高中数学第二章平面向量2.4.1数量积的定义课件苏教版必修4
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∴a·b＝|a||b|cos 0°＝|a||b|＝18. (2)a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×12＝128＝9. (3)a·b＝|a||b|cos 90°＝3×6×0＝0. 【答案】 (1)18 (2)9 (3)0
第四页，共37页。
教材整理 2 两个向量的夹角 阅读教材 P83 的有关内容，完成下列问题． 1．定义：已知两个非零向量 a，b，如图 2-4-1 所 示．作O→A＝a，O→B＝b，则__∠_A__O_B___称为向量 a 与 b 的夹角． 2．范围：__0_°≤__θ_≤__1_8_0_°__.
第十页，共37页。
[小组合作型]
向量数量积的运算及几何意义 已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，求： (1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)． 【精彩点拨】 借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)．
第十一页，共37页。
【自主解答】 (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×－12＝－3. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. (3)(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2 ＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2 ＝8－15－27 ＝－34.
第十七页，共37页。
1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系， 要灵活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方．
2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a －b)＝a2－b2 等．
第十八页，共37页。
[再练一题] 2．已知向量 a 与 b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝ 10，则|b|＝________. 【解析】 因为|2a＋b|＝ 10， 所以(2a＋b)2＝10， 所以 4a2＋4a·b＋b2＝10， 又因为向量 a 与 b 的夹角为 45°，且|a|＝1， 所以 4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10，故 4×12＋4×1×|b|× 22＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2 2|b|－6＝0， 解得|b|＝ 2或|b|＝－3 2(舍去)，故|b|＝ 2.
第七页，共37页。
2．数量积的性质： (1)a·a＝|a|2 或|a|＝__a_2__； (2)|a·b|__≤__|a||b|；
(3)a⊥b⇒a·b＝__0_.
3．数量积的几何意义： a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 __|b_|c_o_s_θ__的乘积．
第十二页，共37页。
1．求平面向量数量积的步骤：①求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0， π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即 a·b＝|a||b|cos θ.要特别注 意书写时，a 与 b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接， 也不能省去．
2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律 或相关公式进行化简．
第十五页，共37页。
求向量的模 已知向量O→A＝a，O→B＝b，∠AOB＝60°，且|a|＝|b|＝4.求|a＋b|，|a －b|，|3a＋b|. 【精彩点拨】 根据已知条件将向量的模利用|a|＝ a·a转化为数量积的运算 求解．
第十六页，共37页。
【自主解答】 ∵a·b＝|a|·|b|cos∠AOB＝4×4×12＝8， ∴|a＋b|＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2 ＝ 16＋16＋16＝4 3， |a－b|＝ a－b2＝ a2－2a·b＋b2 ＝ 16－16＋16＝4， |3a＋b|＝ 3a＋b2＝ 9a2＋6a·b＋b2 ＝ 9×16＋48＋16＝4 13.
【自主解答】 由已知，得(a＋3b)·(7a－5b)＝0， 即 7a2＋16a·b－15b2＝0，① (a－4b)·(7a－2b)＝0， 即 7a2－30a·b＋8b2＝0，②
第二十页，共37页。
①②两式相减，得 2a·b＝b2， ∴a·b＝12b2， 代 则 cos θ＝|aa|·|bb|＝12|bb|22＝12， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
第二十一页，共37页。
1．求向量 a，b 夹角的流程图： 求|a|，|b| → 计算a·b → 计算cos θ＝|aa|·|bb| → 结合θ∈[0，π]，求解θ 2．若两非零向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b＞0 且 a·b≠|a||b|； 两非零向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b＜0 且 a·b≠－|a||b|.
第十三页，共37页。
[再练一题] 1．已知正三角形 ABC 的边长为 1，求： (1)A→B·A→C；(2)A→B·B→C； (3)B→C·A→C. 【解】 (1)∵A→B与A→C的夹角为 60°， ∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
第十四页，共37页。
(2)∵A→B与B→C的夹角为 120°， ∴A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos 120° ＝1×1×－12＝－12. (3)∵B→C与A→C的夹角为 60°， ∴B→C·A→C＝|B→C||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
图 2-4-1 3．当 θ＝_0_°_时，a 与 b 同向；当 θ＝_1_8_0_°__时，a 与 b 反向．
4．当 θ＝___9_0_°_时，则称向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
第五页，共37页。
试指出图 2-4-2 中向量的夹角， 图①中向量O→A与O→B的夹角________； 图②中向量O→A与O→B的夹角________； 图③中向量O→A与O→B的夹角________； 图④中向量O→A与O→B的夹角________．
第二十二页，共37页。
[再练一题] 3．已知单位向量 e1，e2 的夹角为 60°，求向量 a＝e1＋e2，b＝e2－2e1 的夹 角 θ. 【解】 ∵e1，e2 为单位向量且夹角为 60°， ∴e1·e2＝1×1×cos 60°＝12. ∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1) ＝－2－e1·e2＋1＝－2－12＋1＝－32，
第二十三页，共37页。
|a|＝ a2＝ e1＋e22＝ 1＋2×12＋1＝ 3，
|b|＝ b2＝ e2－2e12
＝ 1＋4－4×12＝ 3，
∴cos θ＝|aa|·|bb|＝－32×
1 3×
3＝－12.
