《不等式的基本性质》 知识清单

《不等式的基本性质》知识清单
一、不等式的定义
用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子，叫做不等式。

例如：3 ＜ 5 ，x ＋ 2 ＞ 1 ，y 1 ≤ 4 等都是不等式。

二、不等式的基本性质
1、对称性
如果 a ＞ b ，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b ，那么 b ＞ a 。

简单来说，就是两个数的大小关系是相互的。

比如 5 大于 3 ，那么
3 就小于 5 。

2、传递性
如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b ＜ c ，那么 a
＜ c 。

这就像排队一样，如果甲排在乙前面，乙排在丙前面，那么甲就排
在丙前面。

比如 7 ＞ 5 ，5 ＞ 3 ，所以 7 ＞ 3 ；同理，2 ＜ 4 ，4 ＜ 6 ，所以 2 ＜ 6 。

3、加法性质
如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。

也就是说，在不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变。

例
如 8 ＞ 3 ，两边同时加上 2 ，得到 10 ＞ 5 。

4、减法性质
如果 a ＞ b ，那么 a c ＞ b c 。

与加法性质类似，在不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变。

比如 9 ＞ 6 ，两边同时减去 4 ，5 ＞ 2 。

5、乘法性质
（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc 。

当不等式两边同时乘以一个正数时，不等号方向不变。

比如 4 ＞ 2 ，两边同时乘以 3 ，12 ＞ 6 。

（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc 。

但如果乘以一个负数，不等号方向会改变。

例如 5 ＞ 3 ，两边同时
乘以－2 ，得到－10 ＜－6 。

6、除法性质
（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 a÷c ＞ b÷c （c ≠ 0）。

不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变。

比如 12 ＞ 8 ，
两边同时除以 4 ，3 ＞ 2 。

（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0 ，那么 a÷c ＜ b÷c （c ≠ 0）。

除以一个负数时，不等号方向改变。

例如 15 ＞ 9 ，两边同时除以－3 ，－5 ＜－3 。

7、乘方性质
如果 a ＞ b ＞ 0 ，那么 a^n ＞ b^n （n 为正整数）。

正数的幂次越高，值越大。

比如 2 ＞ 1 ，那么 2^3 ＝ 8 大于 1^3 ＝1 。

8、开方性质
如果 a ＞ b ＞ 0 ，那么√a ＞√b 。

正数的平方根，较大的正数其平方根也较大。

比如 9 ＞ 4 ，那么√9 ＝ 3 大于√4 ＝ 2 。

三、不等式基本性质的应用
1、解不等式
利用不等式的基本性质，将不等式变形，逐步求出未知数的取值范围。

例如：解不等式 2x ＋ 5 ＞ 11
首先，根据减法性质，两边同时减去 5 ：2x ＞ 6
然后，根据除法性质，两边同时除以 2 ：x ＞ 3
所以，不等式的解为 x ＞ 3 。

2、证明不等式
通过运用基本性质，从已知条件出发，逐步推导证明不等式成立。

比如要证明：如果 x ＞ 0 ，y ＞ 0 ，且 x ＜ y ，那么 1/x ＞ 1/y 。

因为 x ＜ y 且 x ＞ 0 ，y ＞ 0 ，两边同时乘以 xy （xy ＞ 0 ），得
到 yx ＜ xy ，即 y ＜ x 。

两边同时除以 xy ，得到 1/x ＞ 1/y 。

3、实际问题中的应用
在解决实际问题时，常常需要根据条件列出不等式，并利用基本性
质求解。

例如，某商品进价为 a 元，售价为 b 元，要保证利润率不低于 20%，则 b 应满足什么条件？
利润＝售价进价＝ b a ，利润率＝利润÷进价。

要保证利润率不低于 20%，则（b a) ／a ≥ 20% ，即b a ≥ 02a ，b ≥ 12a 。

四、注意事项
1、在乘以或除以一个数时，要注意这个数的正负性，以确定不等
号方向是否改变。

2、解不等式时，每一步变形都要保证依据不等式的基本性质，确
保结果的正确性。

3、在实际应用中，要仔细分析题目中的数量关系，正确列出不等式。

总之，不等式的基本性质是解决不等式相关问题的基础，熟练掌握并灵活运用这些性质，能够帮助我们更好地解决数学问题以及实际生活中的各种数量关系比较和判断。