兰州铁一中数学高三上期中经典练习卷(专题培优)

一、选择题
1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则2
1
f f ＝ A
．B
C
D
2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1
22n n S λ+=+，则λ的值是( )
A ．4
B ．2
C ．2-
D ．4-
3．已知关于x 的不等式()22
4300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212
a x x x x ++
的最大值是（ ） A
B
C
D
．3
-
4．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若
(){}n
f a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()()
,00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3
f x x =；
②()x
f x e =；
③(
)f x =
④()ln f x x =
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
5．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）
A ．4
y x x
=+
B
．2y =
C ．4x x y e e -=+
D ．4
sin (0)sin y x x x
π=+
<< 6．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则3x y -的最小值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
7．关于x 的不等式()2
10x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是
（ ）
A ．[)(]3,24,5--⋃
B ．()()3,24,5--⋃
C ．(]4,5
D ．（4,5）
8．若ABC 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=,2ABC
S =,则b =（ ）
A ．5
B ．25
C ．41
D ．52
9．20
,{0,0x y z x y x y x y y k
+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）
A ．0
B ．-1
C ．-2
D ．-3
10．已知：0x >，0y >，且211x y
+=，若2
22x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值
范围是（ ） A ．()4,2- B ．(]
[),42,-∞-+∞
C ．()
2,4-
D ．(][),24,-∞-⋃+∞
11．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3
n
n 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89
B ．23
C ．
6481
D ．
125
243
12．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9
B ．27
C ．54
D ．81
13．在数列{}n a 中，12a =，11
ln(1)n n a a n +=++，则n a =
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++
14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，43a
=，
4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒
D ．60B =︒
15．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1
{3
(3)
x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=
A ．
B ．
C ．1
D ．2
二、填空题
16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.
17．设数列{}(
)1,n a n n N
*
≥∈满足1
22,6a
a ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若
[]x 表示不超过x 的最大整数，则12
2019
20192019
2019
[
]a a a +++
=____________． 18．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n n
n N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）
19．若数列{}n a 通项公式是12,12
3,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞
=______. 20．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,
()22,1,x
x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩
若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________
21．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．
22．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,
{1
ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．
23．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有
22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．
24．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪
+-≥⎨⎪+≤⎩
，则2z x y =-的最小值为__________．
25．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234
y
x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .
三、解答题
26．在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知()sin sin sin B C m A m +=∈R ,且
240a bc -=．
(1)当5
2,4
a m ==
时,求,b c 的值; (2)若角为锐角,求m 的取值范围．
27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 28．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知
cos (2)cos a B c b A =-．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线22AM =，求ABC ∆的面积．
29．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5
，b=5，求sinBsinC 的值．
30．已知数列{}n a 的前n 项和()
2*
,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n a
n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 2．C 3．D 4．C 5．C 6．A 7．A 8．A 9．D
10．A
11．A
12．B
13．A
14．C
15．B
二、填空题
16．【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要
17．2018【解析】【分析】数列{an}满足a1＝2a2＝6且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）＝2利用等差数列的通项公式可得：an+1﹣an＝2n+2再利用累加求和方法可得an＝n（n+1）利
18．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题
19．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题
20．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式
21．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB两类产品的情况为下表所示:产品设备A类产品（件）（≥50）B类产品（件）（≥140
22．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用
23．（﹣∞【解析】【分析】由正实数xy满足可求得x+y≥5由x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立利用对勾函数的性质即可求得实数a的取值范围【详解】因为正实数xy满足而4x
24．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC当直线经过点A(03)时
直线的纵截距最大z 最小所以故填-6
25．【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应
三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。

【详解】
：设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，那么1
q n n a a -=，根据最
后一个音是最初那个音的频率的2倍，
1
1212 13
2q q2 a a a
==⇒=
，所以
4
7
2
13
q
a
f
f a
===D
【点睛】
：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等比数列。

