郑州大学材料力学习题集_【有答案】

习题2-1图习题2-2图
习题2-3图习题2-4图
习题2-5图习题2-6图
材料力学习题集
第1章引论
1－1 图示矩形截面直杆，右端固定，左端在杆的对称平面内作用有集中力偶，数值为M。

关于固定端处横截面A－A上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种答案比较合理。

正确答案是 C
1－2 图示带缺口的直杆在两端承受拉力F P作用。

关于A－A截面上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试判断哪一种答案是合理的。

正确答案是D 。

1－3 图示直杆ACB在两端A、B处固定。

关于其两端的约束力有四种答案。

试分析哪一种答案最合理。

正确答案是D 。

1－4 等截面直杆在两端承受沿杆轴线的拉力F P。

关于杆中点处截面A－A在杆变形后的位置（图中虚线所示），有四种答案，根据弹性体的特点，试判断哪一种答案是正确的。

正确答案是D 。

1－5 图示等截面直杆在两端作用有力偶，数值为M，力偶作用面与杆的对称面一致。

关于杆中点处截面A－A在杆变形后的位置（对于左端，由A
A'
→；对于右端，由A
A''
→），有四种答案，试判断哪一种答案是正确的。

正确答案是C 。

1－6 等截面直杆，其支承和受力如图所示。

关于其轴线在变形后的位置（图中虚线所示），有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种是合理的。

正确答案是C 。

第2章杆件的内力分析
习题2-1图
习题2-2图
习题2-3图
习题2-4图
A B
A
B
C
)
(ql 2l
M Q
F Q
F 4
54
14
1
(a-1) (b-1)
A
D E
C M
A
B
C
B 2
M
2
M 3
4
12
2－1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定？简支梁受力及Ox 坐标取向如图所示。

试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。

（A d Q F d M
（B )(d x q x -=，Q d F x -=； （C )(d d Q x q x F -=，Q d d F x M
=； （D )(d d Q x q x F =，Q d d F x
M
-=。

正确答案是 B 。

2－2 对于图示承受均布载荷q 的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？试判断下列四种答案中
哪几种是正确的。

正确答案是 B 、C 、D 。

2－3 已知梁的剪力图以及a 、e 截面上的弯矩M a 和M e ，如图所示。

为确定b d 二截面上的弯矩M b 、M d ，现有下列四种答案，试分析哪一种是正确的。

（A )(Q F b a a b A M M -+=，)(Q F d e e d A M M -+=； （B )(Q F b a a b A M M --=，)(Q F d e e d A M M --=； （C )(Q F b a a b A M M -+=，)(Q F d e e d A M M --=； （D )(Q F b a a b A M M --=，)(Q F d e e d A M M -+=。

上述各式中)(Q F b a A -为截面a 、b 之间剪力图的面积，以此类推。

正确答案是 B 。

2－4 应用平衡微分方程，试画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定 max Q ||F 。

解：（a ）0=∑A M ，l M
F B 2R =（↑） 0=∑y F ，l
M F A 2R =（↓） M
F ||max Q =
（b ）0=∑A M ，022
R 2=⋅+⋅+⋅--l l ql ql ql B ， ql F B
4
1
R =（↑） 0=∑y F ，ql F A 4
1
R =（↓）， 2R 4
1
41ql l ql l F M B
C =⋅=⋅=（＋）
2ql M A =
2
M
ql F 4
5||max Q =
2max ||ql M =
（c ）0=∑y F ，ql F A =R （↑） 0=∑A M ，2ql M A =
0=∑D M ，02
2-⋅-⋅+D M l
ql l ql ql
22
3
ql M D =
ql F =max Q ||
2max 2
3||ql M =
（d ）0=∑B M
02
1
32R =⋅-⋅
⋅-⋅l ql l q l F A ql F A 4
5
R =（↑）
0=∑y F ，ql F B 43
R =（↑）
0=∑B M ，22
l q
M B =
0=∑D M ，2
32
25ql M D = ql F 45
||max Q =
2
max 32
25||ql M = （e ）0=∑y F ，F R C = 0
0=∑C M ，2
23=+⋅+⋅-C M l
ql l ql 2ql M C = 0=∑B M ，221ql M B = 0=∑y F ，ql F B =Q
ql F =max Q || 2max ||ql M = （f ）0=∑A M ，ql F B 21
R =（↑） 0=∑y F ，ql F A 2
1
R =（↓） 0=∑y F ，02
1
Q =-+-B F ql ql ql F B 2
1Q =
0=∑D M ，
4
2221+⋅-⋅D M l
l q l ql 281
ql M D -=
28
1
ql M E =
∴ ql F 2
1
||max Q =
2max 8
1||ql M =
2－5 试作图示刚架的弯矩图，并确定max ||M 。

解： 图（a ）：0=∑A M ，02P P R =⋅-⋅-⋅l F l F l F B P R F F B =（↑）
0=∑y F ，P F F Ay =（↓） 0=∑x F ，P F F Ax =（←） 弯距图如图（a-1），其中l F M P max 2||=，位于刚节点C 截面。

图（b ）：0=∑y F ，ql F Ay =（↑） 0=∑A M ，ql F B 2
1
R = 0=∑x F ，ql F Ax 2
1
=
（←） 弯距图如图（b-1），其中2max ||ql M = 图（c ）：0=∑x F ，ql F Ax =（←） 0=∑A M 02
R 2=⋅-⋅-l F l
ql ql B ql F B 2
1
R =
（↓） 0=∑y F ，ql F Ay 2
1
=（↑） 弯距图如图（c-1），其中2
max ||ql M = 图（d ）：0=∑x F ，ql F Ax = 0=∑A M
02R 2=⋅+-⋅
-l F ql l
ql B ql F B 2
3
R =
0=∑y F ，22
3
ql F Ay =弯距图如图（d-1），其中2
max ||ql M =
2－6 梁的上表面承受均匀分布的切向力作用，其集度为试导出轴力F N x 、弯矩M 与均匀分布切向力p 之间的平衡微分方程。

