高考数学压轴专题人教版备战高考《函数与导数》全集汇编及答案

【最新】数学《函数与导数》专题解析(1)
一、选择题
1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛
⎫=++<< ⎪+++-⎝
⎭的最小值为
（ ） A
B
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】
2
2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos
1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x +++-+++=
++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x
x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=
+=⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛
⎫=
+<< ⎪⎝
⎭， 322222
21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '
'
'
--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 令()cos 0,1t x =∈，()
32
61g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 所以当03
x π
<<时，
()1
1,02
t g t <<<，从而()'0f x <； 当
3
2
x π
π
<<
时，()1
0,02
t g t <<
>，从而()'0f x >. 故(
)min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
2．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1
x =-
处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+
C ．y x =
D ．2y x =-
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程. 【详解】
因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，
(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.
3．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7 B ．4
C ．0
D ．﹣4
【答案】A 【解析】
()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处
的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，
()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．
4．已知函数()3
2
f x x x x a =--+，若曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，则实数a
的取值范围为（ ） A ．11,27⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
B ．()
1,+?
C ．5,127⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．11,127⎛⎫
-
⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
根据曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()3
2
g x x x x =-++与y a =的
图象有三个不同的交点，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】
Q 函数()32f x x x x a =--+与x 轴有三个不同交点，
可转化为函数()3
2
g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点.
又()2
321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-Q ，
∴在1,,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '<；在1,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭上，()0g x '>.
∴()15327g x g ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
极小值，()()11g x g ==极大值，
5
127a ∴-
<<. 故选：C 【点睛】
本题考查函数的零点及导数与极值的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.
5．函数22cos x x
y x x
--=-的图像大致为（ ）. A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法: 由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫
-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
排除选项D ； 根据特殊值502
f π
⎛⎫
>
⎪⎝⎭
排除选项C;
由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】
对于选项D:由题意可得, 令函数()
f x = 22cos x x
y x x
--=-,
则5522
52252
2
f ππππ-
-⎛⎫-= ⎪⎝⎭
,552
2
52252
2
f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭
;
即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫
-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.故选项D 排除; 对于选项C ：因为552
2
522052
2
f πππ
π-
-⎛⎫=> ⎪⎝⎭
,故选项C 排除;
对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时
()0f x <.故选项B 排除;
故选项:A 【点睛】
本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
6．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．
16
B ．
13
C ．
12
D ．
56
【答案】A 【解析】
曲线2
y x =与直线y x =的交点坐标为()()0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2
y x
=与直线y x =所围成的封闭图形的面积为
()1
2
23100
111|236x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ ，故选A.
7．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ） A ．1
(1,)2
- B ．1(,1)(,)2
-∞-+∞U C ．1(,1)2-
D ．1(,)(1,)2
-∞-⋃+∞
【答案】B 【解析】
【分析】
判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()
()2
210f x f x -+>化为
221x x ->-，求出解集即可．
【详解】
解：函数()sin2x
x
f x e e
x -=-+，定义域为R ，
且满足()()sin 2x
x f x e
e x --=-+- ()()sin2x x e e x
f x -=--+=-，
∴()f x 为R 上的奇函数； 又()'2cos222cos20x
x
f x e e
x x x -=++≥+≥恒成立，
∴()f x 为R 上的单调增函数；
又()
()2210f x f x -+>，
得()()()2
21f x
f x f x ->-=-，
∴221x x ->-， 即2210x x +->， 解得1x <-或12
x >
， 所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
． 故选B ． 【点睛】
本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．
8．函数()x
e f x x
=的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
函数()x
e f x x
=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；
当0x >时，()0f x >，且()2
(1)'x
x e f x x
-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；
当0x <时，函数()0x
e f x x
=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．
点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ） A ．()()()0.6
33log 132f f f -<-<
B ．()()()0.6
332log 13f f f -<<-
C ．()()()0.6
3
2
log 133f f f <-<- D ．()()()0.6
3
2
3log 13f f f <-<
【答案】C 【解析】 【分析】
利用指数函数和对数函数单调性可得到0.6
32log 133<<，结合单调性和偶函数的性质可
得大小关系. 【详解】
()f x Q 为R 上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，
0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增，
()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.
故选：C . 【点睛】
本题考查函数值大小关系的比较，关键是能够利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间内，由自变量的大小关系，利用函数单调性即可得到函数值的大小关系.
10．[]()x a,b ,f x m ∀∈≥恒成立，等价于[]
()x a,b ,[f x ]m min ∈≥
11．已知函数()0,1
ln ,1x f x x x <⎧=⎨
≥⎩
，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实
数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞
C ．[)0,1
D ．(]1,0-
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数
()0,1
ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩
和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】
当1x ≥时，()'
'1
ln ,()(1)1f x x f x f x
=⇒=
⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .
在同一直角坐标系内画出函数()0,1
ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩
和()g x x k =-的图象如下图的所示：
利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】
本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.
