北京市达标名校2020年高考三月大联考数学试卷含解析

北京市达标名校2020年高考三月大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线1y kx =+与抛物线C ：2
4x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PAB
的面积为S ，则S AB -的最小值为( ) A ．9
4
-
B ．274
-
C ．3227
-
D ．6427
-
2．已知向量(2
2cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性
质的描述正确的是( )
A ．关于直线12
x π
=
对称
B ．关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．周期为2π
D ．()y f x =在,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 3．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ） A ．a ∥b
B ．a ⊥b
C ．a ∥(a b -)
D ．a ⊥( a b -)
4．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．
3
π B ．3
π-
C ．
23
π D ．23
π-
5．
2020
1i i
=-（ ）
A ．
2
B ．
C ．1
D ．1
4
6．设集合{}1,0,1,2A =-，{}
2
2530B x x x =-++>，则A
B =（ ）
A ．{}0,1,2
B ．{}0,1
C ．{}1,2
D ．{}1,0,1-
7．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
8．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点KPF ∠的平分线与x 轴交于(,0)m ，则m 的最大值为( ) A ．322-
B ．233
C ．23
D ．229．已知函数()sin(2019)cos(2019)44
f x x x π
π
=+
+-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ） A ．
2019
π
B ．
22019
π C ．
42019
π
D ．
4038
π
10．过抛物线()2
20y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为2AB =（ ） A ．6
B ．9
C ．2
D ．6211．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为1
3
，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．
23
π B ．2π
C ．4π
D ．6π
12．已知全集U =R ，集合{}1A x x =<，{}12B x x =-≤≤，则
(
)U
A B =（ ）
A ．{}
12x x <≤
B ．
{}
12x x ≤≤
C ．{}
11x x -≤≤
D ．{}
1x x ≥-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．给出以下式子：
①tan25°+tan35°3+tan25°tan35°； ②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)； ③
115115tan tan +︒
-︒
其中，结果为3的式子的序号是_____.
14．已知不等式组20202x y x y x -≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
所表示的平面区域为Ω，则区域Ω的外接圆的面积为______．
15．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．
16．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知抛物线2
1:4C x y =的焦点F 也是椭圆()22
222:10y x C a b a b
+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦
的长为26.
（1）求2C 的方程；
（2）过点F 的直线与1C 相交于A 、B 两点，与2C 相交于C 、D 两点，且AC 与BD 同向，设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形；
（3）P 为2C 上的动点，1A 、2A 为2C 长轴的两个端点，过点O 作2A P 的平行线交椭圆于点R ，过点O 作
1A P 的平行线交椭圆于点S ，请问ORS ∆的面积是否为定值，并说明理由.
18．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的的参数方程为4x at
y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2
sin 4cos ρθθ=.
（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2
）过点)
P
作直线l 的垂线交曲线C 于,D E 两点(D 在x 轴上方)，求
11PD PE
-的值. 19．（6分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，
且12PF F △
O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值.
20．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为126126x m m
y m m ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
（m 为参数），以坐标点O 为
极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+3
π
）＝1． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；
（2）已知点M （2，0），若直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，求
11
||||
MP MQ +的值． 21．（6分）已知函数32
()21f x x mx m =+++.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 在区间[0,)+∞上的最小值为3-，求m 的值. 22．（8分）己知圆F 1：(x+1)1 +y 1= r 1(1≤r≤3)，圆F 1：(x-1)1+y 1= (4-r)1．
（1）证明：圆F 1与圆F 1有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；
（1）已知点Q(m ，0)(m<0)，过点E 斜率为k(k≠0）的直线与（Ⅰ）中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为k 1，直线QN 的斜率为k 1，是否存在实数m 使得k(k 1+k 1)为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．
23．（8分）已知函数()2
2
cos cos sin f x x x x x =+-.
