D s C ++-= 根据叠加原理得出
第三章
3-1设系统的传递函数为
求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。

解：当输入为单位斜坡响应时，有
t t r =)(，21)(s
s R = 所以有 分三种情况讨论
（1）当1>ζ时，
（2）当10<<ζ时，
（3）当1=ζ时，
设系统为单位反馈系统,有
系统对单位斜坡输入的稳态误差为
3-2试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。

系统的开环传递函数为
（1）)21)(1.01(50)(s s s G ++=（2）)
5.01)(1.01()(s s s K s G ++= （3）)
102()41)(21()(22++++=s s s s s K s G （4）)2004()(2++=s s s K s G 解：（1）0)(lim ,0)(lim ,50)(lim 2000
======→→→s G s K s sG K s G K s a s v s p ； （2）0)(lim ,)(lim ,)(lim 20
00====∞==→→→s G s K K s sG K s G K s a s v s p ； （3）10
)(lim ,)(lim ,)(lim 2000K s G s K s sG K s G K s a s v s p ==∞==∞==→→→； （4）0)(lim ,200
)(lim ,)(lim 2000====∞==→→→s G s K K s sG K s G K s a s v s p 3-3设单位反馈系统的开环传递函数为
若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。

（1）0)(R t r =，（2）t R R t r 10)(+=，（3）22102
1)(t R t R R t r ++= 解：首先求系统的给定误差传递函数
误差系数可求得如下
（1）0)(R t r =，此时有0)()(,)(0===t r t r R t r s s s ，于是稳态误差级数为
()0)(0==t r C t e s sr ，0≥t
（2）t R R t r 10)(+=，此时有0)(,)(,)(110==+=t r R t r t R R t r s s s ，于是稳态误差级数为
()1101.0)()(R t r
C t r C t e s s sr =+= ，0≥t （3）221021)(t R t R R t r ++=，此时有t R R t r t R t R R t r s s 212210)(,2
1)(+=++= ，2)(R t r s = ，于是稳态误差级数为
())(1.0)(!
2)()(21210t R R t r C t r C t r C t e s s s sr +=++= ，0≥t 3-4设单位反馈系统的开环传递函数为
若输入为t t r 5sin )(=，求此系统的给定稳态误差级数。

解：首先求系统的给定误差传递函数
误差系数可求得如下 以及
则稳态误差级数为
3-6系统的框图如图3-T-1a 所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。

如在输入端加入一比例微分环节（参见图3-T-1b ），试证明当适当选取a 值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以
消除。

解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：n
sr e ωζ2=，加入比例—微分环节后 可见取n
a ωζ2=
，可使0=sr e 3-7单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为
从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。

经测量知，096.0=p M ，s t p 2.0=。

试确定传递函数中的参量ζ及n ω。

解：由图可以判断出10<<ζ，因此有
代入096.0=p M ，2.0=p t 可求出
⎩⎨⎧==588.19598.0n
ωζ 3-8反馈控制系统的框图如图3-T-3所示，要求 （1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。

（2）整个系统的特征方程为046423=+++s s s 求三阶开环传递函数)(s G ，使得同时满足上述要求。

C(s b) R(s 图3-T-1
+ _ R(s C(s) a)
+ _ G(s )
R(s C(s
+ _ 图3-T-3
解：设开环传递函数为
根据条件（1）0)(11lim 32213322130=+++++++=+=→K
k s k s k s k s k s k s s G e s sr 可知：03=k ； 根据条件（2）0464)(23=+++=s s s s D 可知：41=k ，62=k ，4=K 。

所以有
3-9一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为)(s G ，如要求
（1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于2.0。

（2）三阶系统的一对主导极点为11,21j s s ±-=。

求同时满足上述条件的系统开环传递函数)(s G 。

解：按照条件（2）可写出系统的特征方程
将上式与0)(1=+s G 比较，可得系统的开环传递函数
根据条件（1），可得
解得1=a ，于是由系统的开环传递函数为
3-10已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。

