高二数学下学期第三次月考试题含解析试题

一中2021-2021学年下学期第三层月考
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
高二年级数学试题〔文科〕
第一卷〔一共60分〕
一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
1.集合{
}
2
|40,{|lg(1)}A x x B x y x =-≥==+，那么A B =〔 〕
A. [-2,2]
B. (1,)+∞
C. (-1,2]
D.
(,1](2,)-∞-+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简集合A 与集合B ，再求交集，即可得出结果.
【详解】因为{}
{}2
|40|22A x x x x =-≥=-≤≤，{|lg(1)}{|1}B x y x x x ==+=>-，
所以(-1,2]A B =.
应选C
【点睛】此题主要考察集合的交集运算，熟记概念即可，属于根底题型.
2.sin163cos 43cos17sin 223︒︒︒︒-=〔 〕
A.
1
2
B.
2
C. 12
-
D. 【答案】B
【解析】 【分析】
根据诱导公式可将所求式子化为sin17cos 43cos17sin 43+，利用两角和差正弦公式求得结果. 【
详
解
】
()()sin163cos43cos17sin 223sin 18017cos43cos17sin 18043-=--+
()3
sin17cos 43cos17sin 43sin 1743sin 602
=+=+==
此题正确选项：B
【点睛】此题考察逆用两角和差正弦公式求值的问题，关键是可以利用诱导公式将原式化成符合两角和差公式的形式.
3.给出以下四个命题： ①假设x A
B ∈，那么x A ∈或者x B ∈；
②(2,)X ∀∈+∞，都有22x x >； ③“12
a =
〞是函数“22
cos 2sin 2y ax ax =-的最小正周期为π〞的充要条件； ④0020R,23x x x ∃∈+>的否认是“2
,23x R x x ∀∈+≤〞；
其中真命题的个数是〔 〕 A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
利用交集的定义判断①的正误；利用反例判断②的正误；利用三角函数的周期判断③的正误；
利用命题的否认判断④的正误；
【详解】解：对于①假设x A B ∈⋂，那么x A ∈或者x B ∈；显然不正确，不满足交集的定义；所以①不正确；
对于②()2,x ∀∈+∞，都有22x x ＞；当4x =时，不等式不成立，所以②不正确；
对于③“12
a =
〞是函数“22
cos sin cos2y x x x =-=，函数的最小正周期为π〞的充要条件；不正确，当1
2
a =-时，函数的周期也是π，所以③不正确；
对于④“2
000,23x R x x ∃∈+>〞的否认是“223x R x x ∀∈+≤，〞；满足命题的否认形
式，正确； 应选：A ．
【点睛】此题考察命题的真假的判断与应用，考察函数恒成立、三角函数的周期、交集的定义、命题的否认，是根底题．
4.2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为〔 〕 A. 2 B. sin2
C.
2sin1
D. 2sin1
【答案】C 【解析】 【分析】
连接圆心与弦的中点，那么得到弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是
1
sin1
，利用弧长公式求弧长即可． 【详解】解：连接圆心与弦的中点，那么由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1，故半径为
1
sin1
，这个圆心角所对的弧长为122sin1sin1
⨯
=，应选：C ．
【点睛】此题考察弧长公式，求解此题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，求出半径，纯熟记忆弧长公式也是正确解题的关键．
5.以下函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)内是增函数的是〔 〕 A. ln y x x =
B. 2
y x x =+
C. sin 2y x =
D.
x x y e e -=-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性和在()0,1内的单调性，对选项逐一分析排除，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，由于函数的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，排除A 选项.对于B 选项，由于()()2
f x x x f x -=-≠-，所以函数不是奇函数，排除B 选
项.对于C 选项，眼熟sin 2y x =在π0,4⎛
⎫ ⎪⎝
⎭上递增，在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
上递减，排除C 选项.由于A,B,C 三个选项不正确，故本小题选D.
【点睛】本小题主要考察函数的奇偶性，考察函数的单调性，考察函数的定义域，属于根底题.
6.在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，假设3
5,
cos 5
a b A ===，那么
B =〔 〕
A.
4
π B.
4π或者34
π C.
3
π
D.
