高中数学阶段质量检测(二)新人教A版选修23

高中数学阶段质量检测（二）新人教A 版选修23
阶段质量检测二
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设离散型随机变量ξ的概率分布列如下：
ξ 0 1 2 3
P
15
15
110
p
则p 的值为( )
A.12
B.16
C.13
D.14
解析：选A 因为15＋15＋110＋p ＝1，所以p ＝1
2
，故选A.
2．正态分布N 1(μ1，σ2
1)，N 2(μ2，σ2
2)，N 3(μ3，σ2
3)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A ．μ1最大，σ1最大
B ．μ3最大，σ3最大
C ．μ1最大，σ3最大
D ．μ3最大，σ1最大
解析：选D 在正态曲线N (μ，σ2
)中，x ＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3
最大；又参数σ确定了曲线的形式：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”．故由图象知σ1最大．故选D.
3．10张奖劵中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为( )
A.3
10
B.112
C.12
D.1112
解析：选D 设事件A 为“无人中奖”，则P (A )＝C 5
7C 510＝1
12，则至少有1个人中奖的概率P
＝1－P (A )＝1－112＝11
12
.
4．设随机变量X 等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y ＝2X －1，则P (Y <6)的值为( )
A ．0.3
B ．0.5
C ．0.1
D ．0.2
解析：选A 由Y ＝2X －1<6，得X <3.5，
∴P (Y <6)＝P (X <3.5)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.3.
5．在区间(0,1)内随机取一个数x ，若A ＝⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭⎬
⎫
0<x <12，B ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫
14
<x <34，则P (B |A )等于
( )
A.1
2 B.1
4 C.13
D.34
解析：选A P (A )＝121＝1
2
，
∵A ∩B ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫14
<x <12，
∴P (AB )＝141＝1
4，
∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1
412
＝1
2
.
6．若离散型随机变量X 的分布列为
则X 的数学期望E (X )＝( A.32 B ．2 C.52
D ．3
解析：选A 由数学期望的公式可得：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝3
2
.
7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，且两人是否击中相互不受影响，则恰有一人击中敌机的概率为( )
A ．0.9
B ．0.2
C ．0.7
D ．0.5
解析：选D 设事件A ，B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，且A 与B 互相独立，则事件恰有一人击中敌机的概率为P (A B ＋A B )＝P (A )[1－P (B )]＋[1－P (A )]P (B )＝0.5，故选D.
8．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币出现不同面的次数为X ，则D (X )＝( )
A.15
8
B.154
C.52
D ．5
解析：选C 每次抛掷两枚硬币，出现不同面的概率为1
2
，10次独立重复试验中，X ～B (n ，
p )，∴D (X )＝10×1
2
×⎝
⎛⎭⎪⎫1－12
＝52
.
9．设随机变量x 服从正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，σ2，集合A ＝{x |x >X }，集合B ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫x >12，则A
⊆B 的概率为( )
A.14
B.13
C.12
D.23
解析：选C 由A ⊆B 得X ≥12.又∵μ＝1
2
，
∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥12＝1
2
. 10．若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝3
2
，则
D (X 3)等于( )
A ．2.5
B ．1.5
C ．0.5
D ．3.5
解析：选A 由已知得⎩⎪⎨⎪
⎧
0.2n ＝2，6p (1－p )＝3
2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
n ＝10，
p ＝0.5.故D (X 3)＝10×0.5×(1－0.5)
＝2.5.
11．已知10件产品中有3件是次品，任取2件，若X 表示取到次品的件数，则E (X )等于( )
A.35
B.8
15 C.1415
D ．1
解析：选A 由题意知，随机变量X 的分布列为
∴E (X )＝0×715＋1×715＋2×15＝15＝5
.
