最新北师大版九年级数学下册第二章二次函数全章综合测评题含答案

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北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》检测题含答案解析 (36)

一、选择题1.将抛物线y=x2−2x−1向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是( )A．y=x2−2x B．y=x2−2x−2C．y=x2−x−1D．y=x2−3x−12.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c图象时，列出了下面的表格：x⋯−2−1012⋯y⋯−11−21−2−5⋯由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是( )A．−11B．−2C．1D．−5与y=kx2−k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )3.函数y=kxA．B．C．D．4.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为(−1,0)，则下面的四个结论，其中正确的个数为( )① 2a+b=0；② 4a−2b+c<0；③ ac>0；④当y>0时，−1<x<4．A．1个B．2个C．3个D．4个5.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且−2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为( )A．1或−2B．−√2或√2C．√2D．16.已知对于抛物线y1=−2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1<y2，此时M=0．下列判断：①当x>0时，M=y2；②当x<0时，M随x值的增大而增大；③ M<2；④使得M=1的x值是−12或√22．其中正确的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，观察得出了下面五条信息：① c<0；②abc>0；③ a−b+c>0；④ 2a−3b=0；⑤ c−4b>0．你认为其中正确信息的个数有( )A．2个B．3个C．4个D．5个8.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1,0)，(x2,0)，且x1<x2，图象上有一点M(x0,y0)在x轴下方，则下列判断正确的是( )A．a>0B．b2−4ac≥0C．x1<x0<x2D．a(x0−x1)(x0−x2)<09.如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合，现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动，在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为( )A．B．C．D．10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(−3,0)与(1,0)两点，关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0<n< m)有两个整数根，这两个整数根是( )A．−2或0B．−4或2C．−5或3D．−6或4二、填空题11.把二次函数y=x2−4x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式是．12.已知关于x的函数y=(x−1)[(k−1)x+(k−2)]（k是常数），设k分别取0，1，2时，所对应的函数为y0，y1，y2，某学习小组通过画图，探索，得到以下结论：①函数y0，y1，y2都是二次函数；②满足y1>y2的x取值范围是−1<x<1；③不论k取何实数，y=(x−1)[(k−1)x+(k−2)]的图象都经过点(1,0)和点(−1,2)；④当x>1时满足y2>y1>y0．则以上结论正确的是．13.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线，若点P(4,0)在该抛物线上，则4a−2b+c的值为．14.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc0．(填“>”，“=”，或“<”)15.抛物线y=−x2+2x+m交x轴于点A(a,0)和B(b,0)（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D，下列四个结论：①抛物线过点(2,m)；②当m=0时，△ABD是等腰直角三角形；③ a+b=4；④抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，若x1<x2，且x1+x2>2，则y1>y2．其中结论正确的序号是．16.若抛物线y=(m−1)x m2−m开口向下，则m=．17.已知二次函数y=−(x+a)2+2a−1（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是．三、解答题18.如图，抛物线y=ax2−2ax+c的图象经过点C(0,−2)，与x轴交于A(−1,0)，B两点．(1) 求抛物线的解析式及点B的坐标；(2) 若P为线段BC下方抛物线上的一动点，设△PBC的面积为S，求S的最大值．19.如图1，直线y=−43x+n交x轴于点A，交y轴于点C(0,4)，抛物线y=23x2+bx+c经过点A，交y轴于点B(0,−2)．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB．(1) 求抛物线的解析式．(2) 当 △BDP 为等腰直角三角形时，求线段 PD 的长．(3) 如图2，将 △BDP 绕点 B 逆时针旋转，得到 △BDʹPʹ，且 ∠PBPʹ=∠OAC ，当点 P 的对应点 Pʹ 落在坐标轴上时，请直接写出 P 点的坐标．20. 已知抛物线：y =ax 2−4ax −5(a ≠0)．(1) 写出抛物线的对称轴：直线；(2) 当 a =−1 时，将该抛物线图象沿 x 轴的翻折，得到新的抛物线解析式是； (3) 若抛物线的顶点在 x 轴上，求 a 的值．21. 五家尧草莓是我旗的特色农产品，深受个人们的喜欢．某超市对进货价为 10 元 /千克的某种草莓的销售情况进行统计，发现毎天销售量 y （千克）与销售价 x （元/千克）存在一次函数关系，如图所示．(1) 求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）．(2) 为了让顾客得到实惠，商场将销售价定为多少时，该品种草莓毎天销售利润为150元？(3) 应怎样确定销售价，使该品种草莓的毎天销售利润最大？最大利润是多少？x2−2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=13x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．抛物线的顶点为M，直线y=−12(1) 求b的值及点M的坐标；(2) 将直线AB向下平移，得到过点M的直线y=mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2,0)，连接DM，求证：∠ADM−∠ACM=45∘；(3) 点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF=2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF=4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+ax+b交x轴于A(1,0)，B(3,0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．(1) 求抛物线y=−x2+ax+b的解析式；(2) 当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；(3) 在（2）的条件下，求sin∠OCB的值.24.利用图象回答下列问题：(1) 在所给的平面直角坐标系中画出函数y=x2−2x−3的图象．(2) 方程的解是什么？(3) x取什么值时，函数值小于0？(4) x取什么值时，函数值大于5？25.图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：(1) 求拱桥所在抛物线的解析式；(2) 当水面下降1m时，水面的宽度为多少？答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】D【解析】由函数图象关于对称轴对称，得(−1,−2)，(0,1)，(1,2)在函数图象上，把(−1,−2)，(0,1)，(1,2)代入函数解析式，得{a−b+c=−2,c=1,a+b+c=−2,解得{a=−3,b=0,c=1,函数解析式为y=−3x2+1，x=2时，y=−11．3. 【答案】D【解析】分两种情况讨论：①当k<0时，反比例函数y=kx，在二、四象限，而二次函数y=kx2−k开口向下，故A，B，C，D都不符合题意；②当k>0时，反比例函数y=kx，在一、三象限，而二次函数y=kx2−k开口向上，与y 轴交点在原点下方，故选项D正确．4. 【答案】B【解析】点B坐标为(−1,0)，对称轴为x=1，则点A(3,0)，①函数对称轴为：x=−b2a=1，解得：b=−2a，故①正确，符合题意；② x=−2时，y=4a−2b+c<0，正确，符合题意；③ a<0，c>0，故ac<0，故③错误，不符合题意；④当y>0时，−1<x<3，故④错误，不符合题意；故选：B．5. 【答案】D【解析】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=−2a2a=−1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a>0，∵−2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，∴3a2+3a−6=0，∴a 1=1，a 2=−2（不合题意舍去）．6. 【答案】B【解析】当 x >0 时，一次函数图象位于二次函数上方， ∴y 2>y 1，∴M =y 1，故①错误；∵ 当 x <0，两个函数的函数随着 x 的增大而增大， ∴M 随 x 值的增大而增大，故②正确；当 x =0 时，函数 M =y 1=y 2=2，故③错误；令 y 1=1，即：−2x 2+2=1．解得：x 1=√22，x 2=−√22（不合题意舍去），令 y 2=1，得：2x +2=1，解得：x =−12，故④正确．7. 【答案】C8. 【答案】D【解析】A 、二次函数 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与 x 轴有两个交点无法确定 a 的正负情况，故本选项错误； B 、 ∵x 1<x 2，∴Δ=b 2−4ac >0，故本选项错误； C 、若 a >0，则 x 1<x 0<x 2，若 a <0，则 x 0<x 1<x 2 或 x 1<x 2<x 0，故本选项错误； D 、若 a >0，则 x 0−x 1>0，x 0−x 2<0，所以 (x 0−x 1)(x 0−x 2)<0 . ∴a (x 0−x 1)(x 0−x 2)<0，若 a <0，则 (x 0−x 1) 与 (x 0−x 2) 同号，∴a (x 0−x 1)(x 0−x 2)<0 .综上所述 a (x 0−x 1)(x 0−x 2)<0 正确，故本选项正确．9. 【答案】A10. 【答案】B二、填空题11. 【答案】 y =(x −2)2−1【解析】 y =x 2−4x +3=(x 2−4x +4)−4+3=(x −2)2−1．12. 【答案】②③④【解析】当k分别取0，1，2时，所对应的函数解析式分别为：y0=−x2−x+2，y1=−x+1，y2=x2−x，由上可知，①错误；若y1>y2，则−x+1>x2−x，∴x2<1，即−1<x<1，则②正确；∵关于x的函数y=(x−1)[(k−1)x+(k−2)]=(x2−1)k−x2−x+2，∴当x=±1时，函数值与k无关，即当x=1，y=0；当x=−1，y=2，∴过定点(1,0)，(−1,2)，则③正确；若−x+1>−x2−x+2，∴x>1或x<−1；若x2−x>−x+1，∴x>1或x<−1，∴当x>1时，y2>y1>y0，则④正确．13. 【答案】0【解析】设抛物线与x轴的另一个交点是Q，∵抛物线的对称轴过点(1,0)，与x轴的一个交点是P(4,0)，∴与x轴的另一个交点Q(−2,0)，把(−2,0)代入解析式得：0=4a−2b+c，∴4a−2b+c=0．14. 【答案】<【解析】∵抛物线开口向下，∴a<0，∵与y轴交于正半轴，∴c>0，∵对称轴在y轴右侧，>0，∴x=−b2a∴b>0，∴abc<0．15. 【答案】①②④【解析】①当x=2时，y=−22+2x2+m=m，∴ 抛物线经过点 (2,m )，故①正确；②当 m =0 时，抛物线 y =−x 2+2x 与 x 轴交于点 A (a,0) 和 B (b,0)，点 A 在点 B 左侧，∴−x 2+2x =0 时，x 1=0，x 2=2， ∴A (0,0)，B (2,0)，又点 D 为抛物线 y =−x 2+2x =−(x −1)2+1 的顶点， ∴D 点坐标为 (1,1)，∴AD =√12+12=√2，BD =√(2−1)2+(0−1)2=√2，AB =2，又 AD 2+BD 2=2+2=4=AB 2，由勾股定理逆定理可知：△ABD 为直角三角形，又 AD =BD =√2，∴△ABD 是等腰直角三角形，故②正确； ③抛物线 y =−x 2+2x +m 对称轴为直线 x =−22×(−1)=1，由抛物线对称性可知x A +x B2=1，∴a +b =2，故③错误；④抛物线 y =−x 2+2x +m =−(x −1)2+m +1 图象开口向下，对称轴为直线 x =1， ∴ 抛物线上离对称轴越近的点对应的函数值越大，又 x 1+x 2>2，P (x 1,y 1) 和 Q (x 2,y 2)， ∴P ，Q 两点的中点在对称轴 x =1 右侧，又 x 1<x 2，∴P (x 1,y 1) 到对称轴的距离大于 Q (x 1,y 1) 到对称轴的距离， ∴y 1>y 2，故④正确．故其中正确序号为：①②④．16. 【答案】 −117. 【答案】 y =−2x −1三、解答题 18. 【答案】(1) 把 C (0,−2)，A (−1,0) 分别代入 y =ax 2−2ax +c 得：{c =−2,a +2a +c =0.解得：{a =23,c =−2.∴ 抛物线的解析式为：y =23x 2−43x −2，把 y =0 代入解析式得 23x 2−43x −2=0，解得：x 1=3，x 2=−1， ∴ 点 B 的坐标为 (3,0)．(2) 设点 P 的坐标为 (m,23m 2−43m −2)(m >0)，连接 OP ，则S =S △POC +S △POB −S △BOC=12×∣−2∣⋅m +12×3⋅[−(23m 2−43m −2)]−12×3×∣−2∣=−m 2+3m =−(m −32)2+94.∴ 当 m =32 时，S 取得最大值为 94．19. 【答案】(1) 由 y =−43x +n 过点 C (0,4)，得 n =4，则 y =−43x +4．当 y =0 时，得 −43x +4=0，解得：x =3， ∴ 点 A 坐标是 (3,0)∵y =23x 2+bx +c 经过点 A (3,0)，B (0,−2)． ∴{0=23×32+3b +c,−2=c. 解得：{b =−43,c =−2.∴ 抛物线的解析式是 y =23x 2−43x −2．(2) ∵ 点 P 的横坐标为 m ， ∴P (m,23m 2−43m −2)，D (m,−2)若 △BDP 为等腰直角三角形时，则 PD =BD ．①当点 P 在直线 BD 上方时，PD =23m 2−43m −2+2=23m 2−43m ，（ⅰ）若 P 在 y 轴左侧，则 m <0，BD =−m ． ∴23m 2−43m =−m ，解得：m =12 或 m =0（舍去）．（ⅰ）若 P 在 y 轴右侧，则 m >0，BD =m ． ∴23m 2−43m =m ，解得：m =72 或 m =0（舍去）．②当点 P 在直线 BD 下方时，PD =−2−(23m 2−43m −2)=−23m 2+43m ，则 m >0，BD =m ． ∴−23m 2+43m =m ，解得：m =12 或 m =0（舍去）．综上：m =72 或 m =12．即当 △BDP 为等腰直角三角形时，PD 的长为 72或 12．(3) P (−√5,4√5+43) 或 P (√5,−4√5+43) 或 P (258,1132)．【解析】(3) ∵∠PBPʹ=∠OAC ，OA =3，OC =4， ∴AC =5，∴sin∠PBPʹ=45，cos∠PBPʹ=35．①当点 Pʹ 落在 x 轴上时，过点 Dʹ 作 DʹN ⊥x 轴于 N ，交 BD 于点 M ， ∠DBDʹ=∠NDʹPʹ=∠PBPʹ，如图①，NDʹ−MDʹ=2，即 35×(23m 2−43m)−(−54m)=2．如图②，NDʹ−MDʹ=2，即 35×(23m 2−43m)−(−45m)=2解得：P (−√5,4√5+43) 或 P (√5,−4√5+43)． ②当点 Pʹ 落在 y 轴上时，如图③，过点 Dʹ 作 DʹM ⊥x 轴交 BD 于点 M ，过点 Pʹ 作 PʹN ⊥y 轴，交 MDʹ 的延长线于点 N ， ∠DBDʹ=∠NDʹPʹ=∠PBPʹ，∵PN =BM ，即 45×(23m 2−43m)=35m ，∴P (258,1132)．20. 【答案】(1) x =2(2) y =x 2−4x +5(3) 由题意得：Δ=b 2−4ac =16a 2+20a =0，解得：a =−54．【解析】 (1) 对称轴 x =−b 2a=−−4a 2a=2．(2) a =−1 时，y =−x 2+4x −5，对称轴 x =2，顶点坐标为 (2,−1)，图象沿 x 轴的翻折后，顶点为 (2,1)，a =1，故新的抛物线解析式是：y =(x −2)2+1=x 2−4x +5．21. 【答案】(1) 设 y =kx +b ，把 (20,20) 和 (30,0) 代入得： {20=20k +b,0=30k +b, 解得：{k =−2,b =60,∴y =−2x +60．(2) 由题意得：(−2x +60)(x −10)=150,解得：x 1=15,x 2=25,为了让顾客得到实惠，商场将销售价定为 15 元即可．(3) 设利润为 y ，则y=(−2x +60)(x −10)=−2(x −20)2+200,当售价为 20 元时，该品种草莓的每天销售利润最大，最大利润是 200 元．22. 【答案】(1) 对于抛物线 y =13x 2−2x ，令 y =0，得到 13x 2−2x =0，解得 x =0 或 6， ∴A (6,0)，∵ 直线 y =−12x +b 经过点 A ， ∴0=−3+b ，∴b =3，∵y =13x 2−2x =13(x −3)2−3，∴M (3,−3)．(2) 如图，设平移后的直线的解析式 y =−12x +n ．∵ 平移后的直线经过 M (3,−3)， ∴−3=−32+n ， ∴n =−32，∴ 平移后的直线的解析式为 y =−12x −32，过点 D (2,0) 作 DH ⊥MC 于 H ，则直线 DH 的解析式为 y =2x −4，由 {y =2x −4,y =−12x −32,解得 {x =1,y =−2,∴H (1,−2)，∵D (2,0)，M (3,−3)，∴DH =√22+12=√5，HM =√12+22=√5， ∴DH =HM ． ∴∠DMC =45∘，∵∠ADM =∠DMC +∠ACM ， ∴∠ADM −∠ACM =45∘．(3) 如图，过点 G 作 GH ⊥OA 于 H ，过点 E 作 EK ⊥OA 于 K ． ∵∠BEF =2∠BAO ，∠BEF =∠BAO +∠EFA ， ∴∠EFA =∠BAO ，∵∠EFA =∠GFH ，tan∠BAO =OBOA =36=12， ∴tan∠GFH =tan∠EFK =12，∵GH ∥EK ，∴GFEF =GHEK =43，设 GH =4k ，EK =3k ，则 OH =HG =4k ，FH =8k ，FK =AK =6k ， ∴OF =AF =12k =3， ∴k =14，∴OF =3，FK =AK =32，EK =34，∴OK =92， ∴E (92,34) .23. 【答案】(1) 把 A (1,0)，B (3,0) 代入 y =−x 2+ax +b 得{−1+a +b =0,−9+3a +b =0.解得{a =4,b =−3.所以y =−x 2+4x −3.(2) 过 P 作 PM ⊥x 轴于点 M ，则 PM ∥y 轴． ∵ P 为 BC 的中点，PM ∥y 轴， ∴ M 为 OB 的中点， ∴ P 的横坐标为 32，把 x =32 代入 y =−x 2+4x −3 得 y =34， ∴ 点 P 的坐标为 (32,34)． (3) ∵ PM ∥OC ， ∴ ∠OCB =∠MPB ， ∵ PM =34，MB =32，∴ PB =√916+94=34√5，∴ sin∠MPB =BM PB =3234√5=25√5，∴ sin∠OCB =25√5．24. 【答案】(1) 正确画出的图象：(2) 根据图象，抛物线与 x 轴的交点的横坐标， ∴ 方程 x 2−2x −3=0 的解为：x 1=−1，x 2=3．(3) 根据图象，由抛物线在 x 轴下方的图象在 −1 和 3 之间， ∴ 当 −1<x <3，函数值小于 0．(4) 令 x 2−2x −3=5 时，解得：x =−2 或 x =4， ∴ 当 x <−2 或 x >4，函数值大于 5．25. 【答案】(1) 设抛物线解析式为y=ax2+2，代入A点坐标(−2,0)，得出：a=−1，2x2+2．∴抛物线解析式为y=−12x2+2，解得：x=±√6，故当水面下降1m时，水面的宽度为(2) 当y=−1时，−1=−122√6m．。