3
π
或者23
π 【答案】A
【解析】 【分析】
根据题意，有cos A 的值求出sin A 的值，结合正弦定理可得sin sin b A
B a
⨯=，计算可得sin B 的值，比拟a 、b 的大小，分析可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，3cosA 5=
，那么4
sin 5
A =，且A 为锐角；
又由
sin sin a b A B =，可得sin sin b A B a ⨯==，
又由5a b =>=，那么B A <，那么4
B π
=，
应选：A ．
【点睛】此题考察三角形中正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于根底题．
7. 〕 A. cos4sin 4-
B. sin 4cos4-
C. sin4cos4--
D.
sin4cos4+
【答案】A 【解析】 【分析】
首先用诱导公式对()sin 4cos(4ππ++)进展化简，然后把221sin 4cos 4=+进展代换，变成完全平方差形式，比拟sin 4,cos 4的大小，最后化简.
【详解】原式==
44sin cos =-,
因为
53442
ππ<<, 所以44cos sin >.
所以4444sin cos cos sin -=-.应选A.
【点睛】此题考察了诱导公式、同角的三角函数关系.重点考察了同角的正弦值、余弦值的比拟.
8.假设()f x 符合：对定义域内的任意的12,x x ，都有()()()1212f x f x f x x =+，且当1x >时，()<1f x ，那么称()f x 为“好函数〞，那么以下函数是“好函数〞的是〔 〕
A. ()2x
f x =
B. 1()2x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
C.
12
()log f x x =
D.
2()log f x x =
【答案】B 【解析】 【分析】
利用好函数的定义，判断选项的正误即可．
【详解】解：对定义域内的任意的1x ，2x ，都有()()()1212f x f x f x x ⋅=+，说明函数是指数函数，排除选项C ，D ；
又因为：1x >时，()1f x <，所以排除选项A ； 应选：B ．
【点睛】此题考察好函数的定义的应用，指数函数的简单性质的应用，是根本知识的考察．
9.函数()sin()f x A x ωϕ=+〔其中0A >，0>ω〕的局部图象如下图、将函数()f x 的图象向左平移
3
π
个单位长度，得到()y g x =的图象，那么以下说法正确的选项是〔 〕
A. 函数()g x 为奇函数
B. 函数()g x 的单调递增区间为5,()12
12k k k Z π
πππ⎡⎤
-++∈⎢
⎥⎣⎦
C. 函数()g x 为偶函数
D. 函数()g x 的图象的对称轴为直线()6
x k k Z π
π=+∈
【答案】B 【解析】 【分析】
此题首先可以根据题目所给出的图像得出函数()f x 的解析式，然后根据三角函数平移的相关性质以及函数()f x 的解析式得出函数()g x 的解析式，最后通过函数()g x 的解析式求出函数()g x 的单调递增区间，即可得出结果。

【详解】由函数()()sin f x A x ωϕ=+的图像可知函数()f x 的周期为π、过点5312，π⎛⎫
⎪⎝⎭
、最大值为3，
所以A 3=,2T π
πω=
=，ω2=，553sin 231212f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()23
k k Z π
ϕπ=-
+∈，
所以取0k =时，函数()f x 的解析式为()3sin 23f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
， 将函数()f x 的图像向左平移
3
π
个单位长度得()3sin 23sin 2333g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
当()2222
3
2k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈时，即()5,1212x k k k Z ππππ⎡⎤
∈-
++∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()g x 单调递增，应选B 。

【点睛】此题考察三角函数的相关性质，主要考察三角函数图像的相关性质以及三角函数图像的变换，函数()()sin f x A x ωϕ=+向左平移n 个单位所得到的函数
()()sin g x A x n ωϕ⎡⎤=++⎣⎦，考察推理论证才能，是中档题。

10.定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()f x x =.函数
|1|()(13)x g x e x --=-<<，那么()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为〔 〕
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得()f x 与()g x 的图象都关于直线1x =对称，作出两个函数的图象，分析其交点的情况即可得答案．
【详解】根据题意，函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，那么()f x 的图象关于直线1x =对称， 函数|1|
()(13)x g x e
x --=-<<的图象也关于直线1x =对称，
函数()y f x =的图象与函数|1|
()(13)x g x e
x --=-<<的图象的位置关系如下图， 可知两个图象有3个交点，一个在直线1x =上，另外2个关于直线1x =对称， 那么两个函数图象所有交点的横坐标之和为3； 应选：A ．
【点睛】一般地，假如函数()f x 满足()()f a x f b x -=+，那么()f x 的图像关于
2
a b
x +=
对称，假如函数()f x 满足()()2f a x f a x b -++=，那么()f x 的图像关于点(),a b 对称.刻画函数图像时，注意利用上述性质.