2．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用n S先求出n a，然后计算出结果.
【详解】
根据题意，当1
n=时，
11
224
S aλ
==+,
1
4
2
a
λ
+
∴=,
故当2
n≥时，1
1
2n
n n n
a S S-
-
=-=,
数列{}n a是等比数列,
则11
a=，故
4
1
2
λ
+
=,
解得2
λ=-,
故选C.
【点睛】
本题主要考查了等比数列前n项和n S的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.
3．D
解析：D
【解析】
：不等式x2-4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），
根据韦达定理，可得：2
12
3
x x a
=，x1+x2=4a，
那么：12
12
a
x x
x x
++=4a+1
3a
．
∵a＜0，
∴-（4a+
1
3a
）
=
3
，即4a+
1
3a
≤
-
3
故12
12
a
x x
x x
++
的最大值为
3
-．
故选D．
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()
()
1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则
1
n n
a q a +=. 对于①中的函数()3
f x x =，
()()3
3
131
12n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，该函数为“保等比数列函数”；
对于②中的函数()x
f x e =，
()()1
11n n n n a a a n a n f a e e f a e
++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数(
)f x =()
(
)
1n n f a f a +==
=，该函数为“保等比数
列函数”；
对于④中的函数()ln f x x =，()()1
1ln ln n n n n
a f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函
数”.故选：C. 【点睛】
本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】
选项A 错误，x 可能为负数，没有最小值；
选项B
错误，化简可得2y ⎫=，
=
，即21x =-，
显然没有实数满足21x =-；
选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4x x y e e -=+取最小值4，故选C. 【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】
作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
所对应的可行域（如图ABC ），
变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.
【点睛】
本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得
1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。

【详解】
关于x 的不等式()2
10x a x a -++<，
∴不等式可变形为(1)()0x x a --<，
当1a >时，得1x a <<，此时解集中的整数为2，3，4，则45a <≤； 当1a <时，得1<<a x ，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则32a -≤<- 故a 的取值范围是[)(]3,24,5--⋃，选：A 。