（1）s K 1,5.4==τ（2）s K 1,1==τ（3）s K 1,16.0==τ
解：系统单位阶跃响应的象函数为
（1）将5.4=K ，1=τs 代入式中可求出s rad n /12.2=ω，24.0=ζ，为欠阻尼系统，因此得出
%46=p M ，%)2(86.7s t s =，%)5(90.5s
（2）将1=K ，1=τs 代入式中可求出s rad n /1=ω，5.0=ζ，，为欠阻尼系统，因此得出
%3.16=p M ，%)2(8s t s =s ，%)5(6s
（3）将16.0=K ，1=τs 代入式中可求出s rad n /4.0=ω，25.1=ζ，过阻尼，无最大超调量。

因此
只有15=s t s 。

3-11系统的框图如图3-T-4所示，试求当a=0时,系统的之值。

如要求，是确定a 的值。

（1）当a=0时，则系统传传递函数为8
28)(2++=s s s G ，其中228==n ω，22=n ζω，所以有354.0=ζ。

（2）n ω不变时，系统传函数为8
)28(8)(2+++=s a s s G ，要求7.0=ζ，则有)14(22+=a n ζω，所以可求得求得25.0=a 。

3-12已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析z=1的零点对系统单位脉冲响应
和单位阶跃响应的影响。

1.单位脉冲响应
(a)无零点时
（b ）有零点1-=z 时
比较上述两种情况，可见有零点1-=z 时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生相移，相移角为n
n arctg ζωωζ--112。

2．单位阶跃响应
(a)无零点时
（b ）有零点1-=z 时
加了1-=z 的零点之后，超调量p M 和超调时间p t 都小于没有零点的情况。

3-13单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。

假设未加入外作用信号时，系统处于零初始状态。

如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何必然存在超调现
象？
单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。

假设未加入外作用信号时，系统中存在比例-积分环节()s
s K 111+τ，当误差信号()0=t e 时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故系统输出继续增长，知道出现()0<t e 时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。

因此，系统的响应必然存在超调现
象。

3-14上述系统，如在()t r 为常量时，加于系统的扰动()t n 为阶跃函数形式，是从环节及物理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动()t n 为斜坡函数形式，为何扰动稳态误差是与时间
无关的常量？
在()t r 为常量的情况下，考虑扰动()t n 对系统的影响，可将框图重画如下
图A-3-2题3-14系统框图等效变换
根据终值定理，可求得()t n 为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0，()t n 为单位斜坡函数时，系统的稳态误差为1
1K 。

从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。

在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信
号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。

3-15已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。

（1）劳斯表有30
303604238101
2
3
4
s s s s s 则系统系统稳定。

（2）劳斯表有28
21042
21101234
s s s s s -劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统有两个极
点具有正实部，系统不稳定。

（3）劳斯表有1012101066109116310
1
23
4
5
s s s
s s s -劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。

（4）劳斯表有434
43
128462
6934851012345
6
s s s s s s s 系统处于稳定的临界状态，由辅助方程()46224++=s s s A 可求得系统的两对共轭虚数极点2;4,32,1j s j s ±=±=。

3-16根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K 值的范围。

（1）K>0时,系统稳定。

（2）K>0时，系统不稳定。

（3）0<K<3时，系统稳定。

3-17已知单位反馈控制系统的开环传递函数为)
12)(1()1()(+++=s s s s K s G τ请在以K 为横坐标，τ为纵坐标的平面上，确定系统为稳定的区域。

系统的特征方程为0)1()2(2)(23=+++++=K s K s s s D ττ 列写劳斯表k
s k k s k s k s 012
322)1)(2(21
2+-++++τττττ，得出系统稳定应满足的条件022)1)(2(>+-++τττK K 由此得到和应满足的不等式和条件
2 3 4 5 9 15 30 100
6 4 3.3 3 2.5 2.28 2.13 2.04
根据列表数据可绘制K 为横坐标、τ为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中
的阴影部分。

图A-3-3闭环系统稳定的参数区域
3-18已知单位反馈控制系统的开环传递函数为)
1000)(200()40)(5()(3++++=s s s s s K s G 试求系统的临界增益c K 之值及无阻尼振荡频率值。

