江西省赣州市十三县(市)2017届高三上学期期中联考数学(理)试题

2016—2017学年第一学期赣州市十三县（市）期中联考
高三年级数学（理科）试卷
命题人：安远一中 审题人：信丰中学
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 1.
若集合{{}
2|,|2,M x y N y y x x R ====-∈,则=⋂N M （ ） A.[0,)+∞ B.[2,)-+∞ C.∅ D.[2,0)- 2.若
11
0a b
<<，则下列结论不正确的是（ ） A ．2
2a
b < B ．2ab b < C ．0a b +< D ．a b a b +>+
3.下列说法不正确的是（ ）
A.若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题
B.命题“2,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2
,10x R x x ∀∈--≥”
C.“2
π
ϕ=
”是“()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的充要条件
D.当0α<时，幂函数()0,y x α
=+∞在上单调递减
4.记x
x f 2)(=，()(),0,5log ,4log 231f c f b f a ==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=则c b a ,,的大小关系
为（ ）
A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．b c a <<
D ．a b c << 5.
( )
6. 已知函数()x 21,x 2,
f x 3
,x 2,x 1
⎧-<⎪=⎨>⎪-⎩若方程()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．(1,3)
B ．(0,3)
C ．(0,2)
D ．(0,1)
7.已知向量,的夹角为
120°，且,32==则向量32+在向量
+2方向上的投影为（ ）
A B C D ．8．若函数)1,0()(≠>-=-a a a ka x f x
x 在),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数，
则函数()log ()a g x x k =+的图象是( )
9．对于使()f x M ≤恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若0a >，0b >且1a b +=，则12
2a b
--的上确界为（ ）
A ．
9
2
B ．92
-
C ．
14
D ．4-
10.定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=．当[)3,1x ∈--时，
2()(2)f x x =-+，
当[)1,3x ∈-时，()f x x =，则(1
)(2)(3)(2017)f f f f
+++⋅+的值为（ ）
A.336
B.337
C.1676
D.2017
11.定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()()1,00,f x f x f f x f x ''>-=是的导函数，则不等式()1x
x
e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A. ()0,+∞
B. ()(),10,-∞-⋃+∞
C. ()(),01,-∞⋃+∞
D. ()1,-+∞
12．已知R a ∈，若x
e x
a x x f )()(+=在区间（0，1）上只有一个极值点，则a
的取值范围为（ ） A ．0>a
B ．1≤a
C ．1>a
D ．0≤a
二、填空题（本大题共4小题，每空5分，共20分）
13.已知点()1,2P -，线段PQ 的中点M 的坐标为()1,1-．若向量PQ 与向量
)1,(λ=a 共线，则λ= _____________．
14. 由直线1y =,2y =,曲线1xy =及y 轴所围成的封闭图形的面积是__________.
15.各项均为正数的等比数列{}n a 满足176
4,8a a a ==，若函数
23112310()f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+的导数为'()f x ，则1
'()2
f ＝ .
16.已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则
2
2a b
+的取值范围___________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分) 已知命题：“{|11}x x x ∃∈-<<，使等式2
0x x m --=成立”是真命题。

（Ⅰ）求实数m 的取值集合M ；
（Ⅱ）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围。

18.(12分) 如图，在四边形ABCD 中，3
ABC π
∠=，:2:3AB BC =，AC =．
（Ⅰ）求sin ACB ∠的值；
（Ⅱ）若34
BCD π
∠=，1CD =，求CD ∆A 的面积．
19. (12分)已知向量⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=1),6sin(πx ，()
3cos 4,4-=x .
（Ⅰ）若b a ⊥，求4sin 3
x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
的值； （Ⅱ）设
b a x f ⋅=)(
，若0,,26f ππαα⎡⎤⎛⎫∈-=
⎪⎢⎥⎣
⎦
⎝
⎭
，求cos α的值．
20. (12分) 某厂有容量300吨的水塔一个,每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水,已知:该厂生活用水每小时10吨,工业用水总量W (吨)与时间t (单位:小时,规定早晨六点时0=t )的函数关系为t W 100=,水塔的进水量有10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级, 进水量增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在供应同时打开进水管.问该天进水量应选择几级,既能保证该厂用水(即水塔中水不空),又不会使水溢出?
21.（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，),1(),1,(101a b a a ==，若
,24=⋅且14311=S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ,且满足
))(1(2*11N n a T n a n ∈--=-λ.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和n M ；
（Ⅱ）是否存在非零实数λ，使得数列{}n b 为等比数列？并说明理由.
22.(12分)已知()ln(1)2(0)f x mx m =+-≠． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若4
0,()()2
m g x f x x >=++存在两个极值点12,x x 且12()()0g x g x +<，求m 的取值范围．
2016—2017学年第一学期赣州市十三县（市）期中联考
高三年级数学（理科）参考答案
13. 23λ=- 14. ln 2 15. 55
4
16. 1(0,)2
三、解答题
17. 解析:(1)由题意知，方程02=--m x x 在(－1,1)上有解，即m 的取值范围就为函数x x y -=2在(－1,1)上的值域，………………………………2分
易得}24
1|{<≤-=m m M 。

………………………………5分
(2)因为x N ∈是x M ∈的必要条件，所以N M ⊆.………………………………6分
当1=a 时，解集N 为空集，不满足题意；………………………………7分
当1>a 时，a a ->2，此时集合{}2N x a
x a =-<<
则124a -<-且2a ≥解得9
4
a >；………………………………9分
当1<a 时，a a -<2，
此时集合{}2N x a x a
=<<-，
则14a <-
且22a -≥，解得1
4a <-，………………………………11分
综上，94a >或1
4
a <-。

