措勤县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

措勤县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知α，β为锐角△ABC的两个内角，x∈R，f（x）=（）|x﹣2|+（）|x﹣2|，则关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集为（）
A．（﹣∞，）∪（2，+∞）B．（，2）C．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D．（﹣，2）
2．已知函数f（x）=xe x﹣mx+m，若f（x）＜0的解集为（a，b），其中b＜0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（）
A．B． C．D．
3．已知定义在区间[0，2]上的函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（2﹣x）的图象为（）
A．B．C．D．
4．若方程C：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（）
A．∀a∈R+，方程C表示椭圆B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线
C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆D．∃a∈R，方程C表示抛物线
5．如图，△ABC所在平面上的点P n（n∈N*）均满足△P n AB与△P n AC的面积比为3；1，=﹣
（2x n+1）（其中，{x n}是首项为1的正项数列），则x5等于
（）
A ．65
B ．63
C ．33
D ．31
6． 已知函数()e sin x f x x =，其中x ∈R ，e 2.71828
=为自然对数的底数．当[0,
]2
x π
∈时，
函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围（ ）
A ．(,1)-∞
B ．(,1]-∞
C ．2
(,e )π-∞ D ．2
(,e ]π-∞
【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用．
7． 如果向量满足，且，则
的夹角大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．75°
D ．135°
8． 函数y=|a|x ﹣
（a ≠0且a ≠1）的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． “
”是“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．充分必要条件
C ．必要非充分条件
D ．非充分非必要条件
10．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=
是函数f （x ）=sin （ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．与圆C 1：x 2+y 2﹣6x+4y+12=0，C 2：x 2+y 2
﹣14x ﹣2y+14=0都相切的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
12．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方 法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 ________．
【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．
14．已知函数32()39f
x x ax x =+
+-，3x =-是函数()f x 的一个极值点，则实数a = ． 15．在△
ABC 中，若角A 为锐角，且=（2，3），
=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ．
16．若函数y=f （x ）的定义域是[，2]，则函数y=f （log 2x ）的定义域为 ．
17．定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f （x ）满足f （x+1）=﹣f （x ），且f （x ）在[﹣1，0]上是增函数，下面五个关于f （x ）的命题中： ①f （x ）是周期函数；
②f （x ） 的图象关于x=1对称； ③f （x ）在[0，1]上是增函数； ④f （x ）在[1，2]上为减函数； ⑤f
（2）
=f （0）． 正确命题的个数是 ．
18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=，则= ．
三、解答题
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238
19．已知数列{a n }满足a 1=，a n+1=a n +，数列{b n }满足b n =
（Ⅰ）证明：b n ∈（0，1）
（Ⅱ）证明：
=
（Ⅲ）证明：对任意正整数n 有a n ．
20．（本小题满分12分）已知()()2,1,0,2A B 且过点()1,1P -的直线与线段AB 有公共点, 求直 线的斜率的取值范围.
21．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=AC=AA 1=BC 1=2，∠AA 1C 1=60°，平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，AC 1与A 1C 相交于点D ．
（1）求证：BD ⊥平面AA 1C 1C ； （2）求二面角C 1﹣AB ﹣C 的余弦值．
22．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝1
2
x 2＋x ＋a ，g （x ）＝e x .