11.函数()cos 2cos()2f x x a x π
=++在区间(,)62
ππ
上是增函数，那么实数a 的取值范围为〔 〕 A. [2,)-+∞
B. (2,)-+∞
C. (,4]-∞-
D.
(,4)-∞-
【答案】C 【解析】 【分析】
先将函数解析式化为2
()2sin sin 1f x x a x =--+，用换元法，令sin t x =，根据复合函数单调性，以及二次函数性质，即可得出结果. 【详解】因为2()cos 2cos(
)2sin sin 12
f x x a x x a x π
=++=--+，
令sin t x =，那么2
()21f t t at =--+， 因为(,)62x ππ
∈，所以1sin ,12t x ⎛⎫=∈
⎪⎝⎭
， 因为sin t x =在区间(,)62
ππ
上显然是增函数； 因此，假设函数()f x 在区间(,)62
ππ上是增函数，
只需2
()21f t t at =--+在1,12t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上单调递增， 故14
a
-
≥，解得4a ≤-. 应选C
【点睛】此题主要考察由复合函数单调性求参数的问题，熟记三角函数的性质以及二次函数的性质即可，属于常考题型.
12.定义在(0,)2
π
上的函数()f x ，()f x '为其导数，且()cos ()sin f x x f x x <'恒成立，那
么〔 〕
()()63
f ππ
<
()()64
f ππ
>
()()4
3
π
π
>
D. (1)2()sin16
f f π
<
【答案】A 【解析】 【分析】
通过()cos ()sin f x x f x x '<，可以联想到导数运算的除法，这样可以构造新函数
()()sin f x F x x =，''
2
()sin ()cos ()sin f x x f x x F x x
-=，这样就可以判断出函数()F x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，把四个选项变形，利用单调性判断出是否正确.
【详解】通过()cos ()sin f x x f x x '<,这个构造形式，可以构造新函数()
()sin f x F x x
=
， ''
2
()sin ()cos ()sin f x x f x x F x x -=，而()cos ()sin f x x f x x '<，所以当0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，'()0F x >，所以函数()F x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭上是单调递增函数，现对四个选项逐一判断：
选项63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1()()623
f f ππ<是否正确，
也就是判断()()
612f f ππ
<是否正确，即判断()()63F F ππ<是否成立，因为36
ππ>，()F x 在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上是单调递增函数，所以有()()63
F F ππ
<，应选项A 正确；
选项
B.64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，也就是判断1()()2624
f f ππ>
是否正确，即判断()()
612f f ππ
>()()64F F ππ>是否成立，因为46ππ>，()F x 在0,2π⎛⎫ ⎪
⎝⎭上是单调递增函数，所以有()()64
F F ππ
<，应选项B 不正确；
选项
43ππ⎛⎫⎛⎫>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，也就是判断
()()2423
f f ππ>是否正确，即判断
()()
f f ππ
<()()34F F ππ<是否成立，因为43ππ<，()F x 在0,2π⎛⎫ ⎪
⎝⎭上是单调递增函数，所以有()()34F F ππ
>，应选项C 不正确；
选项D.()
12sin16f f π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，也就是判断()
(1)61sin12
f f π
<，是否成立，即判断(1)()6F F π<是否成立，因为
16π
<，()F x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上是单调递增函数，所以有()(1)6F F π<，因此选项D 不正确，故此题选A.
【点睛】此题考察了根据给定的不等式，联想到导数的除法运算法那么，构造新函数，利用新函数的单调性，对四个选项里面不等式是否成立作出判断.重点考察了构造思想.关键是纯熟掌握一些根本的模型构造特征.
第二卷〔一共90分〕
二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕
13.函数2log ,0,()22,0,
x
x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩那么1
(())4f f =__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】
先计算出1
()24
f =-,再求14f f ⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得解. 【详解】由题得22
21
1
()log log 2244
f -===-， 所以14f f ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=f(-2)=2
222-=-. 故答案为：-2.