解：
1．以自由端为x 坐标原点，受力图（a ） 0=∑x F ，0N =+x F x p x p F x -=N ∴
p x
F x
-=d d N 0=∑C M ，02
=⋅-h
x p M hx p M 2
1
=
h p x M 2
1
d d = 方法2．0=∑x F ，0d d N N N =-++x x x F x p F F ∴ p x
F
x -=d d N
0.2kN/m A C B 15kN/m =q
(d)
N
F x
l
l
x
hl p 2
1M
O
l
p
A
M m 343
40B C 5
.7m kN ⋅ (c)
习题2-8图
习题2-9图 A B
C kN/m 2.0=q 1kN (a) 0=∑C M ，02
d d =⋅
--+h
x p M M M ∴
2
d d h p x M =
2－7 2－6题中梁的轴力图和弯矩图，并确定max N ||x F 和
max ||M 。

解：l p F x =max N ||（固定端）
hl p
M 2
||max =（固定端）
2－8 静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。

若已知A 端弯矩0)(=A M ，试确定梁上的载荷及梁的弯矩图，并指出梁在何处有约束，且为何种约束。

解：由F Q 图线性分布且斜率相同知，梁上有向下均布q 载荷，由A 、B 处F Q 向上突变知，A 、B 处有向上集中力；又因A 、B 处弯矩无突变，说明A 、B 处为简支约束，由A 、B 处F Q 值知 F R A = 20 kN （↑），F R B = 40 kN 由 0=∑y F ，04R R =⨯-+q F F B A
q = 15 kN/m 由F Q D 、B 处值知，M 在D 、B 处取极值
340
)34(211534202=⨯-⨯=D M kN ·m
5.712
12-=⨯-=q M kN ·m 梁上载荷及梁的弯矩图分别如图（d ）、（c ）所示。

2－9 已知静定梁的剪力图和弯矩图，如图所示，试确定梁上的载荷及梁的支承。

解：由F Q 图知，全梁有向下均布q 载荷，由F Q 图中A 、B 、C 处突变，知A 、B 、C 处有向上集中力，且
F R A = 0.3 kN （↑） F R = 1 kN （↑） F R B = 0.3 kN （↑）
2.04
)
5.0(3.0=--q kN/m （↓） 由M A M B = 0，可知A 、B 简支，由此得梁上载荷及梁的支承如图（a ）或（b ）所示。

A
C
B
x
y
2387
1432
4296
z
Q F (N)
D
(b)
C z
F C
A
B
D
Dz
F B
T Q
F A T r
F z
F S2
3F x
y z
(a)
y
Q F (N)864
Q
F
习题2-11图
2－10 静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。

若已知截面E 上的弯矩为零，试：
1．在Ox 坐标中写出弯矩的表达式； 2．画出梁的弯矩图； 3．确定梁上的载荷； 4．分析梁的支承状况。

解：由F Q 图知，全梁有向下均布q ；上集中力4ql ；C 处有向下的集中力2ql 自由端，由F Q 线性分布知，M 变号，M 在B 、C 、D 处取极值。

221
ql M M D B -==，F Q B = 4ql
222
7
24)3(21ql l ql l q M C =⋅+-= 1．弯矩表达式：
2021
)(>-<-=x q x M ，0(x ≤≤ -<+>-<-=l x ql x q x M 402
1
)(2 -<+>-<-=l x ql x q x M 402
1)(2
)53(l x l ≤<
-<+>-<--<+>-<-=x ql l x ql x ql x q x M 4324021
)(2 )65(l x l ≤<
即 -<+>-<--<+>-<-=x ql l x ql x ql x q x M 432402
1
)(2 )60(l x ≤≤
2．弯矩图如图（a ）； 3．载荷图如图（b ）；
4．梁的支承为B 、D 处简支（图b ）。

2－11 图示传动轴传递功率P ，轴的转速n = 200r/min 。

齿轮A 上的啮合力F 与水平切线夹角20°，皮带轮B S1和F S2，二者均沿着水平方向，且F S1 = 2F S2试：（分轮B 重F Q = 0和F Q = 1800N 1．画出轴的受力简图；
2．画出轴的全部内力图。

解：1．轴之扭矩：
358200
5
.79549=⨯=x M N ·m 358===x B A M T T N ·m
23872
3.0τ==A T
F N
86920tan τr =︒=F F N 14322
5.02s ==B
T F N 轴的受力简图如图（a ）。

2．① F Q = 0时， F τ
Cy
F Dy
F
0=∑Cz M
06.04.02.0Q r =-+-F F F Dy 434=Dy F N 0=∑y F 1303-=Cy F N ② F Q = 1800 N 时， 0=∑Cz M 1254=Dy F N 0=∑y F 323-=Cy F N 0=∑Cy M
033.04.02.0S2τ=⨯+--F F F Dz 5250=Dz F N
0=∑z F ，1432=Cz F N 4772.0τ==F M Cy N ·m 8592.032s =⨯=F M Dy N ·m 1732.0r =⨯=F M Cz N ·m F Q = 0时，0=Dz M
F Q = 1800 N 时，360-=Dz M N ·m
2－12 传动轴结构如图所示，其一的为斜齿轮，三方向的啮合力分别为F a = 650N = 650N ，F r = 1730N = 50mm ，l = 100mm 。

试画出： 1．轴的受力简图； 2．轴的全部内力图。

解：1．力系向轴线简化，得受力图（ 25.16102
50
6503=⨯⨯=-x M N ·m
25.16025.0650=⨯=z M N ·m
0=∑x F ，650=Ax F N 0=∑Az M ，784=By F N 0=∑y F ，946=Ay F N 0=∑Cy M ，Bz Az F F =
0=∑z F ，3252
650
==
=Bz Az F F 2．全部内力图见图（a ）、（b ）、（c ）
习题3-1图 kN 15kN
15kN 5kN 5θθDE F C D
4m 3m CE F
(a) 习题3-2图 C B D
A E
302040
(kN)N x F (a) A C B m 325N ⋅y
M
(f) A C
B x
M m)
(N ⋅16.25 (e)
y
Q F A
946
B
C
(N)
784
(c)
A
B
325
C
(N)
Q z F 325
(d)
z
M m)(N ⋅A C B 94.6
78.4
(g) （e ）、（f ）、（g ）所示。

