2019-2020学年河南省平顶山市鲁山一中高一上学期11月月考数学试题(解析版)

2019-2020学年河南省平顶山市鲁山一中高一上学期11月月
考数学试题
一、单选题
1．设集合{}04A x x =<<，{}
2B x x =>，则A B =（ ）
A ．{}
04x x << B ．{}
24x x <<
C ．{}
2x x >
D ．{}
0x x >
【答案】D
【解析】由题意结合并集的定义可得：A B ⋃= {}
0x x >.
本题选择D 选项.
2．函数()()lg 212
x f x x -=
-的定义域为（ ）
A ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
B ．()2,+∞
C ．()
1
,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭
D ．()1,22,2⎛⎫
⋃+∞
⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】函数有意义，则：21020x x ->⎧⎨-≠⎩，求解不等式可得：122x x ⎧
>⎪
⎨
⎪≠⎩， 即函数()()212
lg x f x x -=
-的定义域为 ()1,22,2⎛⎫
⋃+∞ ⎪⎝⎭
.
本题选择D 选项.
点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
3．已知3log 4a =，23
log 2b =，
0.15c -=，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【答案】B
【解析】由题意可得：3log 41a =>，
23
log 20
b =<，()0.1
5
0,1c -=∈，
据此可得a c b >>. 本题选择B 选项.
点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．
在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
4．在同一平面直角坐标系中，函数1x
y a -=，2log a y x =-（其中0a >且1a ≠）的
图象只可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】函数的解析式即：1211,log x
a y y x a ⎛⎫
== ⎪⎝⎭，据此可得两函数互为反函
数，函数图象关于直线y x =对称. 观察可得，只有B 选项符合题意. 本题选择B 选项.
5．已知函数()2
2log f x x x =+，则函数()f x 的值域为（ ）
A ．()0,∞+
B ．[)0,+∞
C ．1,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
D ．1,4⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】A
【解析】令2log t x =，则2t x =，据此可得：()()
2
22t
t f t =+，
令()20t m m =>，换元可得：()()2
0f m m m m =+>，
结合二次函数的性质可得，函数()f x 的值域为()0,+∞ . 本题选择A 选项.
6．已知函数()(
)33,1,log 2,1,ax x f x x a x ->-⎧=⎨-+≤-⎩是在R 上的单调函数，则a 的取值范围
是（ ） A ．()0,∞+ B ．(],2-∞-
C ．[)2,0-
D ．(),0-∞
【答案】C
【解析】当1x >-时，一次函数3y ax =-单调递减，则0a <；
当1x ≤-时，对数型函数()3log 2y x a =-+单调递减；
考查1x =-是的函数值，应满足：()()3log 2113a a ⎡⎤--+≥⨯--⎣⎦， 求解不等式可得：2a ≥-， 综上可得，a 的取值范围是[)2,0-. 本题选择C 选项.
点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．
7．函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是 A ．（-2,-1） B ．（-1,0）
C ．（0,1）
D ．（1,2）
【答案】C
【解析】试题分析：
()()()()2102220,1120,0020,1120
f e f e f e f e ---=--<-=--<=+-=+-
()()100f f ∴<，所以零点在区间（0，1）上
【考点】零点存在性定理
8．函数y
( ) A ．(－∞，－3] B ．(－∞，－1] C ．[1，＋∞) D ．[－3，－1]
【答案】A
【解析】该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x 2
＋2x －3的对称轴为x
＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数． 9．设
，若函数
在
上的最大值是3，则其在
上的最小
值是（ ） A ．2 B ．1
C ．0
D ．
【答案】A 【解析】设则
，利用二次函数的性质求解即
可. 【详解】
设
则. 因为所以
当
时，
； 当
时，
，即
于是
故选A.
【点睛】
本题主要考查指数函数的性质以及二次函数在闭区间上的最值，属于中档题. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.
10．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于y 轴对称，且函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，则不等式()(21)f x f x <-的解集为（ ） A ．1(,)(1,)3
-∞⋃+∞
B ．1(,1)(,)3
-∞-⋃-+∞ C ．1(,1)3
D ．1(1,)3
--
【答案】A
【解析】函数图像关于y 轴对称，故函数在[)0,+∞上递增，由此得到21x x <-，两边平方后可解得这个不等式. 【详解】
依题意，函数()f x 是偶函数，且()f x 在[
)0,+∞上单调递增， 故()()()()()2
2
212121f x f x f
x f x x x <-⇔<-⇔<- 2
3410x
x ⇔-+>
1
3
x ⇔<
1x >或，故选A. 【点睛】
本小题主要考查函数的对称性，考查函数的单调性以及绝对值不等式的解法，属于中档题.
