江苏东海高级中学2019高三上学期年中考试-数学理

江苏东海高级中学2019高三上学期年中考试-数学理
【一】填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分、请将答案填入答题纸填空题的相
应答题线上、〕
1.假设集合2{|0}M x x x =-≤，函数2()log (1||)f x x =-的定义域为N ，那么M
N =
▲ . 2. 将函数
)
63cos(2)(π+=x x f 的图象向左平移4
π个单位，再向下平移1个单位，得到函数
)(x g 的图象，那么)(x g 的解析式为 ▲ .
3. 向量a 与b 的夹角为3
π，2||=a ，那么a 在b 方向上的投影为 ▲ .
①假设平面α上的直线m 与平面β上的直线n 为异面直线，直线l 是α与β的交线，那么
l 至多与m ，n 中的一条相交；
②假设直线m 与n 异面，直线n 与l 异面，那么直线m 与l 异面；
③一定存在平面γ同时与异面直线m ，n 都平行、
5.函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R x ∈，)('x f ＞2，那么)(x f ＞x 24+的解集为_▲、
6.在锐角ABC ∆中，假设B A 2=，那么b
a 的取值范围是▲.
7.向量，的夹角为45°，且
1||=，10
|2|=-，那么
|
|=____▲______、
8.如图，在正方体111
1
ABCD A B C D -中，给出以下四个结论：
①1D C ∥平面11A ABB ；②11A D 与平面1BCD 相交；③AD ⊥平
面1D DB ；④平面1BCD ⊥平面11A ABB 、 其中正确结论的序号是▲、 9.设定义在区间
(),b b -上的函数()1lg 12ax f x x
+=-是奇函数
(),,2a b R a ∈≠-且，那么b
a
的取值范围是▲.
10.O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心，且A θ∠=，假设cos cos sin sin B
C AB AC C B
+=2mAO ，
A
B C
D D 1
A 1
B 1
C 1
那么m =▲、〔用θ表示〕
11.正三棱锥S ABC -中，2BC =
，SB =
D E 、分别是棱SA SB 、上的点，Q 为边
AB 的中点，SQ CDE ⊥平面，那么三角形CDE 的面积为______▲_______、
12.假设函数)0(22≠-=a ax ax y 在区间]3,0[上有最大值3，那么a 的值是▲. 13.设A 是自然数集的一个非空子集，关于k A ∈,假如2k A ∉
A ,那么k 是A 的一个“酷元”，给定
{}
2lg(36)
S x N y x =∈=-，设集合M 由集合S 中的两个元素构成，
且集合M 中的两个元素基本上“酷元”，那么如此的集合M 有▲. 14.某同学为研究函数
(
)
()
01f x x =≤≤的性质，
构造了如下图的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上
的一个动点，设CP x =，那么
()f
x AP PF
=
+、那么可推知函数
()()511g x f x =-的零点的个数是▲.
【二】解答题
15.(此题总分值14分)集合
}
145|{2--==x x y x A ，集合
)}127lg(|{2---==x x y x B ，
集合}121|{-≤≤+=m x m x C . 〔1〕求A
B ；
〔2〕假设A C A = ，求实数m 的取值范围.
16、(此题总分值14分)在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，且满足
224a b ab +=+，
3
C π=
.
〔1〕
2
A π≠
时，假设sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积；
〔2〕求
ABC △.
17.(此题总分值15分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60︒，AB ＝2，PA ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是
AB的中点、
〔1〕求证：BE∥平面PDF；
〔2〕求证：平面PDF⊥平面PAB；
〔3〕求三棱锥P－DEF的体积、
18.(此题总分值15分)如图，在边长为1的正三角形ABC中，,E F分别是边,
AB AC上的点，
假设,
AE mAB AF nAC
==，,(0,1)
m n∈、设EF的中点为M，BC
的中点为N、
⑴假设,,
A M N三点共线，求证m n
=；
⑵假设1
m n
+=，求||
MN的最小值.
19.〔此题总分值16分〕A、B、C为△ABC的三个内角，设22
(,)sin2cos2
f A B A B
=+
2cos22
A B
-+.
〔1〕当(,)
f A B取得最小值时，求C的大小；
〔2〕当
2
Cπ
=
时，记()(,)
h A f A B
=，试求()
h A的表达式及定义域；
〔3〕在〔2〕的条件下，是否存在向量p，使得函数()
h A的图象按向量p平移后得
到函数()2cos2
g A A
=的图象？假设存在，求出向量p的坐标；假设不存在，请说明理由.
