(江苏)高中数学 第三章 统计案例 3.2 回归分析课件 苏教版选修2-3
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i＝1
5
xiyi－5 x ·y
i＝1
∴^b＝
≈0.625.
5
xi2－5 x 2
i＝1
∴^a＝ y －^b x ＝67.8－0.625×73.2＝22.05. ∴y 对 x 的线性回归方程是^y＝0.625x＋22.05.
(3)当 x＝96 时，^y＝0.625×96＋22.05≈82. 可以预测他的物理成绩是 82.
考点二 相关性检验 [典例] 现随机抽取了某中学高一 10 名在校学生，他们入 学时的数学成绩(x)与入学后第一次考试的数学成绩(y)如下： 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问：这 10 名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？
x2i
4
9
16 25 36
5
5
经计算得： x ＝4， y ＝5，x2i ＝90，xiyi＝112.3，
i＝1
i＝1
5 xiyi－5x－－y
i＝1
于是有^b＝
＝1.23，
5
x2i －5 x 2
i＝1
^a＝ y －^b·x ＝0.08， 所以线性回归方程为^y＝^a＋^bx＝0.08＋1.23x. (2)当 x＝10 时，^y＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)， 即若估计使用年限为 10 年时，维修费用为 12.38 万元．
相关关系．
[类题通法]
利用相关系数 r 进行判断相关关系，需要应用公式计算出 r 的值，由于数据较大，需要借助计算器，但计算时应该特别
细心，避免出现计算错误．
[针对训练] 1．对于回归分析，有下列叙述错误的是( ) A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则 因变量不能自由变量惟一确定． B．线性相关系数可以是正的或是负的． C．回归分析中，如果 r2＝1 或 r＝±1，说明 x 与 y 之间完 全线性相关． D．样本相关系数 r∈(－∞，＋∞)． 解析：选 D 由回归模型及其性质易知 A，B，C 是正确 的．相关系数的取值范围应为|r|≤1，所以 D 是错误的．
4
解：由题中数据可得 x ＝12.5， y ＝8.25，xiyi＝438，
i＝1
4
4
4 x y ＝412.5，x2i ＝660，y2i ＝291，所以
i＝1
i＝1
4
xiyi－4 x y
i＝1
r＝
i＝41x2i －4
x
2
4
y2i －4
i＝1
y
2
＝
438－412.5 660－625×291－272.25
[提醒] 判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图， 但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在 一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性 相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断．
考点一 线性回归分析
[典例] 假设关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修
费用 y(万元)有如下的统计资料：
[类题通法] 线性回归分析的步骤 (1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关 关系；
n
n
n
(2)计算 x ， y ，x2i ，y2i ，xiyi；
i＝1
i＝1
i＝1
(3)代入公式求出^y＝^bx＋^a中参数^b，^a的值； (4)写出线性回归方程，并对实际问题作出估计．
[针对训练]
1．已知 x 与 y 之间的一组数据如下：
复习课件
（江苏）高中数学 第三章 统计案例 3.2 回归分析课件 苏教版选修2-3
[必备知识] 1．线性回归模型 (1)随机误差 具有线性相关关系的两个变量的取值x，y，y的值不能由x 完全确定，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ε，其中 ___a_＋__b_x__是确定性函数，ε称为随机误差．
i＝1
＝73 796.
所以相关系数为
r＝
73 796－10×107.8×68 116 584－10×107.8247 384－10×682
≈0.751.
由检验水平 0.05 及 n－2＝8，
在附录 2 中查得 r0.05＝0.632， 因为 0.751>0.632，
由此可看出这 10 名学生的两次数学成绩具有较强的线性
2．样本相关系数r及其性质
n
xiyi－n x y
i＝1
n
n
x2i －n x 2yi2－n y 2
(1)r＝_______i＝_1___________i＝_1_________.
(2)r具有以下性质
①|r|≤__1_.
②|r|越接近于__1__，x，y的线性相关程度越强．
③|r|越接近于__0__，x，y的线性相关程度越弱．
[解] x ＝110(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8， y ＝110(84＋64＋…＋57＋71)＝68.
10
x2i ＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584.
i＝1
10
y2i ＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384.
i＝1
10
xiyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71
＝ 62556.5.25≈0.995. 由检验水平 0.05 及 n－2＝2 在教材附录表 2 中查得 r0.05＝ 0.950，因为 r>r0.05，所以 y 与 x 具有线性相关关系．
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
3．对相关系数r进行显著性检验的基本步骤 (1)__提__出__统__计__假__设__H__0 _：变量x，y不具有线性相关关系． (2)如果以95%的把握作出判断，那么可以根据1－0.95＝ 0.05与n－2在教材附录2中查出一个r的临界值r0.05(其中1－0.95 ＝0.05称为检验水平)． (3)计算___样__本__相__关__系__数__r___. (4)作出统计推断：若|r|>__r_0._05__，则否定H0，表明有 _9_5_%___的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|≤r0.05， 则____没__有__理__由__拒__绝____原来的假设H0，即就目前数据而言，没 有充分理由认为y与x之间有线性相关关系．
x01 2 3
y m 3 5.5 7 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程为 y＝2.1x＋0.85，则 m
的值为( )
A．1
B．0.85
C．0.7
D．0.5
解析：选 D 由题中数据，得 y＝(0＋1＋2＋3)＝1.5，＝(m ＋3＋5.5＋7)＝，故样本点的中心为．由样本点的中心必在回 归直线上可知，＝2.1×1.5＋0.85，解得 m＝0.5.