11．若函数()()
()2log 20,1a f x x x a a =+>≠在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
内恒有()0f x >，则
()f x 的单调递增区间是（ ）
A ．1,4⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,2⎛⎫
-∞- ⎪⎝
⎭
D ．()0,+∞ 【答案】C
【解析】试题分析：由题意得，因为)2
1,0(∈x ，)1,0(22
∈+x x ，函数
()()(
)2
l o g 20,1
a f
x x x a a =+>≠在区间)2
1
,0(内恒有()0f x >，所以)1,0(∈a ，由复合函数的单调性可知)(x f 的单调递减区间),0(+∞，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为)2
1
,(--∞，故选C ．
考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.
【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出)(x f 的底数a 的值，由)2
1,0(∈x ，可得到内层函数的值域，再由()0f x >恒成立，可得到底数a 的取值范围，再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.
12．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()000f x f x +-=，则称点()
()
00,x f x 是曲线()f x 的“优美点”.已知()22,0
2,0
x x x f x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，则曲线()f x 的“优美点”个
数为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．6
【答案】B
【解析】曲线()f x 的“优美点”个数，就是0x <的函数()f x 关于原点对称的函数图象，与2y x =-的图象的交点个数，求出0x <的函数()f x 关于原点对称的函数解析式，与2y x =-联立，解方程可得交点个数． 【详解】
曲线()f x 的“优美点”个数，
就是0x <的函数()f x 关于原点对称的函数图象，与2y x =-的图象的交点个数， 由0x <可得()2
2f x x x =+，
关于原点对称的函数()2
2f x x x =-+，0x >，
联立2y x =-+和2
2y x x =-+， 解得1x =或2x =，
则存在点()1,1和()2,0为“优美点”， 曲线()f x 的“优美点”个数为2，故选B ． 【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，考查转化思想和方程思想，属于难题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
二、填空题
13．若幂函数()a f x x =的图象经过点1
(3)9，，则2a -=__________.
【答案】
14
【解析】由题意有：1
3,29
a
a =∴=-， 则：()2
2
124
a
--=-=
. 14．已知函数()y f x =在R 上是奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-，则0x <时，()f x 的解析式为_______________.
【答案】2()2f x x x =--
【解析】当0x <时,0x ->,利用已知可求得()f x -,再根据奇函数的性质,可求得()f x .
【详解】
因为函数()y f x =在R 上是奇函数, 所以()()f x f x -=-,
因为0x ≥时，2
()2f x x x =-,
所以0x <时,0x ->,22
()()2()2f x x x x x -=---=+,所以
2()()2f x f x x x =--=--
所以0x <时，()f x 的解析式为2()2f x x x =--. 故答案为: 2()2f x x x =-- 【点睛】
本题考查了利用奇函数的性质求解析式,属于基础题.
15．某商品价格y （单位：元）因上架时间x （单位：天）的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即x
y k a =⋅（0a >且1a ≠）*N x ∈.当商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元，则该商品上架第4天的价格为__________元. 【答案】40.5（或
812
） 【解析】由题意可得方程组：13
9654k a k a ⎧⨯=⎨⨯=⎩，结合0a >且1a ≠可得：34128
a k ⎧
=⎪
⎨⎪=⎩， 即：31284x
y ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，则该商品上架第4天的价格为4
381
12840.542⎛⎫⨯== ⎪⎝⎭
，
即该商品上架第4天的价格为40.5（或
81
2
）元. 16．函数()()
()2
13
,224log ,02x x f x x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<<⎩，若方程()0f x k -=仅有一根，则实数k 的取
值范围是__________． 【答案】{3
|4
k k ≤
或}1k = 【解析】如图，画出函数图像，1324
x
y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2x >的值域是3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭，函数()y f x =
与y k =仅有一个交点，由图像可得3
4
k ≤
或1k =，故填：3{4k k ≤或1}k =
.
