转动惯量讲义

实验34 刚体转动惯量的测量刚体是在外力作用下形状、大小皆不变的物体。

通常将受外力作用形变甚微的物体视为刚体。

转动惯量是表征转动刚体惯性大小的物理量是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要工程技术参数它与刚体的质量分布、形状和转轴的位置等都有关系。

对于几何形状较规则、质量分布均匀的刚体可以通过数学方法计算出绕给定转动轴的转动惯量但形状较复杂、质量分布不均匀的刚体用数学方法计算其转动惯量是非常困难的通常采用实验方法来测定。

转动惯量的测定对于机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究具有十分重要的意义如钟表摆轮、精密电表动圈的体形设计、枪炮的弹丸、电机的转子、机器零件、导弹和卫星的发射等都不能忽视转动惯量的大小因此测定物体的转动惯量具有重要的实际意义。

转动惯量不能直接测量一般进行参量换测即设计一种装置使待测刚体以一定形式运动通过表征这种运动特征物理量与转动惯量的关系进行转换测量。

对于不同形状的刚体设计了不同的测量方法和仪器。

测量转动惯量有多种方法如落体法转动惯量仪、双线摆法、复摆法、扭摆法三线摆、金属杆扭摆、单悬丝扭摆、双悬丝扭摆、蜗簧扭摆等。

本实验采用扭摆法测量物体的转动惯量利用蜗簧扭摆使物体作扭转摆动通过对摆动周期及其它参数的测定计算出物体的转动惯量。

【预习提示】1. 什么是物体的转动惯量描述物体定轴转动的基本定律是什么2. 扭摆法测量转动惯量的基本原理是什么3. 采用扭摆法测量转动惯量需要测量哪些相关物理量各物理量如何测量4. 什么的物体转动惯量的平行轴定理实验中采用什么方法来验证平行轴定理【实验目的】1. 熟悉扭摆的构造和调整使用方法。

2. 掌握扭摆法测量转动惯量的基本原理测定扭摆的扭转常数和不同形状物体的转动惯量。

3. 了解转动惯量的平行轴定理理解“对称法”证明平行轴定理的实验思想和实验方法。

4. 掌握长度、质量、时间 周期 的基本测量方法。

【实验原理】1基本原理扭摆的基本构造如图3-4-1所示在垂直轴1上装有一根薄片状的螺旋弹簧 蜗簧 2用以
产生恢复力矩。

各种待测物体可以装在轴上作扭转摆动。

垂直轴与支座间装有轴承以1—垂直轴2—螺旋弹簧3—水平仪图3-4-1 扭摆的基本构造降低摩擦力矩。

水平仪3和底座上的三个螺钉用来调整系统水平。

安装在扭摆垂直轴上的物体在水平面内转过一角度θ后释放在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。

根据虎克定律弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度θ成正比即
θkM?? 3-4-1 式中k为弹簧的扭转常数。

根据转动定律有MJβ 3-4-2 式中J 为物体绕转轴的转动惯量β为角加速度。

由式 3-4-2 得MJβ 3-4-3 令2kJω且忽略轴承的摩擦阻力矩由式 3-4-1 和式 3-4-3 得222dkdtJθβθωθ
3-4-4 方程 3-4-4 表示扭摆运动具有角简谐振动的特性角加速度与角位移成正比且方向相反方程 3-4-4 的解为cosAtθω?? 3-4-5 式中A为谐振动的角振幅??为初相位角ω为角速度。

此谐振动的周期为22JTkππω 3-4-6 实验测得物体扭摆的摆动周期T后利用式 3-4-6 在转动惯量J和扭转常数k两个量中任何一个量已知时即可计算出另一个量。