北师大版数学九年级下第二章《二次函数》测试题含答案

北师大版数学九年级下册第二章全章测试题一、选择题(3分×10＝30分)1．(2021，益阳)抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是( )A．(3，1) B．(3，－1) C．(－3，1) D．(－3，－1)2．若二次函数y＝x2＋bx＋4配方后为y＝(x－2)2＋k，则b、k的值分别为( )A．0，5 B．0，1 C．－4，5 D．－4，03．(2021，衢州)抛物线y＝x2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y＝(x－1)2－4，则b，c的值分别为( )A．b＝2，c＝－6 B．b＝2，c＝0C．b＝－6，c＝8 D．b＝－6，c＝24．已知二次函数y＝－12x2－7x＋152，若自变量x分别取x1、x2、x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1、y2、y3的大小关系正确的是( )A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y15．已知抛物线y＝x2－2x＋m＋1与x轴有两个不同的交点，则函数y＝mx的大致图象是( )6．某市烟花厂为该市4.18烟花三月经贸旅游特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－52t2＋20t＋1.若这种礼炮点火开空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( ) A．3s B．4s C．5s D．6s7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2经过平移得到抛物线y＝12x2－2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A．2 B．4 C．8 D．168．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则下列叙述正确的是( )A．abc＜0B．－3a＋c＜0C．b2－4ac≥0D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y＝ax2＋c9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞310．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBDQ的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤8)之间的函数关系可以用图象表示为()二、填空题(3分×10＝30分)11．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为____________12．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)、(3，0)两点，则它的对称轴为____________________．13．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有_____________(填写所有正确选项的序号)．14．二次函数y＝x2－(m－4)x－m的图象与x轴的两个交点关于y轴对称，则其顶点坐标为___________．15．小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s＝1100v2，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车_______(填“会”或“不会”)有危险．16．已知二次函数y＝－x2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是_____，最大值是____．17．开口向下的抛物线y＝(m2－2)x2＋2mx＋1的对称轴经过点(－1，3)，则m＝_____．18．请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象同时满足下列条件：(1)开口向下；(2)当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小，这样的二次函数的解析式可以是__________________________________________.19．2021年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)，若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y＝－29x2＋89x＋109，则羽毛球飞出的水平距离为__________米．20．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1、A2、A3…A n，….将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1、M2、M3、…M n，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1、A2、A3…A n、….则顶点M2021的坐标为______________．三、解答题(共60分)21．(7分)二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(4，3)，(3，0)．(1)求b、c的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；(3)画出二次函数y＝x2＋bx＋c的图象．22．(8分)已知函数y＝mx2－6x＋1(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．23．(8分)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(－2，4)，过点A 作AB⊥y轴，垂足为B，连接OA.(1)求△OAB的面积；(2)若抛物线y＝－x2－2x＋c经过点A.①求c的值；②将抛物线向下平移m个单位长度，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界)，求m的取值范围(直接写出答案即可)．24．(8分)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系：(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？25．(8分)如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm.点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．26．(9分)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种工具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．27．(12分)如图，已知抛物线y＝38x2－34x－3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C.(1)直接写出A、D、C三点的坐标；(2)若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案:一、1---10 ADBAA BBBDB 二、11. y＝a(1＋x)212. 直线x＝213. ①③14. (0，－4)15. 会16. －5 417. －118. 答案不唯一，只要满足b＝－4a，a＜0即可，如y＝－x2＋4x＋3，y＝－2x2＋8x －3等．19. 520. (4027，4027)三21. 解：(1)b＝－4，c＝3(2) (2，－1)，x＝2(3)画图略22. 解：(1)当x＝0时，y＝1.所以不论m为何值，函数y＝mx2－6x＋1的图象都经过y轴上的一个定点(0，1)(2)①当m＝0时，函数y＝－6x＋1的图象与x轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2－6x＋1＝0有两个相等的实数根，所以(－6)2－4m＝0，m＝9.综上可知，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.23. 解：(1)4(2)①c＝4；②∵y＝－x2－2x＋4＝－(x＋1)2＋5，∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)，AB的中点E的坐标是(－1，4)，OA的中点F的坐标是(－1，2)，∴m的取值范围为1＜m＜324. 解：(1)y＝－x＋180(2)W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)＝－x2＋280x－18000＝－(x－140)2＋1600；当x＝140，W最大＝1600，∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1600元．25. 解：(1)y＝－x2＋9x(0＜x≤4)(2)y＝－(x－92)2＋814，∵当0＜x≤92时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的面积的最大值是20cm2.26. 解：(1)w＝(x－20)[250－10(x－25)]＝－10(x－20)(x－50)＝－10x2＋700x－10000 (2)∵w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250，∴当x＝35时，w取到最大值2250.即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元(3)∵w＝－10(x－35)2＋2250，∴函数图象是以x＝35为对称轴且开口向下的抛物线．∴对于方案A，20＜x≤30，此时w随x的增大而增大，∴x＝30时，w取到最大值2000.∴当采用方案A时，销售单价为30元可获得最大利润为2000元；对于方案B ，则有⎩⎨⎧250－10（x －25）≥10，x －20≥25.解得45≤x ≤49.此时w 随x 的增大而减小．故当x ＝45时，w 取到最大值1250，∴当采用方案B 时，销售单价为45元可获得最大利润为1250元．两者比较，还是方案A 的最大利润更高．27. 解：(1)∵y ＝38x 2－34x －3，∴当y ＝0时，38x 2－34x －3＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4.当x ＝0，y ＝－3.∴A 点坐标为(4，0)，D 点坐标为(－2，0)，C 点坐标为(0，－3) (2)∵y＝38x 2－34x －3，∴对称轴为直线x ＝342×38＝1.∵AD 在x 轴上，点M 在抛物线上，∴当△MAD 的面积与△CAD 的面积相等时，分两种情况：①点M 在x 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M 与点C 关于直线x ＝1对称，∵C 点坐标为(0，－3)，∴M 点坐标为(2，－3)；②点M 在x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M 点到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离3.当y ＝3时，38x 2－34x －3＝3，解得x 1＝1＋17，x 2＝1－17，∴M 点坐标为(1＋17，3)或(1－17，3)．综上所述，所求M 点坐标为(2，－3)或(1＋17，3)或(1－17，3)(3)结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P 满足题意：①若BC ∥AP 1，此时梯形为ABCP 1.由点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，可知BC ∥x 轴，则P 1与D 点重合，∴P 1(－2，0)．∵P 1A ＝6，BC ＝2，∴P 1A≠BC ，∴四边形ABCP 1为梯形；②若AB ∥CP 2，此时梯形为ABCP 2.∵A 点坐标为(4，0)，B 点坐标为(2，－3)，∴直线AB的解析式为y＝32x－6，∴可设直线CP2的解析式为y＝32x＋n，将C点坐标(0，－3)代入，得n＝－3，∴直线CP2的解析式为y＝32x－3.∵点P2在抛物线y＝38x2－34x－3上，∴38x2－34x－3＝32x－3，化简得：x2－6x＝0，解得x1＝0(舍去)，x2＝6，∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，∴P2(6，6)．∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四边形ABCP2为梯形．综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为(－2，0)或(6，6)．。

九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试题-北师大版(含答案)

九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试题-北师大版（含答案）一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（）A ．5-B ．3-C ．1-D ．52．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度()m y 与水平距离()m x 之间的关系如图所示，点B 为落地点，且1m OA =，4m OB =，羽毛球到达的最高点到y 轴的距离为3m 2，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（）A ．25m 4B ．9m 4C ．3m 2D ．25m 163．二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（）A ．=1x -B ．2x =-C ．1x =D ．2x =4．已知二次函数()20y ax bx c a =+-≠，其中0b >、0c >，则该函数的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-，下列结论正确的是（）A ．a<0B ．0c >C ．当<2x -时，y 随x 的增大而减小D ．当2x >-时，y 随x 的增大而减小6．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大7．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值68．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是( )A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对9．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01（x -20）2+4，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面，且AC ⊥x 轴，若OA =5米，则桥面离水面的高度AC 为（）A ．5米B ．4米C ．2.25米D ．1.25米10．下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：x… -2 0 1 3 …y… 6 -4 -6 -4 …下列各选项中，正确的是A ．这个函数的图象开口向下B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大11．用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（） A ．21(2)42y x =-- B ．21(1)32y x =-- C ．21(2)52y x =-- D ．21(2)62y x =--12．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的函数表达式为()20y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A ．第7秒B ．第9秒C ．第11秒D ．第13秒二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上，顶点B 在x 轴正半轴上．若抛物线y ＝x 2﹣5x +4经过点C 、D ，则点B 的坐标为______．15．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(2,0)-，对称轴为直线12x =-．对于下列结论：⊥<0abc ；⊥240b ac ->；⊥0a b c ++=；⊥21(2)4am bm a b +<-（其中12m ≠-）；⊥若()11,A x y 和()22,B x y 均在该函数图象上，且121x x >>，则12y y >．其中正确结论的个数共有_______个．16．二次函数23y ax ax c =-+（a<0，a ，c 均为常数）的图象经过()12A y -，、()22B y ，、()30C y ，三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是 _____．17．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．18．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．19．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．20．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．则当水位下降m=________时，水面宽为5m ？三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．如图，隧道的截面由抛物线DEC 和矩形ABCD 构成，矩形的长AB 为4m ，宽BC 为3m ，以DC 所在的直线为x 轴，线段CD 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．y 轴是抛物线的对称轴，最高点E 到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．22．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．23．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．24．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？25．如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B1(0,)2，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．参考答案1．A 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．D 8．D 9．C 10．C 11．D 12．B 13．1264 14．（2，0） 15．316．132y y y << 17．10 18．﹣3＜x ＜1 19．4 20．1.12521．(1)2114y x =-+(2)3 (3)能通过22．（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥．23．（1）A （﹣2，0），B （1，0），C （0，﹣2）．（2）P （12-，12-）24．(1)0.28.4y x =-+(110x ≤≤且x 为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．25．（1）()21218y x =--；（2）1（3）226，14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭。

北师大版数学九年级下册第二章二次函数综合素质评价(含答案)

第二章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．【教材P30随堂练习T1改编】下列函数是二次函数的是()A．y＝3x2＋9 B．y＝2x－3 C．y＝2x2＋1x－2 D．y＝4x22．【教材P58复习题T2(3)改编】抛物线y＝(x＋1)2－1的顶点坐标是() A．(1，－1) B．(－1，－1) C．(1，1) D．(－1，1)3．【2022·兰州】已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是()A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞24．已知点(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝(m－3)x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是()A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜35．【2021·西藏】把函数y＝(x－1)2＋2的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的表达式为()A．y＝x2－8x＋22 B．y＝x2－8x＋14 C．y＝x2＋4x＋10 D．y＝x2＋4x＋2 6．【2022·绍兴】已知抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的根是()A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5 7．【教材P45习题T1变式】【2021·赤峰】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：以下结论正确的是()A．抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下B．当x＜3时，y随x的增大而增大C．方程ax2＋bx＋c＝0的根为0和2D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜28．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝bx＋a的图象可能是()9．【2021·毕节】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上，与x轴的一个交点为(－1，0)，对称轴为直线x＝1.下列结论错误的是()A．abc>0 B．b2>4acC．4a＋2b＋c>0 D．2a＋b＝010．【教材P47习题T2变式】如图，疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5 m的墙，中间用塑料膜隔开分成两个区域．已知整个隔离区塑料膜总长为12 m，隔离区出入口的大小忽略不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为隔离区的最大面积为12 m2；小亮认为隔离区的面积可能为9 m2.则()A．小明正确，小亮错误B．小明错误，小亮正确C．两人均正确D．两人均错误二、填空题(每题3分，共24分)11．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y(万件)与x之间的函数表达式为________________．12．若抛物线y＝x2＋(a－2)x＋c的顶点在y轴上，则a的值是________．13．已知点A(4，y1)，B(1，y2)，C(－3，y3)在函数y＝－3(x－2)2＋m(m为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________(由小到大排列)．14．【教材P43习题T1改编】已知二次函数图象的顶点坐标是(2，－1)，形状与抛物线y＝2x2相同且开口方向向下，则这个二次函数的表达式是________________．15．【教材P53习题T2变式】【2021·成都】在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y ＝x2＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝________．16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是__________．17．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒．18．【2022·衡水泰华中学月考】抗击疫情，我们每个人都要做到讲卫生，勤洗手，科学消毒．如图是一瓶消毒洗手液的示意图，当手按住顶部A下压时，洗手液瞬间从喷口B流出，路线呈抛物线且该路线所在的抛物线经过C，E两点．瓶子轴截面的上部分由弧CE和弧FD组成，其圆心分别为D，C，下部分是矩形CGHD，CG＝8 cm，GH＝10 cm，点E到台面GH的距离为14 cm，点B到台面的距离为20 cm，且B，D，H三点共线．若手心距DH的水平距离为2 cm 时刚好接到洗手液，此时手心距台面的高度为________cm.三、解答题(19题8分，20题10分，其余每题12分，共66分)19．【教材P43习题T1变式】已知二次函数的图象经过点(0，－4)，且当x＝2时，y有最大值－2.求该二次函数的表达式．20．【教材P53习题T2改编】【2022·青岛】已知二次函数y＝x2＋mx＋m2－3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值；(2)判断二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．21．【教材P52随堂练习变式】周末，小明陪爸爸去打高尔夫球，爸爸将小球从地面击出，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的几组值后，发现h与t满足的函数表达式是h＝20t－5t2.(1)当小球的飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度．(2)小球的飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15 m?22．【中考·北京】在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，其中x1＜x2.(1)若抛物线的对称轴为直线x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c?(2)设抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1＋x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．23．【2021·大连】某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y(单位：千克)和每千克的售价x(单位：元)满足一次函数关系(如图所示)，其中50≤x≤80.(1)求y关于x的函数表达式．(2)若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？24．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的表达式．(2)在直线BC上是否存在点Q，使得△QAB与△OBC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案一、1．A 2．B 3．B 4．D 5．D 6．D 7．C 8．C 9．C 10．B 点拨：设隔离区靠墙的长度为x m (0<x ≤5)，隔离区的面积为S m 2.由题意得S ＝12－x 3×x ＝－13x 2＋4x ， ∴此函数图象的对称轴为直线x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝6. ∵0<x ≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S 随x 的增大而增大， ∴当x ＝5时，S 有最大值，S 最大＝－13×52＋4×5＝－253＋20＝353. ∵9<353<12， ∴小明错误．令S ＝9，得9＝－13x 2＋4x ，解得x 1＝9(舍去)，x 2＝3. ∴当x ＝3时，S ＝9. ∴隔离区的面积可能为9 m 2. ∴小亮正确．二、11．y ＝20＋20(x ＋1)＋20(x ＋1)2 12．2 13．y 3<y 1<y 2 14．y ＝－2(x －2)2－1 15．1 16．－1<x <3 17．36 18．17三、19．解：∵当x ＝2时，y 有最大值－2，∴设所求的二次函数的表达式为y ＝a (x －2)2－2(a ≠0)． ∵二次函数的图象经过点(0，－4)， ∴－4＝a (0－2)2－2，解得a ＝－12. ∴y ＝－12(x －2)2－2.20．解：(1)将点P (2，4)的坐标代入y ＝x 2＋mx ＋m 2－3，得4＝4＋2m ＋m 2－3，解得m 1＝1，m 2＝－3. 又∵m ＞0，∴m ＝1.(2)二次函数y ＝x 2＋mx ＋m 2－3的图象与x 轴有2个交点．理由如下： ∵m ＝1， ∴y ＝x 2＋x －2.当y ＝0时，Δ＝b 2－4ac ＝12＋8＝9＞0，∴二次函数y ＝x 2＋mx ＋m 2－3的图象与x 轴有2个交点． 21．解：(1)∵－5<0，∴h 有最大值．当t ＝－202×（－5）＝2时，此时h 取得最大值，最大值为20，∴当小球的飞行时间是2 s 时达到最大高度，最大高度是20 m. (2)令h ＝15，则20t －5t 2＝15，解得t 1＝1，t 2＝3.∴当1≤t ≤3时，飞行高度不低于15 m. 22．解：(1)∵y 1＝y 2＝c ，∴x 1＝0.∵抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∴M ，N 关于直线x ＝1对称． ∴x 2＝2，∴x 1＝0，x 2＝2时，y 1＝y 2＝c . (2)①当x 1≥t 时，恒成立． ②当x 1<x 2≤t 时，恒不成立． ③当x 1<t <x 2时，∵抛物线的对称轴为直线x ＝t ，对于x 1＋x 2＞3，都有y 1＜y 2， ∴x 2－t ＞t －x 1. ∴t ＜x 1＋x 22. ∴t ≤32. 23．解：(1)设y ＝kx ＋b (50≤x ≤80)．将点(50，100)，(80，40)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧50k ＋b ＝100，80k ＋b ＝40，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝200.∴y 关于x 的函数表达式为y ＝－2x ＋200(50≤x ≤80)． (2)设电商每天获得的利润是w 元．由题意得w ＝(x －40)(－2x ＋200)＝－2x 2＋280x －8 000＝－2(x －70)2＋1 800. ∵－2<0，且函数图象的对称轴是直线x ＝70，50≤x ≤80， ∴当x ＝70时，w 取得最大值，最大值为1 800.答：该电商将售价定为每千克70元才能使每天获得的利润最大，最大利润是 1 800元．24．解：(1)把A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)存在．①如图①，当∠QAB ＝90°时，易得△QAB ∽△COB . ∵A (－1，0)， ∴点Q 的横坐标为－1. ∵B (3，0)，C (0，3)，∴可求得直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3. 当x ＝－1时，y ＝4， ∴Q (－1，4)．②如图②，当∠AQB ＝90°时，易得△QAB ∽△OCB . ∴QA OC ＝QB OB .∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB＝OC＝3.∴QA＝QB.∴Q是线段AB的垂直平分线与直线BC的交点．∵A(－1，0)，B(3，0)，∴点Q的横坐标为1.当x＝1时，y＝－1＋3＝2，∴Q(1，2)．综上，在直线BC上存在点Q，使得△QAB与△OBC相似，点Q的坐标为(－1，4)或(1，2)．。