【点睛】本题考查了方程根的个数求参数的问题，，首先不难画出函数的图像，令
()k f x =，可将方程转化为y k =与函数图像的交点问题，利用数形结合画出()f x 的
图像，求参数k 的范围即可.
三、解答题
17．（1
）计算
⎛-
⎝
2
38lg 25lg 4++；
（2）已知lg3a =，lg5b =，试用,a b 表示2log 45. 【答案】(1)4；(2)
21a b
b
+-. 【解析】试题分析：
(1)由题意结合分数指数幂的运算法则计算可得原式的值为4；
(2)由题意结合换底公式可得
22451a b
log b
+=-. 试题解析：
（1
）0
2
3
8254lg lg ⎛++ ⎝ 1341004lg =-++=.
（2）
24595
451025
lg lg log lg lg ⨯=
== 952352105151lg lg lg lg a b
lg lg lg b
+++==---. 18．已知不等式的解集为，函数的值域为．
（1）求；
（2）若，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】(1)首先求得集合A 和集合B ，然后进行集合的混合运算即可；
（2）由题意可知，据此分类讨论和两种情况确定实数a 的取值范围即
可. 【详解】 (1)由题意
，
.
（2）由得
，
（i ）当时即时，解得
符合题意， （ii ）当则.
综上所述.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．已知二次函数()2
f x ax bx c =++（,,a b c 为常数），对任意实数x 都有
()()12f x f x x +-=成立，且()0 1.f =
（1）求()f x 的解析式；
（2）若关于x 的不等式()2f x x m >+在区间[]1,1-上有解，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)2
()1f x x x =-+ ,(2)5m <
【解析】(1)在()()12f x f x x +-=中,分别取0,1x x ==,得到两个方程,解方程组可得答案;
(2)将问题转化为231m x x <-+在区间[]1,1-上有解,令231,[1,1]y x x x =-+∈-,再转化为max m y <,然后根据单调性求得最大值,即可解决问题. 【详解】
(1)因为(0)1f =,所以1c =,
在()()12f x f x x +-=中,令0x =,得(1)(0)0f f -=,所以(1)1f =, 所以1a b c ++=,所以0a b +=,
在()()12f x f x x +-=中,令1x =,得(2)(1)2f f -=,所以(2)3f =, 所以423a b c ++=,所以1,1,1a b c ==-=,
所以2()1f x x x =-+.
(2)因为关于x 的不等式()2f x x m >+在区间[]1,1-上有解,
所以212x x x m -+>+在区间[]1,1-上有解,即231m x x <-+在区间[]1,1-上有解, 令2
31,[1,1]y x x x =-+∈-, 则max m y <,
因为231y x x =-+在[1,1]-上为递减函数, 所以1x =-时,max 1315y =++=, 所以5m <. 【点睛】
本题考查了求二次函数的解析式,考查了不等式有解问题,利用赋值法求,a b ,将不等式有解转化为求最大值是解题关键,属于中档题.
20．据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h )与时间t (h )的函数图象如图所示，过线段OC 上一点(),0T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h )内沙尘暴所经过的路程s (km )．
(1)当4t =时，求s 的值；
(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．
【答案】（1）24km （2）2
23,[0,10]230150,(10,20]
70550,(20,35]t t s t t t t t ⎧∈⎪⎪=-∈⎨⎪-+-∈⎪⎩
（3）沙尘暴发生30h 后将侵袭到N 城．
【解析】(1)根据图象,计算可得答案;
(2)根据图像分三段写出函数解析式,再写成分段函数的形式;
(3)根据分段函数解析式,计算出10[0]t ∈，
和(10,20]t ∈时,函数的最大值,两个最大值都小于650,所以[0,20]时, 这场沙尘暴不会侵袭到N 城,在2035t <≤时,令
270550650t t -+-=,解得30t =即可得到答案.
