如何解“牛吃草问题”

娄斌
（山东省枣庄市台儿庄区明远实验小学）
如何解“牛吃草问题”
一例题一块牧场上长满了草一块牧场上长满了草，，草每天都匀速生长草每天都匀速生长。

这片草可供13头牛（每头牛每天的吃草量相同每头牛每天的吃草量相同））吃10天，或可供21头牛吃5天。

（1）这片草可供25头牛吃几天头牛吃几天？？
（2）这片草可供几头牛吃20天？
分析题目可知，牧场上原有的草量是固定的，每天新长出的草量也是固定的，新长出的总草量＝每天新长出的草量×天数，若干天牧场可提供的总草量＝原有的草量＋新长出的总草量。

假设1头牛1天能吃1份的草，则13头牛10天吃草1×13×10＝130（份），21头牛5天吃草1×21×5＝105（份）。

为什么前一种吃法比后一种多了130－105＝25（份）呢？这是因为前一种吃法比后一种多了10－5＝5（天），多出的25份草是5天长出来的。

可以算出牧场上每天长出的草量是25÷5＝5（份）。

小朋友，“牛吃草问题”是英国科学家牛顿在17世纪
提出的，又称为“消长问题”或“牛顿问题”。

“牛吃草问
题”中主要涉及三个量：草的数量（原有的草量、每天新生
长或减少的草量）、牛的数量、时间。

如何解答这类问题
呢，下面我们一起来看一下。

13头牛10天吃草130份，这10天牧场上新长出的草量是10×5＝50（份），牧场上原有的草量是130－50＝80（份）。

（1）计算这片草可供25头牛吃几天头牛吃几天，，可以这样思考可以这样思考：：
因为牧场上每天长出5份草，可以让其中的5头牛专门吃新长出的草，剩下的25－5＝20（头）牛吃牧场上原有的80份草，这样问题就变成了牧场上原有的草可以供20头牛吃几天？
因为20头牛1天要吃草1×20＝20（份），所以原有的80份草可供20头牛吃80÷20＝4（天），即这片草可供25头牛吃4天。

（2）计算这片草可供几头牛吃20天，可以这样思考可以这样思考：：
20天牧场上新长出的总草量是20×5＝100（份），这20天牧场可提供的总草量是80＋100＝180（份），平均每天能提供的草量是180÷20＝9（份）。

因为1头牛1天吃1份的草，所以9份的草可供9÷1＝9（头）牛吃1天，即这片草可供9头牛吃20天。

通过例题1的分析解答可知，当草量增加时，可归纳总结出下面的计算公式：
先假设1头牛1天的吃草量是1份。

①每天长出的草量＝（1×对应的牛的数量×吃的较多的天数－1×对应的牛的数量×吃的较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃的较少的天数）；
②原有的草量＝1×对应的牛的数量×吃的天数－每天长出的草量×吃的天数；
③求牧场上的草可供若干头牛吃几天，可按下面的步骤计算：先假设有一些牛专门吃新长出的草，剩下的牛吃牧场上原有的草。

吃新长出草的牛的数量＝牧场上每天长出的草量；吃原有的草的
牛的数量＝牛的总数－吃新长出草的牛的数量；所求草可吃的天数＝牧
场上原有的草量÷（吃原有的草的牛的数量×1）。

④求牧场上的草可供几头牛吃若干天，可按下面的步骤计算：
若干天新长出的总草量＝每天长出的草量×天数；若干天牧场能提供的总草量＝原有的草量＋若干天新长出的总草量；牧场平均每天能提供的草量＝若干天牧场能提供的总草量÷天数；所求牛的数量＝牧场平均每天能提供的草量÷1。

例题一块牧场上长满了草
一块牧场上长满了草，，由于天气变凉
由于天气变凉，，牧场上的草停止
草每天都以固定的速度减少。

如果这块牧生长了，，并且由于有虫灾
并且由于有虫灾，，草每天都以固定的速度减少
生长了
）吃9天，或可供7头场上的草可供10头牛（每头牛每天的吃草量相同
每头牛每天的吃草量相同）
牛吃12天。

