2019年高考数学一轮总复习函数导数及其应用2.9函数模型及其应用课时跟踪检测理

2.9函数模型及其应用
［课时跟踪检测］
［基础达标］
1 •某种商品进价为 4元/件，当日均零售价为
6元/件，日均销售100件，当单价每增
加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为 20元，贝U 预
计单价为多少时，利润最大 (
)
A. 8元/件
B. 10元/件
C. 12元/件
D. 14元/件
解析：设单价为6+ x ,日均销售量为100 — 10x ，则日利润y = (6 + x — 4)(100 — 10x )— 2 2
20=— 10x + 80x + 180=— 10( x — 4) + 340(0 v X V 10).
...当 x = 4 时，y max = 340.
即单价为10元/件，利润最大，故选 B. 答案：B
2.在某个物理实验中，测量得变量
x 和变量y 的几组数据，如下表:
则对x , y 最适合的拟合函数是( )
2
A. y = 2x
B. y = x — 1
C. y = 2x — 2
D. y = log 2X
解析：根据x = 0.50 , y =— 0.99，代入计算，可以排除 A ;根据x = 2.01 , y = 0.98 ,
代入计算，可以排除 B C;将各数据代入函数
y = log 2x ，可知满足题意.故选
D.
答案：D
3.向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度 h 随时间t 变化的函数h = f (t )的图象如图
所示.则杯子的形状是(
) 上升慢，在［t l , t 2］上升快，故选A.
答案：A
4•某商店已按每件 80元的成本购进某商品 1 000件，根据市场预测，销售价为每件 100元时可全部售完，定价每提高 1元时销售量就减少 5件，若要获得最大利润，销售价应
定为每件(
)
A. 100 元
B. 110 元
C. 150 元
D. 190 元
解析：设售价提高 x 元，利润为 y 元，则依题意得 y = (1 000 — 5x ) X (100 + x ) — 80X 1
2 2
000=- 5x + 500X + 20 000 =- 5(x — 50) + 32 500，故当 x = 50 时，y max = 32 500，此时售 价为每件150元.
答案：C
5.世界人口在过去 40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2~0.301
0.007 5
0, 10 ~ 1.017)( )
A. 1.5%
B. 1.6%
C. 1.7%
D. 1.8%
解析：设每年人口平均增长率为 X ,则(1 + x ) 40= 2,两边取以10为底的对数，则40lg(1 + x ) = lg 2，所以 lg(1 + x )=咚〜0.007 5，所以 100.007 1 2 3 4 5 = 1 + x ,得 1 + x = 1.017，所以 40
x = 1.7%.
答案：C
6•将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线 y
a
=a e nt
.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m 分钟甲桶中的水只有§,则m 的值
为()
A. 7
B. 8
1 1 令 8a = a e nt ，即 § = e nt , 因为2= e ，故§ = e ,
比较知 t = 15, m= 15— 5= 10. 答案：D
7•已知每生产100克饼干的原材料加工费为
1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包
解析：从题图看出，在时间段 ［0 , t 1］ , ［t 1, t 2］内水面高度是匀速上升的，在
[0 , t 1]
o h ii
A
B C D
C. 9
D. 10
1 附
解析：根据题意知2= e ,
装，其包装费用、销售价格如表所示:
则下列说法正确的是( )
① 买小包装实惠； ② 买大包装实惠；
③ 卖3小包比卖1大包盈利多； ④ 卖1大包比卖3小包盈利多.
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
解析：大包装 300 g 8.4 元，相当于100 g 2.8 元<3元，故买大包装实惠，②对； 卖1大包装盈利 8.4 — 0.7 — 1.8 X 3= 2.3元， 卖3小包装盈利 3X (3 — 0.5 — 1.8) = 2.1元， 2. 3>2.1，④对，故选D. 答案：D
&某商场在2018年元旦开展“购物折上折”活动， 商场 内所有商品先按标价打八折，
折后价格每满500元再减100元，如某商品标价为 1 500元，则购买该商品实际付款额为 1
折扣率为2 700 X 100%"65%故选 B.
答案：B
k ,除燃料费外其他费用为每小时 96元.当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是 6
元•若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为 ___________ 海里/小时时，总费用最小.