12．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．
(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；
(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( ) A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2) B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2) C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2) D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)
解析：选A 法一：(特值法)取m ＝n ＝3进行计算，比较即可． 法二：(标准解法)从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ， 则ξ的所有可能取值为0,1， 则P (ξ＝0)＝
n
m ＋n
＝P (ξ1＝1)，
P (ξ＝1)＝
m
m ＋n
＝P (ξ1＝2)，
所以E (ξ1)＝1×P (ξ1＝1)＋2×P (ξ1＝2)＝m
m ＋n
＋1，
所以p 1＝
E (ξ1)
2
＝
2m ＋n
2(m ＋n )
；
从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，
则η的所有可能取值为0,1,2， 则P (η＝0)＝C 2
n
C 2m ＋n ＝P (ξ2＝1)，
P (η＝1)＝C 1n C 1
m
C 2m ＋n ＝P (ξ2＝2)，
P (η＝2)＝C 2m
C 2m ＋n
＝P (ξ2＝3)，
所以E (ξ2)＝1×P (ξ2＝1)＋2×P (ξ2＝2)＋3×P (ξ2＝3)＝2m
m ＋n
＋1， 所以p 2＝
E (ξ2)
3
＝
3m ＋n
3(m ＋n )
，
所以p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)．故选A.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．现有两台在两地独立工作的雷达，若每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰有1台雷达发现飞行目标的概率为________．
解析：设所求的概率为P ，则根据题意有P ＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.135＋0.085＝0.22.
答案：0.22
14．已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，若目标被击中，则它是被甲击中的概率是________．
解析：令事件A ，B 分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P (A )＝0.6，
P (B )＝0.5，令事件C 表示目标被击中，则C ＝A ∪B ，则P (C )＝1－P (A )P (B )＝1－0.4×0.5
＝0.8，所以P (A |C )＝
P (AC )P (C )＝0.6
0.8
＝0.75. 答案：0.75
15．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获得50元，生产出一件乙等品可获得30元，生产出一件次品，要赔20元．已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次等品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．
解析：设生产一件该产品可获利X 元，则随机变量X 的取值可以是－20,30,50.依题意，得X 的分布列为
故E (X )答案：37
16．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：
①从中任取3球，恰有一个白球的概率是3
5
；
②从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为4
3
；
③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为2
5
；
④从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为26
27.
其中所有正确结论的序号是________．
解析：①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 2
4C 36＝3
5
，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～
B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
6，23，其方差为6×23×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－23
＝43
，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取
到红球}，则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝3
5，故③错；④每次取到红球
的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝26
27
，故④正确．
答案：①②④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令X 表示走出迷宫所需的时间．
(1)求X 的分布列； (2)求X 的均值．
解：(1)X 的所有可能取值为1,3,4,6.
P (X ＝1)＝13，P (X ＝3)＝16，P (X ＝4)＝16，P (X ＝6)＝13
，所以X 的分布列为
(2)E (X )＝1×13＋3×16＋4×6＋6×3＝2
.
18．(本小题满分12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N (70,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．
(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？
(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？ 解：(1)设参赛学生的成绩为X ，因为X ～N (70,100)，所以μ＝70，σ＝10.
则P (X ≥90)＝P (X ≤50)＝12[1－P (50<X <90)]＝12[1－P (μ－2σ<X <μ＋2σ)]＝1
2×(1－
0.954 4)＝0.022 8，12
0.022 8
≈526.
因此，此次参赛学生的总数约为526人．
(2)由P (X ≥80)＝P (X ≤60)＝12[1－P (60<X <80)]＝12[1－P (μ－σ<X <μ＋σ)]＝1
2×(1－
0.682 6)＝0.158 7，得526×0.158 7≈83.
因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．
19．(本小题满分12分)已知某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，他们获得冠军的概率分别为12，13，2
3
.