第3章 弹性杆件横截面上的正应力分析
3－1 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为20mm ×50mm 的矩形。

试求杆CE 和杆DE 横
截面上的正应力。

解：图（a ）中，54cos =θ （1）
截面法受力图（a ） 0=∑D M ，03)515(4=⨯+-⨯CE F （2） F CE = 15 kN 0=∑x F ，40cos =θDE F （3） （1）代入（3），得F DE = 50 kN ∴ 1505
.002.010153
=⨯⨯=
=A F CE CE σMPa 50==A F DE DE σMPa 3－2 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度p = 10kN/m ，在自由端D 处作用有集中呼F P = 20 kN 。

已知杆的横截面面积A = 2.0×10-4m 2，l = 4m 。

试求：
1．A 、B 、E 截面上的正应力；
2．杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。

解：由已知，用截面法求得 F N A = 40 kN
F N B = 20 kN F N E = 30 kN
（1）200100.2104043
N =⨯⨯==-A F A A σMPa 100N ==A
F
B B σMPa 150N ==A
F
E E σMPa
（2）200max ==A σσMPa （A 截面）
3－3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷F P 通过两端的刚性板加在杆上。

试： 1．写出杆横截面上的正应力与F P 、d 、D 、E c 、E a 的关系式；
2．若已知d = 25mm ，D = 60mm ；铜和铝的单性模量分别为E c = 105GPa 和E a = 70GPa ，F P = 171 kN 。

试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。

解：1．变形谐调：
a
a Na c c Nc A E F
A E F = （1）
习题3-4图
习题3-5图
P Na Nc F F F =+ （2）
P a a c c c
c Nc F A E A E A E F +=
P a
a c c a
a Na F A E A E A E F +=
∴ ⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
-+==-⋅+⋅=
+==4)(π4π)
(4
π4π22a 2
c P a a Na a 22a 2c P a a c c P c c Nc c
d D E d E F E A F d D E d E F E A E A E F E A F c σσ
2． 5.83)025.006.0(π1070025.0π10105101711010542
29293
9c =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=σMPa
6.55105
70
5.83c a c a =⨯
==E E σσMPa 3－4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷F P 通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。

试：
1．导出复合材料柱横截面上正应力与F P 、b 0、b 1、h 和E a 、E s 之间的关系式；
2．已知F P = 385kN ；E a = 70GPa ，E s = 200GPa ；b 0 = 30mm ，b 1 = 20mm ，h = 50mm 。

求铝板与钢板横截面上的最大正应力。

解：变形谐调：
a a Na s s Ns A E F
A E F = （1）
P Na Ns F F F =+
（2）
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=P a a s s a a Na
P a
a s s s s Ns F A E A E A E F F A E A E A E F
1． a
1s 0P
s 1a 0s P s s Ns s 22hE b hE b F E h b E h b E F E A F +=⋅+=-=σ a
1s 0P
a a Na a 2hE
b hE b F E A F +-=-=σ 2． 175107005.002.021020005.003.0103850200993
9s -=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=
σMPa （压）
25.61200
70
175175s a a -=-=-=
E E σMPa （压） 3－5 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。

试求下列两种情形下h 与b 的比值：
1．横截面上的最大正应力尽可能小； 2．曲率半径尽可能大。

解：1．)
(66
222b d b M bh M W M z
z z z -=
==σ
03)(d d d d 2232=-=-=b d b bd b
b W z d 3
3
=
b 22223
2d b d h =
-= ∴ 2=b
h
（正应力尽可能小）
2．
z
z z EI M =ρ1
习题3-7图 12123
223h h d bh I z -=
= 0d d =h I z ，得224
3
d h = 22224
1
d h d b =-=
∴ 3=b
h
（曲率半径尽可能大）
3－6 梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如图所示。

梁在两端力偶M z 作用下发生弯曲。

设正方形截面时，梁内最大正应力为0σ；去掉上、下角后，最大正应力变为0max σσk =，试求： 1．k 值与h 值之间的关系；
2．max σ为尽可能小的h 值，以及这种情形下的k 值。

解：3400h I zh =，3
30
0h W z =
30
max 0030h M
W M z z z ===σσ
y y h y h I I I h h
z zh zh d )(223
2024
00
0--=-=⎰
)3
4(34)()(3430343044
0330040h h h h h h h h h h h h -=-=-+--=
)
3
4(02max max h h h M W M z
h z h -===σσ
)34()
34(3)34(3023
002300230
0max h h h h h h h h h h h h k -=-=-==σσ （1） 03234d ))
34
((d d d 2002=-⋅=-=h h h h h h h h W h 0)338(0=-h h h ，h = 0（舍去），09
8
h h =
代入（1）：9492.0)
812(643
81)3
84()98(1
)9834()98(200203
=-⨯⨯=
-=
⨯-=
h h h h k
3－7 工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受M z = 20 kN ·m 一个内力分量，I z = 11.3×106mm 4，其他尺寸如图所示。

试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x 方向的合力。

解：⎰
⎰⎰-+-==21 2
N d d d A z
z A z z A x x A y I M
A y I M A F σ
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⨯+⨯-
=⎰
⎰y y y y I M z z d 088.0d 006.0080.007.007.00 922210)7080(218870216-⨯⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-⨯+⨯⨯-=z z I M
()
)7080(447031010
3.11102022296
3
-⨯+⨯⨯⨯⨯-
=--
143101433-=⨯-=kN
2||*N z c x M
y F =⋅
mm 70m 0699.0143
220
*==⨯=
c y 即上半部分布力系合力大小为143 kN （压力），作用位置离中心轴y = 70mm 处，即位于腹板与翼缘交界处。

3－8 图示矩形截面（b ·h ）直梁，在弯矩M z 作用的Oxy 平面内发生平面弯曲，且不超出弹性范围，
'
O y 2θ-ϕ
ϕ
d 2θ
O
2
θ
x
x
σx
σy
σ
(a)
习题3-9图
假定在梁的纵截面上有y 方向正应力y σ存在，且沿梁长均匀分布。