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
第二十四页，共37页。
[探究共研型]
数量积的几何意义 探究 1 设非零向量 a，b，试用数量积“a·b”及|a|，|b|表示 a 在 b 上的投 影． 【提示】 a 在 b 上的投影为|a|cos θ， 又 cos θ＝|aa|·|bb|，∴|a|cos θ＝a|b·b| . 探究 2 数量积 a·b＝|a||b|cos θ 的几何意义是什么？ 【提示】 数量积 a·b 等于 a 的模与 b 在 a 方向上的投影|b|cos θ 的乘积，或 等于 b 的模与 a 在 b 方向上的投影|a|cos θ 的乘积．
第二十七页，共37页。
1．投影是个数量，可正、可负、可为零． 2．计算投影时要分清“谁是投影线”，即 a 在 b 上的投影 为|a|cos θ＝a|b·b| ；b 在 a 上的投影为|b|cos θ＝a|a·b| .
第二十八页，共37页。
[再练一题] 4．在△ABC 中，已知|A→B|＝5，|B→C|＝4，|A→C|＝3，求： (1)A→B·B→C； (2)A→C在A→B方向上的投影； (3)A→B在B→C方向上的投影． 【解】 ∵|A→B|＝5，|B→C|＝4，|A→C|＝3， ∴△ABC 为直角三角形，且 C＝90°， ∴cos A＝AACB＝35，cos B＝BACB＝45.
第八页，共37页。
已知|a|＝3，|b|＝5，a 与 b 的夹角为 45°，则 a 在 b 上的投影为________；b 与 a 上的投影为________．
【解析】 a 在 b 上的投影为|a|cos 45°＝3× 22＝32 2；
b
在
a
上的投影为|b|cos
45°＝5×
22＝5
2
2 .
【答案】
32 2
52 2
第九页，共37页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
第二十五页，共37页。
已知 a·b＝－9，a 在 b 方向上的投影为－3，b 在 a 方向上的投影为
－32，求 a 与 b 的夹角 θ.
【导学号：06460060】
【精彩点拨】 分别列出 a 在 b 方向上的投影和 b 在 a 方向上的投影，解
方程组便可．
第二十六页，共37页。
【自主解答】 由题意可知 a|b·b| ＝－3， a|a·b| ＝－32， a·b＝－9， ∴|a|＝6，|b|＝3， ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝6－×93＝－12， 又 0≤θ≤π，∴θ＝23π.
第二十九页，共37页。
(1)A→B·B→C＝－B→A·B→C＝－5×4×45＝－16； (2)|A→C|·cos〈A→C，A→B〉＝A→C→·A→B＝5×35×35＝95；
【答案】 2
第十九页，共37页。
求向量的夹角
已知 a，b 都是非零向量，且 a＋3b 与 7a－5b 垂直，a－4b 与 7a－ 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角．
【精彩点拨】 解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而 得到 a，b 之间的关系，再由 cos θ＝|aa|·|bb|求得夹角．
阶
段
(j
iē
阶
d
段
u
三
à
n)
一
2.4 向量的数量积
学
阶
业
段
第 1 课时 数量积的定义
(x
(j
u
iē
é
d
y
u
è)
à
分
n)
层
二
测
评
第一页，共37页。
1．了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点) 2．理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点) 3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂 直的几何问题．(难点)
第三页，共37页。
已知|a|＝3，|b|＝6，则 (1)若 a 与 b 夹角为 0°，则 a·b＝________； (2)若 a 与 b 的夹角为 60°，则 a·b＝________； (3)若 a 与 b 的夹角为 90°，则 a·b＝________.
【解析】 (1)若 a∥b，则 a 与 b 的夹角为 0°，
【答案】 θ 0° 180° θ
图 2-4-2
第六页，共37页。
教材整理 3 向量的数量积的运算律及性质 阅读教材 P84 及 P85 链接完成下列问题． 1．向量数量积的运算律：已知向量 a，b，c 和实数 λ. (1)a·b＝____b_·a____； (2)(λa)·b＝__a_·(_λ_b)____＝_λ_(a_·_b_)____＝_λ_a_·b_____； (3)(a＋b)·c＝__a·_c_＋__b_·c______.
