2019年北京市海淀区首都师大附中中考数学模拟试卷(3月份)(解析版)

2019年北京市海淀区首都师大附中中考数学模拟试卷（3月份）一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．下列各式中的变形，错误的是（（）
A．＝﹣B．＝C．＝D．＝
2．若＝x﹣5，则x的取值范围是（）
A．x＜5B．x≤5C．x≥5D．x＞5
3．在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O 为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为（0，﹣6），则A点的对应点A′坐标为（）
A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）
4．在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24，20，19，20，22，23，20，22．则这组数据中的众数和中位数分别是（）
A．22个、20个B．22个、21个C．20个、21个D．20个、22个
5．如图，从边长为（a+4）的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠、无缝隙），若拼成的长方形一边的长为3，则另一边的长为（）
A．2a+5B．2a+8C．2a+3D．2a+2
6．如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于（）
A．112B．136C．124D．84
7．下列说法错误的是（）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍
8．现用190张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（）
A．B．
C．D．
9．计算（﹣）3的结果是（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D＝65°，则∠BAC等于度．
11．如图，为某年参加国家教育评估的15个国家学生的数学平均成绩（x）的统计图．则图（填“甲”，或“乙”）能更好的说明一半以上国家学生的数学成绩在60≤x＜70之
间．
12．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan ∠EFC＝，则矩形ABCD的周长是．
13．如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．若阴影部分的面积为16π，则弦AB的长为．
14．李老师想从小明、小红、小丽和小亮四个人中用抽签的方式抽取两个人做流动值周生，则小红和小丽同时被抽中的概率是．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝26°，
E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF等于°．
三．解答题（共7小题）
16．先化简再求值：（a﹣）÷，其中a＝1+，b＝1﹣．
17．已知关于x的一元二次方程x2+5x+3﹣3m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为负整数，求此时方程的根．
18．（1）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D，过P作PE⊥AC于点E．设P点运动时间为t．
①当点P在线段AB上运动时，线段DE的长度是否改变？若不改变，求出DE的值；若改变，
请说明理由．
下面给出一种解题的思路，你可以按这一思路解题，也可以选择另外的方法解题．
解：过Q作QF⊥直线AC于点M
∵PE⊥AC于点E，QF⊥直线AC于点M
∴∠AEP＝∠F＝90°
（下面请你完成余下的解题过程）
②当点P在线段AB的延长线上运动时，（1）中的结论是否还成立？请在图2画出图形并说明
理由．
（2）若将（1）中的“腰长为10cm的等腰直角△ABC”改为“边长为a的等边△ABC”时（其余条件不变），则线段DE的长度又如何？（直接写出答案，不需要解题过程）
（3）若将（2）中的“等边△ABC”改为“△ABC”（其余条件不变），请你做出猜想：当△ABC 满足条件时，（2）中的结论仍然成立．（直接写出答案，不需要解题过程）
19．某校学生会向全校3800名学生发起了“献爱心”捐款活动．为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为，图①中m的值是；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数是、众数是和中位数是；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
20．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18＝0的两根，
请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点H，则k＝；
（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B＝30°，延长BA到D，使∠BDC＝30°．（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，求DC的长．
22．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；
（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．
2019年北京市海淀区首都师大附中中考数学模拟试卷（3月
份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．下列各式中的变形，错误的是（（）
A．＝﹣B．＝C．＝D．＝
【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变，可得答案．
【解答】解：A、＝﹣，故A正确；
B、分子、分母同时乘以﹣1，分式的值不发生变化，故B正确；