12．函数()||()a
f x x a R x
=-
∈的图象不可能是( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
变成分段函数后分段求导，通过对a 分类讨论，得到函数的单调性，根据单调性结合四个选项可得答案. 【详解】
,0(),0a x x x f x a x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩,∴221,0()1,0a x x
f x a x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎩
'⎪.
(1)当0a =时,,0
(),0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩,图象为A;
(2)当0a >时,210a
x
+>,∴()f x 在(0,)+∞上单调递增,
令210a
x
-+=
得x =
∴当x <,210a
x -+<,
当0x <<时,210a
x
-+>,
∴()f x
在(,-∞上单调递减,
在(上单调递增,图象为D; (3)当0a <时,210a
x
-+<,∴()f x 在(,0)-∞上单调递减, 令210a
x
+
=
得x =
∴当x >时,210a
x +>,
当0x <<,210a
x
+<,
∴()f x
在上单调递减,
在)+∞上单调递增,图象为B; 故选：C. 【点睛】
本题考查了分段函数的图像的识别，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
13．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>
C ．b a c >>
D ．c a b >>
【答案】B 【解析】
试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；
7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，
故正确答案为选项B ．
考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．
14．已知函数()()2f x x +∈R 为奇函数，且函数()y f x =的图象关于直线1x =对
称，当[]0,1x ∈时，()2020x
f x =，则()2020f =（ ） A ．2020 B ．12020
C ．11010
D ．0
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，由函数()f x 的对称性可得()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，进而可得()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得
()()20200f f =，由函数的解析式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数()2f x +为奇函数，即函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则有
()()4f x f x -=-+，
函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则()()2f x f x -=+， 变形可得：()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-， 则有()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，
()()()20200505400f f f ∴=+⨯==；
故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，难度一般.一般地，若一个奇函数有对称轴（或一个偶函数有对称中心），可分析出函数具有周期性.
15．已知ln 3ln 4ln ,,34a b e c e
===（e
是自然对数的底数），则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
根据ln 3ln 4ln ,,34a b e c e
=
==的结构特点，令()ln x f x x =，求导
()2
1ln x
f x x
-'=，可得()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减，再利用单调性求解. 【详解】
令()ln x f x x
=， 所以()21ln x f x x -'=
， 当0x e <<时， ()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，
所以()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减.
因为34e <<，
所以 ()()()34>>f e f f ，
即b a c <<.
故选：C
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性比较大小，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
16．已知定义在R 上的函数(f x ），其导函数为()f x '，若()()3f x f x '-<-，()04f =，则不等式()3x f x e >+的解集是（ ）
A ．(),1-∞
B ．(),0-∞
C ．()0,+∞
D ．()1,+∞ 【答案】B
【解析】
不等式()3x f x e >+得()
()3311x x x
f x f x e e e ->+∴>， ()()()()()33
0x x f x f x f x g x g x e e --+=∴='<'设， 所以()g x 在R 上是减函数，因为()()()4301001
g g x g x -=
=∴>∴<． 故选B ． 点睛：本题的难点在于解题的思路． 已知条件和探究的问题看起来好像没有分析联系，这里主要利用了分析法，通过分析构造函数，利用导数的知识解答．
17．已知函数()2
814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）
A ．-4
B ．-3
C ．-2
D ．-1
【答案】C
【解析】
【分析】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为
()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.
【详解】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，
得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞
当43a --≤≤ 时，()21f x -＃-，
此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.
当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
即28142a a ++≤，得62a -≤≤-
所以a 的最大值为2-.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.
18．已知()2ln33,33ln3,ln3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．a b c << 【答案】B
【解析】
【分析】
根据,,a b c 与中间值3和6的大小关系，即可得到本题答案.
【详解】 因为323e e <<，所以31ln 32<<
， 则3
ln3223336,33ln 36,(ln 3)3a b c <=<=<=+>=<，
所以c a b <<.
故选：B
【点睛】
本题主要考查利用中间值比较几个式子的大小关系，属基础题.
19．如图，对应此函数图象的函数可能是( )
A ．21(1)2x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
B ．22(1)x y x =-
C ．ln y x =
D ．1x y xe =-
【答案】B
【解析】
【分析】 观察图象，从函数的定义域，零点，以及零点个数，特征函数值判断，排除选项，得到正确答案.
【详解】
由图象可知当0x =时，1y =-，C 不满足；
当1x =时，0y =，D 不满足条件；
A.由函数性质可知当2x =-时，()2141122y -⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭
，显然A 不成立； 而B 都成立.
故选：B
【点睛】
本题考查根据函数图象，判断函数的解析式，重点考查函数性质的判断，包含函数的定义域，函数零点，零点个数，单调性，特殊值，等信息排除选项，本题属于中档题型.
20．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则
32(2)a f =,3
1(log )27b f =，2)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
【答案】C
【解析】
【分析】 利用导数判断3
()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.
【详解】 Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，
31(log )(3)(3)27
b f f f ∴==-=， 3
2023<<=<Q ，
当0x ≥，'2
()330f x x =+>恒成立，
∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，
3
231(log )(2)27
f f f ∴>>，即b a c >>. 故选：C.
【点睛】 本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.。