【点睛】此题主要考察对数和指数运算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.
14.关于函数()4sin(2)()3
f x x x R π
=+
∈，有以下命题：①()y f x =的表达式可改写为
4cos(2)6
y x π
=-；②()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；③()y f x =的图像关
于点(,0)6
π
-
对称；④()y f x =的图象关于直线6
x π
=-
对称，其中正确的命题序号是
___．〔注：把你认为正确的命题的序号都填上〕. 【答案】①③ 【解析】 【分析】
利用函数的解析式结合诱导公式可考察①中的结论是否成立，由最小正周期公式可得函数的
最小正周期，考察函数在6
x π
=-
处的函数值即可确定函数的对称性.
【详解】逐一考察所给的命题：
()4sin 24sin 2326
f x x x πππ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
4cos 24cos 266x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，说法①正确；
函数的最小正周期：222
T π
π
πω
==
=，说法②错误； 当6
x π
=-
时，220363
x π
ππ
⎛⎫+
=⨯-+= ⎪⎝⎭，那么4sin006f π⎛⎫
-== ⎪⎝⎭
， 据此可知说法③正确，说法④错误. 综上可得：正确命题的序号是①③.
【点睛】此题主要考察三角函数解析式的变形，三角函数最小正周期的求解，三角函数的对称性等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.
15.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，假设2sin 22B c a
c
-=，那么ABC ∆的形状一定是__________． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】
运用降幂公式和正弦定理化简2
sin
22B c a
c
-=，然后用()A B C π=-+,化简得到 sin cos 0B C ⋅=，根据内角B 的取值范围，可知sin 0B ≠，可以确定cos 0C =，最后可
以确定三角形的形状. 【详解】由正弦定理
sin sin sin a b c A B C ==， 2sin 22B c a c -=1cos sin sin 22sin B C A C
--⇒=
sin cos sin A B C ⇒=⋅而()A B C π=-+sin cos 0B C ⇒⋅=，(0,)sin 0B B π∈∴≠
cos 02
C C π
∴=⇒=
，所以ABC ∆的形状一定是直角三角形.
【点睛】此题考察了正弦定理实现边角转化以及两角和差的正弦公式的使用.重点考察了降幂公式.
16.设0a <，假设函数2,x
y e ax x R =+∈有小于零的极值点，那么实数a 的取值范围是
__________． 【答案】1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
由函数极值的概念可得：0y '=有小于零的根，即：2x e a =-有小于零的根，问题得解。

【详解】函数2,x
y e ax x R =+∈有小于零的极值点等价于：
0y '=有小于零的根，即：2x e a =-有小于零的实数根0x ，
当()0,0x ∈-∞时，()00,1x
e ∈，所以()20,1a -∈，
整理得：1,02a ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
【点睛】此题主要考察了导数与函数极值的关系，还考察了转化思想及计算才能，属于中档题。

三、解答题 〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕
17.函数
1
()cos (sin cos )2
f x x x x =+-.
〔1〕假设02
πα<<
，且sin 2
α=
，求()f α的值；
〔2〕求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 在[0,]2
π上单调递减区间
【答案】〔1〕()12f α=
〔2〕周期为π，82ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 【解析】 【分析】
〔1〕由题意利用同角三角函数的根本关系求得f 〔α〕的值；
〔2〕利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论．
【详解】解：〔1〕 因为02
π
α<<
，且sin 2
α=
,
所以cos 2
α==
，
所以()11
22222f α⎫=+-=⎪⎪⎝⎭
〔2〕()2
1
sin cos cos 2
f x x x x =+-
11
sin2cos222
x x =
+，
sin 224x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭， 所以()f x 的最小正周期为π 当02
x π
≤≤
时，
52444
x π
π
π
≤+
≤
， 再由52244x πππ≤+≤得，82x ππ≤≤，
函数()f x 在[]0π，上的递减区间为82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
【点睛】此题主要考察同角三角函数的根本关系，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．
18.设函数2()sin(2)2cos 6
f x x x π
=-
+.
〔1〕当[0,]2
x π∈时，求函数()f x 的值域；
〔2〕ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3
(),12
f A c =
==，求ABC ∆的面积.