2间接比较法测量转动惯量和扭转常数k的确定实验中可以采用间接比较法测量物体的转动惯量和确定扭转常数。

具体方法为 1 测量待测物体载物盘的摆动周期T0设金属载物盘绕垂直轴的转动惯量J0根据式
3-4-6 有20024TkJπ 3-4-7 2 将一个几何形状规则的物体 其对质心的
转动惯量可以根据它的质量和几何尺寸用理论公式直接计算出 放在被测物体载物盘上并使其质心轴与垂直轴重合测出两个复合体的摆动周期T1已知标准物体的转
动惯量为J1由式 3-4-6 可得210124TkJJπ 3-4-8 由式 3-4-7 和式
3-4-8 可得载物盘的转动惯量I0和扭转常数k为20012210TJJTT?? 3-4-9 2122104JkTTπ?? 3-4-10 确定扭摆扭转常数的过程也称为给仪器定标。

扭摆定标确定出扭转常数k值后若要测定其他形状物体的转动惯量只需将待测物体安放在仪器顶部的各种夹具上测定其摆动周期由式 3-4-6 即可算出物体和夹具绕转动轴的转
动惯量减去夹具的转动惯量即得物体的转动惯量。

3“对称法”证明平行轴定理理论分析证明若质量为m的刚体绕通过质心轴的转动惯量为Jc时当转轴平行移动距离x
时则此物体对新轴的转动惯量变为Jx根据转动惯量的平行轴定理有2xcJJmx
3-4-11 根据式 3-4-11 可知Jx与x2成线性关系。

实验中改变不同的x值测量出相应的Jx值在直角坐标纸上作Jxx2图如果为直线则证明平行轴定理是正确的。

为了证明金属滑块转动惯量的平行轴定理本实验中以金属细杆和夹具 支架 为辅助物体实验装置如图3-4-2所示设支架和金属杆的转动惯量为J′金属滑块绕通过质心轴的转动惯量为Jc滑块质心与转轴的距离为x。

为了减小随x的增大摩擦力矩增大而产生的线性系统误差采用对称测量法使用两个同样的金属滑块对称放置。

这时系统的总转动惯量J为222cJJJmx 3-4-12 如果测出系统的摆轴周期为T由式 3-4-6 有224TkJπ 3-4-13 由式 3-4-12 和式 3-4-13 可得图3-4-2 验证平行轴定理实验装置22222224cTkJJJmxcmxπ 3-4-14 式 3-4-14 中对于实验室仪器给定的情况下c为定值。

因此实验中对称地改变滑块的位置测出不同x值对应的Tx值作
2xTx2图如果为直线则平行轴定理得到了证明。

4光电转换测量周期光电传感器 光电门 和电脑计数器组成光电计时系统测量摆动周期。

光电门 光电传感器 由红外发射管和红外接受管构成将光信号转换为脉冲电信号送入电脑计数器测量周期 计数测量时间 。

为了精确测量周期实验中可采用累加放大法测量。

【实验器材】1扭摆扭摆的基本构造和工作原理参见实验原理的部分内容。

2转动惯量测试仪
1 组成与功能转动惯量测试仪面板结构如图3-4-3所示由主机和光电传感器两
部分组成用于测量物体转动或摆动的周期以及旋转体的转速。

主机采用新型的单片机作控制系统能自动记录、存贮多组实验数据并能够精确地计算多组实验数据的平均值。

光电传感器主要由红?夥⑸涔芎秃焱饨邮展茏槌山 庑藕抛 晃 龀宓缧藕潘腿胫骰 ぷ鳌Ｒ蛉搜畚薹ㄖ苯庸鄄煲瞧鞴ぷ魇欠裾 ５ 捎谜诠馕锾逋 嫡诘补獾缣酵贩⑸涔馐 芳觳榧剖逼魇欠窨 技剖 偷酱镌ざㄖ芷谑 笔欠裢Ｖ辜剖 Ｎ 乐构 抗庀叨怨獾缣酵返挠跋旃獾缣酵凡荒芊胖迷谇抗庀率笛槭笨刹捎么傲闭诠馊繁＜剖钡淖既贰? 2 仪器使用方法①调节光电传感器在固定支架上的高度及位置使其处于被测物体挡光杆的平衡位置处挡光杆应位于空隙中央能遮住发射接受红外线的小孔又不与探头接触确保被测物体上的挡光杆能自由往返地通过光电门再将光电传感器的信号传输线插入主机输入端 位于测试仪背面 。

