内蒙古2019届高三理数高考一模试卷

内蒙古2019届高三理数高考一模试卷
一、单选题（共11题；共22分）
1.已知双曲线 C:x 2
a
2−y 2
b
2=1(a >0,b >0) 的左、右顶点分别为 A 1、A 2 ，点 P 是双曲线 C 上与 A 1、A 2
不重合的动点，若 k PA 1k PA 2=3 ， 则双曲线的离心率为( )
A. √2
B. √3
C. 4
D. 2 2.经过对中学生记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：
由表中数据，求得线性回归方程为 y ̂=4
5x +a ̂ ，若某中学牛的记忆能力为14，则该中学生的识图能力为（ ）
A. 7
B. 9.5
C. 11.1
D. 12
二、填空题（共5题；共5分）
3.如图，正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为1，线段 B 1D 1 上有两个动点 E,F ，且 EF =√2
2 ，现有如
下四个结论：
①AC ⊥BE ； ②EF// 平面 ABCD ；
③ 三棱锥 A −BEF 的体积为定值； ④ 异面直线 AE,BF 所成的角为定值，
其中正确结论的序号是________．
4.已知 α 的终边过点 (3m,−2) ，若 tan(π+α)=1
3 ，则 m = ________．
5.设 x , y 满足约束条件 {3x −y −6≤0
x −y +2≥0x ≥0,y ≥0 ,若目标函数 z =ax +by(a >0,b >0) 的最大值为 12 ,则
2
a
+3
b 的最小值为________． 6.“雾霾治理”“延迟退休”“里约奧运”“量子卫星”“神舟十一号”成为现在社会关注的 5 个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调査其中的 4 个热点,则“量子卫星”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点的种数为________．
7.如图，在三棱锥 P −ABC 中， PC ⊥ 平面 ABC ， AC ⊥CB ，已知 AC =2 ， PB =2√6 ，则当 PA +AB 最大时，三棱锥 P −ABC 的体积为________．
三、解答题（共7题；共50分）
8.已知等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，公比为q；等差数列{b n}中，b1=3，且{b n}
.
的前n项和为S n，a3+S3=27，q=S2a
2
（1）求{a n}与{b n}的通项公式；
（2）设数列{c n}满足c n=32S
，求{c n}的前n项和T n.
n
9.在某外国语学校举行的HIMCM(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为1:3,且成绩分布在[40,100],分数在80以上(含80)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．
(Ⅰ)求a的值,并计算所抽取样本的平均值x̅(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅱ)填写下面的2×2列联表,并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．
附表及公式：
, n=a+b+c+d．
其中K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
10.已知点B(0,−2)和椭圆B∈FC⊂. 直线l:y=kx+1与椭圆M交于不同的两点P,Q.
(Ⅰ) 求椭圆M的离心率；
(Ⅱ) 当k=1
时，求ΔPBQ的面积；
2
（Ⅲ）设直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，当 C 为 PB 中点时，求 k 的值 .
11.如图，在梯形 ABCD 中， AB//CD ， AD =DC =CB =1 ， ∠ABC =60∘ ，四边形 ACFE 是矩形，且平面 ACFE ⊥ 平面 ABCD .
（Ⅰ）求证: BC ⊥ 平面 ACFE ；
（Ⅱ）当二面角 C −BF −D 的平面角的余弦值为 √6
3
,求这个六面体 ABCDEF 的体积.
12.已知函数 f(x)=2ax +bx −1−2lnx(a ∈R) ． (Ⅰ)当 b =0 时,讨论函数 f(x) 的单调区间；
(Ⅱ)当 x >y >e −1 时,求证： e x ln(y +1)>e y ln(x +1) ．
13.在平面直角坐标系 xOy ，已知曲线 C:{x =√3cosa y =sina （ a 为参数），在以 O 原点为极点， x 轴的
非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 √2
2ρcos(θ+π
4)=−1 。

（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
（2）过点 M(−1,0) 且与直线 l 平行的直线 l 1 交 C 于 A ， B 两点，求点 M 到 A ， B 的距离之积。

14.设函数 f(x)=5−|x +a|−|x −2| .