(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；
(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y 的分布列． 解：(1)∵X 的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为
P (X ＝0)＝⎝
⎛⎭⎪⎫1－12×⎝
⎛
⎭⎪⎫
1－13×⎝
⎛⎭⎪⎫1－23
＝19，
P (X ＝1)＝12×⎝
⎛
⎭⎪⎫
1－13×⎝
⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
1－12×13×⎝
⎛⎭⎪⎫
1－23＋⎝
⎛⎭⎪⎫1－12×⎝
⎛
⎭
⎪⎫
1－13
×23＝718
，
P (X ＝2)＝12×1
3×⎝
⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝
⎛
⎭
⎪⎫
1－12×13×23
＋12×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－13
×23＝718
，
P (X ＝3)＝12×13
×23＝19
，
∴随机变量X 的分布列为
(2)根据题意知得分Y ＝5X ＋2(3－X )＝6＋3X ， ∵X 的可能取值为0,1,2,3.
∴Y 的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为
P (Y ＝6)＝P (X ＝0)＝19，P (Y ＝9)＝P (X ＝1)＝718
， P (Y ＝12)＝P (X ＝2)＝718
，P (Y ＝15)＝P (X ＝3)＝19
.
∴随机变量Y 的分布列为
20．(本小题满分12分方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为2
5，中奖可以获得3分；未中奖
则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？
解：法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为2
5，且两人中奖与否互
不影响．
记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”． 因为P (X ＝5)＝23×25＝4
15
，
所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1－415＝11
15，
即这两人的累计得分X ≤3的概率为11
15
.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值E (3X 2)．
由已知可得，X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，25， 所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝4
5，
从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝12
5.
因为E (2X 1)>E (3X 2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．
法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为2
5，且两人中奖与否互不影
响．
记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ，
则事件A 包含“X ＝0”“X ＝2”“X ＝3”三个两两互斥的事件．
因为P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝15，P (X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝25，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×25＝2
15，
所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为11
15
.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：
所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×9＝3
，
E (X 2)＝0×9
25＋3×1225＋6×425＝125
.
因为E (X 1)>E (X 2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．
21．(本小题满分12分)北京市政府为做好APEC 会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为1
10，两轮检测是
否合格相互没有影响．
(1)求该海产品不能销售的概率；
(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利—80元)．已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列，并求出均值E (ξ)．
解：(1)设“该海产品不能销售”为事件A ，
则P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝14.
所以，该海产品不能销售的概率为1
4
.
(2)由已知，可知ξ的可能取值为－320，－200，－80,40,160.
P (ξ＝－320)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫14
4＝
1256
， P (ξ＝－200)＝C 14×⎝ ⎛⎭
⎪⎫14
3
×34＝
364
， P (ξ＝－80)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×⎝ ⎛⎭
⎪⎫34
2
＝
27128
， P (ξ＝40)＝C 34×14×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
34
3
＝2764
， P (ξ＝160)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫34
4＝
81256
. 所以ξ的分布列为
E (ξ)＝－320×
256－200×64－80×128＋40×64＋160×256
＝40.
22．(本小题满分12分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：
(2)从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X 的分布列和数学期望；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A
的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
解：(1)由题意知，样本中仅使用A 的学生有18＋9＋3＝30(人)，仅使用B 的学生有10＋14＋1＝25(人)，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人，
故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．
所以从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率为40100
＝0.4. (2)X 的所有可能值为0,1,2.
记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”．
由题设知，事件C ，D 相互独立，
且P (C )＝9＋330
＝0.4， P (D )＝14＋125
＝0.6， 所以P (X ＝2)＝P (CD )＝P (C )P (D )＝0.24，
P (X ＝1)＝P (C D ∪C D )
＝P (C )P (D )＋P (C )P (D )
＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6
＝0.52，
P (X ＝0)＝P (C D )＝P (C )P (D )＝0.24.
所以X 的分布列为
故X 的数学期望E (X )＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.
(3)记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2 000元”．
假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由上个月
的样本数据得P (E )＝1C 330＝14 060
. 答案示例1：可以认为有变化．理由如下：
P (E )比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付
金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．。