根据单位反馈系统的开环传递函数得到特征方程
列写劳斯表
根据劳斯判据可得
系统稳定的K 值范围为
当611022.1⨯=K 、82107535.1⨯=K 时，系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界
增益61022.1⨯=c K 以及8107535.1⨯=c K 。

根据劳斯表列写61022.1⨯=c K 时的辅助方程
解得系统的一对共轭虚数极点为162,1j s ±=，系统的无阻尼振荡频率即为s rad /16。

8107535.1⨯=c K 时的辅助方程
解得系统的一对共轭虚数极点为3384,3j s ±=，系统的无阻尼振荡频率为s rad /338。

第四章
4-2设已知单位反馈系统的开环传递函数如下，要求绘出当开环增益1K 变化时系统的根轨迹图，
并加简要说明。

（1）()()()
311++=s s s K s G 系统开环极点为0，—1，—3，无开环零点。

实轴[]01，
-与[]3，∞-上有根轨迹，渐近线相角 180,60±±=a ϕ，渐近线与实轴交点33.1-=a σ，由01=dS
dK 可得出分离点为）（0,45.0j -，与虚轴交点()1231=±K j 。

常规根轨迹如图A-4-2所示。

图A-4-2题4-2系统（1）常规根轨迹
（2）()()()
204421+++=s s s s K s G 方法步骤同上，实轴(]04，-上有根轨迹， 135,45±±=a ϕ，
2-=a σ，分离点()()5.220,2j j ±--与，与虚轴交点()260101=±K j 。

常规根轨迹如图A-4-3所示。

图A-4-3题4-2系统（2）常规根轨迹
4-3设单位反馈系统的开环传递函数为)
1()(21+=s s K s G （1)试绘制系统根轨迹的大致图形，并对系统的稳定性进行分析。

（2）若增加一个零点1-=z ，试问根轨迹图有何变化，对系统稳定性有何影
响？
（1）()()
221+=s s K s G 实轴[]2-∞-，
上有根轨迹，67.0,60-=±=a a σϕ ，由01=dS dK 可得出分离点为()0,0j ，与虚轴交点为0j ()01=K 常规根轨迹如图A-4-4（a ）所示。

从根轨迹图可见，当01>K 便有二个闭环极点位
于右半s 平面。

所以无论K 取何值，系统都不稳定。

图A-4-4题4-3系统常规根轨迹
（2）()()()
2121++=s s s K s G 实轴[]12--，
上有根轨迹，5.0,90-=±=a a σϕ ，分离点为()0,0j ；常规根轨迹如图A-4-4（b ）所示。

从根轨迹图看，加了零点1-=z 后，无论K 取何值，系统都是稳定的。

4-4设系统的开环传递函数为)
2()2()()(21a s s s s K s H s G +++=试绘制下列条件下系统的常规根轨迹（1）a=1(2)a=1.185(3)a=3
（1）a=1时，实轴(]02，
-上有根轨迹， 90±=a ϕ，0=a σ，分离点为()038.0，-，常规根轨迹如图图A-4-5（1）
图A-4-5（1）
（2）a=1.185时，实轴(]02，
-上有根轨迹， 90±=a ϕ，0=a σ，根轨迹与虚轴的交点为()j ±，0，常规根轨迹如图图A-4-5（2）
图A-4-5（2）
（3）a=3时，实轴(]02，
-上有根轨迹， 90±=a ϕ，0=a σ，根轨迹与虚轴的交点为()j ±，0，常规根轨迹如图图A-4-5（3）
图A-4-5（3）
4-5求开环传递函数为)
()1()()(21a s s s K s H s G ++=的系统在下列条件下的根轨迹（1）a=10（2）a=9（3）a=8(4)a=3
（1）实轴[]110--，
上有根轨迹，5.4,90-=±=a a σϕ ，分离点为()00j ，，与虚轴交点为()001=K j 。

常规根轨迹大致图形如图A-4-6（1）
图A-4-6（1）
（2）实轴[]19--，
上有根轨迹，4,90-=±=a a σϕ ，分离点为()00j ，，与虚轴交点为()001=K j 。

常规根轨迹大致图形如图A-4-6（2）
图A-4-6（2）
（3）实轴[]18--，
上有根轨迹，5.3,90-=±=a a σϕ ，分离点为()00j ，，与虚轴交点为()001=K j 。