试： 1．导出)(y y y σσ=的表达式； 2．证明：max max 4x y h
σρ
σ-
≈，ρ为中性面的曲率半径。

解：1．先求)(y y σ表达式： 0=∑y F
⎰
⎰
--
=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=
∑y
h x y y y y F 2
2
2
0d 12
sin
2
cos d 1θ
σϕϕρσθ
θ
即 0d 2
sin 2
2
sin
22
=-+⎰
-y y I M y
h
z z y y θ
θ
ρσ，
（y I M z z x -=σ） 即 0)4
(212sin 22sin 22
2=-⋅-h y I M z z y y θθ
ρσ
∴ )4(222
y h I M z y z y --=ρσ
（a ）
2．由（a ）式，令
0d d =y
y σ，得y = 0，则
max 2max ,442
48x z z y z z y z y z y h
W M h h I M h I M h σρ
ρρρσ-≈⋅-=⋅-=-=
（b ） 3－9 图示钢管和铝管牢固地粘成复合材料管，在两端力偶M z 作用下发生平面弯曲，试： 1．导出管横截面上正应力与M z 、D 1、D 2、D 3和钢的E s 、铝的E a 之间的关系式；
2．已知D 1 = 20mm ，D 2 = 36mm ，D 3 = 44mm ；M z = 800N ·m ；E s = 210GPa ，E a = 70GPa 。

求钢管和铝和铝管横截面上的最大正应力max σ。

解：静力平衡： z M M M =+s a （1）
变形谐调：s a ρρ=得
s
s s
a a a I E M I E M =
（2） 64)(π4243a D D I -=
，64)
(π4142s D D I -=
（3） 由（2）s s
s a a a M I E I
E M =
（4）
代入（1），得 z M M I E I E =+s s
s a
a )1( a a s s s s s I E I E M I E M z
+=
（5） ∴ z M I E I E I E M a
a s s a
a a +=
（6）
1． )]()([ π644243a 4142s s a a s s s s s s D D E D D E y
M E y I E I E M E y I M z z -+--=+-=-=σ，（2221D y D ≤≤） )]
()([ π644243a 4142s a a a s s a a a a D D E D D E y
M E y I E I E M E y I M z z -+--=+-=-=
σ，（2232D y D ≤≤） 2． 13310)]3644(70)2036(210[π10188002106412
44443
max s =⨯-⨯+-⨯⨯⨯⨯⨯=--σMPa
1.5410)]3644(70)2036(210[π1022800706412
44443
max a =⨯-⨯+-⨯⨯⨯⨯⨯=
--σMPa
3－10 由塑料制成的直梁，在横截面上只有M z 作用，如图所示。

已知塑料受拉和受压时的弹性模量分别为E t 和E c ，且已知E c = 2E t ；M z = 600N ·m 。

试求： 1．梁内最大拉、压正应力；
-2θ 2θ
习题3-10图
习题3-11图 C
h εσC
σC
ε
(a)
h t
2．中性轴的位置。

解：根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化 ∵ E c = 2E t ，εσE =
∴ σ沿截面高度直线的斜率不同 ∴中性轴不过截面形心。

1．确定中性轴位置。

设拉压区高度分别为h t 、h c
由0=∑x F ，得：02
1
21t max t c max c =⋅⋅+⋅⋅-b h b h σσ
即 c c
c t max t max c h h h h h -==σσ （1）
又∵
t
c max t max c max t t max c c max t max c 22h h
E E ===εεεεσσ （2）
由（1）、（2），得
c
c t c c c 22h h h h h h h h -=
=- 即 2
c 2c 2)(h h h =- ⎪⎭
⎪
⎬⎫=-=∴=-=∴mm 6.58)22(mm 4.41)12(t c h h h h （中性轴的位置）
2．⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⋅+
=
+
=
+
=
c
t
c
t
c
t
d 2d d d d d c t t t c c t t c t A A A A A A z A E y A yE A yE A yE A y A y M εεεεσσ
)2(d 2
d d 2d c t t t c t t c
t
c t
I I E
A y
y A y
y E A y A y E A A A A +=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⋅
+⋅
=⎥⎦⎤
⎢
⎣
⎡
+
=⎰
⎰
⎰
⎰
ρρρ
εε 其中)246(332323
3
c 3t c t -=⨯+=+bh bh bh I I ∴ )
2(1c t t I I E M z +=ρ ∴ c c
t c c t t c c c
max c 222h I I M h I I M E E h E z
z +=+=
=ρ
σ
69.810)246(3
10050104.41600212
3
3=⨯-⨯⨯⨯⨯=
--MPa （压）
∴ 15.6)246(103
1005010100)22(600212
33
t c t t t
max t =-⨯⨯⨯⨯-⨯=+==--h I I M h E z ρσMPa （拉） 3－11 试求图a 、b 中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。

解：（a ）为拉弯组合
2P 2
P P a 346
)2
3(423a F a a a F a a F ⋅=⋅
+⨯=
σ （b ）为单向拉伸
2
P b a F
=σ
∴ 3
4
b a =σσ
3－12 桥墩受力如图所示，试确定下列载荷作用下图示截面ABC 上A 、B 两点的正应力：
1．在点1、2、3处均有40 kN 的压缩载荷； 2．仅在1、2两点处各承受40 kN 的压缩载荷； 3．仅在点1或点3处承受40 kN 的压缩载荷。

解：67.2107520010406
3
N =⨯⨯⨯=-A F x Mpa
40106
10075125
.010409
23=⨯⨯⨯⨯=-W M z MPa
习题3-13图
习题3-14图 A B z
O 795.0526
.14y 1． 875
2001040333N -=⨯⨯⨯=-==A F x B
A σσMPa
2． 3.156
200
752125
108075
2001040222
33
N -=⨯⨯
⨯-⨯⨯⨯-=--
=W M A F z x A σMPa 3．在点1加载： 67.126
2007512510407520010402
33N -=⨯⨯⨯-⨯⨯-=--=W M A F z x A
σMPa
33.76
20075125
10407520010402
33N =⨯⨯⨯+⨯⨯-=+-=W M A F z x B σMPa
由对称性，得
在3点加载：33.7=A σMPa ，67.12-=B σMPa
3－13 图示侧面开有空洞的正方形截面管，管壁厚δ= 5mm ，管在两端承受轴向载荷F P 。