（1）求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间；
（2）已知ABC ∆，若()1f C =，2c =，()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
设出,A B 坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得AB ，再由点到直线的距离公式求得P 到
AB 的距离，得到PAB ∆的面积为S ，作差后利用导数求最值．
【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，联立21
4y kx x y
=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=
则124x x k +=，()2
1212242y y k x x k +=++=+
则2
1244AB y y p k =++=+
由2
4x y =，得2
4
x y =
12y x ⇒'= 设()00,P x y ，则
01
2
x k = 02x k ⇒=，20y k =
则点P 到直线1y kx =+的距离1d =≥
从而()
21
212
S AB d k =
⋅=+()()
()22322141241S AB k k d d d -=++=-≥．
令()3
2
24f x x x =- ()()2
681f x x x x ⇒-'=≥
当413
x ≤≤
时，()0f x '<；当4
3x >时，()0f x '>
故()min 464327f x f ⎛⎫==-
⎪⎝⎭
，即S AB -的最小值为64
27- 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值. 2．D 【解析】 【分析】 【详解】
()
22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12
x π
=
时,sin(2)sin
16
3
x π
π
+=≠±,∴f(x)不关于直线12
x π
=
对称；
当512x π=
时,2sin(2)116x π
++= ,∴f(x)关于点5(
,1)12
π对称； f(x)得周期22
T π
π==， 当(,0)3
x π
∈-
时,2(,)6
26x π
ππ
+
∈-
,∴f(x)在(,0)3
π
-上是增函数． 本题选择D 选项. 3．D 【解析】 【分析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论. 【详解】
∵向量a =（1，﹣2），b =（3，﹣1），∴a 和b 的坐标对应不成比例，故a 、b 不平行，故排除A ； 显然，a •b =3+2≠0，故a 、b 不垂直，故排除B ；
∴a b -=（﹣2，﹣1），显然，a 和a b -的坐标对应不成比例，故a 和a b -不平行，故排除C ； ∴a •（a b -）＝﹣2+2＝0，故 a ⊥（a b -），故D 正确， 故选：D.
【点睛】
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】
因为时针经过2小时相当于转了一圈的16
，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】
因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263
ππ-⨯=-. 故选：B 【点睛】
本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题. 5．A 【解析】 【分析】
利用复数的乘方和除法法则将复数2020
1i i
-化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.
【详解】
()
505
2020
4505
1
1i
i
===，
()()20201111
111122
i i i i i i i +===+---+，
因此，202012i i ==-. 故选：A. 【点睛】
本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】
解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .
【详解】
因为{
}{
}
2
2
1
2530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-
<<⎨⎬⎩⎭
，又{}1,0,1,2A =-，所以
{}0,1,2A B ⋂=.
故选：A. 【点睛】
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】
列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】
由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；
第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】
本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 8．A 【解析】 【分析】
求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，211(1)4m
m
x x
-=
+++， 求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【详解】
解：由题意可得，焦点F （1，0），准线方程为x ＝−1， 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，
由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x ＋1，
记∠KPF的平分线与x轴交于(m,0),(1m1)
H-<<
根据角平分线定理可得||||||
=
|||||| PF PM FH PK PK KH
=，
1
1
m
m
-
=
+，
当0
x=时，0
m=，
当0
x≠
2
⎫
=⎪⎪
⎣⎭，
1
103
21
m
m
m
-
≤<⇒<≤-
+
综上：03
m
≤≤-
故选：A．
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．
9．B
【解析】
【分析】
根据三角函数的两角和差公式得到()
f x=2sin(2019)
4
x
π
+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果.
【详解】
函数
()sin2019cos2019
44
f x x x
ππ
⎛⎫⎛⎫
=++-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭
)
sin2019cos2019cos2019sin2019
2
x x x x
+++
)
sin2019cos20192sin(2019)
4
x x x
π
=+=+
则函数的最大值为2，2
M m n m n
⋅-=-
存在实数,m n，使得对任意实数x总有()()()
f m f x f n
≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周
期，即
min
2
2
20192019
m n m n
ππ
-≥∴-=
故答案为：B.