常规根轨迹大致图形如图A-4-6（3）
图A-4-6（3）
（4）实轴[]13--，
上有根轨迹，1,90-=±=a a σϕ ，分离点为()00j ，，与虚轴交点为()001=K j 。

常规根轨迹大致图形如图A-4-6（4）
图A-4-6（4）
4-7设系统的框图如图4-T-2所示，试绘制以a 为变量的根轨迹，并要求：（1）求无局部反 馈时系统单位斜坡响应的稳态误差，阻尼比及调整时间。

（2）讨论a=2时局部反馈对系性
能的影响。

(3)确定临界阻尼时的a 值。

系统特征方程为
以α为可变参数，可将特征方程改写为
从而得到等效开环传递函数
根据绘制常规根轨迹的方法，可求得实轴(]0，∞-上有根轨迹1,180-=±=a a σϕ ，分离点为()0,1j -，
出射角为︒=150 P ϕ。

参数根轨迹如图A-4-7所示。

图A-4-7题4-7系统参数根轨迹
（1） 无局部反馈时()0=α，单位速度输入信号作用下的稳态误差为1=sr e ；阻尼比为5.0=ζ；
调节时间为()%56s t s =
（2） 2.0=α时，2.1=sr e ，6.0=ζ，%)5(5s t s =
比较可见，当加入局部反馈之后，阻尼比变大，调节时间减小，但稳态误差加大。

（3） 当1=α时，系统处于临界阻尼状态，此时系统有二重闭环极点12,1-=s 。

4-8根据下列正反馈回路的开环传递函数，绘制其根轨迹的大致图形。

（1）实轴(][)∞+--∞-，，
12 有根轨迹，5.1,90-=±=a a σϕ ，分离点为()05.1，-，与虚轴交点为()301=K j 。

常规根轨迹大致图形如图A-4-8（1）
（2）实轴[)[]120--∞+，， 有根轨迹，2,1200-=±=a a σϕ ，，分离点为()057.1，
-，与虚轴交点为()301=K j 。

常规根轨迹大致图形如图A-4-8（2）
（3）实轴[)[][]34120----∞+，，， 有根轨迹，2,1200-=±=a a σϕ ，，虚轴交点为
()()375.591.001=K j ，。

常规根轨迹大致图形如图A-4-8（3）
4-9绘出图4-T-3所示滞后系统的主根轨迹，并确定能使系统稳定的K 值范围。

主根轨迹如图A-4-9所示。

系统稳定的K 值范围是38.140<<K 。

图A-4-9题4-9系统主根轨迹
4-10若已知一个滞后系统的开环传递函数为()()s
Ke s H s G s
τ-=，试绘制此系统的主根轨迹。

由()()s
Ke s H s G s
τ-=知 01=K 时系统的根轨迹从开环极点-∞==σ和01p 出发，实轴(]0，∞-上有根轨迹，主根轨迹分离点
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,1j τ；与虚轴交点τπ2j ±，临界K 值τπ2。

主根轨迹如图A-4-10所示。

图A-4-10
4-11上题中的开环传递函数可用下列近似公式表示
(1)()()()s s K s H s G τ-=1(2)()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=s s s K s H s G 2121ττ(3)()()()1+=s s K s H s G τ试绘制以上三种情况的根迹，并和题4-10的根轨迹进行比较，讨论采用近似式的可能性。

（1）()()()s
s K s H s G τ-=1的根轨迹如图A-4-11（1）所示。

图A-4-11（1）()()()s
s K s H s G τ-=1根轨迹 （2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=s s s K s H s G 2121ττ 分离点()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--0,212j τ；会合点()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,212j τ；与虚轴交点τ2j ±；临界稳定K 值为τ2。

根轨迹如图A-4-11（2）所示。

图A-4-11（2）()()()()
s s s K s H s G )2/(1)2/(1ττ+-=根轨迹 （3）()()()
1+=s s K s H s G τ 分离点⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,21j τ，根轨迹如图A-4-11（3）所示。