【详解】
解：（1）由图像可知，当4t =时，3412v =⨯=，所以1s 412242
=⨯⨯=km ．
（2）当010t ≤≤时，213322s t t t =
⋅⋅=； 当1020t <≤时，1s 103030(t 10)30t 1502
=
⨯⨯+-=-； 当2035t <≤时， 21110301030(t 20)30(t 20)2(t 20)t 70t 55022
s =⨯⨯+⨯+-⨯-⨯-⨯-=-+-． 综上可知，223,[0,10]
230150,(10,20]70550,(20,35]t t s t t t t t ⎧∈⎪⎪=-∈⎨⎪-+-∈⎪⎩
．
（3）因为当10[0]t ∈，时，max 31021506502
s =⨯=<， 当(10,20]t ∈时，max 3020150450650s =⨯-=<，
所以当t (20,35]∈时，令270550650t t -+-=，
解得1230,40t t ==.
因为2035t <≤，所以30t =．
故沙尘暴发生30h 后将侵袭到N 城．
【点睛】
本题考查了利用图象求分段函数的解析式和函数值,属于中档题.
21．设函数()y f x =是定义在()0,∞+上的增函数，并满足
()()(),(4)1f xy f x f y f =+=
（1）求()1f 的值；
（2）若存在实数m ，使()2f m =，求m 的值
（3）如果()
2452f x x --<求x 的范围
【答案】（1）0；（2）16；（3）31x -<<-或57x <<. 【解析】（1）令1x y ==，可求()1f 的值；（2）由(4)(4)(
16)2()f f f f m +===，可求m 的值；（3）由()
2452f x x --<，利用单调性结合定义域列不等式可求x 的范围.
【详解】
（1）()()()f xy f x f y =+
令1x y ==， (1)(1)(1)(1)0f f f f =+∴=；
（2）因为()()(),(4)1f xy f x f y f =+=
(4)(4)(16)2()f f f f m ∴+===
16m ∴=；
（3）因为函数()y f x =是定义在()0,∞+上的增函数，
()2452f x x --<
所以22450
{,4516x x x x -->--<
解得31x -<<-或57x <<.
【点睛】
本题主要考查函数的单调性以及定义域与解析式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
22．函数()()2
33()log 1log 32(0,)f x x a x a x a R =+-+->∈．
（1）若函数()f x 的值域是[)2,+∞，求a 的值；
（2）若3(3)log (9)0f x x +≤对于任意[]3,9x ∈恒成立，求a 的取值范围．
【答案】（1）7a =±2）43
a ≤- 【解析】试题分析：（1）将函数式看作关于3log x 的二次函数式，结合函数性质求得最小值用a 表示，即得到关于a 的方程，从而求得a 值；（2）将不等式代入函数式化简，通过换元法转化为二次不等式2
(2)40t a t a +++≤在[]1,2t ∈上恒成立问题，进而结合函数性质求解a 的取值范围
试题
解析：（1）()()()22233311()log 1log 32log 3224a a f x x a x a x a --⎛⎫=+-+-=++-- ⎪⎝
⎭， ()[)2
3310,,log ,log 0,2a x x R x -⎛⎫∈+∞∴∈∴+∈+∞ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的值域为()2132,4a a ⎡⎫---+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭，根据条件()f x 的值域为[)2,+∞，
∴()21322,74a a a ---=∴=±
（2）()()()23333(3)log (9)log 11log 132log 2f x x x a x a x +=++-++-++，
整理得()()2
333(3)log (9)log 12log 4f x x x a x a +=++++，
令3log x t =，当[]3,9x ∈时，[]1,2t ∈，
那么3(3)log (9)0f x x +≤对于任意[]3,9x ∈恒成立2(2)40t a t a ⇔+++≤对于任意[]1,2t ∈恒成立，根据实根分布2
(2)40t a t a +++=的二实根，一根小于等于1，一根大于等于2，
1(2)4042(2)40a a a a +++≤⎧⎨+++≤⎩
43a ⇒≤-． 【考点】1．二次函数单调性与最值；2．不等式与函数的转化
【方法点睛】求解函数最值或值域时首先分析函数单调性，本题中将函数式中的3log x 看作一个整体即可转化为二次函数最值问题，此时要注意函数的定义域；第二问中有关于不等式恒成立问题求解思路一般有以下几种：其一，分离参数法，将不等式变形，将参数和变量x 分别分离到不等式的两边，转化为()a f x >或()a f x <的性质，通过求
解函数的最大值或最小值得到参数的范围，此法适用于参数容易分离的题目；其二，转换函数法，将不等式转化为()0f x >或()0f x <恒成立，从而借助于函数()f x 性质得到a 的不等式，求解a 的范围；。