【点睛】
这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合. 10．B 【解析】 【分析】
设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2
p
x my =+
，由2AF FB =得122y y =-，将直线AB 的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ∆的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB . 【详解】
设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，
将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px
⎧
=+
⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pmy p --=，
由韦达定理得122y y pm +=，2
12y y p =-，
11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，22,2p FB x y ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
2AF FB =，122y y ∴-=，122y y ∴=-，
2
21222y y y p ∴=-=-
，可得2y p =
，122y y ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ⎛⎫-
⎪⎝⎭
， ACF ∆
的面积为212
2
p p ⨯=
=4p =，则抛物线的方程为2
8y x =， 所以，2221
2
12524988
p
y y AB x x p p +=++=+=+=. 故选：B. 【点睛】
本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 11．D 【解析】 【分析】
取AC 中点N ，由题意得BND ∠即为二面角B AC D --的平面角，过点B 作BO DN ⊥于O ，易得点O 为
ADC 的中心，则三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ，列出方程
22
2
2623r r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即可得解. 【详解】
如图，由题意易知ABC 与ADC 均为正三角形，取AC 中点N ，连接BN ，DN ， 则BN AC ⊥，DN AC ⊥，∴BND ∠即为二面角B AC D --的平面角， 过点B 作BO DN ⊥于O ，则BO ⊥平面ACD ， 由3BN ND ==
，1cos 3BND ∠=
可得3cos ON BN BND =⋅∠=，23
OD =，2
326
33OB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴1
3
ON ND =即点O 为ADC 的中心，
∴三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ， ∴11BO DO r ==，126OO r =-,
∴22
22623r r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得62r =， ∴三棱锥A BCD -的外接球的表面积为23
4462
S r πππ==⨯
=. 故选：D.
【点睛】
本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题. 12．B 【解析】 【分析】
直接利用集合的基本运算求解即可． 【详解】
解：全集U =R ，集合{}
1A x x =<，{}
12B x x =-≤≤，
{}U |1A x x ∴=≥
则()
{}
{}{}|1|12|12U A B x x x x x x =-=，
故选：B ． 【点睛】
本题考查集合的基本运算，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．①②③ 【解析】 【分析】
由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解. 【详解】
①∵tan60°＝tan （25°+35°）253512535tan tan tan tan ︒+︒
=
=-︒︒
，
tan25°+tan35°tan35°；
)
12535tan tan =-︒︒tan35°，
=
②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），
＝2sin60°=
③
115451511514545tan tan tan tan tan tan +︒︒+︒
==-︒-︒︒
tan （45°+15°）＝tan60°=
故答案为：①②③ 【点睛】
本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题. 14．
254
π 【解析】 【分析】
先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果. 【详解】
由题意作出区域Ω，如图中阴影部分所示，
易知1
232tan 14122
MON -
∠==+⨯，故sin MON ∠= 35，又3MN =，设OMN 的外接圆的半径为R ，则由正弦定理得2sin MN R MON =∠，即52R =，故所求外接圆的面积为2
525
24ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭
. 【点睛】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 15．
5
6
【解析】
试题分析：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为12,C C ，则
一次取出2只球，基本事件为AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 、12C C 共6种， 其中2只球的颜色不同的是AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 共5种； 所以所求的概率是56
P =． 考点：古典概型概率 16．