北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试训练卷(word 含答案)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1．下列函数中，不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．y ＝12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2 2．如图是有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＝nC ．k ＞nD ．h ＜0，k ＞03．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( )A ．当x<1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a≤4C ．当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋3>0的解集是1<x<3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a ＝－34．下列关于二次函数的说法错误的是( )A ．抛物线y ＝－2x 2＋12x ＋1的对称轴是直线x ＝3B ．对于抛物线y ＝x 2－2x －3，点A(3，0)不在它的图象上C ．二次函数y ＝(x ＋3)2－3的顶点坐标是(－3，－3)D ．函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的最低点是(－1，－5)5．点P(m ，n)在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2＋ax ＋4的图像上．则m －n 的最大值等于( )A ．154B ．4C ．－154D ．－1746．函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7．如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E 点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD ＝x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二．填空题（共6小题，4*6=24）9．抛物线y ＝－x 2＋15有最________点，其坐标是________．10．若二次函数y ＝x 2＋2x ＋a 的图象与x 轴有两个不同的交点，则a 的取值范围是__________．11．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线x ＝1，过抛物线上两点的直线AB 平行于x 轴，若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，则点B 的坐标为．12．已知二次函数y ＝x 2＋2mx ＋2，当x>2时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________．13．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．14．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)，点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1．以上结论中，正确的结论序号是________．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．16．(8分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．(直接写出答案)17．(8分) 抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．(1)求b、c的值；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线并写出它与y轴的交点C的坐标；(3)根据图像直接写出：点C关于直线x＝2的对称点D的坐标为________；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2的对称点的坐标为________(用含m、n的式子表示)．18．(10分) 如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B．(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．19．(12分) 如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶T1到x轴的距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P．(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并指出点P会落在哪个台阶上；(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的表达式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE 沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：(2)中不必写x的取值范围]参考答案1-4 DBCB 5-8CCCA9．高，(0，15)10．a ＜111．⎝⎛⎭⎫2，32 12．m≥－213．014．①④15．解：把(－1，0)，(3，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. 即a 的值为1，b 的值为－2．16．解： (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m ．∴m ＝－1．∴y ＝x －1．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>317．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上，∴顶点为(2，0)．∴抛物线为y ＝－(x －2)2＝－x 2＋4x －4，∴b ＝4，c ＝－4．(2)画出抛物线如图：点C 的坐标为(0，－4)．(3)(4，－4)；(4－m ，n)18．(1)将点A(1，0)代入y ＝(x －2)2＋m 中得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，所以二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1．当x ＝0时，y ＝4－1＝3，所以点C 坐标为(0，3)，由于点C 和点B 关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以点B 坐标为(4，3)，将A(1，0)，B(4，3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.所以一次函数的表达式为y ＝x －1 (2)当kx ＋b≥(x －2)2＋m 时，1≤x≤419．解：(1)对于抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12，令y ＝0，则－x 2＋4x ＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝6，∵OA ＝2，∴A(－2，0)，∴点A 的横坐标为－2．补画y 轴，如图所示，由题意知台阶T 4左边的端点坐标为(4．5，7)，右边的端点为(6，7)．当x ＝4．5时，y ＝9．75>7，当x ＝6时，y ＝0<7，对于y ＝－x 2＋4x ＋12，当y ＝7时，7＝－x 2＋4x ＋12，解得x ＝－1或x ＝5，∴抛物线与台阶T 4有交点，∴点P 会落在台阶T 4上．(2)设抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12与台阶T 4的交点为R ，则R(5，7)．由题意知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过R(5，7)，最高点的纵坐标为11，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4c －b 2－4＝11，－25＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝14，c ＝－38或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝2(舍去)，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋14x －38，∴抛物线C 的对称轴为直线x ＝7，易知台阶T 5的左边的端点为(6，6)，右边的端点为(7．5，6)，∴抛物线C 的对称轴与台阶T 5有交点．(3)对于抛物线C ：y ＝－x 2＋14x －38，令y ＝0，得到－x 2＋14x －38＝0，解得x ＝7＋11或x ＝7－11(舍去)，∴抛物线C 交x 轴于(7＋11，0)，当y ＝2时，2＝－x 2＋14x －38，解得x ＝4(舍去)或x ＝10，∴抛物线经过(10，2)，在Rt △BDE 中，∠DEB ＝90°，DE ＝1，BE ＝2，∴当点D 与(7＋11，0)重合时，点B 的横坐标最大，最大值为8＋11，当点B 与(10，2)重合时，点B 的横坐标最小，最小值为10，∴点B 横坐标的最大值比最小值大11－2．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测题(包含答案解析)

