第六章线性规划基础

12x1 3x2 4
s.t.
2 x1 3x1
3x2 15x2
2 36
x1 x2 1
x1 0, x2 0 max z' 3x1 2x2
12x1 3x2 x3
4
s.t.
2 x1 3x1
3x2 15x2
x4
2
x5 5
x1
x2
1
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
x1 +2x2≤ 8
s.t.
x2≤ 3
x1≥0, x2 ≥0
线性规划的数学表达
即求一组变量x1 , x2 ,…, xn ,在满足约束条件： a11x1 + a12x2 + … +a1nxn≤b1 a21x1 + a22x2 + … +a2nxn≤b2 ……
am1x1 + am2x2 + … +amnxn≤bm x1 , x2 , … , xn ≥0 的情况下，使目标函数：
XB所含 分量个
数恰为 阶数m， XN含nm个0分 量
线性规划解的性质
• 性质1：LP问题的可行域R为一凸集 • 性质2：LP问题的一个基本可行解与可行域R的一
个极点互相对应 • 性质3：线性规划的基本定理：对于任何一个给定
的标准形LP问题M来说，若M有可行解，则必有基 本可行解；如M有最优解，则必有最优基本可行解。 • 性质4：若LP问题的可行域R≠Ф，则R至少有一极 点 • 性质5：LP问题可行域R的极点数量必为有限多个
基本解
可行解 基本可行解
约束矩阵A中
基的数目最多 为Cnm，因而 基本解的个数
最多也只能有 Cnm个，所以 基本可行解的
个数也不会超 过Cnm
• 退化基本解：如果基本解中有一个或者多 个基变量为零，则称为退化基本解
• 可行基：基本可行解对应的基
• 最优基：最优基本解对应的基
• 标准形LP问题的任一基本可行解，其所含 正分量的个数比不超过问题的阶数m，而 一个非退化的基本可行解必恰有m个正分 量，其余分量均为0。
二、线性规划的图解法
• 线性规划的图解法，就是借助几何图形来 求解线性规划问题的一种方法。
• 图解法的基本步骤： 1.可行域的确定
LP模型所有约束条件共同构成的图形，称 为可行域图形。 2.目标函数的等值线和最优点的确定
X2 G(0,6)
x1+x2=6
F(0,6)
C(2,3) D(0,31, c2,, cn
a12 a1n
x
j
0,
j
1,2,, n
A
a21
a22
a2
n
A=（aij）m×n为约束 方程组的系数阵。
R(A)=m<n,即A为满
秩阵，称m为LP问题
am1
am2
amn
x1 X x2 ,
b1
b
b2
的阶数，n为维数
xn
x2=3
Z=20
x1+2x2=8
E(8,0)
O
Z=3x1+4x2
A(6,0)
X1
• 可以看到：当沿法线方向平行移动直线 Z=3x1+4x2至B点时，Z值在可行域R上就达到
了最大值，从而确定B点即为该LP问题的最 优点。
• 最优点的坐标值为最优解。记为 X*=(x1*,x2*)T,X*对应的目标函数值称为最优 值，记为Z*。
• 只要目标方程中存在负检验数，就意味着 目标值还能增加，就需要把它对应的非基 变量变换为基变量。
• 进基变量选择的规则——最小检验数规则
在负检验数中选择数值最小者，让它对应 的非基变量进基。即：
如果记检验数为σj（j=1,2,… n）包括基 变量的检验数（全为0）那么可用数学表达 式表示：
min{σj| σj<0}= σK σk对应的变量xk进基。
x1≥0, x2 ≥0
• 每天总利润：Z = 3x1 + 4x2 变量 x1 和x2
• 必须满足三个条件： x1 + x2≤ 6 x1 + 2x2≤ 8 x2≤ 3
• 非负性约束：x1≥0, x2 ≥0
目标函数 决策变量
函 数
约 约束条件
束
数学模型
Max Z = 3x1 + 4x2
x1 +x2 ≤ 6
三、线性规划的标准形式
1.线性规划问题的标准形式
• LP问题的各种不
同形式可以相互 转化，只需给出
max
z c1 x1 c2 x2 cn xn
其中一种形式的 a11x1 a12 x2 a1n xn b1
解法，就可以普 遍适用于一切形
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
式单的称的纯为LPL形标问P法 准问题所 形题的基 式，形于。而式，s.t.baxiim1x100iiam112,,x222,,,,mnamnxn bm
n
max Z CT X
max
z c j x j j 1
AX b
s.t.