43
3
【解析】 【分析】
画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可. 【详解】
解：如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为2的正方形,
上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,
∴此四棱锥S ABCD ﹣中,ABCD 是边长为2的正方形,
SAD 是边长为2的等边三角形,
故CD AD ⊥,又CD SD ⊥,AD SD D ⋂= 故平面SAD ⊥平面ABCD ,
∴SAD 的高SE 是四棱锥S ABCD ﹣的高, ∴此四棱锥的体积为:
1143
224133ABCD V S SE ⨯=⨯⨯-=
正方形＝ 故答案为：43
3
． 【点睛】
本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）22
198
y x +=；
（2）证明见解析；（3）是，理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据两个曲线的焦点相同，得到221a b -=，再根据1C 与2C 的公共弦长为2622
96
14a b
+=，可求出2a 和2b 的值，进而可得出曲线2C 的方程；
（2）设点()11,A x y ，根据导数的几何意义得到曲线1C 在点A 处的切线方程，求出点M 的坐标，利用向量的数量积得出0FA FM ⋅>，则问题得以证明；
（3）设直线1:OR y k x =，直线2:OS y k x =，()33,R x y 、()44,Q x y 、()00,P x y ，推导出1298
k k =-以及()123412
ORS S k k x x ∆=-，求出23x 和24x ，通过化简计算可得出2
4ORS S ∆为定值，进而可得出结论. 【详解】
（1）由2
1:4C x y =知其焦点F 的坐标为()0,1，
F 也是椭圆2C 的一个焦点，221a b ∴-=，①
又1C 与2C 的公共弦的长为26，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为2
4x y =，
由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为36,2⎛⎫± ⎪⎝
⎭，229614a b ∴+=，②
联立①②，得2
9a =，2
8b =，故2C 的方程为22
198
y x +=；
（2）如图，()11,A x y ，由2
4x y =得2
x y '
=
， 1C ∴在点A 处的切线方程为()1112x y y x x -=-，即2
1124x x x y =-，令0y =，得12x x =，即1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
1,12x FM ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
，
而()11,1FA x y =-，于是22
11111024
x x FA FM y ⋅=-+=+>，
因此AFM ∠是锐角，从而MFD AFM π∠=-∠是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形；
（3）设直线1:OR y k x =，直线2:OS y k x =，()33,R x y 、()44,Q x y 、()00,P x y ，
则202
00012220000999339988
x y y y k k x x x x --+--=⋅===-， 设向量OR 和OS 的夹角为θ， 则ORS ∆的面积为
(2211sin 1cos 22
ORS S OR OS OR OS θ∆=
⋅=⋅-()
2
222
OR OS OR OS =⋅-⋅=
()2341431234344311
2122
x y x y k x x k x x k k x x =
--==-， 由22
1198y x y k x
⎧+=⎪⎨⎪=⎩
，可得23217298x k =+，同理可得2
4227298x k =+， 故有()
()()22
2
12122
12222222
121212727227272
49898647281
ORS k k k k S k k k k k k k k ∆⨯+-=-⋅⋅=+++++. 又1298
k k ⋅=-
，故()
()()()22
22
121212122
2
22
22
12127272272722472162
96472818ORS
k k k k k k k k S
k k k k ∆⨯+-⨯+-=
=
++⎛⎫⨯-+++ ⎪⎝⎭
()()()22
2212122222
12129
727272721624727216272162
k k k k k k k k
⎛⎫⨯++ ⎪⎡⎤
⨯++⎝⎭⎣⎦===++++， 则2
18ORS S ∆=，因此，ORS ∆的面积为定值【点睛】
本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，考查钝角三角形的判定以及三角形面积为定值的求解，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于斜率的方程，计算量大，属于难题． 18．（1）2y =-，2
4y x =；
（2）1
2
【解析】 【分析】
(1)利用代入法消去参数可得到直线l 的普通方程，利用公式cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
可得到曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线DE
的参数方程为12x y t
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，（t 为参数），
代入2
4y x =
得20t +-=，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果. 【详解】
（1）由题意得点A
的直角坐标为)
，将点A
代入4x at y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
得1a t =⎧⎪⎨
=⎪
⎩，
则直线l
的普通方程为2y =
-.
由2
sin 4cos ρθθ=得2
2
sin 4cos ρθρθ=，即2
4y x =.
故曲线C 的直角坐标方程为2
4y x =.