②开启主机电源“摆动”指示灯亮参量指示“P1 第一次测量 ”、数据显示为“――――”。

③默认设定扭摆的周期数为10如要更改按“置数”键显示“n10”按“上调”键图3-4-3 转动
惯量测试仪面板结构图周期数依次加1按“下调”键周期数依次减l周期数只能在120范围内任意设定再按“置数”键确认显示“F1 end”周期数一旦预置完毕除复位和再次置数外其他操作均不改变预置的周期数但更改后的周期数不具有记忆功能一旦切断电源或按“复位”键便恢复原来的默认周期数。

④按“执行”键数据显示为“0000”表示仪器已处在等待测量状态。

此时当被测的往复摆动物体上的挡光杆第一次通过光
电门时仪器即开始连续计时直至周期数等于仪器所设定值时便自动停止计时由“数
据显示”给出累计的时间同时仪器自行计算周期Cl予以存贮以供查询和作多次测量
求平均值。

至此P1测量完毕。

⑤按“执行”键“P1”变为“P2”数据显示又回到“0000”仪器处在第二次待测状态重复测量的最多次数为5次即P1、P2、……、P5。

通过“查询”键可知各次测量的周期值Ci i1、2、……、5 以及它们的平均值CA。

⑥按“返回”键系统将无条件地回到最初状态清除当前状态的所有执行数据但预置周期数不
变按“复位”键实验所得数据全部清除所有参量恢复初始时的默认值。

3长度和质量测量工具游标卡尺米尺电子天平。

4待测物体 1 金属载物盘 2 空心金属圆柱体 3 实心塑料圆柱体 4 木球及支架 5 金属细杆、两个滑块及支架用于转动惯量平行轴定理的证明。

金属细杆上刻有凹槽凹槽间距为5.00cm金属滑块可以在细杆上滑动并固定于凹槽上。

【实验内容与要求】1.仪器调整与使用 1 熟悉扭摆的构造和使用方法。

2 调整仪器水平。

调节调整扭摆基座底脚螺钉使水平仪中气泡居中。

3 掌握转动惯量测试仪的使用方法。

2.测量待测物体外形尺寸和质量选用游标卡尺或米尺分别测出塑料圆柱体的直径、空心金属圆柱体的内外径、木球直径、金属细杆的长度、金属滑块的内外径和长度各测量次数不少于5次。

用电子天平测出相应各物体的质量3.测定扭摆的扭转常数 仪器定标 1 金属载物盘装在扭摆垂直轴上并固定好调整光电探头的位置使载物盘上挡光杆处于其缺口中央且能遮住发射、接收红外光线的小孔测定摆动周期T0。

2 标准物体塑料圆柱体 转动惯量理论值可计算出 垂直放在载物盘上测定摆动周期T1。

4测定金属圆筒、木球与金属细杆的转动惯量 1 取下塑料圆柱体将空心金属圆柱体垂直放在载物盘上测定摆动周期T2。

2 取下金属载物盘、装上支架和木球测定摆动周期T3。

3 取下木球装上支架和金属细杆金属细杆的中心位于转轴处并固定测定摆动周期T4。

5转动惯量平行轴定理的证明金属滑块对称放置在细杆两边的凹槽内如图3-4-2所示。

改变滑块在金属细长杆上的位置使滑块质心与转铀的距离x分别为5.00cm、l0.00 cm、15.00 cm、20.00 cm、25.00cm分别测定摆动周期Tx。

6.设计实验方案测量任意形状物体绕特定轴转动时的转动惯量 选做 设计要求 1 阐述基本实验原理和实验方法 2 说明基本实验步骤 3 进行实际实验测量 4 说明数据处理方法给出实验结果 5 分析和讨论实验结果。

【数据记录与处理】1根据实验要求自拟数据表格列表记录和处理数据。

2转动惯量理论值计算公式和参考值 1 均匀圆柱体对其质心轴的转动惯量 2118JmD 2 均匀圆筒对其质心轴的转动惯量 22218JmDD外内 3 转轴为球体直径时均匀球的转动惯量
23110JmD 4 均匀细杆绕垂直通过质心转轴的转动惯量 24112JmL 5金属滑
块 均匀空心圆柱 绕垂直通过质心转轴的转动惯量 222111612cJmDDmL外内
上述各公式中m为物体质量D为物体直径L为物体长度。