C、分子、分母同时乘以3，分式的值不发生变化，故C正确；
D、≠，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变．
2．若＝x﹣5，则x的取值范围是（）
A．x＜5B．x≤5C．x≥5D．x＞5
【分析】因为＝﹣a（a≤0），由此性质求得答案即可．
【解答】解：∵＝x﹣5，
∴5﹣x≤0
∴x≥5．
故选：C．
【点评】此题考查二次根式的运算方法：＝a（a≥0），＝﹣a（a≤0）．
3．在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O 为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为（0，﹣6），则A点的对应点A′坐标为（）
A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）
【分析】利用已知对应点的坐标变化规律得出位似比为1：2，则可求A'坐标．
【解答】解：∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且若B（0，3）的对应点B′的坐标为（0，﹣6），
∴OB：OB'＝1：2＝OA：OA'
∵A（1，2），
∴A'（﹣2，﹣4）
故选：A．
【点评】此题主要考查了位似变换与坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键
4．在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24，20，19，20，22，23，20，22．则这组数据中的众数和中位数分别是（）
A．22个、20个B．22个、21个C．20个、21个D．20个、22个
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：在这一组数据中20出现了3次，次数最多，故众数是20；
把数据按从小到大的顺序排列：19，20，20，20，22，22，23，24，
处于这组数据中间位置的数20和22，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是21．故选：C．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
5．如图，从边长为（a+4）的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠、无缝隙），若拼成的长方形一边的长为3，则另一边的长为（）
A．2a+5B．2a+8C．2a+3D．2a+2
【分析】利用已知得出矩形的长分为两段，即AB+AC，即可求出．
【解答】解：如图所示：
由题意可得：
拼成的长方形一边的长为3，另一边的长为：AB+AC＝a+4+a+1＝2a+5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了图形的剪拼，正确理解题意分割矩形成两部分是解题关键．
6．如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于（）
A．112B．136C．124D．84
【分析】由三视图可知该几何体是一个三棱柱，先根据勾股定理得到主视图三角形等边的长，再根据三棱柱的全面积＝2个底面积+3个侧面积，列式计算即可求解．
【解答】解：如图：
由勾股定理＝3，
3×2＝6，
6×4÷2×2+5×7×2+6×7
＝24+70+42
＝136．
故选：B．
【点评】考查了由三视图判断几何体，由三视图求几何体的表面积，关键是由三视图得到数据的
对应量．
7．下列说法错误的是（）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍
【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质分别对四个选项进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故A错误；
B、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故B正确；
C、等腰三角形的两个底角相等，故C正确；
D、等腰三角形顶角的外角是底角的二倍，故D正确，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，牢记有关性质定理是解答本题的关键．
8．现用190张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（）
A．B．
C．D．
【分析】由题意可知：制盒身的铁皮+制盒底的铁皮＝190张；盒底的数量＝盒身数量的2倍．据此可列方程组求解即可．
【解答】解：设x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，由题意得
．
故选：B．
【点评】此题考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，找出题目蕴含的数量关系是正确列出方程组的关键．
9．计算（﹣）3的结果是（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．
【分析】原式分子分母分别立方，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣＝﹣．
故选：C．
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D＝65°，则∠BAC等于25度．
【分析】由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB的度数，又由∠D＝65°，即可求得∠B的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BAC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝65°，∠B与∠D是对的圆周角，
∴∠D＝∠B＝65°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝25°．
故答案为：25．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．