（2）设直线DE
的参数方程为212x y t
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，（t 为参数）
，
代入2
4y x =
得20t +-=．
设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t
．则12t t +=-
12t t =-，且120,0t t ><.
121212*********
2
t t PD PE t t t t t t +∴
-=-=+==． 【点睛】
参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，
通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222
tan x y y x
ρθ
⎧+=⎪
⎨=⎪⎩等可以把
极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
19．（1）22143x y +=；
（2）当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN
的距离为定值7
. 【解析】 【分析】
（1）12PF F △的面积最大时，P
是短轴端点，由此可得bc =222a b c =+可得,a b ，从而得椭圆方程；
（2）在直线MN 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，现椭圆方程联立消元（y ）后应用韦达定理得
1212,x x x x +，注意>0∆，一是计算1212x x y y +，二是计算原点到直线MN 的距离，两者比较可得结论．
【详解】
（1）因为P 在椭圆上，当P 是短轴端点时，P 到x 轴距离最大，此时12PF F ∆
面积最大，所以
122c b bc ⨯⨯==
2221
2bc c a a b c
⎧=⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得21
a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆方程为22
143
x y +=．
（2）在12x x ≠时，设直线MN 方程为y kx m =+
，原点到此直线的距离为d =，即2
2
21m
d k =+， 由2214
3y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=，
2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+->，2243m k <+，
所以122834km x x k +=-+，2122
412
34m x x k -=+，
22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++
222222
2
222
4128712(1)(1)343434m k m m k k m k k k
--+=+⋅-+=+++， 所以当12120x x y y +=时，2
212(1)7m k =+，22
21217m d k ==+
，7
d = 若12x x =，则12y y =-，221212110x x y y x y +=-=，2211x y =，2
127x =
，7
d x ==， 综上所述，当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN
的距离为定值7
. 【点睛】
本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式． 20．（1）l ：
20x -=，C 方程为 2233144x y -=；（2）11|||||MP M Q +
＝
4
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 【详解】
(1)曲线C 的参数方程为126126x m m
y m m ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
（m 为参数），
两式相加得到4m x y =+，进一步转换为22
33144
x y -=． 直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+
3π
）＝1，则(cos cos sin sin )133
ππρθθ-=
转换为直角坐标方程为20x -=．
（2
）将直线的方程转换为参数方程为212x y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）
，
代入22
33144
x y -=
得到23160t ++=（t 1和t 2为P 、Q 对应的参数），
所以12t t +=-1216
3
t t ⋅=，
所以
11|||||MP M Q +
＝1212||||||||4
t t MP MQ MP MQ t t ++==． 【点睛】
本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 21．（1）见解析 （2）3m =- 【解析】 【分析】
（1）先求导，再对m 分类讨论，求出()f x 的单调性；（2）对m 分三种情况讨论求函数()f x 在区间[0,)+∞上的最小值即得解. 【详解】
（1）2
()622(3)f x x mx x x m '
=+=+
若0m <，当(,0),3m x ⎛⎫
∈-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>；
当0,3m x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时.()0f x '<， 所以()f x 在(,0),,3m ⎛⎫-∞-
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,3m ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上单调递减
若0,()0m f x '
=.()f x 在R 上单调递增
若0m >，当,(0,)3m x ⎛⎫
∈-∞-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>； 当,03m x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时.()0f x '<， 所以()f x 在,,(0,)3m ⎛⎫-∞-
+∞ ⎪⎝
⎭上单调递增，在,03m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减 （2）由（1）可知，当0m ≥时，()f x 在[0,)+∞上单调递增，则min ()(0)13f x f m ==+=-.则-4m =不合题意
当0m <时，()f x 在0,3m ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,3m ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增.