20、〔此题总分值16分〕函数
a
x
a
x
ax
x
x
f
a
x
x<
≥
⎩
⎨
⎧
⨯
-
+
-
=
-,
,
2
4
4
1
)
(
2
.
〔1〕假设a
x<时,1
)
(<
x
f恒成立，求实数a的取值范围；
〔2〕假设4-
≥
a时，函数)
(x
f在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围.
试题答案
【一】填空题
1.[0,1)；
2.
1
)
4
3
cos(
2
)
(-
+
=
π
x
x
g
；3.
2
2；4.③；5.)
,1
(+∞
-；6.)3
,2
(；
7.2
3；8.①④；9.(；10.sinθ；；12.1或3-；13.5个；
14.0.
【二】解答题
15.解：(1)∵)
,7[
]2
,
(+∞
-
-∞
=
A，
A
B C
E
F
M
N
)3,4(--=B ，………………………………………………4分
∴)3,4(--=B A .………………………………………………6分 (2)∵A C A =
∴A C ⊆.………………………………………………8分
①φ=C ,112+<-m m ,∴2<m .……………………………………9分
②φ≠C ,那么
⎩⎨
⎧
-≤-≥2
122
m m 或
⎩⎨
⎧≥+≥7
12m m .……………………………12分
∴6≥m .………………………………………………13分 综上，2<m 或6≥m …………………………14分
16.解：〔1〕由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，
即sin cos 2sin cos B A A A =，
由cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，…………3分 联立方程组
2242a b ab b a ⎧+=+⎨
=⎩，
，
解得
a =
b =
因此ABC △
的面积
1sin 2S ab C ==
、…………7分
〔2〕假设ABC △
，那么1
sin 2
ab C =4ab =、
联立方程组
2244a b ab ab ⎧+=+⎨
=⎩，
，
解得2a =，2b =，即A B =，又
3
C π=
，
故如今ABC △为正三角形，故2c =
ABC ∆是边长为2的正三角形。

…………11分
反之假设ABC ∆是边长为2。

故ABC △
的一个充要条件是：ABC ∆是边长为2的正三角形.……14分 17.(1〕证明：取PD 的中点为M ，连结ME ，MF ，因为E 是PC 的中点，因此ME 是△PCD 的中
位线、因此ME ∥CD ，ME ＝1
2
CD
、又因为F 是AB 的中点，且由于ABCD 是菱形，AB ∥CD ，AB
＝CD ，因此ME ∥FB ，且ME ＝FB 、因此四边形MEBF 是平行四边形，因此BE ∥MF 、 连结BD ，因为BE ⊄平面PDF ，MF ⊂平面PDF ，因此BE ∥平面PDF 、…………5分 〔2〕证明：因为PA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，因此DF ⊥PA 、 连结BD ，因为底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60︒，因此△DAB 为正三角形、
因为F 是AB 的中点，因此DF ⊥AB 、
因为PA ，AB 是平面PAB 内的两条相交直线，因此DF ⊥平面PAB 、
因为DF ⊂平面PDF ，因此平面PDF ⊥平面PAB 、…………………………10分
〔3〕解：因为E 是PC 的中点，因此点P 到平面EFD 的距离与点C 到平面EFD 的距离相等，故P DEF
V -＝C DEF
V -＝E DFC
V -，又D F C
S ∆＝12
×2
，E 到平面DFC 的距离h ＝12
PA
＝
12，因此E DFC V -＝13
×12
、……………………………………15分 18.解：⑴由,,A M N 三点共线，得//AM AN ，………2分 设
()
AM AN λλ=∈R ，即1
1
()()22
AE AF AB AC λ+=+，………4分 因此()mAB nAC AB AC λ+=+，因此m n =、…………………………7分 ⑵因为MN AN AM =-＝11()()22AB AC AE AF +-+11
(1)(1)22m AB n AC =-+-， 又1m n +=，因此
11
(1)22
MN m AB mAC
=-+，…………………………11分 因此
2222
2111||(1)(1)442
MN m AB m AC m mAB AC
=-++- ＝2
221
11113(1)(1)()4444216
m m m m m -++-=-+
故当
12m =
时，min ||MN =
、…………………………15分 19.解：〔1〕配方得f (A ，B )=(sin2A
2
)2+(cos2B -12
)2+1，
∴[f (A ，B )]min =1,
当且仅当
sin 22
1cos 22
A B ==⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
时取得最小值.