【答案】(1) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) 32
ABC S ∆=
【解析】 【分析】
〔1〕先将函数()f x 利用和差角、降幂公式、辅助角公式进展化简得
()sin 216f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，再根据x 的取值，求得值域；
〔2〕根据第一问求得角A 3
π
=，再根据正弦定理求得角B ，然后再求得角C 的正弦值和边b ，
利用面积公式求得面积.
【详解】〔1〕()1cos21sin 2126f x x x x π⎛
⎫=
++=++ ⎪⎝
⎭ ∵0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，∴72666x πππ≤+≤ ∴
1sin 21226x π⎛
⎫≤++≤ ⎪⎝
⎭ ∴函数()f x 的值域为1
,22⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
．
〔2〕∵()3sin 2162f A A π⎛⎫
=++= ⎪⎝
⎭∴1sin 262
A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ∵0A π<<，∴
1326
6
6A π
π
π<+
<
，∴5266A ππ+=，即3
A π
=
由正弦定理，
2a A B ==，∴sin 2
B =
2034
B B ππ
<<
∴=
∴()sin sin
C A B =+=
sin sin c b C B ==，∴2b =
∴1sin 2ABC S bc A ∆=
=
【点睛】此题主要考察了三角函数综合和解三角形，解题的关键是在于三角恒等变化公式的利用〔和差角、降幂、辅助角公式的合理利用〕以及正弦定理的变化应用，属于较为根底题.
19.a R ∈，设函数()3ln 1f x x a x =-+
〔1〕假设3a e =，求函数()f x 在[0,2]e 上的最小值； 〔2〕讨论函数()f x 的单调性.
【答案】〔1〕1，〔2〕当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞,当0a >时，函数()
f x 的单调递增区间是,3a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，单调递减区间是0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
〔1〕将3a e =代入函数解析式，对函数求导，利用导数的方法研究函数()f x 单调性，进而可求出其最小值；
〔2〕先对函数求导，分别讨论0a ≤，0a >两种情况，即可得出函数单调性. 【详解】〔1〕假设3a e =，那么()33ln 1f x x e x =-+,所以，33()
()3e x e f x x x
-'=-= 所以，()f x 在(0,)e 上单调递减，在(, 2]e e 上单递增. 故当x e =时，函数()f x 获得最小值，最小值是()1f e = 〔2〕由题意可知，函数()f x 的定义域是(0,)+∞，又3()3a x a
f x x x
-'=-= 当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；
当0a >时，
令3()0x a f x x
-'=
>解得，3a
x >，此时函数()f x 是单调递增的
令3()0x a f x x
-'=
<解得，03a
x <<，此时函数()f x 是单调递减的 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞
当0a >时，函数()f x 的单调递增区间是,3a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，单调递减区间是0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
【点睛】此题主要考察导数的应用，通常先对函数求导，用导数的方法求函数最值，以及研究函数单调性即可，属于常考题型.
20.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan cos cos )c C a B b A =+. 〔1〕求角C 的大小；
〔2〕假设ABC ∆为锐角三角形，且c =，求2
b
a -
的取值范围. 【答案】〔1〕π3C =
〔2〕30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
〔1〕根据正弦定理可得)sin tan sin cos sin cos C C A B B A =+，结合C 的范围，化简整理，即可求解。

〔2〕由正弦定理得2sin a A =，2sin b B =，所求π2sin sin 26b a A B A ⎛
⎫-
=-=- ⎪⎝
⎭， 又ABC ∆为锐角三角形，可求得
ππ62A <<，根据πy sin 6A ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的单调性，即可求解。

【详解】〔1〕由题意及正弦定理得，)sin tan sin cos sin cos C C A B B A =+，
所以()()sin tan πC C A B C C =+=-=，
因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，
所以tan C =，故π
3
C =
． 〔2
〕由正弦定理得，2
sin sin sin a b c A B C
===
=，所以2sin a A =，2sin b B =， 所以2b a -
= 2π2sin sin 2sin sin 3A B A A ⎛⎫
-=--
⎪⎝⎭
3πsin cos 226A A A ⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭， 由π0,2
2ππ0,32A B A ⎧
<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩
得ππ6
2A <<，
所以ππ063A <-
<
，故π0sin 6A ⎛⎫<-< ⎪⎝
⎭，
所以2b a -
的取值范围为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 【点睛】此题考察正弦定理、辅助角公式的应用，正弦型函数的图像与性质，考察分析推理，化简求值的才能，属中档题。

21.
