广西各市2012年中考数学分类解析 专题11 圆

某某各市2012年中考数学试题分类解析汇编
专题11：圆
一、选择题
1. （2012某某某某3分）已知两圆的半径分别是3和4，圆心距的长为1，则两圆的位置关系为：【 】
A ．外离
B ．相交
C ．内切
D ．外切
【答案】C 。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

因此，
∵两圆半径之差为1，等于圆心距，∴两圆的位置关系为内切。

故选C 。

2. （2012某某贵港3分）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，点C 是劣弧AB 上的一个动点， 若∠P＝40°，则∠ACB 的度数是【 】
A ．80°
B ．110°
C ．120°
D ．140°
【答案】B 。

【考点】切线的性质，多边形内角和定理，圆周角定理。

【分析】如图,连接OA ，OB ，在优弧AB 上任取一点D （不与A 、B 重合），连接BD ，AD 。

∵PA、PB 是⊙O 的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP。

∴∠OAP＝∠OBP=90°，又∠P＝40°，
∴∠AOB＝360°－(∠OAP＋∠OBP＋∠P)＝140°。

∵圆周角∠ADB 与圆心角∠AOB 都对弧AB ，
∴∠ADB＝12
∠AOB＝70°。

又∵四边形ACBD 为圆内接四边形，∴∠ADB＋∠ACB＝180°。

∴∠ACB＝110°。

故选B。

3. （2012某某某某3分）已知两圆半径为5cm和3cm，圆心距为3cm，则两圆的位置关系是【】
A．相交 B．内含 C．内切 D．外切
【答案】A。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

因此，
∵两圆半径之差2cm＜圆心距3cm＜两圆半径之和8cm，∴两圆的位置关系是相交。

故选A。

4. （2012某某某某3分）如图，已知AB为⊙O的直径，∠CAB=300，则∠D的度数为【】
A．30B．45 C．60D．80
【答案】C。

【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。

【分析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。

∵∠CAB=30°，∴∠B=90°－∠CAB=60°。

∴∠D=∠B=60°。

故选C。

5. （2012某某来宾3分）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是【】
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A。

【考点】动点问题，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，当点P运动到点P′，即AP′与⊙O相切时，∠OAP最大。

连接O P′，则A P′⊥O P′，即△AO P′是直角三角形。

∵OB=AB，OB= O P′，∴OA=2 O P′。

∴
O P1
sin OAP
OA2
'
∠'==。

∴∠OAP′=300，即∠OAP的最大值是=300。

故选A。

6. （2012某某某某3分）定圆O的半径是4cm，动圆P的半径是2cm，动圆在直线l上移动，当两圆相切时，OP的值是【】
A．2cm或6cm B．2cm C．4cm D．6cm
【答案】A。

【考点】相切两圆的性质。

【分析】设定圆O的半径为R=4cm，动圆P的半径为r=2cm，分两种情况考虑：
当两圆外切时，圆心距OP=R+r=4+2=6cm；当两圆内切时，圆心距OP=R-r=4-2=2cm。

∴OP的值为2cm或6cm。

故选A。

7. （2012某某某某3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为【】
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】D。

【考点】切线的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】连接OA，OD，
∵AB，AC都与⊙O相切，∴∠BAO=∠CAO，OD⊥AB。

∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，
∴AO⊥BC，∴∠B=∠BAO=45°。

∴在Rt△OBA 中，OB=AB•cos∠B=8×2422
=。

∴在Rt△OBD 中，OD=OB•sin∠B=24242⨯
=。

故选D 。

8. （2012某某某某、某某3分）如图，Rt△ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切与点D 、E ，过劣弧DE （不包括端点D ，E ）上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB ，BC 分别交于点M ，N ，若⊙O 的半径为r ，则Rt△MBN 的周长为【 】
A. r
B.
23r C.2r D.2
5r 【答案】C 。

【考点】三角形的内切圆与内心；正方形的判定，切线长定理
【分析】连接OD 、OE ，
∵⊙O 是Rt△ABC 的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC。

∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°。

∴四边形ODBE 是矩形。

∵OD=OE，∴矩形ODBE 是正方形。

∴BD=BE=OD=OE=r。

∵⊙O 切AB 于D ，切BC 于E ，切MN 于P ，
∴MP=DM，NP=NE 。

∴Rt△MBN 的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r 。

故选C 。

二、填空题
1. （2012某某贵港2分）如图，在△ABC 中，∠A＝50°，BC ＝6，以BC 为直径的半圆O 与AB 、AC 分别交于点D 、E ，则图中阴影部分的面积之和等于 ▲ （结果保留π）。