已知开孔处截面的形心为C ，形心主惯性矩610177.0-⨯=z I m 4，F p = 25kN 。

试求： 1．开孔处横截面上点F 处的正应力； 2．最大正应力。

解：25P N ==F F x kN
75.16010)57.1825(3p =⨯-⨯=-F M z N ·m 661070010)5402550(--⨯=⨯⨯+⨯⨯=A m 2
1． 85.181057.183N -=⨯⨯==z
z x F I M
A F σMPa
2． A F x
N =
max σ 310)57.1850(-⨯-⨯=z
z I M
26.64=MPa （在y 正向最大位置）
3－14 图示矩形截面杆在自由端承受位于纵向对称面内的纵向载荷F P ，已知F P = 60kN 。

试求： 1．横截面上点A 的正应力取最小值时的截面高度h ； 2．在上述h 值下点A 的正应力值。

解：6
40)
2(402
P P N h d h
F h F W M A F z z x A -+=+=σ )32(202
P h d
h F -= （1）
1．令
0=∂∂h A σ，0264
2=-h h hd ∴ h = 3d = 75mm （2） 2．由（1）、（2）式得： 40)7525
3752(2010602
3=⨯-⨯⨯=
A σMPa 3－15 图中所示为承受纵向载荷的人骨受力简图，假定实心骨骼为圆截面。

试：
1．确定截面B －B 上的应力分布；
2．假定骨骼中心部分（其直径为骨骼外径的一半）由海绵状骨质所组成，且忽略海绵状承受应力的能力，确定截面B －B 上的应力分布；
．确定1、2两种情况下，骨骼在截面B －B 上最大压应力之比。

习题3-16图
A
z
y
y
M C
z
M 10
5
(a)
y A
B
14.43MPa
+16.55MPa
O C
C
z z
(d)
O
A
B
C
O 12.6mm
14.1mm
z
13.73MP a
+15.32MPa
-C
z
(c)
O
B
解：1．795.04
7.26π104452
6
1N 1
N -=⨯⨯=-=A F x σMPa
526.141032
7.26π10614459
3
31max
M =⨯⨯⨯⨯==--z z W M σMPa ∴ 73.13795.0526.14max =-=+
σMPa 32.15795.0526.14max -=--=-σMPa
沿y 方向应力分布如图（c ）所示，中性轴为z c 。

2． 4
)27.26(7.26(π10445226
2
2-⨯-==
A F x N N σ)
411(7.26π10445426-⨯⨯⨯-=
06.134795.0-=⨯-=MPa 494.1515
16
526.14)
)2
1(1(412max 2=⨯=-==z z z z M W M W M σMPa
43.1406.1494.15max
=-=+
σMpan
55.1606.1494.15max -=--=-
σMPa
z C 为中性轴，沿y 轴应力分布如图（d ）
3． 08.132
.1555
.1612==--
σσ，或926.055.1632.1521==--σσ
3－16 正方形截面杆一端固定，另一端自由，中间部分开有切槽。

杆自由端受有平行于杆轴线的纵向
力F P 。

若已知F P =1kN ，杆各部分尺寸示于图中。

试求杆内横截面上的最大正应力，并指出其作用位置。

解：66105010105--⨯=⨯⨯=A m 2 69210121
106105---⨯=⨯⨯=
y W m 3 6921024
1
106510--⨯=⨯⨯=
z W m 3 F N x = 1 kN
510510003=⨯⨯=-y M N ·m
5.2105.210003=⨯⨯=-z M N ·m z
z y y x W M W M A F
++=N max
σ 140102415.2121550
10006=⨯⎪
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛++=MPa 最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点A ，如图（a ）所示。

3－17 钢制立柱上承受纵向载荷F P 如图所示。

现在A 、B 、D 三处测得x 方向的正应变
n
n
z
C
ot
y ot
z P
F
习题3-18图
D
C
B
y
h
P
F z
K
)
.(P P z y )
.(z y F
b
(a)
610300)(-⨯-=A x ε，610900)(-⨯-=B x ε，610100)(-⨯-=D x ε。

若已知钢的弹性模量E = 200GPa 。

试求： 1．力F P 的大小；
2．加力点在Oyz 坐标中的坐标值。

解：361061060100--⨯=⨯⨯=A m 2 692
1010010610060--⨯=⨯⨯=
z W m 3 692
1060106
60100---⨯=⨯⨯=
y W m 3 P N F F x -=
y F M z ⋅=P y F M y P -= 6P P P N 10)60
1006000(⨯-+--=+-=
z
F y F F W M W M A F y y z z x A σ （1） 6P P P 10)601006000(
⨯-++-=z
F y F F B σ （2） 6P P P 10)60
1006000(⨯++-=z
F y F F D σ （3）
εσE = （4）
由（1）、（4），)10300(1020010)6010060001
(
69P 6P P -⨯-⨯⨯=⋅⨯---F z y 即 60)60
10060001
(P P P -=---F z y （5） 由（2）、（4），180)60
10060001
(P P -=-+-F z y （6） 由（3）、（4），20)60
10060001
(P P P -=++-F z y （7） 解（5）、（6）、（7）：20m 02.0P ==z mm
25m 025.0P -=-=y mm F P = 240 kN
3－18 矩形截面柱受力如图所示，试证明：
1．当铅垂力F P 作用在下面方程所描述的直线上的任意点时，点A 的正应力等于零：
16
6P P =+h y
b z
2．为了使横截面的所有点上都不产生拉应力，其作用点必须位于由类似上述方程所描述的直线围成的区域内（图中虚直线围成的区域）。

