考研数学三(微积分)模拟试卷202(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）模拟试卷202(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)=∫0xdt∫0ttln(1+u2)du，g(x)=∫0sinx2(1－cost)dt，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．
A．低阶无穷小
B．高阶无穷小
C．等价无穷小
D．同阶但非等价的无穷小
正确答案：A
解析：得m=6且g(x)～x6，故x→0时，f(x)是g(x)的低阶无穷小，选A．知识模块：函数、极限、连续
2．f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是( )．
A．f(x)，g(x)在x0处都可导
B．f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导
C．f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导
D．f(x)，g(x)在x0处都可能不可导
正确答案：D
解析：令显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡－1在任何一点都可导，选
D．知识模块：一元函数微分学
3．设函数f(x)满足关系f’’(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，则( )．
A．f(0)是f(x)的极小值
B．f(0)是f(x)的极大值
C．(0，f(0))是y=f(x)的拐点
D．(0，f(0))不是y=f(x)的拐点
正确答案：C
解析：由f’(0)=0得f’’(0)=0，f’’(x)=1－2f’(x)f’’(x)，f’(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f’’’(x)＞0，再由f’’(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选
C．知识模块：一元函数微分学
填空题
4．设f’(x)连续，x(0)=0，f’(0)=1，则=______．
正确答案：0
解析：∫0xlncos(x－t)dt=－∫0xlncos(x－t)d(x－t)=一∫x0lncosudu=∫0xlncosudu，知识模块：函数、极限、连续
5．设y=y(x)由yexy+xcosx－1=0确定，求dy｜x=0=______．
正确答案：－2dx
解析：当x=0时，y=1，将yexy+xcosx－1=0两边对x求导得将x=0，y=1代入上式得故dy｜x=0=－2dx．知识模块：一元函数微分学
6．______．
正确答案：
解析：知识模块：一元函数积分学
7．设则a=______．
正确答案：ln2
解析：故a=ln2．知识模块：一元函数积分学
8．微分方程的通解为______．
正确答案：lnx+C
解析：知识模块：常微分方程与差分方程
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9．求
正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续
10．求的间断点并判断其类型．
正确答案：f(x)的间断点为x=0，－1，－2，…及x=1．当x=0时，则x=0为函数f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点．当x=－1时，则x=－1为f(x)的第一类间断点中的可去间断点．当x=k(k=－2，－3，…)时，则x=k(k=－2，－3，…)为函数f(x)的第二类间断点．当x=1时，因为不存在，所以x=1为f(x)的第二类间断点．涉及知识点：函数、极限、连续
11．设求a，b的值．
正确答案：ln(1+x)－(ax+bx2)=x－+o(x2)－(ax+bx2)=(1－a)x－(b+)x2+o(x2)由得∫0x2e－t2dt～x2，于是故a=1，b=－2．涉及知识点：函数、极限、
连续
设f(x)在(－1，1)内二阶连续可导，且f’’(x)≠0．证明：
12．对(－1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)E(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；
正确答案：对任意x∈(－1，1)，根据微分中值定理，得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．因为f’’(x)∈C(－1，1)且f’’(x)≠0，所以f’’(x)在(－1，1)内保号，不妨设f’’(x)＞0，则f’(x)在(－1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．涉及知识点：一元函数微分学
13．
正确答案：由泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+x2，其中ξ介于0与x之间，而f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，所以有令x→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得涉及知识点：一元函数微分学
14．证明：当x＞0时，(x2－1)lnx≥(x－1)2．
正确答案：令φ(x)=(x2－1)lnx－(x－1)2，φ(1)=0．φ’(x)=2x lnx－x+2－φ’(1)=0．φ’’(x)=21nx+1+φ’’(1)=2＞0．故x=1为φ’’(x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为φ’’(1)=2v0，故φ’’(x)＞0(x＞0)．由故x=1为φ(x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为φ(1)=0，所以x＞0时，φ(x)≥0，即(x2－1)lnx≥(x－1)2．涉及知识点：一元函数微分学
15．设f(x)二阶连续可导且f(0)=f’(0)=0，f’’(x)＞0．曲线y=f(x)上任一点(x，f(x))(x≠0)处作切线，此切线在x轴上的截距为u，求
正确答案：曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线方程为Y－f(x)=f’(x)(X－x)，令Y=0得由泰勒公式得f(u)=f’‘(ξ1)u2其中ξ1介于0与u之间，f(x)=f’‘(ξ2)x2其中ξ2介于0与x之间，于是涉及知识点：一元函数微分学
16．设f(x)连续，且f(x)=2∫0xf(x－t)dt+ex，求f(x)．
正确答案：∫0xf(x－t)dt∫0xf(u)(－du)=∫0xf(u)du，则f(x)=(∫ex．e∫－2dxdx+C)e－∫－2dx=Ce2x－ex，因为f(0)=1，所以C=2，故f(x)=2e2x－ex．涉及知识点：一元函数积分学
17．设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：
正确答案：因为f(x)在[a，b]上连续，所以｜f(x)｜在[a，b]上连续，令根据积分中值定理，∫abf(x)dx=f(ξ)，其中ξ∈[a，b]．由积分基本定理，f(c)=f(ξ)+
∫ξcf’(x)dx，取绝对值得｜f(c)｜≤｜f(ξ)｜+｜∫ξcf’(x)dx｜≤｜f(ξ)｜+∫ab｜f’(x)｜dx，即涉及知识点：一元函数积分学
18．设f(x)在[a，b]上连续，且对任意的t∈[0，1]及任意的x1，x2∈[a，b]满足：f[tx1+(1－t)x2]≤tf(x1)+(1－t)f(x2)．证明：
正确答案：因为∫abf(x)dx(b－a)∫01f[at+(1－t)b]dt≤(b－a)[f(a)∫01tdt+f(b)∫01(1－t)dt=所以涉及知识点：一元函数积分学
19．某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为p1，p2，销售量分别为q1，q2，需求函数分别为q1=24－0．2p1，q2=10—0．05p2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?