【答案】52
π。

【考点】扇形面积的计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质。

【分析】∵∠A＝50°，∴∠B＋∠C＝180°－∠A＝130°。

而OB ＝OD ，OC ＝OE ，∴∠B＝∠ODB，∠C＝∠OEC。

∴∠BOD ＝180°－2∠B，∠COE＝180°－2∠C。

∴∠BOD＋∠COE＝360°－2(∠B＋∠C)＝360°－2×130°＝100°。

而OB ＝12BC ＝3，∴S 阴影部分＝2100353602
ππ⋅⋅=。

2. （2012某某某某3分）如图，AB 、AC 是⊙O 的弦，OE⊥AB、OF⊥AC，垂足分别为E 、F.如果EF=3.5， 那么BC= ▲ .
【答案】7。

【考点】垂径定理，三角形中位线定理。

【分析】由OE 垂直于AB ，利用垂径定理得到E 为AB 的中点，同理得到F 为AC 的中点，可得出EF 为三角形ABC 的中位线，利用三角形的中位线定理得到BC=2EF ，即可求出BC 的长：
∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴E 为AB 的中点，F 为AC 的中点，即EF 为△ABC 的中位线。

∴EF=
12
BC 。

又∵EF=3.5，∴BC=2EF=7。

3. （2012某某某某3分）如图，点B ，A ，C ，D 在⊙O 上，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC= ▲ 0．
【答案】25。

【考点】圆周角定理，垂径定理。

【分析】∵OA⊥BC，∴AB AC =，∴∠ADC=
12∠A OB= 12
×50°=250。

三、解答题
1. （2012某某某某10分）如图，AB 是O 的直径，AE 交O 于点E ，且与O 的切线CD 互相垂直，垂足 为D 。

（1）求证：∠EAC＝∠CAB；
（2）若CD ＝4，AD ＝8：
①求O 的半径；
②求tan∠BAE 的值。

【答案】（1）证明：连接OC 。

∵CD 是⊙O 的切线，∴CD⊥OC。

又∵CD⊥AE，∴OC∥AE。

∴∠1＝∠3。

∵OC＝OA ，∴∠2＝∠3。

∴∠1＝∠2，即∠EAC＝∠CAB。

（2）解：①连接BC 。

∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AE 于点D ，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°。

∵∠1＝∠2，∴△ACD∽△ABC。

∴AD
AC
AC AB =。

∵AC 2＝AD 2＋CD 2＝42＋82
＝80， ∴AB＝2
AC AD 808
=＝10。

∴⊙O 的半径为10÷2＝5。

②连接CF 与BF 。

∵四边形ABCF 是⊙O 的内接四边形，
∴∠ABC＋∠AFC＝180°。

∵∠DFC＋∠AFC＝180°，∴∠DFC＝∠ABC。

∵∠2＋∠ABC＝90°， ∠DFC＋∠DCF＝90°，
∴∠2＝∠DCF。

∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCF。

∵∠CDF＝∠CDF，∴△DCF∽△DAC。

∴CD DF
AD CD = 。

∴DF＝22
CD AD 48=＝2。

∴AF＝AD －DF ＝8－2＝6。

∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BFA＝90°。

∴BF＝2222AB AF 106-=-＝8。

∴tan∠BAD＝BF
AF 8463==。

【考点】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】（1）连接OC ，由CD 是⊙O 的切线，CD⊥OC，又由CD⊥AE，即可判定OC∥AE，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得∠EAC=∠CAB。

（2）①连接BC ，易证得△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB 的长， 从而可得⊙O 的半径长。

②连接CF 与BF ．由四边形ABCF 是⊙O 的内接四边形，易证得△DCF∽△DAC，然后根据
相似三角形的对应边成比例，求得AF 的长，又由AB 是⊙O 的直径，即可得∠BFA 是直角，利用勾股定理求得BF 的长，即可求得tan∠BAE 的值。

2. （2012某某贵港11分）如图，Rt△ABC 的内切圆⊙O 与AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F ，且 ∠ACB＝90°，AB ＝5，BC ＝3。

点P 在射线AC 上运动，过点P 作PH⊥AB，垂足为H 。

（1）直接写出线段AC 、AD 以及⊙O 半径的长；
（2）设PH ＝x ，PC ＝y ，求y 关于x 的函数关系式；
（3）当PH 与⊙O 相切时，求相应的y 值。

【答案】解：（1）AC=4；AD=3，⊙O 半径的长为1。

（2）在Rt△ABC 中，AB=5，AC=4，则BC=3。

∵∠C=90°，PH⊥AB，∴∠C=∠PHA=90°。

∵∠A=∠A， ∴△AHP∽△ACB。

∴
PH AP AC PC BC AB AB -==，即x 4y 35
-=。

∴5y x+43=-，即y 与x 的函数关系式是5y x+43=-。

（3）如图，P′H′与⊙O 相切于点M ，连接OD ，OE ，OF ，OM 。

∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD ，
∴四边形OMH′D 是正方形。

∴MH′=OM=1。

∵CE、CF 是⊙O 的切线，∠ACB=90°，
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE 。