解：1．写出K 点压弯组合变形下的正应力（图a ）。

12
)(12)(3
P P 3P P P bh y
y F hb z z F A F ⋅-
⋅⋅--=σ ⎪
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛++-=y h
y z b z hb F 121212P 2P P
（1） 将)2
,2(b
h A --代入（1）式，并使正应力为零，得
F P 所作用的直线方程
06
61P P =--h y
b z
习题3-19图
C z
21
12
z 2P F P1
F
(c)
z
y
A 123
2B F
1P F 2
P F 3P F 3
整理得：
16
6P
P =+h y b z 2．若FP 作用点确定，令（1）式等于零，得截面的中性轴方程（图b ）：
121212P 2P =++y h y z b z （2） 中性轴n －n 的截距：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
-
=-=P t 0P t
066z h z y h y （3）
说明中性轴n －n ，与力F P 作用点位于形心C 的异
侧，说明n －n 划分为F P 作用下的区域为压应力区，另
一区域是拉应力区（见图b ）。

如果将（2）改写为112
12P 2P 2-=+y h y z b z
（4） 并且把中心轴上一点（y , z ）固定，即中性轴可绕该
点顺时针转动（从1―1转到2―2）
由（4）式，F P 作用必沿直线移动。

由（3）式，2
－2直线的截距值大于1－1直线的。

所以，当中性轴1－1顺时针转向中性轴2－2时，F P 作用点F P1、F P2沿直线，并绕形心也顺时针转向。

如果中性轴绕A 点从1―1顺时针转动至3―3（中性轴始终在截
面外周旋转），则截面内就不产生拉应力，将A 坐标代入（4）式：16
6P
P =+h
y b z ，即F P 沿该直线移动。

从F P1→F P2→F P3，反之铅垂力F P 从F P1→F P2→F P3直线移动，截面不产生拉应力，同理过B 、F 、D 分别找另三条F P 移动的直线。

这四条直线所围区域为截面核心。

铅垂压力在截面核心内作用，则横截面上不会有拉应力。

3－19 矩形截面悬臂梁受力如图所示，其中力F P 的作用线通过截面形心。

试： 1．已知F P 、b 、h 、l 和β，求图中虚线所示截面上点a 的正应力；
2．求使点a 处正应力为零时的角度β值。

解：βsin P l F M y =，62
hb W y = βcos P l F M z =，6
2
bh W z = )sin cos (62
2P ββσh b h b lF
W M W M y y z z a -=-=
令0=a σ，则h b =
βtan ，h
b
1tan -=β 3－20 矩形截面柱受力如图所示。

试：
1．已知β= 5°，求图示横截面上a 、b 、c 三点的正应力。

2．求使横截面上点b 正应力为零时的角度β值。

解：βcos P N F F x =
04.0sin )(P ⨯=βF a M y
)(2)(a M b M y y =，)(3)(a M c M y y = 1．6
04.01.0sin 04.004.01.0cos 2
P P N ⨯-⨯=-=
β
βσF F W M A F y y x a
q 习题3-21图
习题3-22图
d
C
a
b
z
z
M y
M y
(a)
)5sin 65(cos 004
.01060)
sin 6(cos 04
.01.03︒-︒⨯=-⨯=
ββP
F
10.7=MPa
745.0)5sin 125(cos 004
.01060)(23
N -=︒-︒⨯=-=y y x b W a M A F σMPa
59.8)(3N -=-=y
y x c W a M A F σMPa 2． 0)sin 12(cos N =-=
ββσA F x
b 12
1
tan =β，β= 4.76°
3－21 交通信号灯柱上受力如图所示。

灯柱为管形截面，其外径D = 200mm ，内径d = 180mm 。

若已知截面A 以上灯柱的重为4kN 。

试求横截面上点H 和K 处的正应力。

解：8
.725
.3tan =θ，θ=22.62°
6700)cos 1950900400(N -=++-=θy F N
35101.2900)6.08.7(sin 1950=⨯--⨯=θz M N ·m
12.1)18.02.0(4
π6700
22N -=--==
A F x H σMPa 87.11)9.01(2.032
π3510
12.14
3N =-⨯+-=+=z z y K W M A F σMPa
3－22 No. 25a 普通热轧工字钢制成的立柱受力如图所示。

试求图示横截面上a 、b 、c 、d 四点处的正应力。

解：4105.48-⨯=A m 2 61088.401-⨯=z W m 3 610283.48-⨯=y W m 3 100N -=x F kN
33310255.01025125.010100⨯=⨯⨯+⨯⨯=z M N ·m 33106.96.010)28(⨯=⨯⨯⨯=y M N ·m 6.62=z
z
W M MPa
199=y
y W M MPa
∴ 6.20N -==A F x
c σMPa 6.41N =+=z
z x a W M
A F σMPa
240N =++=y y
z z x b W M W M A F σMPa 116N =+-=
y
y
z z x d W M W M A F σMpa
3－23 承受集度为q = 2.0kN/m 均布载荷的木制简支梁，其截面为直径d = 160mm 的半圆形。

梁斜置如图所示。

试求梁内的最大拉应力与最大压应力。

解：︒=20cos q q y ，︒=20sin q q z ，π
32d
y c =
A B
Z
q q
A
C
B
y
M m
342N ⋅q
(b)
习题3-24图
C
D
Z
R
α
C
y B
A
y
C
(c)
m N 94020cos 21
212
111max ⋅=︒==⋅
⋅-⋅=q q q q M y y y z
34220sin 2
1
max
=︒=q M y N ·m 612
44101.166410160π2164π21--⨯=⨯⨯=⋅
=d I y m 4 62
24104956.4)π
32(8π64π21-⨯=⋅-=
d d d I z m 4 2
max d I M y I M y y c z z ⋅+⋅=+
σ
66
610)08.010
1.16342
π316.02104956.4940(
---⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 80.8=MPa （左下角A 点）
最大压应力点应在CD 弧间，设为-σ
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⋅+--=-y y z c z I R M I y R M αασcos )sin (max max （1）
0d d =-ασ，得：834.9342
104956.4101.16940tan 66
max max =⨯⨯⨯⨯==--y z y z M I I M α ︒=19.84α代回（1）式， 71.91010
1.161019.84cos 80342104956.410)π3160219.84sin 80(94066363max
-=⨯⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯︒⨯+⨯⨯⨯-︒-=------σMPa 3－24 简支梁的横截面尺寸及梁的受力均如图所示。