则33min
2()133279m m m f x f m ⎛⎫=-=-+++=- ⎪⎝⎭
，即3
4027m m ++=
又因为3
()427
m g m m =++单调递增，且(3)0g -=，故3m =-
综上，3m =- 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
22．（1）见解析，22
143
x y +=（1）存在，2m =-
【解析】 【分析】
（1）求出圆1F 和圆2F 的圆心和半径，通过圆F 1与圆F 1有公共点求出12F F 的范围，从而根据
124PF PF +=可得P 点的轨迹，进而求出方程；
（1）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线方程和椭圆方
程，根据韦达定理以及111y k x m =-，212y k x m =-，可得()2
12222
(624)4(1)312
m k k k k m k m -+=-+-，根据其为
定值，则有23120m -=，进而可得结果. 【详解】
（1）因为1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以122F F =， 因为圆1F 的半径为r ，圆2F 的半径为4r -，
又因为13r ≤≤，所以|4|2r r --≤，即12|4||4|r r F F r r --≤≤-+， 所以圆1F 与圆2F 有公共点，
设公共点为P ，因此124PF PF +=，所以P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆， 所以24a =，12c a =⇒=
，b =
即轨迹E 的方程为22143
x y +=；
（1）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，设()11,M x y ，()22,N x y
由22
143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
消去y 得到()2222
4384120k x k x k +-+-=， 则2122843
k x x k +=+，2122412
43k x x k -=+， ① 因为1
11y k x m
=
-，212y k x m =-，
所以()()()121212121211k x k x y y k k k k k x m x m x m x m --⎛⎫
⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()2212211212121111x x m x x m x x k k x m x m x m x m --+--⎛⎫--=+= ⎪----⎝⎭
()()2
12122
12122(1)2x x m x x m
k x x m x x m -+++=-++，
将①式代入整理得()2
12222
(624)4(1)312
m k k k k m k m -+=-+- 因为0m <，
所以当23120m -=时，即2m =-时，()121k k k +=-. 即存在实数2m =-使得()121k k k +=-. 【点睛】
本题考查椭圆定理求椭圆方程，考查椭圆中的定值问题，灵活应用韦达定理进行计算是关键，并且观察出取定值的条件也很重要，考查了学生分析能力和计算能力，是中档题.
23．（1）最小正周期为π，单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦；（2【解析】 【分析】
（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()y f x =的最小正周期，解不等式()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈可求得该
函数的单调递增区间； （2）由()1f C =求得3
C π
=
，由()sin sin 2sin 2C B A A +-=得出2
A π
=
或2b a =，分两种情况讨论，
结合余弦定理解三角形，进行利用三角形的面积公式可求得ABC ∆的面积. 【详解】
（1）()2
2
cos cos sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x x π⎛
⎫
=⋅+-=+=+
⎪⎝
⎭
， 所以，函数()y f x =的最小正周期为22
T π
π==， 由()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈得()36k x k k ππ
π-
≤≤π+∈Z ， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为(),3
6k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
；
（2）由()1f C =，得2sin 216C π⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭，2266C k πππ∴+=+或52266
C k ππ
π+=+，C k π∴=或()3
C k k Z π
π=
+∈，
()0,C π∈，3
C π
∴=
，
又
()()()sin sin sin sin 2sin cos C B A B A B A B A +-=++-=，
2sin cos 2sin 2B A A ∴=，即sin cos 2sin cos B A A A =.
①当cos 0A =时，即2
A π
=
，则由3
C π
=
，2c =，
得sin 3c a C ==
，则123
b a ==，此时，ABC ∆
的面积为123
ABC S bc ∆=
=
； ②当cos 0A ≠时，则sin 2sin B A =，即2b a =，
则由222cos 122a b c C ab +-==，解得3a =
3b =，1sin 23
ABC S ab C ∆∴==.
综上，ABC ∆的面积为ABC
S =
. 【点睛】
本题考查正弦型函数的周期和单调区间的求解，同时也考查了三角形面积的计算，涉及余弦定理解三角形的应用，考查计算能力，属于中等题.。