∴四边形CEOF 是正方形，CF=OF=1。

∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y 。

又由（2）知，5
y x+43=-，∴5y y+43=-，解得3y 2
=。

【考点】圆的综合题，圆的切线性质，勾股定理，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）连接AO 、DO ，EO ，FO ，设⊙O 的半径为r ，
在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC=22AB BC 4-=，
∴⊙O 的半径r=12（AC+BC-AB ）=12
（4+3-5）=1。

∵CE、CF 是⊙O 的切线，∠ACB=90°，
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE 。

∴四边形CEOF 是正方形。

∴CF=OF=1。

又∵AD、AF 是⊙O 的切线，∴AF=AD。

∴AF=AC -CF=AC-OF=4-1=3，即AD=3。

（2）通过相似三角形△AHP∽△ACB 的对应边成比例知，
PH AP AC PC BC AB AB
-==，将“PH=x，PC =y”代入求出即可求得y 关于x 的函数关系式。

（3）根据圆的切线定理证得四边形OMH′D、四边形CFOE 为正方形；然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y ；最后将其代入（2）中的函数关系式即可求得y 值。

3. （2012某某某某10分）如图，等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，⊙O 1经过⊙O 2的圆心，顺次连接
A 、O 1、
B 、O 2．
(1)求证：四边形AO 1BO 2是菱形；
(2)过直径AC 的端点C 作⊙O 1的切线CE 交AB 的延长线于E ，连接CO 2交AE 于D ，求证：CE ＝2O 2D ；
(3)在(2)的条件下，若△AO 2D 的面积为1，求△BO 2D 的面积．
【答案】解：（1）证明：∵⊙O 1与⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1B=BO 2=O 2A 。

∴四边形AO 1BO 2是菱形。

（2）证明：∵四边形AO 1BO 2是菱形，∴∠O 1AB=∠O 2AB 。

∵CE 是⊙O 1的切线，AC 是⊙O 1的直径，∴∠ACE=∠AO 2C=90°。

∴△ACE∽△AO 2D 。

∴22DO AO 1EC AC 2
==，即CE=2DO 2。

（3）∵四边形AO 1BO 2是菱形，∴AC∥BO 2。

∴△ACD∽△BO 2D 。

∴
2BO DB 1AD AC 2
==。

∴AD=2BD。

∵2AO D S 1∆=S ，∴2O DB 1S 2∆=。

【考点】相交两圆的性质，菱形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据⊙O1与⊙O 2是等圆，可得AO 1=O 1B=BO 2=O 2A ，利用四条边都相等的四边形是菱形可判定出结论。

（2）根据已知得出△ACE∽△AO2D，从而得出22DO AO 1EC AC 2
==，即可得出结论。

（3）首先证明△ACD∽△BO 2D ，得出
2BO DB 1AD AC 2
== ，AD=2BD ，再利用等高不等底的三角形面积关系得出答案即可。

4. （2012某某某某8分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，且DE⊥AC 于点E.
(1)试判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
(2)若∠C=300，CE=6，求⊙O 的半径.
【答案】解：（1）DE 是⊙O 的切线。

证明如下：连接OD 。

∵D 是BC 的中点， O 是AB 的中点，∴OD∥AC。

∴∠CED=∠ODE。

∵DE⊥AC，∴∠CED=∠ODE=90°。

∴OD⊥DE。

∵OD 是圆的半径，∴DE 是⊙O 的切线。

（2）连接AD 。

∵AB 为直径，∴∠BDA=90°。

∵DE⊥AC，∴∠CED=90°。

在Rt△CED 中，∠C=300，CE=6，
∴cos∠C=CE CD ，即cos30°=6CD
，解得CD=43。

∵点D 为BC 的中点，∴BD=CD=43。

∴AC=AB。

∴∠B=∠C=30°。

在Rt△ABD 中．cos∠B=
BD AB ，即cos30°=43AB ，解得AB=8。

∴⊙O 的半径为4。

【考点】三角形中位线定理，平行线的性质，切线的判定，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）连接OD ，只要证明OD⊥DE 即可．此题可运用三角形的中位线定理证OD∥AC，因为DE⊥AC，
所以OD⊥DE。

（2）在Rt△CED和Rt△AB中应用三角函数的定义即可求出AB，从而求得圆的半径。

5. （2012某某来宾10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BA C的平分线AD交⊙O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图AD=5，AE=4，求⊙O的直径．
【考点】等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD，得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，根据内错角相等两直线平行可得AC∥OD，由两直线平行同旁内角互补，得到∠E与∠EDO 互补，再由∠E为直角，可得∠EDO为直角，即DE为圆O的切线。