图A-4-11（3）()()()
1+=s s K s H s G τ根轨迹 讨论：当τ较小时，且K 在某一范围内时，可取近似式
()1+s s K τ。

若τ较大，取上述近似式误差就
大，此时应取近似式⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-s s s K 2121ττ。

9 4-12已知控制系统的框图如图4-T-4所示，图中)
5)(5()(11-+=s s K s G ，s s s G 2)(2+=。

试绘制闭环系统特征方程的根轨迹，并加简要说明。

系统的根轨迹如图A-4-12所示。

图A-4-12 4-13设单位反馈系统的开环传递函数为)
()()(21a s s a s K s G ++=,确定a 的值，使根轨迹图分别具有0,1,2个分离点，画出这三种情况根轨迹图。

当910<<a 时，有两个分离点，当91=a 时，有一个分离点，当9
1>a 时，没有分离点。

系统的根轨迹族如图A-4-13所示。

图A-4-13
第五章
5-1已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制其开环频率特性的极坐标图
(1)()()
11+=s s s G 解：幅频特性：211
)(ωωω+=A
相频特性：ωωϕarctg --=090)(
列表取点并计算。

0.5 1.0 1.5 2.0 5.0 10.0
1.79 0.707 0.37 0.224 0.039 0.0095 -116.6︒ -135︒ -146.3︒ -153.4︒ -168.7︒ -174.2︒
系统的极坐标图如下：
(2)()()()
s s s G 2111++= 解：幅频特性：224111
)(ωωω++=A
相频特性：ωωωϕ2)(arctg arctg --=
列表取点并计算。

0 0.2 0.5 0.8 1.0 2.0 5.0
1 0.91 0.63 0.414 0.317 0.17
2 0.0195 0︒ -15.6︒ -71.6︒ -96.7︒ -108.4︒ -139.4︒
-162.96︒ 系统的极坐标图如下：
(3)()()()
1211++=s s s s G 解：幅频特性：224111)(ωωωω++=A 相频特性：ωωωϕ290)(0arctg arctg ---=
列表取点并计算。

0.2 0.3 0.5 1 2 5
4.55 2.74 1.27 0.317 0.054 0.0039 -10
5.6︒ -137.6︒
-161︒ -198.4︒ -229.4︒ -253︒ 系统的极坐标图如下：
(4)()()()s
s s s G 21112++= 解：幅频特性：2224111)(ωωωω++=A
相频特性：ωωωϕ2180)(0arctg arctg ---=
列表取点并计算。

0.2 0.25 0.3 0.5 0.6 0.8 1
22.75 13.8 7.86 2.52 0.53 0.65 0.317 -195.6︒ -220.6
︒ -227.6︒ -251.6︒ -261.6︒ -276.7︒
-288.4︒
系统的极坐标图如下： 5-2试绘制上题中各系统的开环对数频率特性（伯德图）。

(1)()()
11+=s s s G 解：系统为Ⅰ型，伯德图起始斜率为－20dB/dec ，在11-=s ω处与)(ωL =20K lg =0相交。

()
11+s 环节的交接频率111-=s ω，斜率下降20dB/dec ，变为-40dB/de c 。

系统的伯德图如图所示:
(2)()()()
s s s G 2111++= 解：伯德图起始为0dB 线，
s 211+的交接频率112
1-=s ω，斜率下降20dB/dec ，变为－20dB/de c 。

s
11+的交接频率121-=s ω，斜率下降20dB/dec ，变为－40dB/de c 。

系统的伯德图如图所示。

（3）()()()
1211++=s s s s G 解：系统为Ⅰ型，伯德图起始斜率为－20dB/dec ，其延长线在ω=1处与)(ωL =20K lg =0相交。

s 211+的交接频率112
1-=s ω，斜率下降20dB/dec ，变为－40dB/de c 。

s
11+的交接频率121-=s ω，斜率下降20dB/dec ，变为－60dB/de c 。

系统的伯德图如图所示。

(4)()()()
s s s s G 21112++= 解：系统为错误！未找到引用源。

型，伯德图起始斜率为－40dB/dec ，其延长线在ω=1处与
)(ωL =20K lg =0相交；
s 211+的交接频率1121-=s ω，斜率下降20dB/dec ，变为－60dB/de c 。