X
0
s.t.
n
aij x j
j 1
bi , i
1,2,, m
标准形LP问题解的概念与关系
解
满足条件
适用 备注
可行解X AX=b X≥0
最优解X* AX*=b X*≥0
基本解
AX=b
X=(xB xN)T
基本可行解 AX=b XB≥0 X=(xB xN)T
CTX*=optCTX |B|≠0,XN=0
|B|≠0,XN=0
对象
各种形 式的LP 问题
标准形 LP问题
如果约束矩阵A中某一列向量Pj包含于基B中， 则称Pj为基向量，否则称为非基向量。
对于给定的一个基，整个矩阵A可以分为两部 分，即可表示为A=(B N)
• 基变量与非基变量： 与基向量Pjt(t=1,2,…,m)相对应的变量xjt称为
基变量，否则称为非基变量。LP问题的变量 也自然被相应地分成了两部分X=(xB xN)T
五、线性规划的单纯形法
• 单纯形法的基本思想
单纯形法有三种形式：方程组形式
表格形式 矩阵形式
• 单纯形法的计算过程 单纯形表
单纯形法的基本思想
• 单纯形法的基本思路：
⑴求出可行域S的一个基本可行解 ⑵判别这个基本可行解是否为最有解 ⑶在使得目标函数值有所改进的前提下进 行顶点的转换 重复上述过程，通过有限步来求解LP问题。
范例说明
Max Z
z – 3x1 – 5x2
=0
x1
+x3
=8
2x2 + x4 =12 ❖
3x1 +4x2
+x5 =36
x1, x2 , x3 , x4 ,x5 ≥0
• 约束方程系数阵：
1 A 0
0 2
1 0
0 1
0 0
a1,
a2
,
a3
,
a4
,
a5
3 4 0 0 1
有一个基
1 B 0
变量代换法
• 如果xk≤0,可令xk=- x'k ， x'k ≥0。
• 如果xk为自由变量，可令xk=x'k_x"k，且 x'k≥0，x"k≥0。
• 如果方程中有多个xk为自由变量，按照上述 方法会使变量的个数扩大一倍，从而增加 问题求解时的计算量，为了尽量少地增加 变量的个数，可以令xk=x‘k-x“，其中 x“对每个xk的表达式都是同一个数。
f=c1x1+c2x2+ …+cnxn 达到最大值或最小值。
• Max / Min F=C•X A•X≤B 或 A•X≥B X≥0 或 X≤0 或 X自由
其中：C=(c1,c2,…,cn) B=(b1,b2,…,bm) X=(x1,x2, …,xn) A={aij}（i=1,2, …,m；j=1,2, …,n ）
• 无界解：Max
s.t. x2
Z = 3x1 + 2x2 -2x1 + x2 ≤ 2 x1 - 3x2≤ 3 x1≥0, x2 ≥0
x1
• 无可行解：有些LP问题可能不存在可行点， 也就是说由约束条件得到的可行域R为空集， 即R=Ø。这时问题无可行解，也就无最优 解了，简称无解。
• LP问题的可行域一般是凸多边形，而且若 最优解存在，则一定在可行域的某个顶点 上得到；若在两个顶点同时得到最优解， 则这两个顶点连线上的每一点都是最优解， 且最优值相等；若可行域无界，则可能发 生最优解无界的情况，此时无最优解。若 可行域为空集，则问题无可行解。
• 这种数学规划的方法，如果用数学语言表达， 就是在一定的约束条件下，寻找目标函数的 极值问题。所谓线性规划，是指约束条件为 线性等式或不等式，且目标函数也是线性函 数。
一、线性规划及其数学模型
1. 线性规划问题的提出
• 生产调度问题
某企业生产甲、乙两种产品，分别用A、B、 C 3种不同的原料，每生产1个单位的甲，需用1 个单位的A、1个单位的B、0个单位的C，利润为3 千元；每生产1个单位的乙，需用1个单位的A、2 个单位的B、1个单位的C，利润为4千元；现有6 个单位的A、8个单位的B、3个单位的C，问企业 如何安排生产，可使利润最大。
bm
2.非标准形LP问题的标准化
• 目标函数
min Z=CTX
max z' = - CTX