【点睛】
本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对a 和1的大小进行分类讨论。

其次在观察a 的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B 选项。

8．A
解析：A 【解析】
在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得1
14522
ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =． 由余弦定理可得：()
2
2
2
2
2
2142
214252
b a
c accosB =
+-=+-⨯⨯⨯
=． 9．D
解析：D
【解析】
作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,
平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6
{
x y x y +=-=得A(3,3)，
∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{
20
y k x y ==+=,解得B(−6,3).
此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.
点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：
b z
y x a b =-
+，通过求直线的截距z b
的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
若2
22x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为
21
1x y
+=,0x >,0y >, 所以()214422242448x y x y
x y x y y x y x ⎛⎫++=+++≥+⋅=+= ⎪⎝⎭
,当且仅当4x y y x =,即
4x =,2y =时等号成立,
因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】
本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.
11．A
解析：A 【解析】
解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)
n ＋1
－n
n
＝·
n
，
当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×
2
＝.故选A.
解法二 ＝＝
，
令
>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令
<1，解得n >2.又a n >0，
故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×
2
＝.故选A.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得
21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公
式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，
若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得2
1114a q 3a a q =+，即
2q 4q 30-+=，
解得q 1=或3；
又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，
则n 1
n a 3-=，则有34a 327==；
故选：B ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．
13．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭
112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+
12ln
ln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12
ln(
)2121
n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 14．C
解析：C 【解析】 【分析】
将已知代入正弦定理可得1
sin 2
B =
，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】
解：
60A =︒，a =4b =
由正弦定理得：sin 1
sin
2b A B a =
== a b > 60B ∴<︒
30B ∴=︒
故选C. 【点睛】
本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.
15．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
画出不等式组表示的平面区域如图所示：
当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时，z 取得最小值，而点A 的坐标为（1，
2a -），所以
221a -=，解得1
2
a =
，故选B. 【考点定位】
本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.
二、填空题
16．【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要
3
【解析】 【分析】 根据正弦定理将
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为
()()()a b a b c b c +-=-，即2
2
2
b c a bc +-=，由余弦定理得2221
cos 22b c a A bc +-==，
再用基本不等式法求得4bc ≤，根据面积公式1
sin 2
ABC S bc A ∆=求解. 【详解】 根据正弦定理
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为
()()()a b a b c b c +-=-，化简得2
22b
c a bc +-=
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-=
= ()2
3sin 1cos =-=
A A
因为2222+=+≥b c a bc bc 所以4bc ≤，当且仅当b c =时取""=
所以1sin 42∆=
=≤=ABC S bc A 则ABC ∆
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
17．2018【解析】【分析】数列{an}满足a1＝2a2＝6且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an ）＝2利用等差数列的通项公式可得：an+1﹣an ＝2n+2再利用累加求和方法可得an ＝n （n+1）利
解析：2018 【解析】 【分析】
数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝6，且（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）＝2，利用等差数列的通项公式可得：a n +1﹣a n ＝2n +2．再利用累加求和方法可得a n ＝n （n +1）．利用裂项求和方法即可得出． 【详解】
∵()()2112n n n n a a a a +++---=，
∴数列{a n +1﹣a n }为等差数列，首项为4，公差为2． ∴a n +1﹣a n ＝4+2（n ﹣1）＝2n +2．
∴a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 ＝2n +2（n ﹣1）+…+2×2+2
()122
n n +=⨯
=n （n +1）．
∴
12
20191111111
1111223201920202020a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． ∴][][1
2201920192019
2019201912019201820202020a a a ⎡⎤
+++
=-=+⎢
⎥⎣⎦
＝2018． 故答案为：2018． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法与裂项相消求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题
解析：
128
【解析】 【分析】
由1113()n n
n N a a *
+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭
⎩通项公式，则10a 可求 【详解】
111
3()n n
n N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()1011
1313228
n n n a a =+-=-∴= 故答案为：1
28
【点睛】
本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题
19．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题
解析：
5518. 【解析】 【分析】
利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论. 【详解】
数列{}n a 通项公式是12,12
3,3
n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，
当3n ≥时，数列{}n a 是等比数列，
3
31112731115531123118183182313
n n n n S --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++
=+-=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
-，
5531lim 55
18218l m 3i n n n n S →∞→∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦=. 故答案为：55
18
. 【点睛】
本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n 项和公式的应用，是基础题.
20．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式
解析：1
3
-
【解析】 【分析】
先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】
因为当0x ≥时 ()21,01,
22,1,
x
x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式
()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，
当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12
m
x -≤
对[],1x m m ∈+恒成立，111
11233
m m m m -+≤
∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥
对[],1x m m ∈+恒成立，11
23
m m m -≥
∴≥（舍）； 综上113
m -≤≤-，因此实数m 的最大值是1
3
-. 【点睛】
解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()
f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.