s
11+的交接频率121-=s ω，斜率下降20dB/dec ，变为－80dB/de c 。

系统的伯德图如图所示。

5-3设单位反馈系统的开环传递函数为
试绘制系统的内奎斯特图和伯德图，并求相角裕度和增益裕度。

解：幅频特性：22)5.0(1)1.0(110
)(ωωωω++=A
相频特性ωωωϕ5.01.090)(0arctg arctg ---=
0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0 10.0
17.3 8.9 5.3 3.5 1.77 0.67 0.24 -106.89︒ -122.3︒ -135.4︒ -146.3︒ -163︒ -184.76
︒ -213.7︒
错误！未找到引用源。

系统的极坐标图如图所示。

令()0180-=ωϕ，解得47.4g =ω1s -。

2.11g g ==）
（ωA K ，增益裕度：GM=58.1lg 20g =K dB 。

错误！未找到引用源。

伯德图起始斜率为-20dB/dec,经过点20lg 20)(,11===-K L s ωω。

11-=s ω处斜率下降为-40dB/dec ，110-=s ω处斜率下将为-60dB/dec 。

系统的伯德图如下图所示。

令)(ωA =1得剪切频率108.4-=s c ω,相角裕度PM=3.94deg 。

5-5已知单位反馈系统的开环传递函数为
用MATLAB 绘制系统的伯德图，确定0)(=ωL 的频率c ω，和对应的相角)(c ωϕ。

解：命令如下：
>>s=tf('s'); >>G=1/((s*(1+s)^2));
>>margin(G2);
程序执行结果如上，可从图中直接读出所求值。

5-6根据下列开环频率特性，用MATLAB 绘制系统的伯德图，并用奈氏稳定判据判断系统的稳
定性。

（1）)
12.0)(11.0)((10)()(++=ωωωωωj j j j H j G 解：命令如下：
>>s=tf('s');
>>G=10/(s*(0.1*s+1)*(0.2*s+1));
>>margin(G);
如图，相角裕度和增益裕度都为正，系统稳定。

（2）)
110)(11.0()(2)()(2++=ωωωωωj j j j H j G 解：命令如下：
>>s=tf('s');
>>G=2/((s^2)*(0.1*s+1)*(10*s+1));
>>margin(G);
如图，增益裕度无穷大，相角裕度-83，系统不稳定。

5-7已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如图所示，试写出系统的开环传递函数，
并汇出对应的对数相频曲线的大致图形。

（a ） 解：低频段由10lg 20=K 得，10=K
ω=21-s 处，斜率下降20dB/dec,对应惯性环节
15.01+s 。

由上可得，传递函数()1
5.010+=
s s G 。

相频特性ωωϕ5.0)(arctg -=。

汇出系统的相频特性曲线如下图所示。

（b ） 解：低频段斜率为-20dB/dec,对应积分环节s
1。

ω=21-s 处，斜率下降20dB/dec,对应惯性环节1
5.01+s 。

在剪切频率18.2-=s c ω处，15.0122=+c c K
ωω，解得8.4=K 传递函数为：)
15.0(8.4)(G +=s s s （c ） 低频段斜率为-40dB/dec,为两个积分环节的叠加2
1s ； 115.0-=s ω处，斜率上升20dB/dec,对应一阶微分环节12+s ；
122-=s ω处，斜率下降20dB/dec,对应一阶惯性环节
1
5.01+s 传递函数形式为：)15.0()12()(2++=s s s K s G 图中所示Bode 图的低频段可用传递函数为2/s K 来描述，则其幅频特性为2/ωK 。

取对数，得
21lg 20lg 20)(ωω-=K L 。

同理，Bode 图中斜率为-20dB/dec 的中频段可用s K /1来描述，则其对数幅频特性为
ωωlg 20lg 20)(12-=K L 。

由图有，0)(2=c L ωdB,则有c K ω=1。

再看图，由)()(1211ωωL L =可解得5.01=⋅=c K ωω
综上，系统开环传递函数为)
15.0()12(5.0)(2++=
s s s s G （参考李友善做法）
系统相频特性：ωωωϕ5.02180)(arctg arctg -+-=曲线如下：
5-8设系统开环频率特性的极坐标图如图5-T-2所示，试判断闭环系统的稳定性。