• 函数约束
⑴bi<0 两端乘以-1 ⑵约束为“≤”的情况，增加非负变量——
松弛变量
⑶约束为“≥”的情况，减去非负变量——
剩余变量
• 决策变量
对不满足非负性要求的变量，采用“变量代换
法”
举例： x1 2x2 1
• 基本解：在LP问题中，满足条件AX=b且非 基变量全部为零的X成为基本解。 X=(xB xN)T=(xB 0)T AX=(B N) (xB xN)T=BxB+NxN=b 即基本解 X可以用基变量部分来表示成xB=B-1b
• 基本可行解：满足非负条件的基本解，或者 说xB=B-1b≥0就称其为基本可行解。
四、 线性规划的解及其性质
• 可行解：满足LP问题所有约束条件的向量X 可行域—所有可行解构成的集合
• 最优解：满足目标要求的可行解，记为X*， 其所对应的目标函数值称为最优值，记为z*。
• 基本解：基本解的概念只适用于标准型LP 问题。
• 基向量和非基向量：
A=(aij)m×n=(P1 P2 …Pn)为线性规划问题LP 的约束条件系数矩阵，其秩为m。则A中任 一组m个线性无关的列向量构成的矩阵 B=(Pji pj2 … Pjm)非奇异，称此m个线性 无关的列向量为线性规划问题的一个基。
0 1
0 0
a3
a4
a5
0 0 1
的非退化的基本可行解为:
X0=(0,0,8,12,36)T
• 条典：
基本可行解对应的可行基是一个m阶单 位阵（排列阵）
目标方程中所有基变量的系数全为0
• 典式：满足条典的线性方程组
• 检验数：当目标方程中基变量的系数全为0 时，非基变量的系数可以作为判断当前基 本可行解是否最优的一个标志，称检验数
• 该实例的最优解：X*=(4,2)T,Z*=20 说明 最优生产方案是：生产甲产品4件，乙产品 2件，可获得最大利润20千元。
• LP问题几种可能的结果：唯一解；❖多 重解；无界解；无可行解。
• 唯一解：只有一个最优点
• 多重解：有些LP问题最优解可能不唯一， 如:前例中目标函数改为：max Z=x1+2x2 则 目标函数等值线与约束条件x1+2x2≤8的边 界线平行。当将等值线沿法线方向平移到B 点时，就与R的边界线BC段重合。这表明 BC上的每一点都使目标函数值取得同样的 最大值。这时出现多重解的情形。
x1 2x2 1
max z 3x1 5x2
x1
8
s.t.3x1
2x2 4x2
12 36
x1 0 x2 0
max z 3x1 5x2 0x3 0x4 0x5
x1 s.t.3x1
x1
2x2 4x2 , x2
x3 x4 x5
, , x5
8 12 36 0
min z 3x1 2x2
• 一般来说，满足约束条件的变量 X=(x1,x2,…,xn)T有无穷多个解，求解LP问 题的目的就是从中找出一个能满足目标函 数最大或最小的解，作为该LP问题的最终 决策。
• 决策变量、目标函数、约束条件是LP模型 的三要素，其中后两者都是关于前者的线 性表达式；而LP模型就是由最优化的目标 函数和约束条件这两部分构成的。
第六章 线性规划基础
---------环境系统污染控制规划 的数学基础
6.1 线性规划概述
• 线性规划是数学规划与运筹学的一个分支， 是运筹学中最重要的一种数学方法。主要研 究解决有限资源的最佳分配问题，即如何对 有限的资源作出最佳方式的调配和最有利的 使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取 最佳经济效益。
2. 建模的步骤
产品 甲
原料 x1
A
1
乙 原料 x2 限制
16
(1)明确问题的经济背景 (2)设定决策变量
B 12 8
C
01 3
利润 3 4
(3)明确目标----给出目标函数 Z = 3x1 + 4x2
(4)明确问题的所有限制-------给出约束条件
x1 + x2≤ 6
x1 + 2x2≤ 8 x2≤ 3