（1）记曲线y ＝g （x ）关于直线y ＝x 对称的曲线为y ＝h （x ），且曲线y ＝h （x ）的一条切线方程为mx －y －1＝0，求m 的值；
（2）讨论函数φ（x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a 的取值范围．
23．已知函数f （x0=
．
（1）画出y=f （x ）的图象，并指出函数的单调递增区间和递减区间； （2）解不等式f （x ﹣1）≤﹣．
24．已知函数f （x ）=sin2x+（1﹣2sin 2
x ）．
（Ⅰ）求f （x ）的单调减区间；
（Ⅱ）当x ∈[﹣，
]时，求f （x ）的值域．
措勤县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵α，β为锐角△ABC的两个内角，可得α+β＞90°，cosβ=sin（90°﹣β）＜sinα，同理cosα＜sinβ，
∴f（x）=（）|x﹣2|+（）|x﹣2|，在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，
由关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得到关于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），
∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x﹣3|＜|x﹣1|，化简为3x2﹣1x+8＜0，解得x∈（，2）；
故选：B．
2．【答案】C
【解析】解：设g（x）=xe x，y=mx﹣m，
由题设原不等式有唯一整数解，
即g（x）=xe x在直线y=mx﹣m下方，
g′（x）=（x+1）e x，
g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，
故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=mx﹣m恒过定点P（1，0），
结合函数图象得K PA≤m＜K PB，
即≤m＜，
，
故选：C．
【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
3．【答案】A
【解析】解：由（0，2）上的函数y=f（x）的图象可知f（x）=
当0＜2﹣x＜1即1＜x＜2时，f（2﹣x）=2﹣x
当1≤2﹣x＜2即0＜x≤1时，f（2﹣x）=1
∴y=f（2﹣x）=，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项A正确
故选A．
4．【答案】B
【解析】解：∵当a=1时，方程C：即x2+y2=1，表示单位圆
∴∃a∈R+，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；
∵当a＜0时，方程C：表示焦点在x轴上的双曲线
∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确
∵不论a取何值，方程C：中没有一次项
∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确
综上所述，可得B为正确答案
故选：B
5．【答案】D
【解析】解：由=﹣（2x n+1），
得+（2x n+1）=，
设，
以线段P n A、P n D作出图形如图，
则，
∴
，∴
，
∵，∴，
则，
即x n+1=2x n +1，∴x n+1+1=2（x n +1），
则{x n +1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴x 5+1=2•24
=32，
则x 5=31． 故选：D ．
【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．
6． 【答案】B
【解析】由题意设()()e sin x
g x f x kx x kx =-=-，且()0g x ≥在[0,]2
x π∈时恒成立，而
'()e (sin cos )x g x x x k =+-．令()e (sin cos )x h x x x =+，则'()2e c o s 0x
h x x =≥，所以()h x 在[0,]2
π上递
增，所以2
1()h x e π≤≤．当1k ≤时，'()0g x ≥，()g x 在[0,]2
π上递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意；当2
e k π
≥时，'()0g x ≤，()g x 在[0,]2
π
上递减，()(0)0g x g ≤=，与题意不合；当21e k π
<<时，()g x '为一个递增
函数，而'(0)10g k =-<，2'()e 02
g k π
π
=->，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得0'()0g x =，
当0[0,)x x ∈时，'()0g x ≤，从而()g x 在0[0,)x x ∈上单调递减，从而()(0)0g x g ≤=，与题意不合，综上
所述：k 的取值范围为(,1]-∞，故选B ．
7． 【答案】B
【解析】解：由题意故，即
故两向量夹角的余弦值为
=
故两向量夹角的取值范围是45°
故选B
【点评】本题考点是数量积表示两个向量的夹角，考查利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦，并进而求出两向量的夹角．属于基础公式应用题．
8． 【答案】D
【解析】解：当|a|＞1时，函数为增函数，且过定点（0，1﹣），因为0＜1﹣＜1，故排除A ，B
当|a|＜1时且a ≠0时，函数为减函数，且过定点（0，1﹣），因为1﹣
＜0，故排除C ．
故选：D ．
9． 【答案】A
【解析】解：由x 2
+x+m=0知，
⇔
．
（或由△≥0得1﹣4m ≥0，∴
．）
，
反之“一元二次方程x 2
+x+m=0有实数解”必有
，未必有
，
因此“”是“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．
故选A ．
【点评】本题考查充分必要条件的判断性，考查二次方程有根的条件，注意这些不等式之间的蕴含关系．
10．【答案】A
【解析】解：因为直线x=和x=
是函数f （x ）=sin （ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，
所以T==2π．所以ω=1，并且sin （
+φ）与sin （
+φ）分别是最大值与最小值，0＜
φ＜π，
所以φ=．
故选A ．
【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．
11．【答案】C
【解析】
【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数．
【解答】解：∵圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12=0，C2：x2+y2﹣14x﹣2y+14=0的方程可化为，
；；
∴圆C1，C2的圆心分别为（3，﹣2），（7，1）；半径为r1=1，r2=6．
∴两圆的圆心距=r2﹣r1；
∴两个圆外切，
∴它们只有1条内公切线，2条外公切线．
故选C．
12．【答案】C
【解析】
考点：三视图．