一、选择题1．已知二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（）A ．18m >B ．18mC ．18m >-且0m ≠ D ．18m 且0m ≠ 2．在同一坐标系中，函数y ax b =+与2(0)y ax bx a =+≠的图象可能是（） A ． B ． C ． D ． 3．对称轴为y 轴的二次函数是（）A ．y=(x+1)2B ．y=2(x-1)2C ．y=2x 2+1D ．y=-(x-1)2 4．已知二次函数()222y mx m x =+-，它的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的顶点为D ，其图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3，与y 轴负半轴交于点C ．在下面四个结论中：①0a b c ++<；②13a c =-；③只有当12a =时，ABD △是等腰直角三角形； ④使ACB △为等腰三角形的a 值可以有两个．其中正确的结论有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．抛物线221y x =--的顶点坐标是（）A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(0,1)-D ．(0,1)7．二次函数223y x =-+在14x -≤≤内的最小值是（）A ．3B ．2C ．－29D ．－308．汽车刹车后行驶的距离s （单位：m ）关于行驶的时间t （单位：s ）的函数解析式是2156s t t =-．汽车刹车后到停下来前进了多远？（）A ．10.35mB ．8.375mC ．8.725mD ．9.375m 9．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图像如图所示，则下列结论：①abc >0；②a ﹣b +c >0；③4a ﹣2b +c <0，其中结论正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．已知二次函数223y x x =--+，下列叙述中正确的是（）A ．图象的开口向上B ．图象的对称轴为直线1x =C ．函数有最小值D ．当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而减小11．二次函数2y ax bx c =++的图像如图，现有以下结论：①0abc >；②42a c b +<；③320b c +<；④()(1)m am b b a m ++<≠-，其中正确结论序号为（）A ．①③④B ．②③④C ．①②③D ．①②③④ 12．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，它的对称轴为直线12x =，则下列选项中正确的是（）A ．0abc <B ．0a b -=C ．40a c ->D ．当2(1x n n =+为实数）时，y c ≤二、填空题13．如图，直线334y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线233384y x x =-++经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为_____．14．如图，二次函数2y x mx =-+的图象与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=(t 为实数）在14x <<的范围内有解，则t 的取值范围是_______．15．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有如下结论：①0abc >；②20a b -=；③320b c +>；④2(am bm a b m +≤-为实数)．其中正确结论是_____________（只填序号)．16．如图1，AO ，BC 是两根垂直于地面的立柱，且长度相等．在两根立柱之间悬挂着一根绳子，如图2建立坐标系，绳子形如抛物线21410y x x =-+的图象．因实际需要，在OA 与BC 间用一根高为2.5m 的立柱MN 将绳子撑起，若立柱MN 到OA 的水平距离为3m ，MN 左侧抛物线的最低点D 与MN 的水平距离为1m ，则点D 到地面的距离为______．17．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ，(4,0)B 两点．若()15,P y ，()2,Q m y 是抛物线上的两点，且12y y >，则m 的取值范围是______．18．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当0x >时，y 随着x 的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是______．19．若函数2(1)42y a x x a =+-+的图像与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为____． 20．把函数y ＝x 2＋3的图像向下平移1个单位长度得到的图像对应的函数关系式为________．三、解答题21．某产品的成本是120元/件，在试销阶段，当产品的售价为x （元/件）时，日销售量为（200-x ）件．（1）写出用售价x （元/件）表示每日的销售利润y （元）的表达式（2）当日销售利润是1500元时，产品的售价是多少？日销售量是多少件？（3）当售价定位多少时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？22．已知地物线2y x bx c =-++()0a ≠与y 轴交于点A ，点()3,2B 在该抛物线上（1）若抛物线的对称轴是直线x m =，请用含b 的式子表示m ；（2）如图1，过点B 作x 轴的垂线段，垂足为点C ．连结AB 和AC ，当ABC 为等边三角形时，求抛物线解析式；（3）如图2，在（2）条件下，已知P 为x 轴上的一动点，连结AP 和BP ，当30APB ∠=︒时，求满足条件的点P 的坐标．23．抛物线y ＝2x 2＋4mx ＋m －5的对称轴为直线x ＝1，求m 的值及抛物线的顶点坐标． 24．已知抛物线的顶点坐标是()1,4-，且过点(0,3)．()1求这个抛物线对应的函数表达式．()2在所给坐标系中画出该函数的图象．()3当x 取什么值时，函数值小于0?25．已知抛物线2y ax c =+经过点()0,2A 和点()1,0B -．（1）求抛物线的解析式；（2）将（1）中的抛物线平移，使其顶点坐标为()2,1，平移后的抛物线与x 轴的两个交点分别为点,C D （点C 在点D 的左边）．求点,C D 的坐标；（3）将（1）中的抛物线平移，设其顶点的纵坐标为m ，平移后的抛物线与x 轴两个交点之间的距离为n ．若15m <≤，直接写出n 的取值范围．26．如图，已知某二次函数的顶点坐标是(1,4)-，且经过点(4,5)A（1）求该二次函数的表达式；（2）点(,)P m n 是该二次函数图象上一点，若点P 到y 轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，可得△＝221410m m m -⨯->(+)()且0m ≠求解后即可得出结论．【详解】解：∵原函数是二次函数，∴0m ≠，∵二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，则△＝240b ac ->，即221410m m m -⨯->(+)()，解得18m >-． ∴m 的取值范围是18m >-且0m ≠．故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，掌握抛物线与x 轴的交点问题与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．2．A解析：A【分析】根据二次函数的c 值为0，确定二次函数图象经过坐标原点，再根据a 值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限即可得解．【详解】解：2(0)y ax bx a =+≠，0c ，∴二次函数经过坐标原点，故B 、C 选项错误； A 、根据二次函数开口向上0a >，对称轴b x 02a =->，所以，0b <，一次函数经过第一三象限，0a >，与y 轴负半轴相交，所以，0b <，符合，故本选项正确；D 、二次函数图象开口向下，0a <，一次函数经过第一三象限，0a >，矛盾，故本选项错误．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，熟练掌握函数解析式的系数与图象的关系是解题的关键．3．C解析：C【分析】由已知可知对称轴为x ＝0，从而确定函数解析式y ＝ax 2+bx +c 中，b ＝0，由选项入手即可．【详解】解：二次函数的对称轴为y 轴，则函数对称轴为x ＝0，即函数解析式y ＝ax 2+bx +c 中，b ＝0，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．4．B解析：B【分析】分m ＞0，m ＜0两种情形，判断对称轴与x=14的位置关系即可. 【详解】∵()222y mx m x =+-， ∴抛物线一定经过原点，∴选项A 排除；∵()222y mx m x =+- ， ∴对称轴为直线x=22224m m m m ---=⨯， ∵24m m --14=24m m m --=24m-，当m ＞0时，抛物线开口向上，24m -＜0， ∴对称轴在直线x=14的左边， B 选项的图像符合；C 选项的图像不符合；当m ＜0时，抛物线开口向下，24m -＞0， ∴对称轴在直线x=14的右边， D 选项的图像不符合；故选B.【点睛】本题考查了二次函数的图像，熟练掌握抛物线经过原点的条件，抛物线对称轴的位置与定直线的关系的判定是解题的关键.5．D解析：D【分析】先根据图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为﹣1，3确定出AB 的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0，∵图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3，∴对称轴x ＝1，∴当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0；故①正确；②∵点A 的坐标为（﹣1，0），∴a ﹣b +c ＝0，又∵b ＝﹣2a ，∴a ﹣（﹣2a ）+c ＝0，∴c ＝﹣3a ，∴13a c =-∴结论②正确．③如图1，连接AD ，BD ，作DE ⊥x 轴于点E ，，要使△ABD 是等腰直角三角形，则AD ＝BD ，∠ADB ＝90°，∵DE ⊥x 轴，∴点E 是AB 的中点，∴DE ＝BE ，即|244ac b a -|()312--==2，又∵b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，∴|()()24324a a a a⨯---|＝2，a ＞0，解得a 12=， ∴只有当a 12=时，△ABD 是等腰直角三角形，结论③正确 ④要使△ACB 为等腰三角形，则AB ＝BC ＝4，AB ＝AC ＝4，或AC ＝BC ，Ⅰ、当AB ＝BC ＝4时，在Rt △OBC 中，∵OB ＝3，BC ＝4，∴OC 2＝BC 2﹣OB 2＝42﹣32＝16﹣9＝7，即c 2＝7，∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0，c 7=-，∴a 73c =-=．Ⅱ、当AB ＝AC ＝4时，在Rt △OAC 中，∵OA ＝1，AC ＝4，∴OC 2＝AC 2﹣OA 2＝42﹣12＝16﹣1＝15，即c 2＝15，∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0，c=，∴a 3c =-= Ⅲ、当AC ＝BC 时，∵OC ⊥AB ，∴点O 是AB 的中点，∴AO ＝BO ，这与AO ＝1，BO ＝3矛盾，∴AC ＝BC 不成立．∴使△ACB 为等腰三角形的a ．结论④正确．故答案选：D【点睛】二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0；（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x 2b a=-判断符，（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0；（4）b 2﹣4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：①2个交点，b 2﹣4ac ＞0；②1个交点，b 2﹣4ac ＝0；③没有交点，b 2﹣4ac ＜0．6．C解析：C【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．【详解】解：∵y=-2x 2-1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答． 7．C解析：C【分析】根据图象，直接代入计算即可解答【详解】解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y 最小值=-2×16+3=-29．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数最小（大）值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．8．D解析：D 【分析】求出函数的最大值即可得求解．【详解】∵22575156648s t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭＝＝＋， ∴当54t ＝时，s 取得最大值759.3758=，即汽车刹车后到停下来前进的距离是9.375m 故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．9．D解析：D 【分析】由抛物线开口向下，得到a ＜0，再由对称轴在y 轴左侧，得到a 与b 同号，可得出b ＜0，又抛物线与y 轴交于正半轴，得到c ＞0，可得出abc ＞0，得到①正确；根据图象知，当x =﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0，得到②正确；根据图象知，当x =﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b +c ＜0，得到③正确，从而得出结论．【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0．∵02ba -<， ∴b ＜0．∵抛物线与y 轴交于正半轴， ∴c ＞0，∴abc ＞0，故①正确；根据图象知，当x =﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0，故②正确；根据图象知，当x =﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b +c ＜0，故③正确．则其中正确的有3个，为①②③．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）来说，a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；此外还要注意利用抛物线的对称性及x =﹣1，﹣2时对应函数值的正负．10．D解析：D 【分析】将函数图形变成顶点式，依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论．【详解】解：A. 2223=(1)4y x x x =--+-++∵a=-1<0，∴图象的开口向下，故选项A 错误； B.2223=(1)4y x x x =--+-++∴图象的对称轴为直线1x =-，故选项B 错误； C.2223=(1)4y x x x =--+-++ ∵a=-1<0，∴图象的开口向下，函数有最大值，故选项C 错误； D. 2223=(1)4y x x x =--+-++∴当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而减小，故选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将二次函数关系式变为顶点式，联立二次函数性质对比四个选项即可．11．A解析：A 【分析】由函数图像与对称轴的方程结合可判断①，由抛物线的对称性结合点()2,42a b c --+的位置可判断②，由抛物线的图像结合点()1,a b c ++的位置，对称轴方程，可判断③，由函数的最大值可判断④，从而可得答案．【详解】解：图像开口向下， a ∴＜0，12bx a=-=-＜0, b ∴＜0，函数图像与y 轴交于正半轴，c ∴＞0，abc ∴＞0，故①符合题意；抛物线与x 轴的一个交点在0~1之间，由抛物线的对称性可得：抛物线与x 轴的另一个交点在3~2--之间，∴ 当2x =-时，42y a b c =-+＞0，4a c ∴+＞2,b 故②不符合题意；12bx a=-=-， 2,b a ∴= 即1,2a b =当1x =时，y a b c =++＜0， 12b bc ∴++＜0， 32b c ∴+＜0，故③符合题意；当1x =-时，函数有最大值,y a b c =-+当1x m =≠-，2,y am bm c =++2am bm c ∴++＜,a b c -+()m am b b ∴++＜,a 故④符合题意．故选：.A 【点睛】本题考查的是抛物线的图像与系数之间的关系，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．12．D解析：D 【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：由图象开口向上，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0，又对称轴方程为12x =，所以122b a -=>0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误；∵122b a -= ∴=-a b ，∴0a b +=，故B 错误；当12x =时，则11042y a b c =++>，∵=-a b ，∴11042a a c -+>， ∴104a c -+>， ∴40a c -<，故C 错误；当21x n =+时，222(1)(1)y a n b n c =++++ 4222an an a an a c =++--+ 42an an c =++22(1)an n c =++；∵n 为实数，∴20an ≤，211n +≥， ∴22(1)an n c c ++≤，即y c ≤，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．【分析】设出E 的坐标表示出M 坐标进而表示出EM 化成顶点式即可求得EM 的最大值【详解】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点∴点E 的坐标是（m ）点M 的坐标是（m ）∴EM ＝﹣（）＝＝（m2﹣4m ）＝（解析：32【分析】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值．【详解】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点， ∴点E 的坐标是（m ，233384m m -++），点M 的坐标是（m ，334m -+）， ∴EM ＝233384m m -++﹣（334m -+）＝23382m m -+＝38-（m 2﹣4m ）＝38-（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．14．【分析】求出函数解析式求出函数值取值范围把t 的取值范围转化为函数值的取值范围【详解】先由已知可得二次函数y=−x2+mx 的图象与x 轴交于坐标原点和(40)所以对称轴x==所以m=4代入方程y=−x2 解析：04t <≤【分析】求出函数解析式，求出函数值取值范围，把t 的取值范围转化为函数值的取值范围. 【详解】先由已知可得，二次函数 y=−x 2+mx 的图象与 x 轴交于坐标原点和 (4,0) 所以对称轴 x=2b a-=()221m -=⨯-，所以m=4，代入方程y=−x 2+mx 得， y=-x 2+4x ，当x=2时，y=4 即顶点坐标是（2，4）当x=1时，y=3，当x=4时，y=0 由x 2−mx+t=0 得 t=-x 2+4x=y因为当 1<x<4 时， 0<y≤4，所以在 1<x<4 范围内有实数解，则 t 的取值范围是0<t≤4，故答案为：0<t≤4 ．【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程数形结合分析问题，注意函数的最低点和最高点.15．①②④【分析】根据抛物线开口向下对称轴抛物线与轴相交于正半轴可得可以判断①和②正确；当时有解得由图像可知化简后可判断得③错误；由图像可知当时抛物线有最大值当时根据得到化简后得故④正确【详解】解：抛物解析：①②④．【分析】根据抛物线开口向下，对称轴12bx a=-=-，抛物线与y 轴相交于正半轴，可得0a <，20b a =<，0c >，可以判断①和②正确；当0y =时，有210a x c a ，解得11a cx a ，21a cx a，由图像可知，011a c a，化简后可判断得③错误；由图像可知，当1x =-时，抛物线有最大值1y a bc ，当x m =时，22y am bmc ，根据12y y ≥得到20a bcam bmc化简后得2am bm a b +≤-，故④正确．【详解】解：抛物线开口向下，0a ∴<，抛物线的对称轴12bx a=-=-， 20b a ∴=<，抛物线与y 轴相交于正半轴，0c ∴>，∴0abc >，故①正确；∴2220a b a a -=-=，故②正确；当0y =时，2220ax bx c ax ax c ，∴210a x c a∴11a cx a， 21a cx a由图像可知，011a c a∴14a c a则有30a c +<，∴62320a c b c +=+<，故③错误；由图像可知，当1x =-时，抛物线有最大值1y a bc ，当x m =时，22y am bmc ，∵12y y ≥ ∴20a bcam bmc则2am bm a b +≤-，故④正确；故答案是：①②④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键．16．2m 【分析】根据起始抛物线确定点A 的坐标结合已知确定N 的坐标从而确定新抛物线的解析式即可求解【详解】∵抛物线解析式为∴点A 的坐标为（04）∵立柱到的水平距离为左侧抛物线的最低点与的水平距离为∴新抛物解析：2m ．【分析】根据起始抛物线，确定点A 的坐标，结合已知确定N 的坐标，从而确定新抛物线的解析式即可求解．【详解】∵抛物线解析式为21410y x x =-+， ∴点A 的坐标为（0，4），∵立柱MN 到OA 的水平距离为3m ，MN 左侧抛物线的最低点D 与MN 的水平距离为1m ，∴新抛物线的顶点坐标的横坐标为2，点N 的坐标为（3，52），设抛物线的解析式为y=a 2(2)x k -+，把（0，4），（3，52）分别代入解析式，得 5a 244k a k ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得1a 22k ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为y=21(2)22x -+， ∴抛物线的最小值为2即点D 到地面的距离为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的生活应用，解析式的确定，熟练把生活问题转化为函数问题，灵活确定抛物线的解析式是解题的关键．17．【分析】根据图像经过的两点确定抛物线的对称轴利用对称轴确定P 的对称点利用数形结合思想确定m 的范围即可【详解】∵抛物线经过两点∴解得b=-6a ∴抛物线的对称轴为直线x==3∴的对称点为∵∴故填【点睛】解析：15m <<. 【分析】根据图像经过的两点，确定抛物线的对称轴，利用对称轴，确定P 的对称点，利用数形结合思想，确定m 的范围即可. 【详解】∵抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ，(4,0)B 两点，∴4201640a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，解得b=-6a ，∴抛物线的对称轴为直线x=2ba-=3, ∴()15,P y 的对称点为()11,P y '， ∵12y y >， ∴15m <<，故填15m <<. 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟记二次函数的性质是解题的关键.18．y=-x2-2x-1【分析】首先由①得到a ＜0；由②得到-≤0；只要举出满足以上两个条件的abc 的值即可得出所填答案【详解】解：二次函数y=ax2+bx+c①开口向下∴a ＜0；②当x ＞0时y 随着x 的解析：y=-x 2-2x-1．【分析】首先由①得到a ＜0；由②得到-2ba≤0；只要举出满足以上两个条件的a 、b 、c 的值即可得出所填答案．【详解】解：二次函数y=ax 2+bx+c ， ①开口向下， ∴a ＜0；②当x ＞0时，y 随着x 的增大而减小，-2ba≤0，即b ＜0； ∴只要满足以上两个条件就行，如a=-1，b=-2，c=-1时，二次函数的解析式是y=-x 2-2x-1．故答案为：y=-x2-2x-1．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．19．或或【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解若为二次函数由抛物线与x轴只有一个交点时b2−4ac＝0据此求解可得【详解】解：当a＋1＝0即a＝−1时函数解析式为y＝−4x−2与x轴只有一个交-或1解析：2-或1【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2−4ac＝0，据此求解可得．【详解】解：当a＋1＝0，即a＝−1时，函数解析式为y＝−4x−2，与x轴只有一个交点；当a＋1≠0，即a≠−1时，根据题意知，（−4）2−4×（a＋1）×2a＝0，整理，得：a2＋a−2＝0，解得：a＝1或a＝−2；综上，a的值为−1或−2或1．-或1．故答案为：2-或1【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y＝0，即ax2＋bx＋c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根之间的关系：△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．20．y＝x2＋2【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标再利用顶点式写出解析式即可【详解】解：函数y＝x2＋3的顶点坐标为（03）∵函数图象向下平移1个单位长度∴得到的函数图象顶点坐标为（0解析：y＝x2＋2．【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标，再利用顶点式写出解析式即可．【详解】解：函数y＝x2＋3的顶点坐标为（0，3），∵函数图象向下平移1个单位长度，∴得到的函数图象顶点坐标为（0，2），∴得到函数解析式为y＝x2＋2．故答案为：y＝x2＋2．【点睛】本题考查了二次函数的平移变换，通过平移求出新图象顶点坐标是关键．三、解答题21．（1）y=-x 2+320x-24000 ；（2）当日销售利润1500元时，产品的售价是170元/件或150元/件，日销售量是30件或50件；（3）当售价定为160元/件时，日销售利润最大，最大日销售利润是1600元．【分析】（1）根据利润=（销售价-成本价）×销售量可以得到解答；（2）令（1）中y=1500可以得到关于x 的一元二次方程，解方程即可得到产品售价x 的值，并进一步得到日销售量；（3）把（1）得到的函数配方，再根据二次函数的性质即可得到解答．【详解】解：（1）y =（x -120）（200-x ）=-x 2+320x-24000 ；（2）日销售利润是1500元，即y=1500，则 1500=-x 2+320x-24000 解得：x 1=170，x 2=150当x=170时，日销售量是30件，当x=150时，日销售量是50件∴当日销售利润1500元时，产品的售价是170元/件或150元/件，日销售量是30件或50件．（3）∵y=-x 2+320x-24000 =-（x-160）2+1600∴当售价定为160元/件时，日销售利润最大，最大日销售利润是1600元．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，由题意列出二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求解即可．22．（1）2b m =；（2）21y x =-+；（3）)12,0P ，)22,0P【分析】（1）直接根据对称轴为2bx a=-代入a ，b 计算即可得出答案；（2）首先根据点B 的坐标及等边三角形求出AC ，OC 的长度，然后利用勾股定理求出AO 的长度，从而得出c 的值，最后将点B 代入解析式中即可求解；（3）根据等边三角形的性质及圆周角定理确定出点P 的位置从而可确定出点P 的坐标．【详解】（1）∵22b b x a =-=， ∴2b m =．（2）∵ABC 为等边三角形，BC x ⊥轴，)B ，∴2AC BC ==，3OC =，在Rt AOC 中， 221AO AC OC =-=∴1c =把()3,2B 代入21y x bx =-++，得43b =， ∴2431y x x =-++．（3）如图，由（2）知ABC 为等边三角形，∴60ACB ∠=︒，∵30APB ∠=︒，∴2ACB APB =∠∠，由同弦所对圆周角等于圆心角的一半可知，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，经过点P ． ∵P 在x 轴上，∴点P 即为圆C 与x 轴的交点，∵2BC =，∴2r，2CP = ∵()3,0C， ∴()132,0P -，由轴对称性可知，()232,0P +．【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，等边三角形的性质及圆的有关性质是解题的关键．23．m 的值是－1，抛物线的顶点坐标是(1，－8)．【分析】根据y=2x 2+4mx+m-5的对称轴为直线x=1，可以求得m 的值，然后代入原来的解析中，将解析式化为顶点式即可解答本题．【详解】解：∵y ＝2x 2＋4mx ＋m －5的对称轴为直线x ＝1，∴－422m ⨯＝1，解得m ＝－1， ∴y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8，∴此抛物线的顶点坐标为(1，－8)，∴m 的值是－1，抛物线的顶点坐标是(1，－8)．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是知道抛物线的对称轴是直线x=-2b a，由二次函数的顶点式可以写出它的顶点坐标．24．()()2114y x =-++或223y x x =--+；()2见解析；()33x <-或1x > 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标是()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =++，由抛物线()214y a x =++过点(0,3)，1a =-即可；（2）列表，描点在平面直角坐标系中描出点（-3，0），（-2，3），（-1，4），（0，3），（1，0）用平滑曲线连接即可；（3）由函数值小于0，可得函数图像再x 轴下方，在-3左侧和1右侧即可．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标是()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =++，抛物线()214y a x =++过点(0,3)， 4=3a +，1a =-，抛物线的解析式为()214y x =-++；（2）列表：0）连线：用平滑曲线连接，（3）∵函数值小于0，∴函数图像再x 轴下方，在-3左侧和1右侧，当x<-3或x>1时，函数值小于0．【点睛】本题考查抛物线的解析式，画函数图像，函数图像的位置关系，掌握抛物线的解析式的求法，描点画函数图像的方法，函数图像与x 轴关系自变量范围是解题关键．25．（1）222y x =-+；（2）222,0,222C D ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3210n <≤【分析】（1）把点A 、B 的坐标分别代入函数解析式，列出关于a 、c 的方程组，通过解方程求得它们的值；（2）根据平移的规律写出平移后抛物线的解析式，然后令0y =，则解关于x 的方程，即可求得点C 、D 的横坐标；（3）根据抛物线与x 轴两个交点之间的距离为2211212||()4x x x x x x -+-的关系来即可求n 的取值范围；【详解】解：（1）抛物线2y ax c =+经过点(0,2)A 和点(1,0)B -， ∴20c a c =⎧⎨+=⎩，解得：22a c =-⎧⎨=⎩， ∴此抛物线的解析式为222y x =-+；（2）此抛物线平移后顶点坐标为(2,1)，∴抛物线的解析式为22(2)1y x =--+，令0y =，即22(2)10x --+=，解得 1222x =+，2222x =-，点C 在点D 的左边，(C ∴ 2-0)，(2D +，0)；（3）设平移后抛物线的解析式是22y x m =-+，该抛物线与x 轴的两交点横坐标为1x ，2x ，整理为：220x m -=．此时120x x +=，122m x x =-．则21||x x n -==．当1m =时，n =当5m =时，n =．所以，n n <≤【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的几何变换．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．26．（1）223y x x =--；（2）421n -．【分析】（1）设二次函数的解析式是y=a （x-h ）2+k ，先代入顶点A 的坐标，再把B 的坐标代入，即可求出a ，即可得出解析式；（2）由点P 到y 轴的距离不大于4，得出，结合二次函数的图象可知，请根据图象直接写出n 的取值范围．【详解】解：（1）某二次函数的顶点坐标是(1,4)-，且经过点(4,5)A ，设二次函数的解析式为2(1)4y a x =--，把(4,5)A 代入得：25(41)4a =--解得：1a =，所以函数表达式为：223y x x =--．（2）点P 到y 轴的距离为||m ，∴||m ≤4，∴44m -，∵2223(1)4y x x x =--=--，在44m -时，当m=1时，有最小值n=-4；当m=-4时，有最大值n=21，∴421n -．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数求最值，二次函数图象和性质的应用，求二次函数的取值范围，掌握二次函数的图象和性质的应用是解题的关键．。

北师大版数学九年级下册第二章：二次函数综合单元测试题(含答案)

北师大版数学九年级下册第二章：二次函数综合单元测试题(含答案)一、选择题：1.若(2，5)，(4，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是( )A.x=1B.x=2C.x=3D.x=42.抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（）A.（3，1）B.（3，﹣1）C.（﹣3，1）D.（﹣3，﹣1）3.下列函数中，是二次函数的有( )①y=1－x2；②y=；③y=x(1－x)；④y=(1－2x)(1+2x).A.1个B.2个C.3个D.4个4.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0),无论k取何值,其图象的顶点都在( )A.直线y=x上B.直线y=－x上C.x轴上D.y轴上5.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到抛物线是( )A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2－2C.y=x2+2D.y=x2－26.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为( )A.88米B.68米C.48米D. 28米7.二次函数y=x2+2x－3的开口方向、顶点坐标分别是（）A.开口向上,顶点坐标为（－1,－4）B.开口向下，顶点坐标为（1,4）C.开口向上,顶点坐标为（1,4）D.开口向下，顶点坐标为（－1,﹣4）8.在同一坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（）9.将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为（）A.60元B.80元C.60元或80元D.30元10.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（）A．3 B．2C．3D．211.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒 D．第15秒12.已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大二、填空题：13若把二次函数y=x2+6x+2化为y=（x－h）2+k的形式，其中h，k为常数，则h+k= ．14.抛物线y=(x－1)2+2的顶点坐标是.15.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在二次函数y=﹣2(x﹣2)2+1的图象上，且x1＜x2＜2，则1,y1、y2的大小关系是．16.a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b c（用“＞”或“＜”号填空）17.将抛物线y=3(x﹣4)2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是．18.二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为．19.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是_______．三、解答题：20.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．21.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，2）和（1，﹣1），求图象的顶点坐标和对称轴．22.如图，一次函数y 1＝kx ＋1与二次函数y 2＝ax 2＋bx －2交于A ，B 两点，且A (1，0)，抛物线的对称轴是x ＝－32. (1)求k 和a ，b 的值；(2)求不等式kx ＋1＞ax 2＋bx －2的解集．23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点． (1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求∠BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线BDC (包括端点B ，C )部分有两个交点，求b 的取值范围．24.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，如图。

北师大版数学九年级下第二章二次函数全章综合测评题含答案(初中数学试卷)

全章综合测评题一、选择题1.二次函数()2235y x =--+图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）A.开口向下，对称轴为3x =-，顶点坐标为()3,5B.开口向下，对称轴3x =，顶点坐标为()3,5C.开口向上，对称轴3x =-，顶点坐标为()3,5-D.开口向上，对称轴为3x =，顶点坐标为()3,5-2.二次函数243y x x =++的图象可以由二次函数2y x =的图象平移而得到，下列平移正确的是（）A.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位3.某种新型礼炮的升空高度()m h 与飞行时间()t s 的关系式252012h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A.3sB.4sC.5sD.6s4.二次函数()20y ax bx c a =≠++的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A.240b ac ->B.0a >C.0c >D.0b >5.若二次函数2y ax bx c =++的玉的部分对应值如下表：A.5B.3-C.13-D.27-6.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题7.已知二次函数2361y x x =--+，请回答：①开口向_____；②顶点坐标：_____；③对称轴：_____；④当x ____时，y 随x 的增大而减小；⑤当x =_____时，y 有____值____；⑥图象与y 轴的交点坐标为____；图象与x 轴的交点坐标为____和______8.将抛物线213y x =沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴方向向下平移5个单位，所得图象的函数表达式是_____9.函数21212y x x =++写成()2y a x h k =-+的形式是______ 10.已知抛物线的对称轴为1x =-与x 轴、y 轴分别交于()3,0A -，()12C -，，则抛物线的关系式是_____，与x 轴的另一个交点的坐标是_____11.如图，一桥拱呈抛物线形状，桥的最大高度CM 是16米，跨度AB 是40米，则距离CM 5米的桥高DE 是_____米12.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是_____三、解答题（1）请用含x 的式子表示①销售该运动服每件的利润是_____元（直接写出结果）②月销售量是_____件（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？14.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC 的长度为m x ，矩形区域ABCD 的面积为2m y全章综合测评题答案一、1.B2.B3.B4.D5.D6.D二、7.①下 ②()1,2③直线1x =④1>⑤1，大，2⑥()0,1-,,0⎫⎪⎪⎝⎭,,0⎫⎪⎪⎝⎭8.()212053y x =-+9.()1212y x 2=-+ 10.()228133y x =-+,()1,0 11.1512.22n n +三、13.解：（1）①60x -；②2400x -+（2）由题意得()()()2260240025202400021309800y x x x x x =--=--=--+++ ∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元14.解：（1）三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD 的面积是矩形BCEF 的面积的2倍 2AE BE ∴=设BE a =，则2AE a =，∴8280a x =+，1104a x ∴=-+，12202a x =-+ 2113201030244y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++ 11004a x =->+，40x ∴< 则()23300404y x x x =-<<+ （2）()()2233302030004044y x x x x =-=--<<++，且304a =-< ∴当20x =时，y 有最大值，最大值为2300m。