11．如图，为某年参加国家教育评估的15个国家学生的数学平均成绩（x）的统计图．则图乙（填“甲”，或“乙”）能更好的说明一半以上国家学生的数学成绩在60≤x＜70之
间．
【分析】根据扇形统计图和频数直方图的意义选择．
【解答】解：根据扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，
可知学生成绩在60≤x＜70之间的占53.3%，
所以能很好地说明一半以上国家的学生成绩在60≤x＜70之间；
故答案为：乙．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
12．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan ∠EFC＝，则矩形ABCD的周长是36cm．
【分析】根据tan∠EFC＝设CE＝3k，在RT△EFC中可得CF＝4k，EF＝DE＝5k，根据∠BAF ＝∠EFC，利用三角函数的知识求出AF，然后在RT△AEF中利用勾股定理求出k，继而代入可得出答案．
【解答】解：设CE＝3k，则CF＝4k，由勾股定理得EF＝DE＝5k，
∴DC＝AB＝8k，
∵∠AFB+∠BAF＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝，
∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k，
在Rt△AFE中由勾股定理得AE＝＝＝5，
解得：k＝1，
故矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（8k+10k）＝36cm．
【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答，有一定难度．
13．如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．若阴影部分的面积为16π，则弦AB的长为8．
【分析】如图，过O点作OD⊥AB，垂足为D，连接PC，AO，设⊙O的半径为R，⊙P的半径为r，由直线与圆相切的性质可知PC＝r，又OP∥AB，则OD＝PC＝r，阴影部分面积可表示为π（R2﹣r2）＝π（AO2﹣OD2），由已知可求AO2﹣OD2的值，在Rt△AOD中，由勾股定理可求AD，由垂径定理可知AB＝2AD．
【解答】解：如图，过O点作OD⊥AB，垂足为D，连接PC，AO，
设⊙O的半径为R，⊙P的半径为r，
∵AB与⊙P相切于C点，
∴PC⊥AB，PC＝r，
又OP∥AB，
∴OD＝PC＝r，
由已知阴影部分面积为16π，得
π（R2﹣r2）＝16π，即R2﹣r2＝16，
∴AO2﹣OD2＝R2﹣r2＝16，
在Rt△AOD中，由勾股定理得AD2＝AO2﹣OD2＝16，
即AD＝4，
由垂径定理可知AB＝2AD＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，
常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
14．李老师想从小明、小红、小丽和小亮四个人中用抽签的方式抽取两个人做流动值周生，则小红
和小丽同时被抽中的概率是．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小红和小丽同时被抽中的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，小红和小丽同时被抽中的有2种情况，
∴小红和小丽同时被抽中的概率是：＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝26°，
E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF等于51°．
【分析】先根据题意判断出△DEF的形状，由平行线的性质得出∠EFC的度数，再由三角形外角的性质求出∠DFC的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵E、F分别是BC、AC的中点，∠CAD＝∠CAB＝26°，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB，∠EFC＝∠CAB＝26°．
∵AB＝AC，△ACD是直角三角形，点E是斜边AC的中点，
∴DF＝AF＝CF，
∴DF＝EF，∠CAD＝∠ADF＝26°．
∵∠DFC是△AFD的外角，
∴∠DFC＝26°+26°＝52°，
∴∠EFD＝∠EFC+∠DFC＝26°+52°＝78°，
∴∠EDF＝＝51°．
故答案为：51．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
三．解答题（共7小题）
16．先化简再求值：（a﹣）÷，其中a＝1+，b＝1﹣．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【解答】解：当a＝1+，b＝1﹣时，
原式＝•
＝•
＝
＝
＝
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．17．已知关于x的一元二次方程x2+5x+3﹣3m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为负整数，求此时方程的根．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，即可得出△＝13+12m＞0，解之即可得出m的取值范围；
（2）由m为负整数结合（1）结论，即可得出m＝﹣1，将其代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+5x+3﹣3m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝52﹣4×1×（3﹣3m）＝13+12m＞0，
解得：m＞﹣．
（2）∵m为负整数，
∴m＝﹣1，此时原方程为x2+5x+6＝（x+2）（x+3）＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）熟练掌握解一元二次方程的方法．