二、填空题
13．【答案】19
【解析】由题意可得，选取的这6个个体分别为18,07,17,16,09,19，故选出的第6个个体编号为19．14．【答案】5
【解析】
试题分析：'2'
=++∴-=∴=．
()323,(3)0,5
f x x ax f a
考点：导数与极值．
15．【答案】．
【解析】解：由于角A为锐角，
∴且不共线，
∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．
16．【答案】[，4]．
【解析】解：由题意知≤log
x≤2，即log2≤log2x≤log24，
∴≤x≤4．
故答案为：[，4]．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，正确理解“函数y=f（x）的定义域是[，2]，得到≤log2x≤2”是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
17．【答案】3个．
【解析】解：∵定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f（x），∴f（x）=f（﹣x）；
∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），f（﹣x+1）=﹣f（x）
即f（x+2）=f（x），f（﹣x+1）=f（x+1），周期为2，对称轴为x=1
所以①②⑤正确，
故答案为：3个
18．【答案】=．
【解析】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，
∴sinAsinB+sinBsinC=2sin2B．
再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，故a，b，c成等差数列．
C=，由a，b，c成等差数列可得c=2b﹣a，
由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab．
化简可得5ab=3b2，∴=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）由b n=，且a n+1=a n+，得，
∴，下面用数学归纳法证明：0＜b n＜1．
①由a 1=∈（0，1），知0＜b 1＜1，
②假设0＜b k ＜1，则，
∵0＜b k ＜1，∴
，则0＜b k+1＜1．
综上，当n ∈N *
时，b n ∈（0，1）；
（Ⅱ）由，可得，
，
∴
=
=
．
故；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：
，
故．
由
知，当n ≥2时，
=
．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题，训练了放缩法证明数列不等式，对递推式的循环运用是证明该题的关键，考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力，是压轴题．
20．【答案】3k ≤-或2k ≥. 【解析】
试题分析：根据两点的斜率公式，求得2PA k =，3PB k =-，结合图形，即可求解直线的斜率的取值范围.
试题解析：由已知，11212PA k --=
=-，12
310
PB k --==-- 所以，由图可知，过点()1,1P -的直线与线段AB 有公共点,
所以直线的斜率的取值范围是:3k ≤-或2k ≥.
考点：直线的斜率公式.
21．【答案】
【解析】解：（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1，
∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，
∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形，
同理△ABC1是等边三角形，
∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，
∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，
平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1，
∴BD⊥平面AA1C1C．
（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
平面ABC1的一个法向量为，设平面ABC的法向量为，
由题意可得，，则，
所以平面ABC的一个法向量为=（，1，1），
∴cosθ=．
即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于．
【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）y ＝g （x ）＝e x 关于直线y ＝x 对称的曲线h （x ）＝ln x ， 设曲线y ＝h （x ）与切线mx －y －1＝0的切点为（x 0，ln x 0）， 由h （x ）＝ln x 得
h ′（x ）＝1
x ，（x ＞0），
则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝m mx 0－ln x 0－1＝0，
解得x 0＝m ＝1. ∴m 的值为1.
（2）φ（x ）＝1
2x 2＋x ＋a －e x ，
φ′（x ）＝x ＋1－e x ， 令t （x ）＝x ＋1－e x ， ∴t ′（x ）＝1－e x ，
当x ＜0时，t ′（x ）＞0，x ＞0时，t ′（x ）＜0， x ＝0时，t ′（x ）＝0.
∴φ′（x ）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x ）max ＝φ′（0）＝0， 即φ′（x ）≤0在（－∞，＋∞）恒成立， 即φ（x ）在（－∞，＋∞）单调递减， 且当a ＝1有φ（0）＝0.
∴不论a 为何值时，φ（x ）＝f （x ）－g （x ）有唯一零点x 0， 当x 0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0， 即（a －1）（a －2e －3
2
）＜0，
∴1＜a ＜2e －32，即a 的取值范围为（1，2e －3
2
）．
23．【答案】
【解析】解：（1）图象如图所示：由图象可知函数的单调递增区间为 （﹣∞，0），（1，+∞）， 丹迪减区间是（0，1） （2）由已知可得
或，
解得x ≤﹣1或≤x ≤， 故不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪ [，
]．
【点评】本题考查了分段函数的图象的画法和不等式的解集的求法，属于基础题．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f （x ）=sin2x+（1﹣2sin 2
x ）=sin2x+
cos2x
=2（sin2x+cos2x ）=2sin （2x+），
由2k π+
≤2x+
≤2k π+
（k ∈Z ）得：k π+
≤x ≤k π+
（k ∈Z ），
故f （x ）的单调减区间为：[k π+，k π+
]（k ∈Z ）；
（Ⅱ）当x ∈[﹣，]时，（2x+）∈[0，]，2sin （2x+）∈[0，2]，
所以，f （x ）的值域为[0，2]．。