解：(1)散点图如图．
(2)∵ x ＝15× (88＋76＋73＋66＋63)＝73.2. y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
5
x iyi ＝ 88×78 ＋ 76×65 ＋ 73×71 ＋ 66×64 ＋ 63×61 ＝ 25
i＝1
054.
5
又x2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.
2．某班 5 名学生的数学和物理成绩如表：
学科
学生 ABCDE
数学成绩(x) 88 76 73 66 63
物理成绩(y) 78 65 71 64 61
(1)画出散点图；
(2)求物理成绩 y 对数学成绩 x 的线性回归方程；
(3)一名学生的数学成绩是 96，试预测他的物理成绩．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
2．一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同
的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有
缺点的零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试
验的结果：
转速 x(转/秒)
16 14 12 8
每小时生产有缺点的零件数 y(件) 11 9 8 5
对变量 y 与 x 进行线性相关性检验．
(2)随机误差产生的主要原因 ①所用的_确__定___性__函__数___不恰当引起的误差； ②忽略了__某__些__因___素__的__影__响___； ③存在_观___测__误差．
(3)线性回归模型中a，b值的求法 y＝___a_＋__b_x_＋__ε__称为线性回归模型． a，b的估计值为^a，^b，则
x2
3
4
5
6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由数据可知，y 对 x 呈现线性相关关系．
(1)求线性回归方程；
(2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？
[解] (1)列表如下：
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0
(4)回归直线和线性回归方程 直线__^y_＝__^a__＋__^b__x称为回归直线，此直线方程即为线性回 归方程， ^a 称为__回__归__截__距___， ^b 称为_回__归__系__数____， ^y 称为 ___回__归__值____． [提醒] (1)在线性回归方程中，b既表示回归直线的斜率，又表示 自变量x的取值增加一个单位时，函数值y的改变量． (2)通过回归方程^y＝^a＋^bx可求出相应变量的估计值．
5
xiyi－5 x ·y
i＝1
∴^b＝
≈0.625.
5
xi2－5 x 2
i＝1
∴^a＝ y －^b x ＝67.8－0.625×73.2＝22.05. ∴y 对 x 的线性回归方程是^y＝0.625x＋22.05.
(3)当 x＝96 时，^y＝0.625×96＋22.05≈82. 可以预测他的物理成绩是 82.
考点二 相关性检验 [典例] 现随机抽取了某中学高一 10 名在校学生，他们入 学时的数学成绩(x)与入学后第一次考试的数学成绩(y)如下： 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问：这 10 名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？
x2i
4
9
16 25 36
5
5
经计算得： x ＝4， y ＝5，x2i ＝90，xiyi＝112.3，
i＝1
i＝1
5 xiyi－5x－－y
i＝1
于是有^b＝
＝1.23，
5
x2i －5 x 2
i＝1
^a＝ y －^b·x ＝0.08， 所以线性回归方程为^y＝^a＋^bx＝0.08＋1.23x. (2)当 x＝10 时，^y＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)， 即若估计使用年限为 10 年时，维修费用为 12.38 万元．
相关关系．
[类题通法]
利用相关系数 r 进行判断相关关系，需要应用公式计算出 r 的值，由于数据较大，需要借助计算器，但计算时应该特别
细心，避免出现计算错误．
[针对训练] 1．对于回归分析，有下列叙述错误的是( ) A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则 因变量不能自由变量惟一确定． B．线性相关系数可以是正的或是负的． C．回归分析中，如果 r2＝1 或 r＝±1，说明 x 与 y 之间完 全线性相关． D．样本相关系数 r∈(－∞，＋∞)． 解析：选 D 由回归模型及其性质易知 A，B，C 是正确 的．相关系数的取值范围应为|r|≤1，所以 D 是错误的．
4
解：由题中数据可得 x ＝12.5， y ＝8.25，xiyi＝438，
i＝1
4
4
4 x y ＝412.5，x2i ＝660，y2i ＝291，所以
i＝1
i＝1
4
xiyi－4 x y
i＝1
r＝
i＝41x2i －4
x
2
4
y2i －4
i＝1
y
2
＝
438－412.5 660－625×291－272.25
[提醒] 判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图， 但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在 一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性 相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断．
考点一 线性回归分析
[典例] 假设关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修
费用 y(万元)有如下的统计资料：
[类题通法] 线性回归分析的步骤 (1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关 关系；
n
n
n
(2)计算 x ， y ，x2i ，y2i ，xiyi；
i＝1
i＝1
i＝1
(3)代入公式求出^y＝^bx＋^a中参数^b，^a的值； (4)写出线性回归方程，并对实际问题作出估计．
[针对训练]
1．已知 x 与 y 之间的一组数据如下：
复习课件
（江苏）高中数学 第三章 统计案例 3.2 回归分析课件 苏教版选修2-3
[必备知识] 1．线性回归模型 (1)随机误差 具有线性相关关系的两个变量的取值x，y，y的值不能由x 完全确定，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ε，其中 ___a_＋__b_x__是确定性函数，ε称为随机误差．
i＝1
＝73 796.