第二页，共37页。
[基础·初探] 教材整理 1 向量的数量积 阅读教材 P83 的有关内容，完成下列问题． 已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角是 θ，我们把数量__|_a_||b_|_c_o_s_θ___叫做 向量 a 和 b 的数量积(或_内_积___)，记作 a·b，即 a·b＝__|_a_||b_|_c_o_s_θ__. 规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
第四页，共37页。
教材整理 2 两个向量的夹角 阅读教材 P83 的有关内容，完成下列问题． 1．定义：已知两个非零向量 a，b，如图 2-4-1 所 示．作O→A＝a，O→B＝b，则__∠_A__O_B___称为向量 a 与 b 的夹角． 2．范围：__0_°≤__θ_≤__1_8_0_°__.
第十页，共37页。
[小组合作型]
向量数量积的运算及几何意义 已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，求： (1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)． 【精彩点拨】 借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)．
第十一页，共37页。
【自主解答】 (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×－12＝－3. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. (3)(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2 ＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2 ＝8－15－27 ＝－34.
第十七页，共37页。
1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系， 要灵活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方．
2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a －b)＝a2－b2 等．
第十八页，共37页。
[再练一题] 2．已知向量 a 与 b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝ 10，则|b|＝________. 【解析】 因为|2a＋b|＝ 10， 所以(2a＋b)2＝10， 所以 4a2＋4a·b＋b2＝10， 又因为向量 a 与 b 的夹角为 45°，且|a|＝1， 所以 4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10，故 4×12＋4×1×|b|× 22＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2 2|b|－6＝0， 解得|b|＝ 2或|b|＝－3 2(舍去)，故|b|＝ 2.
第七页，共37页。
2．数量积的性质： (1)a·a＝|a|2 或|a|＝__a_2__； (2)|a·b|__≤__|a||b|；
(3)a⊥b⇒a·b＝__0_.
3．数量积的几何意义： a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 __|b_|c_o_s_θ__的乘积．
第十二页，共37页。
1．求平面向量数量积的步骤：①求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0， π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即 a·b＝|a||b|cos θ.要特别注 意书写时，a 与 b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接， 也不能省去．
2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律 或相关公式进行化简．
第十五页，共37页。
求向量的模 已知向量O→A＝a，O→B＝b，∠AOB＝60°，且|a|＝|b|＝4.求|a＋b|，|a －b|，|3a＋b|. 【精彩点拨】 根据已知条件将向量的模利用|a|＝ a·a转化为数量积的运算 求解．
第十六页，共37页。
【自主解答】 ∵a·b＝|a|·|b|cos∠AOB＝4×4×12＝8， ∴|a＋b|＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2 ＝ 16＋16＋16＝4 3， |a－b|＝ a－b2＝ a2－2a·b＋b2 ＝ 16－16＋16＝4， |3a＋b|＝ 3a＋b2＝ 9a2＋6a·b＋b2 ＝ 9×16＋48＋16＝4 13.
【自主解答】 由已知，得(a＋3b)·(7a－5b)＝0， 即 7a2＋16a·b－15b2＝0，① (a－4b)·(7a－2b)＝0， 即 7a2－30a·b＋8b2＝0，②
第二十页，共37页。
①②两式相减，得 2a·b＝b2， ∴a·b＝12b2， 代 则 cos θ＝|aa|·|bb|＝12|bb|22＝12， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
第二十一页，共37页。
1．求向量 a，b 夹角的流程图： 求|a|，|b| → 计算a·b → 计算cos θ＝|aa|·|bb| → 结合θ∈[0，π]，求解θ 2．若两非零向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b＞0 且 a·b≠|a||b|； 两非零向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b＜0 且 a·b≠－|a||b|.
第十三页，共37页。
[再练一题] 1．已知正三角形 ABC 的边长为 1，求： (1)A→B·A→C；(2)A→B·B→C； (3)B→C·A→C. 【解】 (1)∵A→B与A→C的夹角为 60°， ∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
第十四页，共37页。
(2)∵A→B与B→C的夹角为 120°， ∴A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos 120° ＝1×1×－12＝－12. (3)∵B→C与A→C的夹角为 60°， ∴B→C·A→C＝|B→C||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
图 2-4-1 3．当 θ＝_0_°_时，a 与 b 同向；当 θ＝_1_8_0_°__时，a 与 b 反向．
4．当 θ＝___9_0_°_时，则称向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
第五页，共37页。
试指出图 2-4-2 中向量的夹角， 图①中向量O→A与O→B的夹角________； 图②中向量O→A与O→B的夹角________； 图③中向量O→A与O→B的夹角________； 图④中向量O→A与O→B的夹角________．
第二十二页，共37页。
[再练一题] 3．已知单位向量 e1，e2 的夹角为 60°，求向量 a＝e1＋e2，b＝e2－2e1 的夹 角 θ. 【解】 ∵e1，e2 为单位向量且夹角为 60°， ∴e1·e2＝1×1×cos 60°＝12. ∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1) ＝－2－e1·e2＋1＝－2－12＋1＝－32，
第二十三页，共37页。
|a|＝ a2＝ e1＋e22＝ 1＋2×12＋1＝ 3，
|b|＝ b2＝ e2－2e12
＝ 1＋4－4×12＝ 3，
∴cos θ＝|aa|·|bb|＝－32×
1 3×
3＝－12.