（1）当 a =1 时，求不等式 f(x)≥0 的解集； （2）若 f(x)≤1 恒成立，求 a 的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设P(x0,y0)，A1(−a,0)，A2(a,0)，
∵k
PA1k
PA2
=3，
∴y0
x0+a ·y0
x0−a
=3，即y
2=3x
2−3a2，①
又x02
a2−y02
b2
=1，②，
由①②可得(b2−3a2)x02=a2(b2−3a2)，∵x0≠±a，
∴b2−3a2=0，
∴b2=3a2=c2−a2，
∴c=2a，
即e=2，
故选：D．
【分析】设P(x0,y0)，A1(−a,0)，A2(a,0)，根据k PA
1k
PA2
=3可得y02=3x02−3a2①，再根据
又x02
a2−y02
b2
=1②，由①②可得(b2−3a2)x02=a2(b2−3a2)，化简可得c=2a，即可求出离心
率．
2.【答案】C
【考点】线性回归方程，回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：x的平均数x̅=1
4(4+6+8+10)=28
4
=7，
y的平均数y̅=1
4(3+5+6+8)=22
4
=5.5，
回归方程过点(x̅,y̅)，即过（7，5.5）
则5.5＝0.8×7+ â得â＝﹣0.1，
则ŷ＝0.8x﹣0.1，
则当x＝14时，y＝0.8×14﹣0.1＝11.2﹣0.1＝11.1，即该中学生的识图能力为11.1，
故选：C．
【分析】根据数据求出样本中心(x̅,y̅)，代入求出â＝﹣0.1，然后令x＝14进行求解即可．
二、填空题
3.【答案】①②③
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定
【解析】【解答】对于①，由AC⊥BD,AC⊥BB1，可得AC⊥面DD1BB1，故可得出AC⊥BE，此命题正确；
对于②，由正方体ABCD−A1B1C1D1的两个底面平行，EF在平面A1B1C1D1内，故EF与平面ABCD 无公共点，故有EF//平面ABCD，此命题正确；
对于③，EF为定值，B到EF距离为定值，所以三角形BEF的面积是定值，又因为A点到面DD1BB1距离是定值，故可得三棱锥A−BEF的体积为定值，此命题正确；
对于④，由图知，当F与B1重合时，此时E与上底面中心为O重合，则两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，此二角不相等，故异面直线AE,BF所成的角不为定值，此命题错误．
综上知①②③正确，故答案为①②③
【分析】对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值．
4.【答案】-2
【考点】任意角三角函数的定义，运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】∵α的终边过点(3m,−2)，若tan(π+α)=1
3
，
tan(π+α)=tanα=−2
3m
=1
3
,∴m=−2.．
即答案为-2.
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m的值．
5.【答案】25
6
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划的应用，基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,
当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x−y+2=0与直线3x−y−6=0的交点(4,6)时, 目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,
即4a+6b=12,即2a+3b=6,
而2
a +3
b
=(2
a
+3
b
)2a+3b
6
=13
6
+(b
a
+a
b
)≥13
6
+2=25
6
．
故答案为25
6
．
【分析】先根据条件画出可行域,设z=ax+by,再利用几何意义求最值,将最大值转化为y轴上的截距,只需求出直线z=ax+by,过可行域内的点(4,6)时取得最大值,从而得到一个关于a, b的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．
6.【答案】72
【考点】分步乘法计数原理，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：根据题意,分2步进行分析：
①,小王准备把“量子卫星”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点,
则“量子卫星”可以安排在后面的三个位置,有3种安排方法,
②,在剩下的4个热点中任选3个,安排在剩下的3个位置,有A43=24种安排方法,
则有3×24=72种不同的安排方法；
故答案为：72
【分析】根据题意,分2步进行分析：①,由题目的限制条件分析易得“量子卫星”有3种安排方法,②,在剩下的4个热点中任选3个,安排在剩下的3个位置,即可得出结果.
7.【答案】4
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设BC=x，
则PC=√PB2−BC2=√24−x2，PA=√PC2+AC2=√28−x2，AB=√4+x2，
PA+AB=√28−x2+√4+x2≤√2[(28−x2)+(4+x2)]=8，
当且仅当28−x2=4+x2，即x=2√3时，等号成立，
V P−ABC=1
3×1
2
×AC×BC×PC=1
3
×1
2
×2×2√3×2√3=4,
故答案为：4.