解析：设每小时的总费用为
y 元，贝U y = kv 2
+ 96,
_ 2
500X 0.8 — 200= 1 000 元.设购买某商品的实际折扣率= 实际付款额 ， 商品标价
X 100
%某人欲购头
标价为2 700元的商品, 那么他可以享受的实际折扣率约为
A. 55%
B. 65%
C. 75%
D. 80% 解析：当购买标价为 2 700元的商品时，实际应付 2 700 X 0.8 — 400 = 1 760，故实际
9.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度 v 的平方成正比，且比例系数为
又当v= 10 时，k x 10 = 6, 解得k= 0.06 ,
2 10
所以每小时的总费用 y = 0.06 v 2+ 96,匀速行驶10海里所用的时间为 -小时，故总费用
=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为
40海里/小时.
答案：40
10•某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料 （如图），为降低消耗，开源节流，现要从
这些边角料上截取矩形铁片 （如图阴影部分）备用，则截取的矩形面积的最大值为
20 — x y — 8
解析：依题意知， 一2厂=24—8
5 5 2 5 2
•••阴影部分的面积 S = xy = 4(24 — y ) • y = 4( — y + 24y ) = -4( y -12) + 180. •••当y = 12时，S 有最大值为180. 答案：180
11 •某医药研究所开发的一种新药， 如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每
毫升血液中的含药量 y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线.
后治疗疾病有效的时间.
kt , 0w t w 1, 閉
-
a , t
> 1
当t = 1时，由y = 4得k = 4, 由十=4得a =3.
4t , O w t w 1,
为 W ^°y = %.06 v 2+ 96) = 0.6 v + v v
960
>2
v
W 竽=48,当且仅当0.6v =竽，即 v
（1）写出第一次服药后 y 与t 之间的函数关系式
y =f (t )；
（2）据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次
解：（1）由题图，设y =牛|'1
所以y=
—3
,t > 1.
1 79
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是
5 —16= 16（小时）•
［能力提升］
1 •某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费， 于2003年8月20号从银行贷款a 元, 为还清这笔贷款，该家长从2004年8月20号便去银行偿还确定的金额，
计划恰好在 m 年后
还清，若银行按年利息为 p 的复利计息（复利即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利 息），则该学生家长每年的偿还金额是
（ ）
a
A .— m
m+ 1
ap 1 + p
B .
m+^
+ p — 1
n +1
C ap 1+ p 解析：设每年偿还的金额都是 X 元，则
a (1 + p )m = x + x (1 + p ) + x (1 + p )2+…+ x (1 + p )m1,
m
(2)由 y >0.25 得
0W t w 1, 4t > 0.25
m
p
— 1 * * * *
* 7
ap 1+ P D. +T^— 1
m
1 — ] + p
• •• a(1
+ p)
= X 匸 +p ,
(2) 若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
(3) 若第一次投放 2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第 12 分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由.
f 24 \
解：(1)由题意知 k (8_2 — 1 = 3,.•• k = 1.
(2)因为 k = 4,
所以O W x W 4.
当 4V x W 14 时，由 28 — 2x >4,解得 x W 12,所以 4v x W 12. 综上可知，当 y 》4时，O W x W 12,
所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达 12分钟.
(3) 在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为
f 1 \
；
24 I
2X J -
12
i+ 1 X 8— 卩—[()~— 1 = 5(克/升)，又5>4，所以在第12分钟时洗
衣液还能起到有效去污的作用.
1
m
解得x =l+ p E — 1.故选D. 答案：D
2•有一种新型的洗衣液， 去污速度特别快•已知每投放 k （1 w k w 4,且k € R ）个单位的 洗衣液在装有一定量水的洗衣机中， 它在水中释放的浓度 y （克/升）随着时间x （分钟）变化的
24
18—x
— 1
，
w x w 4
，
函数关系式近似为 y = k - f （x ），其中f （x ）=
若多次投放，则
1
7 — -x , 4 V x w 14. L 2
某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和•根据经验， 当水中洗衣液的浓度不低于 4克/升时，它才能起到有效去污的作用.
（1）若只投放一次 k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为 3克/升，求k
的值;
所以y =歸4
28 - 2x , 0< x W 4,
4 V x < 14,
当O W X W4时，由
96
—4>4,解得—4W x v 8,。