(a)解：系统开环稳定，奈氏图包围（-1，0j ）点一次，P ≠0，所以闭环系统不稳定。

(b)解：正负穿越各一次，P=2（N +-N -）=0，闭环系统稳定。

(c)闭环系统稳定。

(d)闭环系统稳定。

5-9根据系统的开环传递函数)5.01)(1(2()(s s s e s H s G s
++=-τ）绘制系统的伯德图，并确定能使系统稳定之最大τ值范围。

解：0=τ时，经误差修正后的伯德图如图所示。

从伯德图可见系统的剪切频率115.1-=s c ω，在剪
切频率处系统的相角为
由上式，滞后环节在剪切频频处最大率可有 1.11的相角滞后，即
解得s 1686.0=τ。

因此使系统稳定的最大τ值范围为s 1686.00<≤τ。

5-10已知系统的开环传递函数为
试用伯德图方法确定系统稳定的临界增益K 值。

解：由()()()()s s s K s H s G 311++=知两个转折频率s rad s rad /1,/3
121==ωω。

令1=K ，可绘制系统伯德图如图所示。

确定 180)(-=ωϕ所对应的角频率
g ω。

由相频特性表达式 可得 9033.0133.12=-g g
arctg ωω
解出s rad g /732.13==ω
在伯德图中找到dB L g 5.2)(-=ω，也即对数幅频特性提高dB 5.2，系统将处于稳定的临界状态。

因
此
3
45.2lg 20=⇒=K dB K 为闭环系统稳定的临界增益值。

5-11根据图5-T-3中)(ωj G 的伯德图求传递函数)(s G 。

解：由dB L 0)1.0(=知1=K ；
由dB L 3)1(-=知1=ω是惯性环节由1
1+s 的转折频率； ω 从1增大到10，)(ωL 下降约dB 23，可确定斜率为dec dB /20-，知系统无其他惯性环节、
或微分环节和振荡环节。

由 0)1.0(=ϕ和 83)1(-=ϕ知系统有一串联纯滞后环节s e τ-。

系统的开环传递函数为
()()()
1+=-s e s H s G s
τ 由
831801)1(-=⨯-=τπϕarctg 解得s 66.0=τ。

可确定系统的传递函数为()()()166.0+=-s e s H s G s
第六章
6-1试求图6-T-1所示超前网络和滞后网络的传递函数和伯德图。

解：（a ），超前网络的传递函数为()1
+=RCs RCs s G ，伯德图如图所示。

题6-1超前网络伯德图
（b ），滞后网络的传递函数为()1
1+=RCs s G ，伯德图如图所示。

题6-1滞后网络伯德图
6-2试回答下列问题，着重从物理概念说明：
（1）有源校正装置与无源校正装置有何不同特点，在实现校正规律时他们的作用是否相同？
（2）如果错误！未找到引用源。

型系统经校正后希望成为错误！未找到引用源。

型系统，应
采用哪种校正规律才能满足要求，并保证系统稳定?
（3）串联超前校正为什么可以改善系统的暂态性能？
（4）在什么情况下加串联滞后校正可以提高系统的稳定程度？
（5）若从抑制扰动对系统影响的角度考虑，最好采用哪种校正形式？
解：（1）无源校正装置的特点是简单，但要达到理想的校正效果，必须满足其输入阻抗为零，输出阻抗为无限大的条件，否则很难实现预期效果。