【分析】设BC=x，由勾股定理求出PC与x的关系式和PA、AB与x的关系式，利用均值不等式求最值的方法求出x的值，进而求出BC的值，再利用三棱锥的体积公式即可求出三棱锥P−ABC的体积。

三、解答题
8.【答案】（1）解：设数列{b n}的公差为d，∵a3+S3=27，q=S2
a2
，
∴q2+3d=18，6+d=q2，q=3，d=3，
a n=3n−1，
b n=3n
（2）解：由题意得：S n=n(3+3n)
2，c n=32S
n
=3
2
⋅2
3
(1
n(n+1)
)=1
n
−1
n+1
，
T n=1−1
2+1
2
−1
3
+1
3
−1
4
+⋯+1
n
−1
n+1
=1−1
n+1
=n
n+1
【考点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据等差和等比数列的性质，求出q和d，即可得到相应的通项公式；
（2）根据等差数列的前n项和公式，写出S n，采用裂项相消求和法，即可求出相应的前n项和. 9.【答案】解：(Ⅰ) a=1
10
×[1−(0.01+0.015+0.03+0.015+0.005)×10]=0.025,
x̅=45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.3+85×0.15+95×0.05=69．
(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,
2×2列联表如下：
因为K2=200×(5×115−35×45)2
40×160×150
≈4.167>3.841,
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与女生,男生有关．”
【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数，独立性检验的应用
【解析】【分析】(Ⅰ)根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于1列式可解得；(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,从而可得2×2列联表,再计算出K2,与临界值比较可得．
10.【答案】解：（Ⅰ）因为a2=4，b2=2，所以a=2，b=√2，c=√2，
所以离心率e=c
a =√2
2
．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
若k=1
2，则直线l的方程为y=1
2
x+1，
由{x2
4
+y2
2
=1
y=1
2x+1
，得3x2+4x-4=0，
解得x1=−2，x2=2
3
，
设A（0，1），则S△PBQ=1
2|AB|(|x1|+|x2|)=1
2
×3×(2
3
+2)=4．
（Ⅲ）设点C（x3，y3），
因为P（x1，y1），B（0，-2），所以{x3=x1
2
y3=−2+y1
2
，又点P（x1，y1），C（x3，y3）都在椭圆上，
所以{x12
4
+y12
2
=1
(x1 2
)2 4+(
−2+y1
2
)2
2
=1
，
解得{x1=√14
2
y1=−1
2或{
x1=−√14
2
y1=−1
2
，
所以k=−3√14
14或k=3√14
14
．
【考点】直线的斜率，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）直接求出a和c,求出离心率；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用
韦达定理求出|x1|+|x2|，再求△PBQ的面积；（Ⅲ）设点C（x3，y3），由题得{x3=x1
2
y3=−2+y1
2
，再求
出{x1=√14
2
y1=−1
2或{
x1=−√14
2
y1=−1
2
，即得k的值.
11.【答案】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中,∵AB∥CD, AD=CB,
∴∠BAD= ∠ABC=60∘,
∴∠ADC=∠BCD=120°,∵AD=DC=1.
∴∠CAD=∠ACD=30°,
∴∠ACB=90°,∴BC⊥AC.
∵平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACEF∩平面ABCD=AC,∴BC⊥平面ACEF.
（Ⅱ）在△ADC中, AC2=AD2+DC2−2AD⋅DCcos∠ADC=3,∴AC=√3.
分别以CA,CB,CF为x轴, y轴, z轴建立平面直角坐标系, 设CF=ℎ,则C(0,0,0), A(√3,0,0) , B(0,1,0),
D(1
2,0,0) , F(0,0,ℎ) ,则 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12
,−1,0) , BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,ℎ) ,易知平面 BCF 的一个法向量为 m ⃗⃗ =(1,0,0) ,设
∵平面 BDF 的法向量为 n ⃗ (x,y,z) ,∴ {
n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 即 {1
2x −y =0−y +ℎz =0 令 z =1 ,则 x =2ℎ , y =ℎ , ∴平面
的法向量为 n ⃗ (2ℎ,ℎ,1) ,∵二面角 C −BF −D 的平面角的余弦值为 √
6
6
,
∴ cos〈m
⃗⃗ ⋅n ⃗ 〉=√5ℎ+1
=
√6
6
,解得 ℎ=1 ,即 CF =1 .