正确答案：p1=120—5q1，p2=200－20q2，收入函数为R=p1q1+p2q2，总利润函数为L=R－C=(120－5q1)q1+(200－20q2)q2－[35+40(q1+q2)]，由得q1=8，q2=4，从而p1=80，p2=120，L(8，4)=605，由实际问题的意义知，当1p=80，p2=120时，厂家获得的利润最大，最大利润为605．涉及知识点：多元函数微分学
20．设f(x)连续，且f(0)=1，令F(t)=f(x2+y2)dx dy(t≥0)，求F’’(0)．
正确答案：由F(t)=∫02πdθ∫0trf(r2)dr=2∫0trf(r2)dr=π∫0t2f(u)du，得F’(t)=2πtf(t2)，F’(0)=0，涉及知识点：重积分
21．设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D为区域a≤x≤b，a≤y≤b．证明：
正确答案：因为积分区域关于直线y=x对称，涉及知识点：重积分
22．设中，哪个级数一定收敛?
正确答案：(－1)nan不一定收敛，如发散；不一定收敛，如不一定收敛，如一定收敛．由一定收敛．涉及知识点：级数
23．设f(x)在区间[a，b]上满足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un=f(un －1)(n=1，2，…)，u0∈[a，b]，证明：级数绝对收敛．
正确答案：由｜un+1－un｜=｜f(un)－f(un－1)｜=｜f’(ξ1)｜｜un－un－1｜≤q｜un－un－1｜≤q2｜un－1－un－2｜≤…≤qn｜u1－u0｜且绝对收敛．涉及知识点：级数
设f(x)的一个原函数为F(x)，且F(x)为方程xy’+y=ex的满足的解．
24．求F(x)关于x的幂级数；
正确答案：由xy’+y=ex得解得因为所以C=－1，于是涉及知识点：级数
25．求的和．
正确答案：涉及知识点：级数
26．设求f(x)．
正确答案：由得f(1)=0，f’ (1)=2，令或rf’’(r)+f’(r)=0，解得rf’(r)=C1，由f’(1)=2得C1=2，于是f(r)=lnr2+C2，由f(1)=0得C2=0，所以f(x)=lnx2．涉及知识点：常微分方程与差分方程
27．设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．
正确答案：对曲线L1，由题意得解得y=x(2x+C1)，因为曲线L1过点(1，1)，所以C1=－1，故L1：y=2x2－x．对曲线L2，由题意得因为曲线L2过点(1，1)，所以C1=－1，故由得两条曲线的交点为及(1，1)，故两条曲线所围成区域的面积为涉及知识点：常微分方程与差分方程
28．设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e －x=0，求f(x)．
正确答案：因为x∫01f(tx)dt=∫0xf(u)du，所以f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e－x=0可化为f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2∫0xf(t)dt+e－x=0，两边对x求导得f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=e－x，由λ2+3λ+2=0得λ1=－1，λ2=－2，则方程f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C1e－x+C2e－2x．令f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=e－x的一个特解为y0=axe－x，代入得a=1，则原方程的通解为f(x)=C1e－x+C2e－2x+xe －x．由f(0)=1，f’(0)=－1得C1=0，C2=1，故原方程的解为f(x)=e－2x+xe－x．涉及知识点：常微分方程与差分方程。