在△ABC
中，
,,sin 26321.
cos 2662
A A A
B B B ππππ===⇔===⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨
⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩或故C =23
π或2
π.…………6分
〔2〕
2C π=
⇔A +B =2
π，因此h 〔A
〕＝22(,)sin 2cos 22cos 22f A B A B A B =+-+
2
2
sin 2cos 22cos 22
22A A A A ππ=+---+⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
＝cos2A
2A ＋3
=2cos(2A +3
π)+3.∵A +B =2
π，∴
02
A π<<
.…………11分
〔3〕∵函数h 〔A 〕在区间
0,3π⎛⎤
⎥⎝⎦
上是减函数，在区间
,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣
⎭上是增函数；而函数
()2cos 2g A A =在区间0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上是减函数. ∴函数h 〔A 〕的图象与函数()2cos 2g A A =的图象不相同，从而不存在满足条件的 向量p .…………16分
20.解:〔1〕因为a x <时,a x x x f -⨯-=244)(，因此令t x =2,那么有a t 20<<,因此
1)(<x f 当a x <时恒成立，可转化为
1
2
42
<⨯-a t
t ， 即t t a
124
-
>在)2,0(a t ∈上恒成立,--------------------------------------2分. 令
)2,0(,1)(a
t t t t g ∈-=,那么0
11)('2>+=t
t g ，------------------------------3分. 因此
t t t g 1)(-
=在)2,0(a 上单调递增,-------------4分.
因此
a a
a
g t g 212)2()(-=<,因此有:a
a
a
2
1224-≥. a a 22
5≥⇒5)2(2
≤⇒a 52≤⇒a -----------------------------------------5分. 5log 2≤⇒a .----------------------------6分.
〔2〕当a x ≥时，1)(2+-=ax x x f ，即
4
1)2()(22a a x x f -
+-=,----------7分.
①当0
2
≥⇔≤a a a
时，如今对称轴在区间左侧,开口向上,因此)(x f 在),[+∞a 单调递增,
因此1)()(min ==a f x f ；-------------------------------------------------8分.
②当0
42
<≤-⇔>a a a
时,如今对称轴在区间内,开口向上,因此)(x f 在
)2
,[a a 单调递减, 在),2
(+∞a
单调递增,因此
4
1)2()(2min
a a f x f -
==. 因此由①②可得:当a x ≥时有:
⎪⎩⎪
⎨⎧≥<≤--=0,
104,41)(2
min
a a a x f .---------------------9
分. 当
a
x <时，
a
x x x f -⨯-=244)(,令
t
x =2,
)
2,0(a t ∈，那么
a
a a t t t t h 4
4)22(24)(22
--=-=,
③当
212222202>⇔>⇔<<a a
a a 时，)(t h 在)22,0(a 单调递减，在)
2,22(a a 上单调递增
a
a h t h 44)22()(min
-==；---------------------------------------10分.
④
当
21222222≤
⇔≤⇔≥a a a a
时
，
)
(t h 在
)
2,0(a 单调递
减,)0,44())0(),2(()(-=∈a a h h t h 因
此
,
如
今
,
)
(t h 在
)
2,0(a 上无最小
值;---------------------------------------------11分. 因此由③④可得当a x <时有:当
21>a 时,a
t h x f 4
4)()(min min -==; 当
2
1≤
a 时,无最小值.------------------------------12分.
因此,由①②③④可得:
当
21>a 时，因为144<-a ,因此函数a
x f 4
4)(m in -=;---------------------------13
分. 当
2
10≤
≤a 时，因为
1
044<<-a ，函数
)
(x f 无最小
值;--------------------------------14分. 当
4<≤-a 时，
4
13442
a a
-
≤-<-，函数
)
(x f 无最小
值.-------------------------15分. 综上所述，当
21>a 时，函数)(x f 有最小值为a 4
4-；当214≤
≤-a 时，函数)(x f 无最小值、
因此函数)(x f 在实数集R 上有最小值时，实数a 的取值范围为)
,2
1(+∞.---------16分.。