18．（1）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D，过P作PE⊥AC于点E．设P点运动时间为t．
①当点P在线段AB上运动时，线段DE的长度是否改变？若不改变，求出DE的值；若改变，
请说明理由．
下面给出一种解题的思路，你可以按这一思路解题，也可以选择另外的方法解题．
解：过Q作QF⊥直线AC于点M
∵PE⊥AC于点E，QF⊥直线AC于点M
∴∠AEP＝∠F＝90°
（下面请你完成余下的解题过程）
②当点P在线段AB的延长线上运动时，（1）中的结论是否还成立？请在图2画出图形并说明
理由．
（2）若将（1）中的“腰长为10cm的等腰直角△ABC”改为“边长为a的等边△ABC”时（其余条件不变），则线段DE的长度又如何？（直接写出答案，不需要解题过程）
（3）若将（2）中的“等边△ABC”改为“△ABC”（其余条件不变），请你做出猜想：当△ABC 满足∠A＝∠ACB条件时，（2）中的结论仍然成立．（直接写出答案，不需要解题过程）
【分析】（1）①求出AC的值，过Q作QF⊥AC交AC的延长线于F，根据AP＝CQ＝t和等腰
直角三角形求出AE＝PE＝QF＝CF，根据平行线分线段成比例定理求出DE＝DF，即可求出答案；
②根据AAS证△APE和△CFQ全等，推出CF＝AE，推出AC＝EF即可；
（2）与①证法类似求出DE＝DF，AE＝CF＝EF，推出EF＝AC，代入求出即可；
（3）根据①的结论求出只要∠A＝∠ACB时，就能推出AE＝CF，即可求出答案．
【解答】解：（1）①线段DE的长度不变，
由勾股定理得：AC＝＝10，
过Q作QF⊥AC交AC的延长线于F，
∵∠QCF＝∠ACB＝∠A＝∠EPA＝45°，AP＝CQ＝t，
∴AE＝PE＝QF＝CF，
∵QF⊥AC，PE⊥AC，
∴QF∥PE，
∴＝，
∴DE＝DF＝EF＝（EC+CF）＝（EC+AE）＝AC＝5．
②成立，
理由是：在△AEP和△CFQ中
，
∴△AEP≌△CFQ，
∴AE＝CF，
∴AC＝AE+CE＝CF+CE＝EF，
由①知：DE＝DF＝EF，
∴DE＝AC，
∴成立．
（2）与①证法类似：知DE＝DF，EF＝AC，
∴DE＝a．
（3）当∠A＝∠ACB时，
∵∠DCF＝∠ACB＝∠A，
在△AEP和△CFQ中
，
∴△AEP≌△CFQ，
∴AE＝CF，
∴AE+EC＝CF+EC，
即AC＝EF，
由①知ED＝DF，
∴DE＝AC，
∴故答案为：∠A＝∠ACB．
【点评】本题考查了等边三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，
平行线分线段成比例定理等知识点的运用，主要考查学生运用性质进行推理，能根据证明过程得出证题规律和结果规律是解此题的关键，只要掌握证①的规律，此题就能迎刃而解．
19．某校学生会向全校3800名学生发起了“献爱心”捐款活动．为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为50，图①中m的值是32；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数是16、众数是10和中位数是15；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【分析】（1）根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出m的值即可；
（2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；
（3）根据样本中捐款10元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．【解答】解：（1）根据条形图4+16+12+10+8＝50（人），
m＝100﹣20﹣24﹣16﹣8＝32，
故答案为：50，32；
（2）∵＝（5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）＝16，
∴这组数据的平均数为：16，
∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次，
∴这组数据的众数为：10，
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，
∴这组数据的中位数为：（15+15）＝15；
（3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，
∴由样本数据，估计该校3800名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有3800×32%＝1216，
∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有1216人．
【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
20．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18＝0的两根，请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点H，则k＝；
（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先解方程可得CD和DE的长，根据直角三角形的性质可得∠DCA＝30°，分别计算AC、BD、DM的长，根据菱形面积的两种计算方法可得高OM的长，得D的坐标；
（2）根据（1）中的结论可得B和C的坐标，根据中点坐标公式可得H的坐标，代入反比例函数可得k的值；
（3）分三种情况：①以CF为边时，在CF的上方，②以CF为边，在CF的下方，③以CF为对角线时，分别根据平移规律求点P的坐标．
【解答】解：（1）x2﹣9x+18＝0，
（x﹣3）（x﹣6）＝0，
x＝3或6，
∵CD＞DE，
∴CD＝6，DE＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE＝EC＝＝3，
∴∠DCA＝30°，∠EDC＝60°，
Rt△DEM中，∠DEM＝30°，
∴DM＝DE＝，
∵OM⊥AB，
＝AC•BD＝CD•OM，
∴S
菱形ABCD
∴＝6OM，OM＝3，
∴D（﹣，3）；