6 金属细杆支架 夹具 转动惯量实验参考值 J0.232×10-4kg·m2。

7 球支架转动惯量实验参考值
J0.179×10-4kg·m2。

8 两个滑块通过滑块质心转轴的转动惯量理论值参考值为 0.809×10-4kg·m2实验值参考值为0.820×10-4kg·m2。

3根据理论公式计算塑料圆柱体的转动惯量由式 3-4-9 和式 3-4-10 求出仪器弹簧的扭转常数和金属载物盘的转动惯量估算相应的不确定度表示实验结果。

4计算出金属圆筒、木球与金属细杆转动惯量的实验值 计算时应扣除支架的转动惯量 和理论值用百分数表示相对误差并对误差进行比较分析。

5根据证明平行轴定理实验数据作出2xTx2图线分
析图线特点得出实验结论。

【注意事项】 1 扭摆的机座应保持水平状态。

2 光电探头宜放置在挡光杆的平衡位置处不要与挡光杆相互接触以免增大摩擦力矩。

3 在安装待测物体时支架必须全部套入扭摆主轴并将制动螺丝旋紧否则扭摆不能正常工作。

4 弹簧的扭转常数k值不是固定常数与摆动角度有关系在测定各种物体的摆动周期时摆动角度应始终保持在90°左右。

5 在称金属细杆和木球的质量时必须取下支架和夹具。

6 扭摆的弹簧有一定的使用寿命和强度千万不要随意玩弄。

【思考与讨论】1实验中为什么要测量扭转常数采用了什么方法2物体的转动惯量与哪些因素有关3平行轴定理的证明实验中证明的是金属滑块还是金属细杆的为什么4摆动角的大小是否会影响摆动周期如何确定摆动角的大小5测量转动周期时为什么要采用测量多个周期的方法此方法叫做什么方法一般用于什么情况下6实验中哪些因素影响测量的准确性根据误差分析要使本实验做得准确关键应抓住哪几个量的测量为什么7实验中各个长度的测量为什么要使用不同的测量仪器【附录3-4-1】物理学家惠更斯简介克里斯蒂安.惠更斯 Christian Huygens16291695 荷兰物理学家、天文学家、数学家。

是与牛顿同一时代的科学家他是介于伽利略与牛顿之间一位重要的物理学先驱是历史上最著名的物理学家之一。

他对力学的发展和光学的研究都有杰出的贡献在数学和天文学方面也有卓越的成就是近代自然科学的一位重要开拓者。

在阿基米德等人的著作及笛卡儿等人直接影响下致力于力学、光学、天文学及数学的研究他善于把科学实践和理论研究结合起来透彻地解决问题因此在摆钟的发明、天文仪器的设计、弹性体碰撞和光的波动理论等图3-4-4 惠更斯方面都有突出成就。

1663年他被聘为英国皇家学会第一个外国会员1666年刚成立的法国皇家科学院选他为院士。

他建立向心力定律提出动量守恒原理改进了计时器。

在力学方面的研究惠更斯是以伽利略所创建的基础为出发点的他继承了伽利略的单摆振动理论并在此基础上进一步研究。

他把几何学带进了力学领域用令人钦佩的方法处理力学问题得到了人们的充分肯定。

在研究摆的重心升降问题时惠更斯发现了物体系的重心与后来欧拉称之为转动惯量的量还引入了反馈装置——“反馈”这一物理思想在今天更显得意义重大。

在《论摆钟》一书中还论述了关于碰撞的问题。

大约在1669年惠更斯就已经提出解决了碰撞问题的一个法则——“活力”守恒原理它成为能量守恒的先驱。

惠更斯原理是近代光学的一个重要基本理论后来菲涅耳对惠更斯光学理论作了发展和补充创立了“惠更斯——菲涅耳原理”完成了光的波动说的全部理论。

惠更斯既重实验更重推理善于在数学理论的基础上把自然现象归于机械原理他有力地加强了物理学在17世纪的奠基工作。