北师大版数学九年级下册第二章：二次函数单元综合试题 (含答案)

北师大版数学九年级下册第二章：二次函数单元综合试题 (含答案)时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数中是二次函数的是( B )A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x 2－1C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝x 3＋2x －32．若二次函数y ＝x 2＋bx ＋5配方后为y ＝(x －2)2＋k ，则b ，k 的值分别为( D )A ．0，5B ．0，1C ．－4，5D ．－4，13．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为( B )A ．y ＝(x ＋2)2＋2B ．y ＝(x －2)2－2C ．y ＝(x －2)2＋2D ．y ＝(x ＋2)2－24．若(2，5)，(4，5)是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的两个点，则它的对称轴是( C )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝3D ．x ＝45．对于二次函数y ＝－14x 2＋x －4，下列说法正确的是( B ) A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 B ．当x ＝2时，y 有最大值－3C ．图象的顶点坐标为(－2，－7)D ．图象与x 轴有两个交点6．同一坐标系中，一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是( C )7．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c (其中b ，c 是常数)过点A (2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则c 的值不可能是( A )A ．4B ．6C ．8D ．108．如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，∠OBC ＝45°，则下列各式成立的是( B )A ．b －c －1＝0B ．b ＋c ＋1＝0C ．b －c ＋1＝0D ．b ＋c －1＝09．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，且a ≠0)中的x 与y 的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －1 3 5 3下列结论：①ac ＜0；②当x ＞1时，y 的值随x 的增大而减小；③3是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的一个根；④当－1＜x ＜3时，ax 2＋(b －1)x ＋c ＞0.其中正确的个数为( B )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．如图，坐标平面上，二次函数y ＝－x 2＋4x －k 的图形与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0.若△ABC 与△ABD 的面积比为1∶4，则k 值为何？( D )A ．1 B.12 C.43 D.45二、填空题(每小题3分，共24分)11．二次函数y ＝x 2＋2x －4的图象的开口方向是__向上__，对称轴是__x ＝－1__，顶点坐标是__(－1，－5)__．12．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x (单位：cm )的边与这条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积S (单位：cm 2)随x 的变化而变化．则S 与x之间的函数关系式为__S ＝－12x 2＋20x __． 13．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是A (2，1)，且经过点B (1，0)，则抛物线的函数关系式为__y ＝－x 2＋4x －3__．14．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s (m )与时间t (s )的函数关系式为s ＝20t －5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性的作用，汽车要滑行__20__米才能停下来．15．如图，二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与一次函数y 2＝kx ＋m (k ≠0)的图象相交于点A (－2，4)，B (8，2)，则使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是__x ＜－2或x ＞8__．16．隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为y ＝－18x 2＋3.25，一辆车高3 m ，宽4 m ，该车__不能__通过该隧道．(填“能”或“不能”)17．一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．这个函数解析式为__y ＝－x 2＋5__．(写出一个即可)18．若二次函数y ＝2x 2－4x －1的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，则1x 1＋1x 2的值为__－4__．三、解答题(共66分)19．(9分)已知二次函数y ＝－x 2－2x ＋3.(1)求它的顶点坐标和对称轴；(2)求它与x 轴的交点；(3)画出这个二次函数图象的草图．解：(1)顶点(－1，4)，对称轴x ＝－1 (2)(－3，0)，(1，0) (3)图略20.(8分)如图，二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A (2，0)，B (0，－6)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．解：(1)y ＝－12x 2＋4x －6 (2)∵该抛物线对称轴为直线x ＝－42×（－12）＝4，∴点C 的坐标为(4，0)，∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2，∴S △ABC ＝12·AC ·OB ＝12×2×6＝621．(8分)已知二次函数y ＝x 2＋bx －c 的图象与x 轴两交点的坐标分别为(m ，0)，(－3m ，0)(m ≠0)．(1)求证：4c ＝3b 2；(2)若该函数图象的对称轴为直线x ＝1，试求二次函数的最小值．解：(1)由题意，m ，－3m 是一元二次方程x 2＋bx －c ＝0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得m ＋(－3m )＝－b ，m ·(－3m )＝－c ，∴b ＝2m ，c ＝3m 2，∴4c ＝12m 2，3b 2＝12m 2，∴4c ＝3b 2 (2)由题意得－b 2＝1，∴b ＝－2，由(1)得c ＝34b 2＝34×(－2)2＝3，∴y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴二次函数的最小值为－422．(9分)如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为x (s )，△PBQ 的面积为y (cm 2)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)求△PBQ 的面积的最大值．解：(1)∵S △PBQ ＝12PB ·BQ ，PB ＝AB －AP ＝18－2x ，BQ ＝x ，∴y ＝12(18－2x )x ，即y ＝－x 2＋9x (0＜x ≤4) (2)由(1)知：y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－(x －92)2＋814，∵当0＜x ≤92时，y 随x 的增大而增大，而0＜x ≤4，∴当x ＝4时，y 最大值＝20，即△PBQ 的最大面积是20 cm 223．(9分)如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是(0，3)，以点C 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 恰好经过x 轴上A ，B 两点．(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？解：(1)A ，B ，C 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(2，3) (2)y ＝－3(x －2)2＋3 (3)设抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋k ，代入D (0，3)，可得k ＝53，平移后的抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋53，∴平移了53－3＝43个单位24．(11分)(2016·宿迁)某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m (30＜m ≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧120x （0＜x ≤30），[120－（x －30）]x （30＜x ≤m ），[120－（m －30）]x （m ＜x ≤100）(2)由(1)可知当0＜x ≤30或m ＜x ≤100时，函数值y 都是随着x 的增加而增加，当30＜x ≤m 时，y ＝－x 2＋150x ＝－(x －75)2＋5625，∵a ＝－1＜0，x ≤75时，y 随x 的增加而增加，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，∴30＜m ≤7525．(12分)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过A (－1，0)，B (3，0)，C (0，－3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A，点B的距离之和最短时，求点P的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．解：(1)抛物线的解析式：y＝x2－2x－3(2)当P点在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A，点B的距离之和最短，此时x＝－b2a＝1，故P(1，0)(3)如图所示，抛物线的对称轴为x＝－b2a＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)，C(0，－3)，则MA2＝m2＋4，MC2＝(3＋m)2＋1＝m2＋6m＋10，AC2＝10.①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得m2＋4＝m2＋6m＋10，解得m＝－1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得m2＋4＝10，解得m＝±6；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得m2＋6m＋10＝10，解得m1＝0，m2＝－6，当m＝－6时，M，A，C三点共线，不能构成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M点的坐标为(1，6)(1，－6)，(1，－1)，(1，0)。