试求N －Ｎ截面上a 、b 、c 三点的正应力及最大拉应力。

解：30=-N N M kN ·m
mm 38.652
8.1226.19218221620
180********
2018021020160=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=
c y
4
642323
10725.3333725128))38.6590(1802012
18020(2)38.552016012
20160(
m mm
-⨯==-⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=z I 3.4905538.010725.3310306
3
=⨯⨯⨯=
-c σMPa （压应力）
8.3010)8038.65180(10725.3330000
36
=⨯--⨯⨯=--b σMPa （拉应力） 4.6610)4038.65180(10
725.33103036
3=⨯--⨯⨯⨯=
--a σMPa （拉应力）
10210)38.65180(10
725.33103036
3
max =⨯-⨯⨯⨯=
=--d σσMPa （拉应力）
3－25 根据杆件横截面正应力分析过程，中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析下列答案中哪一个是正确的。

（A ）M y = 0或M z = 0，0N ≠x F ； （B ）M y = M z = 0，0N ≠x F ； （C ）M y = 0，M z = 0，0N ≠x F ； （D ）0≠y M 或0≠z M ，0N =x F 。

正确答案是 D 。

y C
习题3-28图
解：正如教科书P168第2行所说，只要0N ≠x F ，则其中性轴一定不通过截面形心，所以本题答案选（D ）。

3－26 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。

（A ）中性轴不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心； （B ）中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心； （C ）中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心；
（D ）中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。

正确答案是 D 。

解：本题解答理由可参见原书P167倒数第1行，直至P168页第2行止，所以选（D ）。

3－27 关于斜弯曲的主要特征有四种答案，试判断哪一种是正确的。

（A ）0≠y M ，0≠z M ，0N ≠x F ，中性轴与截面形心主轴不一致，且不通过截面形心； （B ）0≠y M ，0≠z M ，0N =x F ，中性轴与截面形心主轴不一致，但通过截面形心； （C ）0≠y M ，0≠z M ，0N =x F ，中性轴与截面形心主轴平行，但不通过截面形心； （D ）0≠y M 或0≠z M ，0N ≠x F ，中性轴与截面形心主轴平行，但不通过截面形心。

正确答案是 B 。

解：本题解答理由参见原书P167第2-3行。

3－28 承受相同弯矩M z 的三根直梁，其截面组成方式如图a 、b 、c 所示。

图a 中的截面为一整体；图b 中的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图c 中的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。

三根梁中的最大正应力分别为)a (max σ、)b (max σ、)c (max σ。

关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。

（A ）)a (max σ＜)b (max σ＜)c (max σ； （B ）)a (max σ＝)b (max σ＜)c (max σ； （C ）)a (max σ＜)b (max σ＝)c (max σ； （D ）)a (max σ＝)b (max σ＝)c (max σ。

正确答案是 B 。

解：33max 66)(d M
d M a z z ==σ
33max 621222)(d M
d d d M b z z
=⋅⋅=σ
33max 12412
)2(2)(d M d d d M c z z
=⋅=
σ ∴选（B ）。

第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析
4－1 扭转切应力公式p /)(I M x ρρτ=的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。

（A ）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B ）等截面圆轴；
（C ）等截面圆轴与椭圆轴；
（D ）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。

正确答案是 A 。

解：p )(I M x ρρτ=在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。

4－2 两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。

设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为max 1τ和max 2τ，切变模量分别为G 1和G 2。

试判断下列结论的正确性。

（A ）max 1τ＞max 2τ； （B ）max 1τ＜max 2τ；
（C ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＞max 2τ； （D ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＜max 2τ。

习题4-6图
正确答案是 C 。

解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即γγγ==21由剪切胡克定律γτG =知21G G >时，max 2max 1ττ>。

4－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d 1的实心圆轴与内、外径分别为d 2、)/(222D d D =α的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。

关于二者重之比（W 1/W 2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。

（A ）234)1(α-； （B ）)1()1(2234αα--； （C ）)1)(1(24αα--； （D ）)1/()1(2324αα--。

正确答案是 D 。

解：由max 2max 1ττ=得
)
1(π16π1643
231α-=d M d M x
x 即 31
42
1)1(α-=D d
（1） )
1(22
22
12121α-==D d A A W W （2）
（1）代入（2），得 2
3
24211)1(αα--=
W W
4－4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外
层材料的切变模量分别为G 1和G 2，且G 1 = 2G 2。

圆轴尺寸如图所示。

圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。

关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。

正确答案是 C 。

解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等21γγ=，因212G G =，由剪切胡克定律得交界面上：212ττ=。

4－5 等截面圆轴材料的切应力－切应变关系如图中所示。

圆轴受扭后，已知横截面上点)4/(d a a =ρ的切应变s γγ=a ，若扭转时截面依然保持平面，则根据图示的γτ-关系，可以推知横截面上的切应力分布。

试判断图中所示的四种切应力分布哪一种是正确的。

正确答案是 A 。

4－6图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN ·m 。

试求： 1．轴横截面上的最大切应力；
2．轴横截面上半径r = 15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3．去掉r = 15mm 以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。

解：1．7.7006.0π1610316
π3
33P P max
1=⨯⨯⨯====d T W T W M x τMPa 2． 4
π2d π2d 4
p p 01r I M I M A M x x r
A r ⋅
=⋅⋅=⋅=⎰
⎰ρρρρτρ ∴
%25.6161)6015(161632
π4π24π244
444p 4==⨯==⋅
==d r d r I r M M x r
习题8-4图
习题4-5图
3． ⎪⎭
⎫
⎝⎛-==
43p max 2)21(116πd T
W M x τ %67.615
1)2
1(1)21
(144
44
max 1max 1max 2==-=-=-=∆αατττττ 4－7 图示芯轴AB 与轴套CD 的轴线重合，二者在B 、C 处连成一体；在D 处无接触。

已知芯轴直径d = 66mm ；轴套的外径D = 80mm ，壁厚δ= 6mm 。

若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa 。

试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T 。

解：6311p max 106016π⨯≤==d
T
W M x 轴τ
33871016
66π1060936
1=⨯⨯⨯
⨯≤-T N ·m 643
2
2p max 1060)8068(116π⨯≤⎪⎭⎫
⎝⎛-==d T W M x 套τ 2883)2017(1101680π106049362=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-⨯⨯⨯
⨯≤-T N ·m ∴ 28832max =≤T T N ·m 31088.2⨯=N ·m
4－8 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。