（2）∵OB＝DM＝，CM＝6﹣＝，
∴B（，0），C（，3），
∵H是BC的中点，
∴H（3，），
∴k＝3×＝；
故答案为：；
（3）①∵DC＝BC，∠DCB＝60°，
∴△DCB是等边三角形，
∵H是BC的中点，
∴DH⊥BC，
∴当Q与B重合时，如图1，四边形CFQP是平行四边形，∵FC＝FB，
∴∠FCB＝∠FBC＝30°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝120°﹣30°＝90°，
∴AB⊥BF，CP⊥AB，
Rt△ABF中，∠FAB＝30°，AB＝6，
∴FB＝2＝CP，
∴P（，）；
②如图2，∵四边形QPFC是平行四边形，
∴CQ∥PH，
由①知：PH⊥BC，
∴CQ⊥BC，
Rt△QBC中，BC＝6，∠QBC＝60°，
∴∠BQC＝30°，
∴CQ＝6，
连接QA，
∵AE＝EC，QE⊥AC，
∴QA＝QC＝6，
∴∠QAC＝∠QCA＝60°，∠CAB＝30°，
∴∠QAB＝90°，
∴Q（﹣，6），
由①知：F（，2），
由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P（﹣﹣3，6﹣），即P（﹣，5）；
③如图3，四边形CQFP是平行四边形，
同理知：Q（﹣，6），F（，2），C（，3），
∴P（，﹣）；
综上所述，点P的坐标为：（，）或（﹣，5）或（，﹣）．
【点评】本题是四边形和函数的综合题，考查了菱形的性质、坐标与图形特点、平移规律、等边三边形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，本题有难度，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求Q的坐标来求P的坐标，根据平移规律得出结果．
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B＝30°，延长BA到D，使∠BDC＝30°．（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，求DC的长．
【分析】（1）根据切线的判定方法，只需证CD⊥OC．所以连接OC，证∠OCD＝90°．（2）易求半径OC的长．在Rt△OCD中，运用三角函数求CD．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵OB＝OC，∠B＝30°，
∴∠OCB＝∠B＝30°．
∴∠COD＝∠B+∠OCB＝60°．（1分）
∵∠BDC＝30°，
∴∠BDC+∠COD＝90°，DC⊥OC．（2分）
∵BC是弦，
∴点C在⊙O上，
∴DC是⊙O的切线，点C是⊙O的切点．
（2）解：∵AB＝2，
∴OC＝OB＝＝1．（4分）
∵在Rt△COD中，∠OCD＝90°，∠D＝30°，
∴DC＝OC＝．（5分）
【点评】本题考查了切线的判定，证明经过圆上一点的直线是圆的切线，常作的辅助线是连接圆心和该点，证明直线和该半径垂直．
22．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；
（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．
【分析】（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2，抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，把B点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）分AB＝AC、AB＝BC、AC＝BC，三种情况求解即可；
＝•PH•x B，即可求解．
（3）由S
△PAB
【解答】解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2…①，
抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，
把B点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…②，
联立①、②解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，
当x＝2时，y＝﹣，即顶点D的坐标为（2，﹣）；
（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB＝13，
①当AB＝AC时，设点C坐标（m，0），
则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4，
即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；
②当AB＝BC时，设点C坐标（m，0），
则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5，
即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0），
③当AC＝BC时，设点C坐标（m，0），
则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点，
则点C坐标为（，0），
故：存在，
点C的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（5，0）或（5﹣2，0）或（，0）；
（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设：AB所在的直线过点A（0，﹣3），则设直线AB的表达式为y＝kx﹣3，
把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k＝，
故函数的表达式为：y＝x﹣3，
设：点P坐标为（m，m2﹣m﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），
S
＝•PH•x B＝（﹣m2+12m），
△PAB
取得最大值为：，
当m＝2.5时，S
△PAB
答：△PAB的面积最大值为．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。