2022年最新北师大版九年级数学下册第二章二次函数专项测评试题(含答案及详细解析)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、抛物线22()1y x =-+的顶点坐标是（）A ．(2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)-2、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0），且a ＋b ＋c ＝－1，a ﹣b ＋c ＝－3．判断下列结论：①抛物线与x 轴负半轴必有一个交点；②b ＝1；③abc ＞0； ④2a ＋2b ＋c ＜0；⑤当0≤x ≤2时，y 最大＝3a ，其中正确结论的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．53、抛物线y ＝2（x ﹣1）2﹣2图象与y 轴交点的坐标是（）A ．（0，2）B ．（0，﹣2）C ．（0，0）D ．（﹣2，0）4、由二次函数22y x x =-+，可知（）A ．开口向上B ．对称轴为直线x ＝1C ．最大值为－1D ．顶点坐标为（－1，1）5、若抛物线27(4)1y x =-+-平移得到27y x =-，则必须（）A ．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B ．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C ．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位6、已知二次函数2y ax bx c =++，当11x -≤≤时，总有11y -≤≤，有如下几个结论：①当0b c ==时，1a ≤；②当1a =时，c 的最大值为0；③当2x =时，y 可以取到的最大值为7．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 7、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．0abc <B ．0a b c -+<C ．420a b c -+>D ．2b a >8、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的解为（）A ．x 1＝﹣3，x 2＝0B ．x 1＝3，x 2＝﹣1C ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣1D ．x 1＝﹣3，x 2＝19、将抛物线23(1)y x =-通过平移后得到23(1)1y x =+-，则这个平移过程正确的是（）A ．向右平移2个单位，向下平移1个单位B ．向左平移2个单位，向下平移1个单位C ．向右平移2个单位，向上平移1个单位D ．向左平移2个单位，向上平移1个单位10、对于任何实数h ，抛物线2y x =-与抛物线2y x h =--（）的相同点是（）A ．形状与开口方向相同B ．对称轴相同C ．顶点相同D ．都有最低点第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、将抛物线2y x 向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为____________．2、若二次函数225y x x =-+在1m x m +≤≤时的最小值为6，那么m 的值是______．3、抛物线222=++y x x 的顶点坐标是________．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y x =-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），直线y kx b =+经过点A ；当1b =时，直线y kx b =+分别与y 轴，抛物线21y x =-交于1P ，1Q 两点；当2b =时，直线y kx b =+分别与y 轴，抛物线21y x =-交于2P ，2Q 两点；……；当b n =（n 为正整数）时，直线y kx b =+分别与y 轴，抛物线21y x =-交于n P ，n Q 两点，则线段n n P Q 长为______．（用含n 的代数式表示）5、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点坐标为（1，m ），与y 轴的交点为（0，m －2），则a 的值为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在实施乡村振兴战略和移动互联快速进化的大背景下，某电商平台以10元/千克的价格收购一批农产品进行销售，经前期销售发现日销售量y （千克）与销售价格x （元/千克）之间满足一次函数关系，整理部分数据如下表：（1）求y 关于x 的函数表达式．（2）为了稳定物价，有关管理部门规定这种农产品利润率不得高于50%，该平台应如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润w 最大？（利润=售价－成本，利润率=利润÷成本×100%）2、绿色生态农场生产并销售某种有机生态水果．经市场调查发现，该生态水果的周销售量y（千克）是销售单价x（元/千克）的一次函数．其销售单价、周销售量及周销售利润w（元）的对应值如表．请根据相关信息，解答下列问题：（1）这种有机生态水果的成本为______元/千克；（2）求该生态水果的周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；（3）若农场按销售单价不低于成本价，且不高于60元/千克销售，则销售单价定为多少，才能使销售该生态水果每周获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？3、某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶．经市场调查表明，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少10瓶．（1）当每瓶售价为11元时，日均销售量为瓶；（2）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润为700元？（3）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B．且点A(0，5)，B(5，0)，点P为抛物线上的一动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，若点P 在AC 的上方，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，连接PA ，PC ，当S 四边形APCD ＝245AOE S △时，求点P 坐标；（3）设抛物线的对称轴与AB 交于点M ，点Q 在直线AB 上，当以点M 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q 的坐标．5、如图，抛物线2y x bx c =-++经过()()1,0,3,0A B -两点，且与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线上是否存在点P ，使得BCP 是以BC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M 为OC 的中点，若有一动点P 自点M 处出发，沿直线运动至x 轴上的某点(设为点E )，再沿直线运动至该抛物线对称轴上的某点(设为点F )，最后又沿直线运动至点C ，则点P 运动的总路程最短为______．(请直接写出答案)-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k 求解即可【详解】解：抛物线22()1y x =-+的顶点坐标是(2,1)故选A【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．2、B【分析】根据已知的式子求出b ，c ，再根据二次函数的图象性质判断即可；【详解】∵a ＋b ＋c ＝－1，a ﹣b ＋c ＝－3，∴两式相减得：22b =，∴1b =，故②正确；由两式相加得，2c a =--，∵0a >，∴0c <，∴0abc <，故③错误；当1x =时，1y a b c =++=-，当1x =-时，3y a b c =-+=-，∴当0y =时，方程20ax bx c ++=的两个根一个小于1-，一个大于1，∴抛物线与x 轴负半轴必有一个交点，故①正确；由抛物线对称轴为直线1022b x a a=-=-<， ∴当0≤x ≤2时，y 随x 的增大而增大，∴当2x =时，有最大值，即为4224223y a b a a a a =+--=+--=，故⑤正确；由题可得：2222120a b c a a a ++=+⨯--=>，故④错误；故正确的是①②⑤；故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，准确分析计算是解题的关键．3、C【分析】结合题意，根据二次函数图像的性质，当0x =时，计算y 的值，即可得到答案．【详解】当0x =时，()2212220y x =--=-=∴抛物线y ＝2（x ﹣1）2﹣2图象与y 轴交点的坐标是：（0，0）故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解．4、B【分析】由二次项系数正负，判断开口方向，利用对称轴的公式，求出对称轴，将对称轴代入二次函数表达式，即可求出最值和顶点坐标．【详解】解：A 、由于10a =-<，开口方向向下，故A 错误．B 、对称轴为直线2112x =-=-⨯，故B 正确．C 、将1x =代入函数表达式中求得：1y =，最大值为1，故C 错误．D 、根据对称轴及最值可知，顶点坐标为（1，1），故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要是考查了二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质，是求解该题的关键．5、B【分析】根据两抛物线的顶点坐标即可确定平移的方向与距离，从而完成解答．【详解】抛物线27(4)1y x =-+-的顶点为(－4，－1)，而抛物线27y x =-的顶点为原点由题意，把抛物线27(4)1y x =-+-的顶点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，即可得到抛物线27y x =-的顶点，从而抛物线27(4)1y x =-+-先向右平移4个单位，再向上平移1个单位即可得到27y x =-．故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，关键是抓住抛物线顶点的平移．6、B【分析】①当0b c ==时，根据不等式的性质求解即可证明；②当1a =时，二次函数的对称轴为：2b x =-，分三种情况讨论：当12b -<-时；当112b -≤-≤时；当12b ->时；分别利用二次函数的的最值问题讨论证明即可得；③当1x =-，1x =，0x =，2x =时，分别求出相应的y 的值，然后将2x =时，y 的值变形为：()()4233y a bc a b c a b c c =++=+++-+-，将各个不等式代入即可得证．【详解】解：①当0b c ==时，2y ax =， ∴211ax -≤≤，∵11x -≤≤，∴201x ≤≤，∴ 11a -≤≤，即1a ≤，正确；②当1a =时，二次函数的对称轴为：212b b x =-=-⨯，当12b-<-时，即2b >时，函数在1x =-处取得最小值，即11b c -+=-，20c b =-+>，函数在1x =处取得最大值，即11b c ++=，2c b =-<-，二者矛盾，∴这种情况不存在；当112b -≤-≤时，即22b -≤≤时，204b ≤≤，函数在2bx =-处取得最小值，即 2122b b b c ⎛⎫⎛⎫-+⨯-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2104b c =-+≤， ∴0c ≤，当12b-=时，即2b =-时， 22y x x =-，1x =时，1y =-；1x =-时，3y =，不符合题意，舍去；当12b-=-时，即2b =时， 22y x x =+，1x =时，3y =；1x =-时，1y =-，不符合题意，舍去；∴0c <，当12b ->时，即2b <-时，函数在1x =处取得最小值，即11b c ++=-， 20c b =-->，函数在1x =-处取得最大值，即11b c -+=，2c b =<-，二者矛盾，∴这种情况不存在；∴综上可得：0c <；故②错误；③当1x =-时，y a b c =-+，且11a b c -≤-+≤；当1x =时，y a b c =++，且11a b c -≤++≤；当0x =时，y c =，且11c -≤≤；当2x =时，()()4233y a b c a b c a b c c =++=+++-+-，()333a b c -≤++≤，11a b c -≤++≤，333c -≤≤，∴7427a b c -≤++≤，∴当2x =时，y 可以取到的最大值为7；③正确；故选：B ．【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．7、D【分析】由抛物线开口向下，得到a 小于0，再由对称轴在y 轴左侧，得到a 与b 同号，可得出b ＜0，又抛物线与y 轴交于正半轴，得到c 大于0，可判断选项A ；由x =-1时，对应的函数值大于0，可判断选项B ；由x =-2时对应的函数值小于0，可判断选项C ；由对称轴大于-1，利用对称轴公式得到b ＞2a ，可判断选项D ．【详解】解：由抛物线的开口向下，得到a ＜0，∵-2b a＜0， ∴b ＜0，由抛物线与y 轴交于正半轴，得到c ＞0，∴abc ＞0，故选项A 错误；∵x =-1时，对应的函数值大于0，∴a -b +c ＞0，故选项B 错误；∵x =-2时对应的函数值小于0，∴4a -2b +c ＜0，故选项C 错误；∵对称轴大于-1，且小于0，∴0＞-2b a＞-1，即0＞b ＞2a ，故选项D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；此外还要注意x =1，-1，2及-2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．8、D【分析】关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根即为二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴的交点的横坐标．【详解】解：根据图象知，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的一个交点是（-3，0），对称轴是直线x =-1．设该抛物线与x 轴的另一个交点是（x ，0）．则32x =-1，解得，x =1，即该抛物线与x 轴的另一个交点是（1，0）．所以关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根为x 1=-3，x 2=1．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点．解题时，注意抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）间的转换．9、B【分析】直接利用二次函数平移规律进而得出答案．【详解】解：抛物线23(1)y x =-的顶点坐标为（1，0）抛牪线23(1)1y x =+-的顶点坐标为（-1，-1）∵把点（1，0）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到（-1，-1）∴将抛物线23(1)y x =-向左平移2个单位，再向下平移1个单位可得到23(1)1y x =+-．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．10、A【分析】根据抛物线的图象与性质即可解答；【详解】解：对于任何实数h ，抛物线2y x =-与抛物线2y x h =--（）的相同点是形状与开口方向相同，抛物线2y x =-的对称轴是y 轴，顶点是原点，有最高点（0，0）；抛物线2y x h =--（）的对称轴是直线x=h ，顶点是（h ，0），有最高点（h ，0）；故选：A【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，属于基础题目，熟练掌握抛物线的图象与性质是关键．二、填空题1、23y x =-##【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将抛物线2y x 向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为23y x =-故答案为：23y x =-【点睛】本题考查了抛物线的平移，掌握平移规律是解题的关键．21或【分析】由题意易得二次函数的对称轴为直线1x =，则有该二次函数的最小值为4，然后由题意可分当m ＜0时，则有y 随x 的增大而减小，当m ＞1时，则y 随x 的增大而增大，进而根据函数的性质可进行求解．【详解】解：由二次函数225y x x =-+可知对称轴为直线1x =，∴当x =1时，二次函数有最小值，最小值为21254y =-+=，∵二次函数225y x x =-+在1m x m +≤≤时的最小值为6，然后可分①当m +1＜1时，即m ＜0，则有y 随x 的增大而减小，∴当x =m +1时，函数有最小值，即为()()212156m m +-++=，解得：m =，②当m ＞1时，则y 随x 的增大而增大，∴当x =m 时，函数有最小值，即为2256m m -+=，解得：1m （负根舍去），∴综上所示：m 1或1或【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．3、(1,1)-【分析】利用配方法把函数解析式化为顶点式，求出顶点坐标即可．【详解】解：∵222=++y x x ＝（x ＋1）2+1，∴顶点坐标是(1,1)-；故答案为：(1,1)-．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，化一般式为顶点式是解题的关键，注意数形结合思想的应用． 4、2(1)n +【分析】根据抛物线解析式结合题意可求出A 点坐标，又点A 在直线上，即可求出k b =，即得出直线解析式．当b n =时，直线解析式即为y nx n =+，即可求出此时n P 的坐标．联立抛物线解析式和直线解析式，即可求出n Q 的坐标，再代入抛物线解析式，可求出其纵坐标．最后利用两点的距离公式就出结果即可．【详解】∵21y x =-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），令0y =，则210x -=，解得：11x =-，21x =． ∴A 点坐标为(-1，0)．∵直线y kx b =+经过点A ，∴0k b =-+，解得：k b =，∴该直线解析式为y bx b =+．当b n =时，直线解析式为y nx n =+，令0x =，则y n =，∴n P 的坐标为(0，n )．联立21y x y nx n⎧=-⎨=+⎩，即()1(1)0x n x -++=⎡⎤⎣⎦，解得：11x =-，21x n =+．∴n Q 的横坐标为n +1．将1x n =+代入21y x =-中，得：22y n n =+，∴n Q 的坐标为(212n n n ++，)．∴n n P Q ==2(1)n ==+ 故答案为：2(1)n +．【点睛】本题为二次函数与一次函数综合题，较难．考查二次函数图象与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求函数解析式，二次函数图象与一次函数图象的交点以及两点的距离公式．正确求出n P 和n Q 的坐标是解答本题的关键．5、－2【分析】利用待定系数法求解函数解析式即可求解．【详解】解：根据题意，设该二次函数的解析式为y=a (x －1)2+m ，将（0，m －2）代入得：a +m =m －2，解得：a =－2，故答案为：－2．【点睛】本题考查待定系数法求解二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解函数解析式的方法步骤，设为顶点式求解是解答的关键．三、解答题1、（1）y 关于x 的函数表达式为1002200y x =-+；（2）当销售价格为15元时，才能使日销售利润最大．【分析】（1）设y 关于x 的函数表达式为y kx b =+，然后由表格任取两个数据代入求解即可；（2）由（1）及题意易得()()()2101002200100163600w x x x =--+=--+，然后根据“规定这种农产品利润率不得高于50%”及二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1）设y 关于x 的函数表达式为y kx b =+，则把12,1000x y ==和13,900x y ==代入得： 12100013900k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1002200k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 关于x 的函数表达式为1002200y x =-+；（2）由（1）及题意得：()()()22101002200100320022000100163600w x x x x x =--+=-+-=--+， ∴-100＜0，开口向下，对称轴为直线16x =，∵这种农产品利润率不得高于50%，∴101050x -≤⨯％，解得：15x ≤，∴当15x ≤时，w 随x 的增大而增大，∴当15x =时，w 有最大值；答：当销售价格为15元时，才能使日销售利润最大．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，解题的关键是得到销售量与销售价格的函数关系式．2、（1）30；（2）2260y x =-+；（3）单价定为60元/千克时获得最大利润4200元．【分析】（1）根据题意设有机生态水果的成本为m 元/千克，进而依据周销售利润建立等量关系求解即可；（2）根据题意设y kx b =+，依题意代入图表数据求出k 、b ，进而即可求得函数关系式；（3）根据题意得()()()23022602805000w x x x =--+=--+，进而分析计算即可得出单价定为60元/千克时获得最大利润4200元．【详解】解：（1）有机生态水果的成本为m 元/千克，根据题意得：180(40)1800m ⨯-=，解得：30m =，故答案为：30 ；（2）设y kx b =+ 依题意得：4018050160k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2260k b =-⎧⎨=⎩ ∴2260y x =-+（3）依题意得()()()22302260232078002805000w x x x x x =--+=-+-=--+ ∵3060x ≤≤∴当60x =时，max 4200w =即单价定为60元/千克时获得最大利润4200元．【点睛】本题考查一元一次方程与函数的综合运用，熟练掌握并待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．3、（1）140；（2）每瓶售价11或13元，所得日均总利润为700元；（3）每瓶售价12元时，所得日均总利润最大为720元【分析】（1）根据日均销售量为1110160100.5--⨯计算可得；（2）根据“总利润=每瓶利润×日均销售量”列方程求解可得；（3）根据（2）中相等关系列出函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）当每瓶的售价为11元时，日均销售量为：1110160101400.5--⨯=（瓶）；（2）解：设每瓶售价x 元时，所得日均总利润为700元．根据题意，列方程：10(6)(16010)7000.5x x ---⨯=，解得：x 1＝11，x 2＝13．答：每瓶售价11或13元时，所得日均总利润为700元；（3）解：设每瓶售价m 元时，所得日均总利润为y 元．10(6)(16010)0.5m y m -=--⨯＝－20m 2＋480m －2160＝－20(m －12) 2＋720， ∵－20＜0，∴当m ＝12时，y 有最大值720．即每瓶售价12元时，所得日均总利润最大为720元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和函数解析式．4、（1）y ＝﹣x 2+4x +5（2）P (2，9)或(3，8)（3）Q (﹣1，6)或(0，5)或(9，﹣4)【分析】（1）由点A ，B 坐标用待定系数法可求出抛物线解析式；（2）设点P 的横坐标为t ，则P （t ，﹣t 2+4t +5），D （t ，﹣t +5），求出S 四边形APCD ＝﹣2t 2+10t ，S △AOE ＝52，由题意得出方程求出t 即可得出答案；（3）分EM 为边和为对角线两种情况进行求解：①当EM 为平行四边形的边时，由EM ＝PQ 建立方程求解；②当EM 为对角线时，由EM 与PQ 互相平分建立方程组求解即可．（1）将点A （0，5），B （5，0）分别代入y ＝﹣x 2+bx +c 得，25505b c c -++=⎧⎨=⎩， ∴45b c =⎧⎨=⎩， ∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+4x +5；（2）∵AC ∥x 轴，点A （0，5），∴当y ＝5时，﹣x 2+4x +5＝5，∴x 1＝0，x 2＝4，∴C （4，5），∴AC ＝4，设直线AB 的解析式为y ＝mx +n ，将A （0，5），B （5，0）分别代入y ＝mx +n 得，550n m n =⎧⎨+=⎩，解得15m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +5；设点P 的横坐标为t ，则P （t ，﹣t 2+4t +5），D （t ，﹣t +5），∴PD ＝（﹣t 2+4t +5）﹣（﹣t +5）＝﹣t 2+5t ，∵AC ＝4，∴S 四边形APCD ＝12AC ⨯PD ＝142⨯⨯（﹣t 2+5t ）＝﹣2t 2+10t ，函数y ＝﹣x 2+4x +5，当y ＝0时，有﹣x 2+4x +5＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝5，∴E （﹣1，0），∴OE ＝1，又∵OA ＝5， ∴12AOE S OE OA ∆=⨯＝1152⨯⨯＝52， ∵S 四边形APCD ＝245S △AOE ， ∴224521052t t -+=⨯＝12，解得：t 1＝2，t 2＝3，∴P (2，9)或(3，8)；（3）∵抛物线的对称轴与y ＝﹣x +5交于点M ，∴M （2，3），设Q （a ，﹣a +5），P （m ，﹣m 2+4m +5），若EM ＝PQ ，四边形EMPQ 为平行四边形，∴2234553a m m a m ⎧+=++⎨-++=-⎩，解得21m a =⎧⎨=-⎩或30m a =⎧⎨=⎩， ∴Q （﹣1，6）或（0，5）；若EM ＝PQ ，四边形EMQP 为平行四边形，同理求出Q （9，﹣4）；若EM 为对角线，则2122545322a m a m m +⎧=⎪⎪⎨-+-++⎪=⎪⎩，解得15m a =-⎧⎨=-⎩（不合题意舍去）或62m a =⎧⎨=⎩(不合题意舍去)，综合以上可得出点Q 的坐标为Q (﹣1，6)或(0，5)或(9，﹣4)．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，四边形面积的求法，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点Q 的坐标时，分类讨论是解本题的难点．5、（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，点P 的坐标为（1,4）或（-2，-5）；（3）32【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）分两种情况：①当C 为直角顶点时，过点C 作CP ⊥BC ，交抛物线于点P ，过点P 作PH ⊥y 轴于H ，得到PH=CH ，设P （2,23a a a -++），则2233a a a =-++-，求出a 即可；②当B 为直角顶点时，过点B 作BP ⊥BC ，交抛物线于点P ，交y 轴于R ，过点P 作PG ⊥y 轴于G ，求出OB=OR =3，PG=RG ，设P（2,23a a a -++），则2233a a a -=---，求出a 即可；（3）当点E 与点O 重合时，点P 运动的路径最短，作点E 关于抛物线对称轴的对应点为T ，连接CT 交对称轴于点F ，则点P 运动的路径为ME+EF+CF ，由轴对称求出T （2,0），勾股定理求出CT ，即可求出点P 运动的路径ME+EF+CF =ME+CT 得到答案．【详解】解：（1）将()()1,0,3,0A B -代入2y x bx c =-++，得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴该抛物线的函数表达式是2y x 2x 3=-++；（2）存在．①当C 为直角顶点时，过点C 作CP ⊥BC ，交抛物线于点P ，过点P 作PH ⊥y 轴于H ，∵OB=OC ，∠BOC=90°，∴△BOC 为等腰直角三角形，∠BCO =45°，∴∠PCH =45°，∴△PHC 为等腰直角三角形，即PH=CH ，设P （2,23a a a -++），则2233a a a =-++-，解得121,0a a ==（舍去），此时2234a a -++=，∴P （1,4）；②当B 为直角顶点时，过点B 作BP ⊥BC ，交抛物线于点P ，交y 轴于R ，过点P 作PG ⊥y 轴于G ， ∵∠CBO =45°，∴∠GPR =∠OBR =45°，∴△PRG 为等腰直角三角形，∴OB=OR =3，PG=RG ，设P （2,23a a a -++），则2233a a a -=---，解得122,3a a =-=（舍去），此时2235a a -++=-，∴P （-2，-5）；综上，点P 的坐标为（1,4）或（-2，-5）；（3）当点E 与点O 重合时，点P 运动的路径最短，如图，作点E 关于抛物线对称轴的对应点为T ，连接CT 交对称轴于点F ，则点P 运动的路径为ME+EF+CF ， ∵2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴为直线x =1，∴T （2,0），∵C（0,3）∴CT =∴点P 运动的路径ME+EF+CF =ME+CT =32，故答案为：32【点睛】此题考查了二次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，抛物线的对称轴，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，最短路径问题，综合掌握各知识点是解题的关键．。

北师大版数学九年级下册第二章二次函数综合素质评价(含答案)