所以相关系数为
r＝
73 796－10×107.8×68 116 584－10×107.8247 384－10×682
≈0.751.
由检验水平 0.05 及 n－2＝8，
在附录 2 中查得 r0.05＝0.632， 因为 0.751>0.632，
由此可看出这 10 名学生的两次数学成绩具有较强的线性
2．样本相关系数r及其性质
n
xiyi－n x y
i＝1
n
n
x2i －n x 2yi2－n y 2
(1)r＝_______i＝_1___________i＝_1_________.
(2)r具有以下性质
①|r|≤__1_.
②|r|越接近于__1__，x，y的线性相关程度越强．
③|r|越接近于__0__，x，y的线性相关程度越弱．
[解] x ＝110(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8， y ＝110(84＋64＋…＋57＋71)＝68.
10
x2i ＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584.
i＝1
10
y2i ＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384.
i＝1
10
xiyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71
＝ 62556.5.25≈0.995. 由检验水平 0.05 及 n－2＝2 在教材附录表 2 中查得 r0.05＝ 0.950，因为 r>r0.05，所以 y 与 x 具有线性相关关系．
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
3．对相关系数r进行显著性检验的基本步骤 (1)__提__出__统__计__假__设__H__0 _：变量x，y不具有线性相关关系． (2)如果以95%的把握作出判断，那么可以根据1－0.95＝ 0.05与n－2在教材附录2中查出一个r的临界值r0.05(其中1－0.95 ＝0.05称为检验水平)． (3)计算___样__本__相__关__系__数__r___. (4)作出统计推断：若|r|>__r_0._05__，则否定H0，表明有 _9_5_%___的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|≤r0.05， 则____没__有__理__由__拒__绝____原来的假设H0，即就目前数据而言，没 有充分理由认为y与x之间有线性相关关系．
x01 2 3
y m 3 5.5 7 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程为 y＝2.1x＋0.85，则 m
的值为( )
A．1
B．0.85
C．0.7
D．0.5
解析：选 D 由题中数据，得 y＝(0＋1＋2＋3)＝1.5，＝(m ＋3＋5.5＋7)＝，故样本点的中心为．由样本点的中心必在回 归直线上可知，＝2.1×1.5＋0.85，解得 m＝0.5.
解：(1)散点图如图．
(2)∵ x ＝15× (88＋76＋73＋66＋63)＝73.2. y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
5
x iyi ＝ 88×78 ＋ 76×65 ＋ 73×71 ＋ 66×64 ＋ 63×61 ＝ 25
i＝1
054.
5
又x2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.
2．某班 5 名学生的数学和物理成绩如表：
学科
学生 ABCDE
数学成绩(x) 88 76 73 66 63
物理成绩(y) 78 65 71 64 61
(1)画出散点图；
(2)求物理成绩 y 对数学成绩 x 的线性回归方程；
(3)一名学生的数学成绩是 96，试预测他的物理成绩．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
2．一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同
的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有
缺点的零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试
验的结果：
转速 x(转/秒)
16 14 12 8
每小时生产有缺点的零件数 y(件) 11 9 8 5
对变量 y 与 x 进行线性相关性检验．
(2)随机误差产生的主要原因 ①所用的_确__定___性__函__数___不恰当引起的误差； ②忽略了__某__些__因___素__的__影__响___； ③存在_观___测__误差．
(3)线性回归模型中a，b值的求法 y＝___a_＋__b_x_＋__ε__称为线性回归模型． a，b的估计值为^a，^b，则
x2
3
4
5
6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由数据可知，y 对 x 呈现线性相关关系．
(1)求线性回归方程；
(2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？
[解] (1)列表如下：
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0
(4)回归直线和线性回归方程 直线__^y_＝__^a__＋__^b__x称为回归直线，此直线方程即为线性回 归方程， ^a 称为__回__归__截__距___， ^b 称为_回__归__系__数____， ^y 称为 ___回__归__值____． [提醒] (1)在线性回归方程中，b既表示回归直线的斜率，又表示 自变量x的取值增加一个单位时，函数值y的改变量． (2)通过回归方程^y＝^a＋^bx可求出相应变量的估计值．