21．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB 两类产品的情况为下表所示:产品设备A 类产品（件）（≥50）B 类产品（件）（≥140
解析：2300 【解析】 【分析】 【详解】
设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则
200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品 设备
A 类产品 （件）
（≥50）
B 类产品 （件）（≥140）
租赁费（元）
甲设备
5
10
200
乙设备
6
20
300
则满足的关系为5650
{10201400,0
x y x y x y +≥+≥≥≥即:6
105
{
214
0,0
x y x y x y +
≥+≥≥≥, 作出不等式表示的平面区域,
当200300z x y =+对应的直线过两直线6
10{5214
x y x y +
=+=的交点（4,5）时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元．
22．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用 解析：(2,)+∞
【解析】
试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且
1a b ≠≠．又a ，b 为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是
(2,)+∞．
考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．
23．（﹣∞【解析】【分析】由正实数xy 满足可求得x+y≥5由x2+2xy+y2﹣ax ﹣ay+1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围【详解】因为正实数xy 满足而4x
解析：（﹣∞，265
] 【解析】 【分析】
由正实数x ，y 满足4454x y xy ++=，可求得x +y≥5，由x 2+2xy+y 2﹣ax ﹣ay+1≥0恒成立可求得a ≤x+y+1
x y
+恒成立，利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围． 【详解】
因为正实数x ，y 满足4454x y xy ++=，而4xy ≤（x+y ）2，
代入原式得（x +y ）2﹣4（x+y ）﹣5≥0，解得x +y≥5或x +y≤﹣1（舍去）， 由x 2+2xy+y 2﹣ax ﹣ay+1≥0可得a （x +y ）≤（x+y ）2+1， 即a ≤x+y+
1
x y
+，令t=x +y ∈[5，+∞）， 则问题转化为a ≤t+1t
，
因为函数y=t +1t
在[5，+∞）递增， 所以y min =5+15=265
， 所以a ≤
265
， 故答案为（﹣∞，265
] 【点睛】
本题考查基本不等式，考查对勾函数的单调性质，求得x +y≥5是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题．
24．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC 当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z 最小所以故填-6
解析：-6 【解析】
由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线122
z
y x =-经过点A(0，3)时，直线的纵截距2
z
-
最大，z 最小.所以min 023 6.z =-⨯=-故填-6. 25．【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应 解析：()(),14,-∞-⋃+∞
【解析】
试题分析：因为不等式234y x m m +
<-有解，所以2min ()34
y
x m m +<-，因为0,0x y >>，且14
1x y
+=，所以
1444()()22244444y y x y x y
x x x y y x y x +=++=++≥⋅=，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时，等号是成立的，所以min ()44
y
x +=，所以234m m ->，即
(1)(4)0m m +->，解得1m <-或4m >.
考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.
【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.
三、解答题 26．
(1)2 12b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩; (2)6 22m <<． 【解析】
试题分析: 本题考查正弦定理和余弦定理;(1)先利用正弦定理将角角关系转化为边边关系,再通过解方程组求解;(2)利用余弦定理进行求解.
试题解析：由题意得2,40b c ma a bc +=-=．
(1)当52,4a m ==时,5,12
b c bc +==, 解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩
或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩; (2)()222222cos 22b c bc a b c a A bc bc
+--+-===()22
2222232
a ma a m a --=-, ∵为锐角,∴()2cos 230,1A m =-∈,∴2322m <<, 又由
b
c ma +=可得0m >,
∴622
m << 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
27．
（1）12n n
a ；（2）21122
n n n -++- 【解析】
【分析】
（1）利用数列的递推关系式推出数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用分组求和法求和即可．
【详解】
（1）由已知1，n a ，n S 成等差数列得21n n a S =+①，
当1n =时，1121a S =+，∴11a =，
当2n ≥时，203m/s B B B
F m g a m μ-==② ①─②得122n n n a a a --=即12n n a a -=，因110a =≠，所以0n a ≠， ∴1
2n n a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴11122n n n a --=⨯=．
（2）由12n n n a b na =+得111222n n n b n n a -=
+=+， 所以()12121111n n n T b b b n n a a a =+++=+++++ ()()1111211211212
n n n n n n -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++=-
++-． 【点睛】
数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 28．
（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）S =【解析】
【分析】
（Ⅰ）由正弦定理化简得到答案.
（Ⅱ）1()2AM AB AC =
+，平方，代入公式利用余弦定理得到答案. 【详解】
（Ⅰ）因为()acos 2cos B c b A =-，
由正弦定理得()sin cos cos 2sin sin A B A C B =-，
即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，所以()sin 2sinccos A B A +=， 因为()sin sin 0A B C +=≠，所以1cos 2A =
， 又因为(0,)A π∈，所以3A π
=．
（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+， 即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅， 所以2232c b bc ++=，①
又根据余弦定理，有2222222cos 416a b c bc A b c bc =+-=+-==，②
联立①②，得8bc =．
所以ABC ∆的面积1S bcsinA 232
==． 【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，向量加减，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 29．
（1）
（2）57 【解析】
试题分析：（1）根据二倍角公式
,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角
形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道
,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和. 试题解析：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，
即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，
解得cos A ＝或cos A ＝－2(舍去)．
因为0<A<π，所以A ＝.
（2）由S ＝bcsin A ＝bc×＝bc ＝5，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝.
从而由正弦定理得sin B sin C ＝sin A×sin A ＝sin 2A ＝
×＝. 考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.
【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现
时，就要考虑一个条件，
,,这样就做到了有
效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式
,灵活使用其中的一个.
30．
（Ⅰ）21,n a n =+；（Ⅱ）8(41)3
n n T -=. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意可得1, 2.p q ==则22n S n n =+，利用通项公式与前n 项和的关系可得
21,n a n =+
（Ⅱ） 由（1）可知212n n b +=，结合等比数列前n 项和公式计算可得数列{}n b 的前n 项和
()8413
n n T -=.
【详解】 （Ⅰ）由14316424
S p q S p q =+=⎧⎨=+=⎩ 得21, 2.2.n p q S n n ===+ 所以当1n =时，1 3.a =
当2n ≥时，()()21121,n S n n -=-+-
所以()()()2
21212121,n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦
检验1 3.a =符合21,n a n =+
（Ⅱ） 由（1）可知21,n a n =+
所以2122n a n n b +==.设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则：
()()()1211212424242424444414214841.?
3n n n n n n n T --=⨯+⨯+
+⨯+⨯=++
++-=⨯
--= 所以数列{}n b 的前n 项和为()841
3n n
T -=.
【点睛】 本题主要考查数列通项公式与前n 项和公式的关系，等比数列前n 项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。