（2）连接BD，由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角的性质，得到∠ADB=90°。

在Rt△AED
中，由AE和AD的长，根据锐角三角函数定义求出cos∠EAD
4
5
=。

又在Rt△ABD中，根据锐角三角函数定
义得到
AD4
cos DAB=
AB5
∠=，即可求出直径AB的长。

6. （2012某某某某10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．
（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）；第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；
第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．
第三步，连接BD．
（2）求证：AD2=AE•AB；
（3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求EO
FO
的值．
【答案】解：（1）如图；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。

又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°。

∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB。

∴Rt△ADE∽Rt△ABD。

∴AD：AB=AE：AD，∴AD2=AE•AB。

（3）如图，连接OD、BC，它们交于点G，
∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，∴不妨设AC=3x，AB=5x，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。

∴∠ECG=90°。

又∵∠CAD=∠DAB，∴DC=DB。

∴OD垂直平分BC。

∴OD∥AE，OG=1
2
AC=
3
2
x。

∴四边形ECGD为矩形。

∴CE=DG=OD－OG=5
2
x－
3
2
x =x。

∴AE=AC+CE=3x+x=4x。

∵AE∥OD，∴△AEF∽△DOF。

∴AE：OD=EF：OF，∴EF：OF=4x：5
2
x=8：5。

∴EO8513 FO55
+
==。

【考点】圆的综合题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质。

【分析】（1）根据基本作图作出∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D；点D作AC的垂线，垂足为点E。

（2）根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，DE⊥AC，则∠AED=90°，又由AD平分∠CAB 得到∠CAD=∠DAB，根据相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD，根据相似的性质得到AD：AB=AE：AD，利用比例的性质即可得到AD2=AE•AB。

（3）连接OD、BC，它们交于点G，由5AC=3AB，则不妨设AC=3x，AB=5x，根据直径所对的
圆周角为直角得到∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB得到DC=DB，根据垂径定理的推论得到OD垂直平分BC，
则有OD∥AE，OG=1
2
AC=
3
2
x，并且得到四边形ECGD为矩形，则可求出CE，从而计算出AE，利用AE∥OD
可得到△AEF∽△DOF，则AE：OD=EF：OF，即EF：OF=4x：5
2
x=8：5，然后根据比例的性质即可得到
EO
FO
的
值。

7.（2012某某某某10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC2=AD•AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。

∵∠DAC=∠BAC，∴∠OCA=∠DAC。

∴OC∥AD。

∵AD⊥EF，∴OC⊥EF。

∵OC为半径，∴EF是⊙O的切线。

（2）证明：∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，
∴∠BCA=∠ADC=90°。

∵∠DAC=∠BAC，∴△ACB∽△ADC。

∴AD AC
AC AB
=。

∴AC2=AD•AB。

（3）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，∴∠OCA=60°.
∵OC=OA，∴△OAC是等边三角形。

∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°。

∵在Rt△ACD中，AD=1
2
AC=1。

由勾股定理得：DC=3，
∴阴影部分的面积是S=S梯形OCDA﹣S扇形OCA=1
2
×（2+1）×3﹣
2
602332
36023
π
π
⋅⋅
=-。

【考点】圆的综合题，等腰（边）三角形的判定和性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积。

【分析】（1）连接OC，根据OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根据切线的判定推出即可。

（2）证△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案。

（3）求出等边三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面积，相减即可得出答案。

8. （2012某某某某、某某8分）如图，已知点O为Rt△ABC斜边上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D ，连接AE.
(1)求证：AE平分∠CAB；
(2)探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时tanC的值.
【答案】解：（1）证明：连接OE，
∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC。

∵AB⊥BC，∴AB∥OE。

∴∠BAE=∠AEO。

∵OA=OE，∴∠1=∠AEO。

∴∠1=∠BAE，即AE平分∠CAB。

（2）2∠1+∠C=90°，。

理由如下：
∵∠EOC是△AOE的外角，∴∠1+∠AEO=∠EOC。

∵∠1=∠AEO，∠OEC=90°，∴2∠1+∠C=90°。

当AE=CE时，∠1=∠C。

∵2∠1+∠C=90°，∴3∠C=90°，∠C=30°。

∴tanC=tan30°=
3
【考点】切线的性质，平行的判定和性质，三角形内角和定理与外角性质，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）连接OE，则OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，进而可得出∠BAE =∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，进而可得出∠1=∠BAE。

（2）由三角形外角的性质可知∠1+∠AEO=∠EOC，从而得到2∠1+∠C=90°；当AE=CE时，∠1=∠C，再根据2∠1+∠C=90°即可得出∠C的度数，由特殊角的三角函数值得出tanC。