某圆的极坐标方程为2
cos 604πρθ⎛
⎫
--+= ⎪⎝
⎭
，求： 〔I 〕圆的普通方程和参数方程；
〔II 〕圆上所有点(,)x y 中，xy 的最大值和最小值. 【答案】(1)()()
2
2222x y -+-=
，22x y θ
θ
⎧=+⎪⎨
=+⎪⎩；(2)9,1 【解析】 【分析】
(1)先化简圆的极坐标方程化为普通方程，再根据普通方程写出圆的参数方程.(2) 由(1)可知xy ＝(2
θ)(2
sin θ)= 3＋
(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2
. 再换元求函数的最大值和最小值.
【详解】(1)原方程可化为ρ2
－
(cos cos
sin sin )44
π
π
θθ+＋6＝0，
即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.① 因为ρ2
＝x 2
＋y 2
，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，
即(x －2)2＋(y －2)2＝2，即为所求圆的普通方程．
设cos sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
,
所以参数方程为22x y θθ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)．
(2)由(1)可知xy ＝(2
θ)(2
θ)＝ 4＋
θ＋sin θ)＋2cos θsin θ＝ 3＋
θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2
设t ＝cos θ＋sin θ， 那么t
sin ()4
π
θ+
，t
]．
所以xy ＝3＋
＋t 2＝(t
)2＋1.
当t
时，xy 有最小值1；当t
xy 有最大值9.
【点睛】(1)此题主要考察极坐标方程和直角坐标方程的互化，考察圆的参数方程和圆中的最值问题，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理计算才能.(2)解决此题的关键
有两点，其一是利用参数方程设点22x y θθ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩其二是设t ＝cos θ＋sin θ
＝
sin ()4πθ+
，t
]．
22.设函数()sin x f x e a x b =++.
〔1〕当1a =，[0,)x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围；
〔2〕假设()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求a 、b (0,)x ∈+∞时，()ln f x x >.
【答案】〔1〕1b ≥-〔2〕见解析
【解析】
【试题分析】〔1〕当1a =时，由于()'0f x >，故函数单调递增，最小值为()010,1f b b =+≥≥-.〔2〕利用切点()0,1-和斜率为1建立方程组，解方程组求得,a b 的值.利用导数证得先证21x e x ->-，进一步利用导数证1ln x x -≥，从而证明原不等式成立.
【试题解析】
解：由()sin x
f x e a x b =++， 当1a =时，得()cos x
f x e x '=+. 当[)0,x ∈+∞时，[]
1,cos 1,1x e x ≥∈-，且当cos 1x =-时，2,x k k N ππ=+∈，此时1x e >.
所以()cos 0x f x e x =+>'，即()f x 在[
)0,+∞上单调递増， 所以()()min 01f x f b ==+，
由()0f x ≥恒成立，得10b +≥，所以1b ≥-.
〔2〕由()sin x
f x e a x b =++得 ()cos x f x e a x =+'，且()01f b =+.
由题意得()001f e a '=+=，所以0a =.
又()0,1b +在切线10x y --=上.
所以0110b ---=.所以2b =-.
所以()2x
f x e =-. 先证21x e x ->-，即10(0)x
e x x -->>，
令()1(0)x g x e x x =-->， 那么()10x
g x e ='->， 所以()g x 在()0,+∞是增函数.
所以()()00g x g >=，即21x e x ->-.①
再证1ln x x -≥，即1ln 0(0)x x x --≥>，
令()1ln x x x ϕ=--，
那么()111x x x x
ϕ'-=-=， ()0x ϕ'=时，1x =，()0x ϕ'>时，1x >，()0x ϕ'< 时，01x <<.
所以()x ϕ在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，
所以()()min 10x ϕϕ==.
即1ln 0x x --≥，所以1ln x x -≥.②
由①②得2ln x e x ->，即()ln f x x >在()0,+∞上成立.
【点睛】本小题主要考察利用导数解决不等式恒成立问题，考察利用导数证明不等式.第一问由于a 题目给出，并且导函数没有含有b ，故可直接有导数得到函数的单调区间，由此得到函数的最小值，令函数的最小值大于或者等于零，即可求得b 的取值范围，从而解决了不等式恒成立问题.
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。