第二章综合素质评价一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列函数中，一定是二次函数的是()A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝x(－x＋1) C．y＝(x－1)2－x2D．y＝1 x22．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是()A．直线x＝12 B. 直线x＝－12 C. y轴 D. 直线x＝23．已知函数y＝(m＋3)x2＋4是二次函数，则m的取值范围为() A．m＞－3 B．m＜－3 C．m≠－3 D．任意实数4．下表是二次函数y＝x2－x－3的y与x的部分对应值，那么方程x2－x－3＝0的一个近似根是()A．1.2B．2.3C．3.4D．4.55．已知二次函数y＝ax2＋4x－c，当x＝1时，函数值是－5，则下列关于a，c的关系式中，正确的是()A．a＋c＝－1 B．a＋c＝－9 C．a－c＝－9 D．a－c＝－16．已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴有交点，则c 的最大值为()A．0 B．2 C．4 D．87．将抛物线y＝2x2－4x＋1先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后抛物线的表达式为()A．y＝2(x＋2)2＋1 B．y＝2(x－4)2＋1C．y＝2(x＋2)2－3 D．y＝2(x－4)2－38．如果点P1(1，y1)，P2(3，y2)和P3(4，y3)均在二次函数y＝－x2＋6x＋c的图象上，那么y1，y2，y3之间的大小关系是()A．y1＜y3＜y2B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y2＜y39．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点(1，1)，(－2，－2)，(0.5，0.5)，…，都是和谐点．若二次函数y＝ax2＋7x＋c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(－1，－1)，则此二次函数的表达式为()A．y＝3x2＋7x＋3 B．y＝2x2＋7x＋4 C．y＝x2＋7x＋5 D．y＝4x2＋7x＋2 10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，下列结论：①a－b＋c＜0；②abc＞0；③2a－b＜0；④3a＋c＝0；⑤b2c2＞4a中，正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．抛物线y＝x2＋2x－3与坐标轴的交点的个数为________．12．图象顶点坐标为(3，1)，形状与函数y＝13x2的图象相同且开口方向相反的函数表达式为__________________．13．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(－4，0)，对称轴为直线x＝－1，则当y＞0时，x的取值范围为________．14．若A(m－2，n)，B(m＋2，n)为抛物线y＝－(x－h)2＋2 022上的两点，则n＝________．15．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面宽度AB为20 m，当水位上升3 m时，达到警戒线CD，CD的宽度为10 m．若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，则再持续________小时水位才能到拱桥顶．三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分．16．已知函数y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1.(1)当m为何值时，此函数是一次函数？(2)当m为何值时，此函数是二次函数？17．已知抛物线y＝(m－1)x2＋m2－2m－2的开口向下，且经过点(0，1)．(1)求m的值．(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴．(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？18．已知抛物线y＝a(x－1)2＋h经过点(0，－3)和(3，0)．(1)求a，h的值；(2)将该抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线的表达式．四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19．已知二次函数图象的顶点坐标为(1，1)，且当x＝3时，y＝3，求该二次函数的表达式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．20．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用27 m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门．当所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？21．定义：如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(点P不与点A，B重合)，若△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．(1)求证：点M(0，－1)是抛物线y＝x2－1的勾股点；(2)如图2，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，－3)是该抛物线的勾股点，求该抛物线的表达式．五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．22．某公司计划购进一批原料进行加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m(万元)与原料的质量x(吨)之间的函数关系式为m＝50＋0.2x，销售价y(万元/吨)与原料的质量x(吨)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)设销售收入为P(万元)，求P与x之间的函数关系式．(3)原料的质量为多少吨时，该公司所获得的销售利润最大，最大销售利润是多少万元？(销售利润＝销售收入－总支出)23．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线l相交于A(－1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N，顶点为D.(1)求抛物线及直线l的表达式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.答案一、1．B 2．C 3．C 4．B 5．C 6．C 7．D 8．A 9．A 点拨：易得b 2－4ac ＝62－4ac ＝0，a －7＋c ＝－1，∴ac ＝9，c ＝6－a .把c ＝6－a 代入ac ＝9，得a (6－a )＝9，解得a 1＝a 2＝3， ∴c ＝6－3＝3，∴此二次函数的表达式为y ＝3x 2＋7x ＋3.10．C 点拨：由图象可知，当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0，故①不正确．∵抛物线的开口向下，∴a ＜0.∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴c ＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝－1，∴－b2a ＝－1，即b ＝2a ，∴b ＜0，∴abc ＞0.故②正确． ∵b ＝2a ，∴2a －b ＝0.故③不正确．易知抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(1，0)， ∴当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＝a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＝0. 故④正确．∵a ＜0，∴4a ＜0.又∵b 2c 2＞0，∴b 2c 2＞4a .故⑤正确． ∴正确的结论有3个．二、11．3 12．y ＝－13x 2＋2x －2 13.x ＜－4或x ＞2 14．2 018 15．5三、16．解：(1)∵函数y ＝(m 2＋2m )x 2＋mx ＋m ＋1是一次函数，∴⎩⎨⎧m 2＋2m ＝0，m ≠0，解得m ＝－2. (2)∵函数y ＝(m 2＋2m )x 2＋mx ＋m ＋1是二次函数， ∴m 2＋2m ≠0， ∴m ≠－2且m ≠0.17．解：(1)∵抛物线y ＝(m －1)x 2＋m 2－2m －2的开口向下，且经过点(0，1)，∴⎩⎨⎧m 2－2m －2＝1，m －1＜0，解得m ＝－1. (2)当m ＝－1时，此抛物线的表达式为y ＝－2x 2＋1，故顶点坐标为(0，1)，对称轴为y 轴．(3)当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．18．解：(1)将(0，－3)和(3，0)分别代入y ＝a (x －1)2＋h ，得⎩⎨⎧－3＝a ＋h ，0＝4a ＋h ，解得⎩⎨⎧a ＝1，h ＝－4.所以a 的值为1，h 的值为－4. (2)新的抛物线的表达式为y ＝(x －2)2－2，即y ＝x 2－4x ＋2. 四、19．解：∵二次函数图象的顶点坐标为(1，1)，∴设该二次函数的表达式为y ＝a (x －1)2＋1(a ≠0)， ∵当x ＝3时，y ＝3，∴3＝a (3－1)2＋1，解得a ＝12，∴该二次函数的表达式为y ＝12(x －1)2＋1. 列表如下：x … －1 0 1 2 3 … y…3321323…该二次函数的图象如图所示．20．解：设矩形猪舍的面积为y m 2，垂直于住房墙的一边的长为x m ，则平行于住房墙的一边的长为(27－2x ＋1) m ，由题意，得y ＝x (27－2x ＋1)＝－2(x －7)2＋98，可知图象的对称轴为直线x ＝7.根据题意，得⎩⎨⎧27－2x ＋1≤12，27－2x ＋1＞0，∴8≤x ＜14.∵在y ＝－2(x －7)2＋98中，－2＜0， ∴当8≤x ＜14时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝8时，y 有最大值，最大值为96.此时27－2x ＋1＝12.答：当所围成矩形猪舍的长、宽分别为12 m ，8 m 时，猪舍的面积最大，最大面积是96 m 2.21．(1)证明：设抛物线y ＝x 2－1与x 轴交于E ，F 两点，且点E 在点F 的左边．令y ＝0，则x 2－1＝0，解得x 1＝1，x 2＝－1，∴E (－1，0)，F (1，0)． ∴EF 2＝4. ∵M (0，－1)， ∴EM 2＝2，FM 2＝2， ∴EM 2＋FM 2＝EF 2，∴点M (0，－1)是抛物线y ＝x 2－1的勾股点． (2)解：过点P 作PH ⊥AB 于点H ， ∵P (1，－3)， ∴OH ＝1，PH ＝3， ∴tan ∠P AH ＝PH OH ＝31＝3， ∴∠P AH ＝60°.∵点P (1，－3)是抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)的勾股点， ∴AP 2＋BP 2＝AB 2. ∴∠APB ＝90°， ∴∠PBA ＝30°，∴BH ＝PHtan 30°＝3×3＝3， ∴B (4，0)．把P (1，－3)和B (4，0)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx (a ≠0)，得⎩⎨⎧a ＋b ＝－3，16a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝33，b ＝－433.∴该抛物线的表达式为y ＝33x 2－433x .五、22．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将(20，15)，(30，12.5)分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧20k ＋b ＝15，30k ＋b ＝12.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝20，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－14x ＋20.(2)由题意，得P ＝(1－20%)xy ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x ＋20x ＝－15x 2＋16x ，∴P 与x 之间的函数关系式为P ＝－15x 2＋16x . (3)设销售利润为W (万元)，W ＝P －6.2x －m ＝－15x 2＋16x －6.2x －(50＋0.2x )，整理，得W ＝－15x 2＋485x －50，配方，得W ＝－15(x －24)2＋65.2， ∵－15＜0，∴当x ＝24时，W 有最大值，最大值为65.2，答：原料的质量为24吨时，该公司所获得的销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．23．解：(1)将A (－1，0)，C (2，3)的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧－1－b ＋c ＝0，－4＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝3，故抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.设直线l 的表达式为y ＝kx ＋n ，将A (－1，0)，C (2，3)的坐标分别代入y ＝kx＋n ，得⎩⎨⎧－k ＋n ＝0，2k ＋n ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝1，n ＝1，故直线l 的表达式为y ＝x ＋1.(2)存在．易知抛物线的对称轴为直线x ＝1，N (0，3)，设点M (1，m )．∵A (－1，0)，M (1，m )，N (0，3)，∴AM 2＝(1＋1)2＋m 2＝4＋m 2，AN 2＝12＋32＝10，MN 2＝1＋(m －3)2.如图①，当AM 是斜边时，则有4＋m 2＝10＋1＋(m －3)2，解得m ＝83；如图②，当AN 是斜边时，则有4＋m 2＋1＋(m －3)2＝10，解得m ＝1或m ＝2；如图③，当MN 是斜边时，则有4＋m 2＋10＝1＋(m －3)2，解得m ＝－23.故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83或(1，1)或(1，2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－23.。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测(包含答案解析)