所以六面体 ABCDEF 的体积为： V ABCDEF =V B−ACFE +V D−ACFE =1
3S 正方形
ACFE
×BC +1
3
S 正方形
ACFE
×|y D | =13×1×1+13×1×12=1
2
.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由 B//CD ， AD =DC =CB =1 ， ∠ABC =60∘ ，可得 ∠ACB =120∘−30∘=90∘ ， BC ⊥AC ，由面面垂直的性质可得结果；（2）以 CA,CB,CF 为 x 轴, y 轴, z 轴建立平面直角坐标系,设 CF =ℎ ,利用向量垂直数量积为零列方程求出平面 BFD 的一个法向量与平面 C BF 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式，列方程可求得 ℎ=1 ，由棱锥的体积公式可得结果. 12.【答案】 解：(Ⅰ)当 b =0 时, f ′(x)=2a −2
x
=
2(ax−1)
x
, (x >0) ,
当 a ≤0 时, f ′(x)<0 在 (0,+∞) 上恒成立． ∴ 函数 f(x) 在 (0,+∞) 单调递减； 当 a >0 时,由 f ′(x)<0 得 0<x <1a ,由 f ′(x)>0 得 x >1
a , ∴f(x) 的单调递减区间为 (0,1a ) ,单调递增区间为 (1
a ,+∞) ,
综上,当 a ≤0 时, f(x) 的单调递减区间为 (0,+∞) ,无单调递增区间, 当 a >0 时, f(x) 的单调递减区间为 (0,1a ) ,单调递增区间为 (1
a ,+∞) ． (II)证明： ∵x >y >e −1 , ∴x +1>y +1>e ,即 ln(x +1)>ln(y +1)>1 , 欲证 e x ln(y +1)>e y ln(x +1) ． 即证明 e x ln(x+1)>e y
ln(y+1) , 令 g(x)=e x
ln(x+1) , 则 g ′(x)
=
e x [ln(x+1)−
1x+1
]ln 2(x+1) ,显然函数 ℎ(x)=ln(x +1)−1
x+1 在 (e −1,+∞) 上单调递增,
∴ℎ(x)>1−1
e >0 ,即 g ′(x)>0 , ∴g(x) 在 (e −1,+∞) 上单调递增,
∴x >y >e −1 时, g(x)>g(y) ,即 e x
ln(x+1)>e y
ln(y+1) , ∴ 当 x >y >e −1 时, e x ln(y +1)>e y ln(x +1) 成立．
【考点】函数的单调性及单调区间，利用导数研究函数的单调性，分析法的思考过程、特点及应用 【解析】【分析】(Ⅰ)求函数的导数,结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．(Ⅱ)将不等式进行等价转化为 e x
ln(x+1)>e y
ln(y+1) ,构造函数 g(x)=e x
ln(x+1) ,求函的导数,研究函数的单调性,利用函数的单调性证明 g(x)>g(y) 即可．
13.【答案】 （1）解：曲线 C 化为普通方程为：
x 23
+y 2=1 ，
由 √2
2ρcos (θ+π
4)=−1 ，得 ρcos θ−ρsin θ=−2 ，
所以直线 l 的直角坐标方程为 x −y +2=0 。

（2）解：直线 l 1 的参数方程为 {
x =−1+√2
2t
y =√22t （ t 为参数）， 代入
x 23
+y 2=1 化简得： 2t 2−√2t −2=0 ，
设 A,B 两点所对应的参数分别为 t 1,t 2 ，则 t 1t 2=−1 ， ∴|MA|⋅|MB|=|t 1t 2|=1 。

【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，两点间的距离公式，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线 C 化为普通方程，再根据 x =ρcosθ,y =ρsinθ 将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线 l 1 参数方程，代入C 方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点 M 到 A ， B 的距离之积 14.【答案】 （1）解：当 a =1 时， f(x)={2x +4,x ≤−1,2,−1<x ≤2,−2x +6,x >2.
可得 f(x)≥0 的解集为 {x|−2≤x ≤3}
（2）解： f(x)≤1 等价于 |x +a|+|x −2|≥4 ．
而 |x +a|+|x −2|≥|a +2| ，且当 x =2 时等号成立．故 f(x)≤1 等价于 |a +2|≥4 ． 由 |a +2|≥4 可得 a ≤−6 或 a ≥2 ，所以 a 的取值范围是 (−∞,−6]∪[2,+∞) ． 【考点】绝对值三角不等式
【解析】【分析】（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为 |x +a|+|x −2|≥4 ，再根据绝对值三角不等式得 |x +a|+|x −2| 最小值，最后解不等式 |a +2|≥4 得 a 的取值范围．。