………………………………12分
18. 解析:（1）由:2:3AB BC =，可设2AB x =，3BC x =．又∵AC =，
3
ABC π
∠=
，
∴由余弦定理，得222(3)(2)232cos 3
x x x x π
=+-⨯⨯，…2分
解得1x =，∴2AB =，3BC =，…4分
由正弦定理，得2sin sin AB ABC
ACB AC ∠∠=
=
=6分
（2）由（1）得7
7
2cos =∠ACB …7分 因为,43π=
∠BCD 所以⎪⎭
⎫
⎝⎛∠-=∠=∠+∠ACB ACD ACB ACD 43sin sin ,43ππ…8分
()
14
14
327212277222sin 43cos cos 43sin
+=
⨯+⨯=∠-∠=ACB ACB ππ10分 又因为1=CD ,所以4
6
22sin 21+=∠⨯⨯=
ACD CD AC S …12分 19.解析：(1)因为0=∙⇔⊥
则3cos 4)6
sin(4-++=∙x x π
…………………………2分
6cos x x =+
)03x π
=+=， ……………………………4分 所以1
sin()34x π+=， ……………………………5分
所以41
sin()sin()334
x x ππ+=-+=-.……………………………6分
(2)由(1)知())3
f x x π
=+
所以由()6f πα-=3
sin()64
πα+=，……………………………8分
又0,2πα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以2,663πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
又因为3242
<<
，所以,663πππα⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，……………………………10分
所以cos()6πα+=，
所以cos cos ()66ππαα⎡
⎤=+-⎢⎥⎣
⎦ ……………………………11分
＝cos()cos sin()sin 6666
ππππ
αα+++
＝31342428
+⨯=
. …………………………12分 20．解析:设水塔进水量选择第n 级,在t 时刻水塔中的水容量y 等于水塔中的存水量100吨加进水量nt 10吨,减去生产用水t 10吨,在减去工业用水t W 100=吨,即t t nt y 1001010100--+=(160≤<t )；……4分
若水塔中的水量既能保证该厂用水,又不会使水溢出,则一定有3000≤<y . 即30010010101000≤--+<t t nt ,……6分
所以110
2011010++≤<++-t
t n t t 对一切(]16,0∈t 恒成立. ……8分 因为
272721110110102
≤+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-t t t ,419
4141120110202
≥-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++t t t ,……11分
所以
4
1927≤≤n ,即4=n .即进水选择4级. ……12分 21.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由),1(),1,(101a a ==，,24=⋅得
24101=+a a 又14311=S 解得2,31==d a ，因此数列的通项公式是)(12*N n n a n ∈+=，…3分
所以
⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+=+3211212111n n a a n n ， 所以9
63211217151513121+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⋅⋅⋅+-+-=
n n
n n M n …6分 （Ⅱ）因为))(1(2*11N n a T n a n ∈--=-λ且31=a 可得λ
λ2
41+=n n T ，…7分
当1=n 时，λ
6
1=
b ；…8分
当2≥n 时，1143
--=
-=n n n n T T b λ,此时有
41
=-n n
b b ，…10分 若是{}n b 等比数列，则有有412=b b ，而λ61=b ，λ
12
2=b ，彼此相矛盾，
故不存在非零实数，使数列为等比数列。

…12分
22.解：（1）由已知得10,'()1m
mx f x mx +>=
+，…………………………1分 ①若0m >时，由10mx +>，得：1
x m
>-，恒有'()0f x >，
∴()f x 在
1
(,)m
-+∞递增；……………………………2分 ②若0m <，由10mx +>，得：1
x m
<-，恒有'()0f x <，
∴()f x 在1
(,)m
-∞-递减；……………………………4分
综上，0m >时，()f x 在1
(,)m -+∞递增，
0m <时，()f x 在1
(,)m -∞-递减；……………………………5分
（2）4
()ln(1)2,(0)2
g x mx m x =++
->+， ∴2244
'()(1)(2)mx m g x mx x +-=++，……………………………6分
令2
()44h x mx m =+-,1m ≥时，()0,'()0,()h x g x g x ≥≥无极值点，
01m <<时，令()0,h x =得：1x =-或2x =，……………7分 由()g x 的定义域可知1
x m
>-
且2x ≠-，……
∴1m ->-
且2-≠-，解得：12m ≠，………………………8分
∴12,x x 为()g x 的两个极值点，
即12x x =-= 且12124(1)
0,m x x x x m
-+==，得：
12121244
()()ln(1)2ln(1)222
g x g x mx mx x x +=++-+++-++
=2
2ln(21)221
m m -+
--，………………………9分 令2
221,()ln 2t m F t t t
=-=+-，
①102m <<时,10t -<<，∴2()2ln()2F t t t =-+-，∴2
2(1)
'()0t F t t
-=<， ∴()F t 在(1,0)-递减，()(1)0F t F <-<，………………………10分
即1
02
m <<时，12()()0g x g x +<成立，符合题意；
②112m <<时，01t <<，∴222(1)
()2ln 2,'()0t F t t F t t t -=+-=
<, ∴()F t 在（0，1）递减，()(1)0F t F >=， ∴1
12
m <<时，12()()0g x g x +>，不合题意，………………………11分 综上，1
(0,)2
m ∈．………………………12分。