且无源校正装置都有衰减性。

而有源装置多是由直
流运算放大器和无源网络构成，能够达到较理想的校正效果。

（2）采用比例-积分校正可使系统由I 型转变为II 型。

（3）利用串联超前校正装置在剪切频率附近提供的相位超前角，可增大系统的相角裕度，从而改
善系统的暂态性能。

（4）当ω减小，相频特性)(ωϕ朝 0方向变化且斜率较大时，加串联滞后校正可以提高系统的
稳定程度。

（5）可根据扰动的性质，采用带有积分作用的串联校正，或采用复合校正。

6-3某单位反馈系统的开环传递函数为
（1）计算校正前系统的剪切频率和相角裕度。

（2）串联传递函数为1
125.014.0)(++=s s s G c 的超前校正装置，求校正后系统的剪切频率和相角裕度。

（3）串联传递函数为1
100110)(++=s s s G c 的滞后校正装置，求校正后系统的剪切频率和相角裕度。

（4）讨论串联超前校正、串联滞后校正的不同作用。

解：(1)用MATLAB 求得校正前)/88.3(7.59s rad c ==︒ωγ
（2）串联超前校正后)/89.5(1.70s rad c ==︒ωγ
（3）串联滞后校正后)/0296.0(124s rad c ==︒ωγ
（4）串联超前校正装置使系统的相角裕度增大，从而降低了系统响应的超调量。

与此同时，增加
了系统的带宽，使系统的响应速度加快。

在本题中，串联滞后校正的作用是利用其低通滤波器特性，通过减小系统的剪切频率，提高系统的
相角稳定裕度，以改善系统的稳定性和某些暂态性能。

6-4设控制系统的开环传递函数为
（1）绘制系统的伯德图，并求相角裕度。

（2）采用传递函数为1
033.0133.0)(++=s s s G c 的串联超前校正装置。

试求校正后系统的相角裕度，并讨论校正后系统的性能有何改进。

解：（1）校正前,)/47.4(94.3s rad c ==ωγ
（2）加串联超前校正装置1
033.0133.0)(++=s s s G c 后，)/2.16(8.39s rad c ==ωγ
经超前校正，提高了系统的稳定裕度。

题6-4系统校正前、后伯德图
6-5单位反馈系统的开环传递函数为
设计一串联滞后网络，使系统的相角裕度 40≥γ，并保持原有的开环增益。

解：原系统的相角裕度为 20=γ。

计算未校正系统中对应相角裕度为 5515402901802=+=--=+=ωεγγarctg 时的频率
2c ω。

解得1235.0-=s c ω。

当135.0-=s ω时，令未校正系统的开环增益为βlg 20，故有
2037
.135.0lg 20-=-β， 于是选，10≈β
选定088.0412===
c ωτω
则0088.011==βτω。

于是，滞后校正网的开环传递函数为111414.11)0088.0088.0101)(++=++=s s s s s G c （。

校验校正后系统的相角裕度为
42=γ
6-7单位反馈系统如图6-T-2所示。

系统的输入和输出均为转角，单位是（ ）。

对系统进行超前校正，使满足相角裕度大于45 ，在单位斜坡输入（单位是（ ）1
-s ）下的稳态误差为151
，剪切频率小于7.51-s 。

解：()()1+=s s K s G o ，超前校正装置()7
.51++=s s s G c ，校正后系统的开环增益为s K 1202.3>=，,)02.3(621-︒==s c ωγ满足设计要求。

6-8单位反馈系统的开环传递函数为
设设计滞后校正装置以满足下列要求：
（1）系统开环增益8=K ；
（2）相角裕度 40=γ。

解：当8=K 时，画出未校正系统的伯德图。

由于伯德曲线自s rad /1=ω开始以-40dB/dec 的斜率
与零分贝线交与1c ω，故存在下述关系：
故1183.2/8-==s s rad c ω。

于是未校正系统的相角裕度为
说明未校正系统是不稳定的。

计算未校正系统相频特性中对应于相角裕度为 5515402=+=+=εγγ时的频率2c ω。

由于
得155.02-=s c ω。

当155.02-=s c ω时，令未校正系统的开环增益为βlg 20，从而求出串联滞后校正装置的系数β。

有：
于是选：
选定：
则：
于是滞后网络的传递函数为
6-9设控制系统如图6-T-3所示，系统采用反馈校正。

试用MATLAB 比较校正前后系统的相角裕
度和带宽。

解：未采用反馈校正时，︒=9.17γ，带宽为s rad /826.4。

采用反馈校正后，调整5.2=A K ，使10=K ，
此时︒=27γ。

带宽为s rad /426.7。

可见，采用反馈校正，可提高系统的稳定裕度，并可使带宽增大。

系统反馈校正前、后伯德图如图所示。