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
第二十四页，共37页。
[探究共研型]
数量积的几何意义 探究 1 设非零向量 a，b，试用数量积“a·b”及|a|，|b|表示 a 在 b 上的投 影． 【提示】 a 在 b 上的投影为|a|cos θ， 又 cos θ＝|aa|·|bb|，∴|a|cos θ＝a|b·b| . 探究 2 数量积 a·b＝|a||b|cos θ 的几何意义是什么？ 【提示】 数量积 a·b 等于 a 的模与 b 在 a 方向上的投影|b|cos θ 的乘积，或 等于 b 的模与 a 在 b 方向上的投影|a|cos θ 的乘积．
第二十七页，共37页。
1．投影是个数量，可正、可负、可为零． 2．计算投影时要分清“谁是投影线”，即 a 在 b 上的投影 为|a|cos θ＝a|b·b| ；b 在 a 上的投影为|b|cos θ＝a|a·b| .
第二十八页，共37页。
[再练一题] 4．在△ABC 中，已知|A→B|＝5，|B→C|＝4，|A→C|＝3，求： (1)A→B·B→C； (2)A→C在A→B方向上的投影； (3)A→B在B→C方向上的投影． 【解】 ∵|A→B|＝5，|B→C|＝4，|A→C|＝3， ∴△ABC 为直角三角形，且 C＝90°， ∴cos A＝AACB＝35，cos B＝BACB＝45.
第八页，共37页。
已知|a|＝3，|b|＝5，a 与 b 的夹角为 45°，则 a 在 b 上的投影为________；b 与 a 上的投影为________．
【解析】 a 在 b 上的投影为|a|cos 45°＝3× 22＝32 2；
b
在
a
上的投影为|b|cos
45°＝5×
22＝5
2
2 .
【答案】
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
第二十五页，共37页。
已知 a·b＝－9，a 在 b 方向上的投影为－3，b 在 a 方向上的投影为
－32，求 a 与 b 的夹角 θ.
【导学号：06460060】
【精彩点拨】 分别列出 a 在 b 方向上的投影和 b 在 a 方向上的投影，解
方程组便可．
第二十六页，共37页。
【自主解答】 由题意可知 a|b·b| ＝－3， a|a·b| ＝－32， a·b＝－9， ∴|a|＝6，|b|＝3， ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝6－×93＝－12， 又 0≤θ≤π，∴θ＝23π.
第二十九页，共37页。
(1)A→B·B→C＝－B→A·B→C＝－5×4×45＝－16； (2)|A→C|·cos〈A→C，A→B〉＝A→C→·A→B＝5×35×35＝95；
【答案】 2
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求向量的夹角
已知 a，b 都是非零向量，且 a＋3b 与 7a－5b 垂直，a－4b 与 7a－ 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角．
【精彩点拨】 解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而 得到 a，b 之间的关系，再由 cos θ＝|aa|·|bb|求得夹角．
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2.4 向量的数量积
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第 1 课时 数量积的定义
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评
第一页，共37页。
1．了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点) 2．理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点) 3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂 直的几何问题．(难点)
第三页，共37页。
已知|a|＝3，|b|＝6，则 (1)若 a 与 b 夹角为 0°，则 a·b＝________； (2)若 a 与 b 的夹角为 60°，则 a·b＝________； (3)若 a 与 b 的夹角为 90°，则 a·b＝________.
【解析】 (1)若 a∥b，则 a 与 b 的夹角为 0°，
【答案】 θ 0° 180° θ
图 2-4-2
第六页，共37页。
教材整理 3 向量的数量积的运算律及性质 阅读教材 P84 及 P85 链接完成下列问题． 1．向量数量积的运算律：已知向量 a，b，c 和实数 λ. (1)a·b＝____b_·a____； (2)(λa)·b＝__a_·(_λ_b)____＝_λ_(a_·_b_)____＝_λ_a_·b_____； (3)(a＋b)·c＝__a·_c_＋__b_·c______.
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[基础·初探] 教材整理 1 向量的数量积 阅读教材 P83 的有关内容，完成下列问题． 已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角是 θ，我们把数量__|_a_||b_|_c_o_s_θ___叫做 向量 a 和 b 的数量积(或_内_积___)，记作 a·b，即 a·b＝__|_a_||b_|_c_o_s_θ__. 规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.