一、选择题1．已知二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（）A ．18m >B ．18mC ．18m >-且0m ≠ D ．18m 且0m ≠ 2．已知y 是x 的二次函数，y 与x 的部分对应值如表所示，若该二次函数图象向左平移后通过原点，则应平移（） x… 1- 0 1 2 … y … 0 3 4 3 …A ．1个单位B ．2个单位C ．3个单位D ．4个单位 3．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点坐标为（1，﹣4a ），点A （4，y 1）是该抛物线上一点，若点B （x 2，y 2）是该抛物线上任意一点，有下列结论：①4a ﹣2b +c ＞0；②抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点（﹣1，0），（3，0）；③若y 2＞y 1，则x 2＞4；④若0≤x 2≤4，则﹣3a ≤y 2≤5a ．其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．34．如图在平面直角坐标系中，点A 在抛物线245y x x =-+上运动.过点A 作AC x ⊥轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，则对角线BD 的最小值为（）A ．4B ．3C ．2D ．15．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，在下列六个结论中：①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++<；④0a b c -+>；⑤420a b c ++>；⑥240b ac -<．其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，则m 的取值范围是（）A ．18m >B ．1m >-C ．118m -<<D ．1m 18<< 7．已知二次函数y=(m+2)23mx -，当x<0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值为（） A ．5- B ．5C ．5±D ．2 8．如图，已知ABC 中，,120,3AC BC ACB AB =∠=︒=，点D 为边AB 上一点，过点D 作//DE AC ，交BC 于点E ，过点E 作EF DE ⊥，交AB 于点F ．设,AD x DEF =的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．9．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如表： x﹣1 0 1 3 y﹣1 3 5 3 则代数式﹣2a（4a +2b +c ）的值为（）A ．92B ．152C ．9D ．1510．已知二次函数24y x x m =-+的图象与x 轴有两个交点，若其中一个交点的横坐标为1，则另一个交点的横坐标为（）A ．1-B ．2-C ．2D ．311．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不等的实数根；③12a <-．其中正确结论的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3 12．在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =--的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．用一根长为24cm 的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是_____cm 2．14．抛物线2y ax bx c =++经过()30A -,，()4,0B 两点，则关于x 的一元二次方程()()2110a x b x c -+-+=的解是______．15．现从四个数1，2，1-，3-中任意选出两个不同的数，分别作为二次函数2y ax bx =+中a ，b 的值，则所得二次函数满足开口方向向下且对称轴在y 轴右侧的概率是__________．16．如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象与x 轴交于不同两点，与y 轴的交点在y 轴正半轴，它的对称轴为直线1x =．有以下结论：①0abc >，②0a c ->，③若点()11,y -和()22,y 在该图象上，则12y y <，④设1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两根，若2am bm c p ++=，则()()120p m x m x --≤．其中正确的结论是____________（填入正确结论的序号）．17．二次函数y=ax 2+c 的图象与y=3x 2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点(1，1)，则该二次函数的解析式为________________ ．18．将抛物线2y x =-先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______．19．在平面直角坐标系中，已知()1,A m -和()5,B m 是抛物线21y x bx =++上的两点，则抛物线21y x bx =++的顶点坐标为_________．20．已知点()4,A m -，()2,B m ，()6,C n 均在抛物线2y x bx c =++上，则m ，n 的大小关系是m __________n ．三、解答题21．如图，直线y x m =+和抛物线2y x bx c =++都经过点A (1，0)，B (3，2)．（1）求m 的值；（2）求不等式2x bx c x m ++>+的解集（直接写出答案）．22．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2﹣2x ．（1）它的顶点坐标是，当x 时，y 随x 的增大而减小；（2）将抛物线y ＝x 2﹣2x 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，设所得新抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，写出新抛物线的解析式并求△ABC 的面积． 23．已知二次函数223(0)y mx mx m m =-->的图像与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）连接,BC AC ，若ABC 为等边三角形，求m 的值．24．如图是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙（足够长），另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为36m ，设垂直于墙的一边长为xm ．（1）若所围的面积为160m 2，求x 的值？（2）求当x 的值是多少时，所围成的鸡场面积最大，最大值是多少？25．如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用27m 长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？26．在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，且OA OB =，直线AB 与抛物线在第一象限交于点()2,6C ，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB 的函数解析式、点M 的坐标和ABO ∠的余弦值．（3）连接OC ，若过点O 的直线交线段AC 于点P ，将AOC △的面积分成1:2的两部分，求点P 的坐标为______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，可得△＝221410m m m -⨯->(+)()且0m ≠求解后即可得出结论．【详解】解：∵原函数是二次函数，∴0m ≠，∵二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，则△＝240b ac ->，即221410m m m -⨯->(+)()，解得18m >-． ∴m 的取值范围是18m >-且0m ≠．故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，掌握抛物线与x 轴的交点问题与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．2．C解析：C【分析】由表格可得点()0,3与点()2,3是关于二次函数对称轴对称的，则有二次函数的对称轴为直线0212x +==，进而可得点()1,4是二次函数的顶点，故设二次函数解析式为()214y a x =-+，然后代入点()1,0-可得二次函数解析式，最后问题可求解．【详解】解：由表格可得点()0,3与点()2,3是关于二次函数对称轴对称的，则有二次函数的对称轴为直线0212x +==， ∴点()1,4是二次函数的顶点，设二次函数解析式为()214y a x =-+，代入点()1,0-可得：1a =-， ∴二次函数解析式为()214y x =--+， ∵该二次函数图象向左平移后通过原点，∴设平移后的解析式为()214y x b =--++，代入原点可得：()2014b =--++，解得：123,1b b ==-(舍去)，∴该二次函数的图象向左平移3个单位长度；故选C ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及平移，熟练掌握二次函数的图象与性质及平移是解题的关键． 3．C解析：C【分析】利用对称轴公式和顶点坐标得出﹣4a ＝a +b +c ，b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，则可对①进行判断；抛物线解析式为y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ，配成交点式得y ＝a （x ﹣3）（x +1），可对②进行判断；根据二次函数对称性和二次函数的性质可对③进行判断；计算x ＝4时，y ＝5a ，则根据二次函数的性质可对④进行判断．【详解】解：①∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标为（1，﹣4a ），∴x ＝﹣2b a＝1，且﹣4a ＝a +b +c ， ∴b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，∵抛物线开口向上，则a ＞0， ∴4a ﹣2b +c ＝4a +4a ﹣3a ＝5a ＞0，故结论①正确；②∵b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，∴y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ＝a （x ﹣3）（x +1），∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点（﹣1，0），（3，0），故结论②正确；③∵点A （4，y 1）关于直线x ＝1的对称点为（﹣2，y 1），∴当y 2＞y 1，则x 2＞4或x 2＜﹣2，故结论③错误；④当x ＝4时，y 1＝16a +4b +c ＝16a ﹣8a ﹣3c ＝5a ，∴当0≤x 2≤4，则﹣4a ≤y 2≤5a ，故结论④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与性质的相关知识并能灵活运用所学知识求解是解题的关键．4．D解析：D【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（2，1），再根据矩形的性质得BD ＝AC ，由于AC 的长等于点A 的纵坐标，所以当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为2，从而得到BD 的最小值．【详解】解：∵y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（2，1），∵四边形ABCD 为矩形，∴BD ＝AC ，而AC ⊥x 轴，∴AC 的长等于点A 的纵坐标，当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD 的最小值为1．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．5．D解析：D【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，利用图象判断1，-1，2所对应的y 的值，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵由函数图象开口向下可知，a ＜0，由函数的对称轴12b a ->-，故12b a<， ∵a ＜0，∴b ＞2a ，∴2a -b ＜0，①正确；②∵a ＜0，对称轴在y 轴左侧，a ，b 同号，图象与y 轴交于负半轴，则c ＜0，故abc ＜0；②正确；③当x=1时，y=a+b+c ＜0，③正确；④当x=-1时，y=a -b+c ＜0，④错误；⑤当x=2时，y=4a+2b+c ＜0，⑤错误；⑥∵图象与x 轴无交点，∴b 2-4ac ＜0，⑥正确；故正确的有①②③⑥，共4个．故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键． 6．A解析：A【分析】根据二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，可设()()2121m x x y m m +--+=，从而得到1m +＞0且∆＜0，进而即可求得m 的取值范围．【详解】解：设()()2121m x x y m m +--+=， ∵关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，∴()()2121m x m x m +--+＞0，∴在函数()()2121m x x y m m +--+=中， 1m +＞0，且()()22141m m m ∆=--⎡⎤-+⎣⎦＜0，解得：m ＞18故选：A【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数的性质． 7．A解析：A【分析】根据次数为2可列方程，再根据函数增减性确定m 值．【详解】解：根据题意可知，232m -=，解得，m =∵二次函数y=(m+2)23mx -，当x<0时，y 随x 的增大而增大，∴m+2＜0，解得m ＜-2，综上，m=故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的定义和增减性，解题关键是根据二次函数的定义列方程，依据增减性确定二次项系数的符号． 8．B解析：B【分析】过点C 作CG ⊥AB ，求出CG 、AC ，证明△ACB ∽△DEB ，求出DE ，再根据直角三角形的性质求出EF ，根据三角形面积公式得到y 关于x 的函数表达式，从而判断图像．【详解】解：∵AC=BC ，∠ACB=120°，∴∠A=∠B=30°，过点C 作CG ⊥AB ，则AG=BG=12AB=32，AC=2CG ，则， ∵DE ∥AC ，∴△ACB ∽△DEB ，∴AC AB DE BD =，即33DE x=-，解得：DE=)33x -， ∵∠DEF=90°，∠EDF=∠A=30°，∴33x -，∴y=S △DEF =12DE EF ⨯⨯=)313233x x --⨯⨯=)2318x -，可得：当0＜x ＜3时，图像为抛物线，y 随x 的增大而减小，选项B 中的图像最合适，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质，二次函数，解题的关键是通过相似三角形的性质得到线段的长，从而得到二次函数表达式．9．B解析：B【分析】由当x=0和x=3时y 值相等，可得出二次函数图象的对称轴为直线x=32，进而可得出2b a -的值，由x=1时y=5，可得出当x=2时y=5，即4a+2b+c=5，再将2b a -=32及4a+2b+c=5代入2b a -（4a+2b+c ）中即可求出结论．【详解】解：∵当x ＝0和x ＝3时，y 值相等，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝32， ∴3=22b a -． ∵当x ＝1时，y ＝5，∴当x ＝2×32﹣1＝2时，y ＝5， ∴4a +2b +c ＝5． ∴2b a -（4a +2b +c ）＝32×5＝152．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出2b a-和（4a+2b+c ）的值是解题的关键． 10．D解析：D【分析】函数的对称轴为：x=-22b a=，一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（3，0），即可求解．解：∵二次函数y=x 2-4x+m 中a=1，b=-4，∴函数的对称轴为：x=-22b a=， ∵一个交点的坐标为（1，0）与另一个交点的坐标关于对称轴对称，∴另一个交点的坐标为（3，0），即另一个交点的横坐标为3．故选：D ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 11．C解析：C【分析】由二次函数的对称性及题意可得该抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，进而可得抛物线的开口方向向下，则有a 0,b 0,c 0<>>，然后根据二次函数的性质可进行排除选项．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =， ∴抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标为12212⨯-=-， ∴该点坐标为()1,0-，∴抛物线的开口方向向下，即0a <，根据“左同右异”可得0b >，∴0abc <，故①错误； ∴令y=0，则关于x 的方程20ax bx c ++=的解为：122,1x x ==-，故②正确；根据根与系数的关系可得122c x x a==-， ∴21c a =->，解得12a <-，故③正确； ∴正确的个数有2个；故选C ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 12．D解析：D根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【详解】解：∵一次函数经过y轴上的（0，c），二次函数经过y轴上的（0，-c），∴两个函数图象交于y轴上的不同点，故A，C选项错误；当a＜0，c＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过二、三、四象限，故B选项错误；当a＜0，c＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、四象限，故D选项正确；故选：D．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．二、填空题13．36【分析】设围成矩形的长为xcm则宽为＝（12﹣x）cm设围成矩形的面积为Scm2根据矩形的面积公式列出S关于x的二次函数将其写成顶点式根据二次函数的性质可得答案【详解】解：设围成矩形的长为xcm解析：36【分析】设围成矩形的长为xcm，则宽为2422x-＝（12﹣x） cm，设围成矩形的面积为Scm2，根据矩形的面积公式列出S关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．【详解】解：设围成矩形的长为xcm，则宽为2422x-＝（12﹣x） cm，设围成矩形的面积为Scm2，由题意得：S＝x（12﹣x）＝﹣x2+12x＝﹣（x﹣6）2+36，∵二次项系数为负，抛物线开口向下，∴当x＝6cm时，S有最大值，最大值为36cm2．故答案为：36．【点睛】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；14．【分析】抛物线经过两点则方程的解为x=-3或x=4根据方程可得x-1=-3或4求解即可；【详解】∵抛物线经过两点∴方程的解为x=-3或x=4∵∴x-1=-3或x-1=4解得=-2或5故答案为：=-2解析：12x =-，25x =【分析】抛物线2y ax bx c =++经过()30A -,，()4,0B 两点，则方程2=0ax bx c ++的解为x=-3或x=4，根据方程()()2110a x b x c -+-+=可得x-1=-3或4，求解即可；【详解】 ∵抛物线2y ax bx c =++经过()30A -,，()4,0B 两点， ∴方程2=0ax bx c ++的解为x=-3或x=4，∵()()2110a x b x c -+-+=， ∴ x-1=-3或x-1=4，解得1x =-2或2x =5，故答案为：1x =-2，2x = 5．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解二次函数与一元二次方程是解题的关键；15．【分析】把ab 所有可能的取值及满足题目的条件通过表格列出来再根据概率的定义列式求解即可【详解】解：∵二次函数满足开口方向向下即要a<0对称轴在y 轴右侧即要求∴可以列出如下表格：其中第三和第四行数字0 解析：13【分析】把a 、b 所有可能的取值及满足题目的条件通过表格列出来，再根据概率的定义列式求解即可．【详解】解：∵二次函数满足开口方向向下即要a<0，对称轴在y 轴右侧即要求02b a->， ∴可以列出如下表格：其中第三和第四行数字0表示不满足题中某个条件，数字1表示满足题中某个条件， ∴由题意，只有第三和第四行两个数字都为1时才满足题目所有条件，此时a 和b 的值分别为-1和1、-1和2、-3和1、-3和2共4种情况，∴所求概率为41123=，故答案为13．【点睛】本题考查二次函数的性质，用列表法计算概率的方法，熟练掌握列表法的步骤及题目条件的符号表示是解题关键．16．③④【分析】利用数形结合思想从抛物线的开口与坐标轴的交点对称轴等方面着手分析判断即可【详解】解：∵抛物线的开口向下对称轴在原点的右边与y 轴交于正半轴∴a ＜0b ＞0c ＞0∴abc ＜0∴结论①错误；∵抛解析：③④【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可．【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在原点的右边，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0， b ＞0，c ＞0，∴abc ＜0，∴结论①错误；∵抛物线的对称轴为x=1， ∴12b a-=， ∴b=-2a ；∵ c+a+b ＞0，∴c-a ＞0，∴a-c ＜0，∴结论②错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向下，∵点()11,y -和()22,y 在该图象上，∴()11,y -与x=1的距离比()22,y 与x=1的距离远；∴12y y <，∴结论③正确；∵2am bm c p ++=，1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两根，当0p a+b+c ＜≤时，12m ≤≤x x ；∴()()120＜--p m x m x ；当p=0时，()()12=0--p m x m x当p ＜0时，()()120＜--p m x m x∴()()120p m x m x --≤∴结论④正确；③④故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数之间的关系，对称轴的使用，代数式符号的判定，熟练运用数形结合的思想，二次函数的性质是解题的关键．17．y=-3x2+4【分析】根据二次函数的性质利用待定系数法求解【详解】解：由题意可设所求函数为：∵所求函数经过点(11)∴∴c=4∴所求函数为：故答案为【点睛】本题考查二次函数的应用熟练掌握利用待定系解析：y=-3x 2+4【分析】根据二次函数的性质，利用待定系数法求解．【详解】解：由题意可设所求函数为：23y x c =-+，∵所求函数经过点(1，1)，∴2131c =-⨯+，∴c=4，∴所求函数为：234y x =-+，故答案为234y x =-+．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键． 18．【分析】根据左加右减上加下减的原则进行解答即可【详解】解：将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：；再向上平移2个单位为：故答案为：【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换要求熟练掌握平移的规解析：()212y x =-++【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x =-向左平移1个单位所得直线解析式为：()2+1y x =-；再向上平移2个单位为：()2+21+y x =-．故答案为：()212y x =-++．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 19．（2－3）【分析】根据坐标特点判定AB 两点是一对对称点从而得到抛物线的对称轴根据对称轴x=确定b 的值从而确定顶点坐标【详解】∵和是抛物线上的两点∴抛物线对称轴为x==2∴顶点坐标的横坐标为2；∵∴b解析：（2，－3）.【分析】根据坐标特点，判定A ，B 两点是一对对称点，从而得到抛物线的对称轴，根据对称轴x=2b a-，确定b 的值，从而确定顶点坐标. 【详解】 ∵()1,A m -和()5,B m 是抛物线21y x bx =++上的两点，∴抛物线对称轴为x=152-+=2， ∴顶点坐标的横坐标为2； ∵22b -=， ∴b= -4， ∴241y x x =-+，当x=2时，22421y =-⨯+= -3，∴抛物线的顶点坐标为（2，-3），故应填（2，-3）.【点睛】本题考查了利用抛物线的对称点确定顶点坐标，熟练掌握抛物线对称轴与对称点的关系，抛物线顶点坐标的计算公式是解题的关键.20．【分析】由点AB 的坐标利用二次函数的对称性可求出b 的值利用二次函数图象上点的坐标特征可找出m 和n 的大小关系【详解】解：∵二次函数y=x2+bx+c 的图象经过点A （-4m ）B （2m ）∴∴b=2∵点A(解析：m n <【分析】由点A 、B 的坐标利用二次函数的对称性可求出b 的值，利用二次函数图象上点的坐标特征可找出m 和n 的大小关系．【详解】解：∵二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点A （-4，m ）、B （2，m ）， ∴42122b -+-==-， ∴b=2， ∵点A(-4，m)，C （6，n ）在二次函数y=x 2+bx+c 的图象上，∴m=16-8+c=8+c ；n=36+12+c=48+c ，∴m ＜n ，故答案为：＜．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，利用二次函数图象上点的坐标特征得到m ，n 的大小是解题的关键．三、解答题21．（1）1m =-；（2）x <1或x >3【分析】（1）将点A 坐标代入y=x+m 可得m 的值；（2）由函数图象中双曲线在直线上方时x 的范围可得．【详解】解：（1）将点A(1，0)代入y=x+m 可得1+m=0，解得：m=-1；（2）由函数图象可知不等式的解集为x ＜1或x ＞3．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一元二次不等式的关系，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．22．（1）(1，－1)，x<1；（2）y ＝x 2＋2x －3，6．【分析】（１）先将y ＝x 2﹣2x 化为顶点式，即可得出顶点坐标，再根据二次函数的性质可求出y 随x 的增大而减小时自变量的取值情况；（2）根据函数图象的平移规律，可求出新抛物线的解析式，再利用新抛物线的函数解析式求出△ABC 的底和高，即可求出面积．【详解】解：（1）∵y ＝x 2﹣2x ＝（x －1）2－1，则顶点坐标为(1，－1)，∵y ＝x 2﹣2x 为二次函数，且a ＝1，∴开口向上，对称轴为x=1，∴在x<1时，y 随x 的增大而减小．故答案为：(1，-1)，x<1．（2）将抛物线y ＝x 2﹣2x ＝（x －1）2－1向左平移2个单位得y ＝（x －1＋2）2－1＝（x ＋1）2－1，再向下平移三个单位，得y ＝（x ＋1）2－1－3＝（x ＋1）2－4，化简得y ＝x 2＋2x －3，即新抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3，∵抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于两点A 、B 两点，∴令y ＝0，则x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴AB ＝4，令x ＝0，y ＝－3，∴C 点坐标为(0，－3)，S △ABC 中，底边为AB ，三角形的高即为C 点到x 轴的距离，∴S △ABC ＝12×4×3＝6．【点睛】此题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质的相关知识并能灵活运用是解题的关键．23．（1）(1,0)A -，(3,0)B ；（2）2m =【分析】（1）把y=0代入，解方程即可；（2）求出顶点坐标，过C 作CD AB ⊥于D ，求出CD 即可．【详解】解：（1）2230mx mx m --=，∵0m >，方程两边同时除以m 得， 2230x x --=解得，13x =，21x =-∴A ，B 两点的坐标分别为：(1,0)A -，(3,0)B ．（2）抛物线223(0)y mx mx m m =-->的顶点横坐标为：212m x m-=-=，把x=1代入223y mx mx m =--得，y=-4m ，抛物线的顶点C 的坐标为：(1,4)C m -由（1）得，AB=4，过C 作CD AB ⊥于D ，∵ABC 为等边三角形，∴AD=2，AC=4， ∴22224223CD AC AD =-=-=∵点C 在第四象限， ∴43m =∴3m =．【点睛】本题考查求二次函数与x 轴交点，等边三角形的性质，解题关键是熟练的解一元二次方程，根据已知条件，找到坐标与线段的关系．24．（1）x 的值为8或10；（2）当x 的值是9时，所围成的鸡场面积最大，最大值是162m 2．【分析】由垂直于墙的一边长为xm ，平行墙的边长=(36-2x)，根据面积列方程，利用面积列函数关系，根据二次项系数为负，配方即可求出最值即可．【详解】解:（1）由题意得：x （36﹣2x ）＝160，整理得:x 2-18x+80=0，解得：x 1＝8，x 2＝10，∵0＜36﹣2x ＜36，∴0＜x ＜18，∴x 的值为8或10．（2）设长方形鸡场的面积为S ，由题意得：S ＝x （36﹣2x ）＝﹣2x 2+36x＝﹣2（x ﹣9）2+162，∵﹣2＜0，二次函数开口向下，函数有最大值，∴当x ＝9时，S 取得最大值，最大值为162．∴当x 的值是9时，所围成的鸡场面积最大，最大值是162m 2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数，解题关键是找准题目中的等量关系列方程及二次函数解析．25．矩形猪舍的长、宽分别为12米、8米时，猪舍的面积最大，最大面积是96平方米．【分析】设猪舍的宽为m x ，则长为(2721)m x -+，由题意可得2(2721)2(7)98y x x x =-+=--+，然后再根据二次函数的性质进行求最大值即可；【详解】设猪舍的宽为m x ，则长为(2721)m x -+，由题意得2(2721)2(7)98y x x x =-+=--+，对称轴为7x =， 272112x -+≤，27210x -+>，814x ∴≤<，在22(7)98y x =--+中，∵20-<，∴在对称轴右侧y 随着x 的增大而减小，所以当8x =米时，即矩形猪舍的长、宽分别为12米、8米时，猪舍的面积最大，最大面积是96平方米．【点睛】本题考查了二次函数的应用，矩形的面积公式的运用及二次函数的性质，解答时寻找题目的等量关系是关键；26．（1）2122y x x =+；（2）4y x =+，()2,2M --，cos 2ABO ∠=；（3）(2,2)P -或(0,4)【分析】（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式，求出b 、c 的值，即可求解抛物线的解析式；（2）点A （−4，0），OB ＝OA ＝4，故点B （0，4），利用待定系数法求出AB 的表达式，并根据二次函数关系式，可求得点M 的坐标，并由函数关系式得ABO ∠的度数，即可求出ABO ∠的余弦值；（3）OP 将△AOC 的面积分成1：2的两部分，则可利用高相等时，面积比等于底之比得13AP AC =或23AC ，得出13p c y y =或23p c y y =，即可求解．【详解】解：（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得：11640214262b c b c ⎧⨯-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩，解得20b c =⎧⎨=⎩，故抛物线的解析式为：2122y x x =+．（2）点(4,0)A -，4OB OA ==，故点(0,4)B ，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋4，将点A 坐标代入得，−4k ＋4＝0，∴k ＝1．∴直线AB 的表达式为：y ＝x ＋4．对于2122y x x =+，函数的对称轴为2x =-，故点()2,2M --，则45ABO ∠=︒，故cos 2ABO ∠=．（3）∵OP 将AOC △的面积分成1:2的两部分， ∴13OAP OAC S S =△△或23OAP OAC S S =△△，则13AP AC =或23AP AC =． ①13AP AC =，则13p c y y =，即163p y =．解得2p y =．当2p y =时，42x +=解得2x =-， ②23AP AC =，则23p c y y =，即236py =．解得4p y =．当4p y =时，44x +=，x=，解得0P-或(0,4)．故点(2,2)P-或(0,4)．故答案为：(2,2)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、面积的计算等，掌握待定系数法、二次函数的图象与性质等相关知识并能灵活应用其解决问题是解题的关键．。

北师大版九年级数学下册第2章二次函数综合测试卷(含答案)

北师版九年级数学下册第2章二次函数综合测试卷（时间90分钟，满分120分）一、选择题（共10小题，3*10=30）1. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＜0，c ＞0，那么它的图象大致是( )2. 四位同学在研究函数y ＝x 2＋bx ＋c(b ，c 是常数)时，甲发现当x ＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x ＝2时，y ＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．在平面直角坐标系中，将二次函数y ＝x 2－1的图象M 沿x 轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N.若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点，则M 与N 所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数为( )A ．17B ．25C ．16D ．324．将二次函数y ＝x 2的图象绕点(2，1)旋转180°得到的图象满足的表达式为( )A ．y ＝(x －2)2＋1B ．y ＝－(x －2)2＋1C ．y ＝－(x －4)2＋1D ．y ＝－(x －4)2＋25. )函数y ＝k x与y ＝－kx 2＋k(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )6．如图所示，已知抛物线C 1，C 2关于x 轴对称，抛物线C 1，C 3关于y 轴对称，如果抛物线C 2的表达式是y ＝－34(x －2)2＋2，那么抛物线C 3的表达式是( ) A ．y ＝－34(x －2)2－2 B ．y ＝－34(x ＋2)2＋2 C ．y ＝34(x －2)2－2 D ．y ＝34(x ＋2)2－27．如图所示，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝1.直线y ＝－x ＋c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于C ，D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a ＋b ＋c ＞0；②a －b ＋c ＜0；③x(ax ＋b)≤a ＋b ；④a ＜－1.其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8. 你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m ，距地面均为1 m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离为1 m ，2.5 m 处，绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m ，则学生丁的身高为(建立平面直角坐标系如图所示) ( )A ．1.5 mB ．1.625 mC ．1.66 mD ．1.67 m9. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，点B(3，0)，点C(4，y 1)，若点D(x 2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值为－4a ；②若－1≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a ；③若y 2＞y 1，则x 2＞4；④一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两个根为－1和13，其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A(3，0)，点B(0，3)，顶点为M.则∠OBM 的正切值是( )A ．12B ．1C ． 32D ．2二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，与抛物线y ＝x 2－2x －3关于直线x ＝2成轴对称的函数表达式为_________________.12．已知关于x 的二次函数y ＝x 2＋(1－a)x ＋1，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，函数值y 在x ＝1时取得最大值，则实数a 的取值范围是____________.13．已知抛物线y ＝x 2－2ax ＋16的顶点在坐标轴上，则a ＝__________.14．已知抛物线y 1＝a(x －m)2＋k 与y 2＝－a(x ＋m)2－k(m≠0)关于原点对称，我们称y 1与y 2互为“和谐抛物线”．请写出抛物线y ＝－4x 2＋6x ＋7的“和谐抛物线”________________.15．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过(－1，0)和(0，－1)两点，试确定a 的取值范围是_____________________.16．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a ＞0)的部分图象如图所示，直线x ＝1是它的对称轴．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 1的取值范围是2＜x 1＜3，则它的另一个根x 2的取值范围是________________.17. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)经过点(－1，0)，(0，3)，其对称轴在y 轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点(1，0)；②方程ax 2＋bx ＋c ＝2有两个不相等的实数根；③－3＜a ＋b ＜3.其中正确结论的个数为_______个18．如图，抛物线C 1：y ＝x 2＋2x －3的顶点为P ，将该抛物线绕点A(a ，0)(a ＞0)旋转180°后得到的抛物线C 2，抛物线C 2的顶点为Q ，与x 轴的交点是B ，C ，点B 在点C 的右侧．若∠PQB ＝90°，则a ＝______.三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 在一面8米长的墙边，用一个18米长的篱笆围成两个上相邻的矩形鸡舍(如图)，若用x 表示垂直于墙的一边长，y表示两个鸡舍的面积和，求y与x的函数关系式，并求y的最大值．20．(8分)玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件，今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年每件的出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年销售量增加x倍(本题中0＜x≤1)．(1)用含x的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为_____________元；(2)求今年这种玩具每件的利润y(元)与x之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是多少万元？21．(8分) 已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2相同．(1)求这条抛物线的表达式；(2)将上面的抛物线向右平移4个单位会得到怎样的抛物线表达式？(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线表达式．22．(10分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c，如图所示，直线x＝－1是其对称轴．(1)确定a，b，c，Δ＝b2－4ac的符号；(2)求证：a－b＋c＞0；(3)当x取何值时，y＞0，当x取何值时y＜0.23．(10分)如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A，且经过点B.(1)求该抛物线的表达式；(2)若点C(m，－92)在抛物线上，求m的值．(3)根据图象直接写出一次函数值大于二次函数值时x的取值范围．24．(10分)王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，球飞行的路线满足抛物线y＝－15x2＋85x，其中y(m)是球飞行的高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m.(1)写出抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴；(2)请写出球飞行的最大水平距离；(3)若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其表达式．25．(12分)如图，▱ABCD与抛物线y＝－x2＋bx＋c相交于点A，B，D，点C在抛物线的对称轴上，已知点B(－1，0)，BC＝4.(1)求抛物线的表达式；(2)求BD的函数表达式．参考答案1-5DBBDB 6-10 DABBA11. y ