2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：8-2

[命题报告·教师用书独具]
一、选择题
1．（2013年滨州模拟）当0〈k<错误!时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在( ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：解方程组错误!得两直线的交点坐标为错误!，因为0<k〈错误!,所以错误!<0，错误!〉0,故交点在第二象限．
答案:B
2．(2013年茂名模拟）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，－1），则直线l的斜率为（）
A.错误!B．－错误!
C．－错误! D.错误!
解析:设P(x P，y P）,由题意及中点坐标公式,得x P＋7＝2，解得x P ＝－5，∴P(－5，1),∴直线l的斜率k＝错误!＝－错误!.
答案：B
3．(2013年武汉模拟)已知点A（－3,－4），B(6，3）到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )
A.错误!B．－错误!
C．－错误!或－错误!D。

错误!或错误!
解析:由题意及点到直线的距离公式得错误!＝错误!，解得a＝－错误!或－错误!。

答案：C
4．（2013年广州模拟）直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
解析：由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为（1，1)．
又直线x－2y＋1＝0上的点（－1,0）关于直线x＝1的对称点为(3,0），所以由直线方程的两点式，得错误!＝错误!，即x＋2y－3＝0.
答案：D
5．(2013年成都模拟)在直角坐标系中，A(4，0),B（0,4）,从点P （2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )
A．2错误!B．6
C．3错误!D．2错误!
解析：如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D（4,2），C(－2,0)，则△PMN的周长＝|PM｜＋｜MN｜＋|PN｜＝｜DM|＋｜MN｜＋｜NC｜。

由对称性,D,M，N，C共线，∴|CD｜即为所求，由两点间的距离公式得|CD｜＝错误!＝2错误!.
答案：A
二、填空题
6．若点(1，1）到直线x cos α＋y sin α＝2的距离为d，则d的最大值是________．
解析：依题意有d＝|cos α＋sin α－2｜
＝错误!。

于是当sin错误!＝－1时,d取得最大值2＋错误!.
答案：2＋错误!
7．若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为错误!，则错误!的值为________．
解析：由题意得,错误!＝错误!≠错误!，
∴a＝－4且c≠－2，
则6x＋ay＋c＝0可化为
3x－2y＋错误!＝0，
由两平行线间的距离，
得错误!＝错误!，
解得c＝2或c＝－6,所以错误!＝±1.
答案：±1
8．（2013年安庆模拟）从点(2,3）射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上,则经y轴反射的光线所在的直线方程为________．
解析：由题意得,射出的光线方程为y－3＝错误!(x－2），
即x－2y＋4＝0，与y轴交点为（0，2),
又（2，3）关于y轴的对称点为（－2，3），
∴反射光线所在直线过（0,2),（－2，3）．
故方程为y－2＝错误!x,即x＋2y－4＝0。

答案：x＋2y－4＝0
9．(2013年绍兴模拟)已知0<k〈4，直线l1:kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．
解析：由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积S＝错误!×2×(4－k)＋错误!×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8,故面积最小时，k＝错误!。

答案：错误!
三、解答题
10．直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P（－1,2），求直线l的方程．
解析:设直线l与l1的交点为A（x0，y0),由已知条件，得直线l 与l2的交点为B（－2－x0，4－y0),并且满足
错误!
即错误!解得错误!
因此直线l的方程为错误!＝错误!,
即3x＋y＋1＝0.
11．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，
（1）点A（5，0）到l的距离为3,求l的方程；
(2）求点A（5,0)到l的距离的最大值．
解析：(1）经过两已知直线交点的直线系方程为
（2x＋y－5）＋λ（x－2y)＝0，
即（2＋λ)x＋（1－2λ）y－5＝0，
∴错误!＝3。

解得λ＝2或λ＝错误!.
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0。

（2)由错误!得P（2，1)．如图,过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，
则d≤|PA|（当l⊥PA时等号成立）．
∴d max＝｜PA｜＝错误!。

12．(能力提升)(1）在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P 到A(4,1)和B（0，4)的距离之差最大；
（2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A（4,1）和C（3，4）的距离之和最小．
解析：(1)如图甲所示,设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P,此时的P满足｜PA｜－|PB|的值最大．
设B′的坐标为（a,b)，则k BB′·k l＝－1，
即b－4
a·3＝－1。

∴a＋3b－12＝0。

①
又由于线段BB′的中点坐标为错误!,且中点在直线l上，
∴3×错误!－错误!－1＝0，即3a－b－6＝0。

②
①②联立，解得a＝3,b＝3，∴B′（3，3)．
于是AB′的方程为错误!＝错误!,
即2x＋y－9＝0.
解方程组错误!得错误!
即l与AB′的交点坐标为P（2,5）．
（2)如图乙所示，设C关于l的对称点为C′，连接AC′交l 于点Q,此时的Q满足｜QA｜＋｜QC｜的值最小．
设C′的坐标为（x′,y′)，
∴错误!
解得错误!∴C′错误!.
由两点式得直线AC′的方程为
错误!＝错误!,
即19x＋17y－93＝0.
解方程组｛19x＋17y－93＝0
3x－y－1＝0，
得错误!
∴所求点Q的坐标为错误!。

［因材施教·学生备选练习］
1．(2013年武汉调研）点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最短距离为（）
A。

错误!B。

错误!
C．2 2 D．2
解析:当点P为直线y＝x＋2平移到与曲线y＝x2－ln x相切的切点时，点P到直线y＝x＋2的距离最短．设点P（x0，y0），f（x）＝x2－ln x，则f′(x0）＝1。

∵f′(x）＝2x－1 x，
∴2x0－错误!＝1.
又x0>0，
∴x0＝1。

∴点P的坐标为（1，1)，此时点P到直线y＝x＋2的距离为错误!＝错误!。

答案：B
2．(2013年武汉模拟）已知A(－2，0)，B(2，0)，C（0，2),E（－1，0)，F（1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射,落到线段AE上(不含端点)，则直线FD斜率的取值范围为________．
解析：从特殊位置考虑．
∵点A（－2，0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴kA1F＝4.
∵点E(－1，0）关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2,1），点E1（－2，1）关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2（1，4),此时
直线E2F的斜率不存在，
∴kA1F＜k FD，即k FD∈(4,＋∞)．
答案:(4，＋∞）
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