？
头牛吃几天？
（1）这片草可供4头牛吃几天
（2）这片草可供多少头牛吃6天？
分析题目可知，牧场上原有的草量是固定的，每天减少的草量也是固定的，减少的总草量＝每天减少的草量×天数，若干天牧场可提供的总草量＝原有的草量－每天减少的草量。

假设1头牛1天能吃1份的草，则10头牛9天吃草1×10×9＝90（份），7头牛12天吃草1×7×12＝84（份）。

为什么前一种吃法比后一种多了90－84＝6（份）呢？这是因为前一种吃法比后一种少了12－9＝3（天），这6份草是牧场上3天减少的草量。

可算出每天减少的草量是6÷3＝2（份）。

10头牛9天吃草90份，这9天牧场上减少的总草量是2×9＝18（份），牧场上原有的草量是90＋18＝108（份）。

：
（1）计算这片草可供4头牛吃几天
可以这样思考：
头牛吃几天，，可以这样思考
因为牧场上的草每天减少2份，把每天减少的2份草假设成是2头牛在吃草，这相当于牧场上一共有4＋2＝6（头）牛在吃草。

因为6头牛1天要吃草1×6＝6（份），108份草可供6头牛以吃108÷6＝18（天），即实际这片草可供4头牛吃18天。

可以这样思考：：（2）计算这片草可供多少头牛吃6天，可以这样思考
因为牧场上的草每天减少2份，6天共减少2×6＝12（份）。

这6天牧场可提供108－12＝96（份）草，平均每天可提供96÷6＝16（份）草。

因为1头牛1天能吃1份的草，所以16份草可供16÷1＝16（头）牛吃1天，即可知这片草可供16头牛吃6天。

通过例题2的分析解答可知，当草量减少时，可归纳总结出下面的计算公式：
先假设1头牛1天的吃草量是1份。

①每天减少的草量＝（1×对应的牛的数量×吃的较多的天数－1×对应的牛的数量×吃的较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃的较少的天数）；
②原有的草量＝1×对应的牛的数量×吃的天数＋每天减少的草量×吃的天数；
③求牧场上的草可供若干头牛吃几天，可按下面的步骤计算：
先把每天因为特殊原因减少的草量假设成是被牛吃了，则只吃减少草的牛的只数＝每天减少的草量；牛的总只数＝原有的牛的只数＋只吃减少草的牛的只数；草可吃的天数＝原有的草量÷（牛的总只数×1）。

④求牧场上的草可供几头牛吃若干天，可按下面的步骤计算：
若干天减少的总草量＝每天减少的草量×天数；若干天牧场能提供的总草量＝原有的草量－减少的总草量；牧场平均每天能提供的草量＝若干天牧场能提供的总草量÷天数；所求牛的数量＝牧场平均每天能提供的草量÷1。

二
例题朵朵家有两块牧场
朵朵家有两块牧场，，第一块牧场的面积是1万平方。

两块牧场上的草每天都匀速
万平方米。

米，第二块牧场的面积是3万平方米
生长，，第一块牧场上的草可供17头牛吃18天，或者可供21头牛吃生长
12天。

第二块牧场上的草可供多少头牛吃16天？
假设1头牛1天的吃草量是1份，先看第一块牧场，根据例题1总结的公式可知：第一块牧场每天长出的草量是（1×17×18－1×21×12）÷（18－12）＝9（份），原有的草量是1×17×18－9×18＝144（份）。

因为第二块牧场的面积是第一块的3÷1＝3倍，所以第二块牧场每天长出的草量和原有的草量都是第一块牧场的3倍。

第二块牧场每天长出的草量是9×3＝27（份），原有的草量是144×3＝432（份）。

这16天，第二块牧场可提供的总草量是432＋27×16＝864（份），可供864÷16÷1＝54（头）牛吃16天。

小朋友，你学会了吗？在数学中，还有很多类似“牛吃草问题”的问题，如检票口检票问题、抽水问题等，只有理解了“牛吃草问题”的解题思路，才能以不变应万变，轻松地解决此类问题。