2018届高三数学理一轮总复习江苏专用课时跟踪检测四十

课时跟踪检测（四十七） 圆的方程
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1．点(1,2)与圆x 2＋y 2＝5的位置关系是________(填“点在圆内”“点在圆上”“点在圆外”)．
解析：把点(1,2)代入圆的方程左边等于5，所以点在圆上．
答案：点在圆上
2．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是________． 解析：因为圆心为线段AB 的中点(1，－3)，半径为
AB 2＝12
(6＋4)2＋(－1＋5)2＝29，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝29.
答案：(x －1)2＋(y ＋3)2＝29
3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为________．
解析：(x ，y )关于原点P (0,0)的对称点为(－x ，－y )，
则(－x ＋2)2＋(－y )2＝5，即(x －2)2＋y 2＝5.
答案：(x －2)2＋y 2＝5
4．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为________．
解析：已知圆的圆心是(1，－2)，到直线x －y ＝1的距离是|1＋2－1|12＋12＝22＝ 2. 答案： 2
5．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为________．
解析：由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝2；又因为y ＝－x 与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.
答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2
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1．圆C ：x 2＋y 2－22x ＋23y ＋1＝0的面积等于________．
解析：圆C 化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝4，知半径r ＝4＝2，则圆的面积S ＝πr 2＝4π.
答案：4π
2．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为__________________．
解析：∵圆心(2，－1)到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|5
＝3，∴圆的半径为3，
即圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.
答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝9
3．(2016·苏州中学检测)已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为________．
解析：因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.
答案：－1
4．(2016·济南模拟)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为________________．
解析：设圆C 1的圆心坐标C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点为(a ，b )，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b －1a ＋1＝－1，
a －12－
b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－2， 所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1
5．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是________．
解析：易求圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离为5.令r ＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r ＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r 取值范围在(4,6)之间符合题意．
答案：(4,6)
6．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．
解析：因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.
答案：(x －1)2＋y 2＝2
7．直线x －2y －2k ＝0与2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9 的外部，则k 的取值范围是________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －2k ＝0，2x －3y －k ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－4k ，y ＝－3k . ∴(－4k )2＋(－3k )2＞9，即25k 2＞9，
解得k ＞35或k ＜－35
.
答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－35∪⎝⎛⎭
⎫35，＋∞ 8．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线 x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为________．
解析：如图所示，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
答案：4
9．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.
(1)求直线CD 的方程；
(2)求圆P 的方程．
解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.
(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①
又∵直径|CD |＝410，
∴|PA |＝210，∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②
由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝－2. ∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.
10．(2016·南师附中月考)已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上．
(1)求圆C 的方程；
(2)线段PQ 的端点P 的坐标是(5,0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．
解：(1)设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D ⎝⎛⎭⎫32
，－12. 又k AB ＝－3，所以k m ＝13
， 所以直线m 的方程为x －3y －3＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得圆心C (－3，－2)， 则半径r ＝CA ＝(－3－1)2＋(－2－1)2＝5，
所以圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.
(2)设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0)．
因为点P 的坐标为(5,0)，
所以⎩⎨⎧
x ＝x 0＋52，y ＝y 0＋02，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －5，y 0＝2y . 又点Q (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25上运动，
所以(x 0＋3)2＋(y 0＋2)2＝25，
即(2x －5＋3)2＋(2y ＋2)2＝25，
整理得(x －1)2＋(y ＋1)2＝254
. 即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝
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1．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，
x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内
部所覆盖，则圆C 的方程为________．
解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．
∵△OPQ 为直角三角形，
∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝
|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.
答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5
2．(2016·南通中学检测)如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．
解析：∵r ＝12k 2＋4－4k 2＝12
4－3k 2，∴当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．
答案：(0，－1)
3．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，
线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积．
解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，
所以圆心为C (0,4)，半径为4.
设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x,2－y )，
由题设知CM ·MP ＝0，
故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.
由于点P 在圆C 的内部，
所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.
(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .
因为ON 的斜率为3，
所以直线l 的斜率为－13
， 所以直线l 的方程为y ＝－13x ＋83
. 又|OM |＝|OP |＝22，点O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165
.。