设实心轴半径为R 0，空心圆轴的
内、外半径分别为R 1和R 2，且R 1/R 2 = n ，二者所承受的外扭转力偶矩分别为T s 和T h 。

若二者横截面上的最大切应力相等，试证明：
2
2
h s 11n n T T +-=
解：由已知长度和质量相等得面积相等：
)(ππ212
220R R R -=
（1）
2π16
π30s
3
s max R T d T ⋅
=
=
τ
（2）
)1(16
)2(π43
2h
max n R T -=
τ （3）
由（2）、（3）式
)
1(43
23
h s n R R T T -= （4）
由（1） 212
220R R R -=
代入（4） ∴
2
2222324
23
243223
2122h
s
11)
1)(1()
1(1)
1()
1()(n n n n n n n n R R R T T +-=
+--
=
--
=
--=
4－9 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D 、壁厚均为δ，横截面上的扭矩均为T = M x 。

试：
1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力
2
max π2D M x
δτ≈
2．证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力
D
M
x π32max δτ≈
3．画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。

解：1．δττD D
A D M A x π2
d 2⋅⋅=⋅=
⎰
习题4-7图
习题4-9图
习题4-12图
∴ 2π82D M x
=
τ 即：2
max π2D M x
δτ=
2．由课本（8－18）式
D
M
D M hb M x x x π3π3222
2max δδτ=⋅==
4－10 矩形和正方形截面杆下端固定，上端承受外扭转力偶作用，如图所示。

若已知T = 400N ·m ，试分别确定二杆横截面上的最大切应力。

解：4.151********.0400
9221max a =⨯⨯⨯==-hb c M x τMPa
0.19103570246.0400
9
22
1max b =⨯⨯⨯=
=
-hb
c M x τMPa
4－11 图示三杆受相同的外扭转力偶作用。

已知T = 30N ·m ，且最大切应力均不能超过60MPa 。

试确定杆的横截面尺寸；若三者长度相等，试比较三者的重量。

解：63
max a 106016π⨯≤=d M x
τ 4.2910π60300
161060π163
6
36
a =⨯⨯=⨯⨯≥T
d mm
63b
3b 121max
a 1060208.0⨯≤===d M d c M h
b
c M x x x τ 9.28m 02886.01060208.0300
36b ==⨯⨯≥d mm 63c
21max c 10602246.0300⨯≤⨯==d hb c M x τ 66.21m 02166.01060246.02300
3
6
c ==⨯⨯⨯≥
d mm 三者长度相同，重量之比即为面积之比。

816.0)02886.002942.0(
4π4π2
2b
2
a b a ===d d A A 724.0)02166.002942.0(8π)(8π24π22c a 2c 2
a
c a ====
d d d d A A ∴ 724.0:816.0:1::c b a =A A A
4－12 直径d = 25mm 的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D = 75mm 、壁厚δ=1.25mm 的薄壁管，
当杆承受外扭转力遇矩T = 73.6N ·m 时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。

假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa 。

试：
1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。

解：设轴受T = 73.6N ·m 时，相对扭转角为0ϕ 且
1
p 0d d GI T
x =
ϕ （1）
T 撤消后，管受相对扭转角2ϕ，则轴受相对扭转角
201ϕϕϕ-=，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统
平衡。

021ϕϕϕ=+ （2）
(a)
(b)
习题4-10图
习题4-11图
(a)
2
p 1p 1p GI l
M GI l M GI Tl x x '+= （3） x x M M '= （4）
∴ T I I I M x p2
1p 2p +=
（5） 2
p2p12p 2p p2p12p max h D
I I T W T I I T W M x ⋅+=⋅+==τ （6）
1212441
p 105.3834910)25(32
π32π--⨯=⨯==d I 12124444p2
1039392210)755.72(13275π)2(132
π--⨯=⨯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=D D D I δm 4
将I p1、I p2值代入（6）得
管：38.610)3939225.38349(10275
6.7312
3
max h =⨯+⨯⨯=--τMPa
轴：86.21105.38349)3939225.38349(103939222256.732d )(2d 12
3
2p 1p 1p 2p 1p max s =⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅+⋅=
⋅=--I I I T I I M x τ MPa 4－13 由钢芯（直径30mm ）和铝壳（外径40mm 、内径30mm ）组成的复合材料圆轴，一端固定，另一端承受外加力偶，如图所示。

已知铝壳中的最大切应力60max a =τMPa ，切变模量G a = 27GPa ，钢的切变模量G s = 80GPa 。

试求钢芯横截面上的最大切应力max s τ。

解：复合材料圆轴交界面上剪应变相同γγγ==a s （r = 15mm ） pa
a
max a W M =τ a a pa a
a )(γτG r I M r == r
I G M a
pa a a γ=
∴ r
I G W a
pa a pa max a γτ=⋅
13320
27156080)(a max a s pa a pa max a s a s s s ps s
max s =⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅====
R G r G I G r W G G G W M r ττγγτMPa 4－14 若在圆轴表面上画一小圆，试分析圆轴受扭后小圆将变成什么形状？使小圆产生如此变形的是
什么应力？
答：小圆变形成椭圆，由切应力引起。

小圆方程为：222R y x =+，R 为小量 小圆上一点),(y x A ，
当圆轴扭转时，A 无水平位移，所以x x ='（平面假设）
A 垂直位移：L x d v 2)(ϕ
+=
L
x d y v y y 2)(ϕ
++=+='
∴ L
x d y y 2)(ϕ
+-'=
将坐标代入：22
2
2)()(R L x d y x =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
'+-'+'ϕ
0)4(22)4(2)()2(2))(41(22
22222
222
=-+'+'+'+''+'+
R L
d y L d x L d y y x
L x L ϕϕϕϕϕ 二次项系数：01
22412
22>+
=
∆L
L L ϕ
ϕ
ϕ，所以为椭圆型方程。

习题4-13图。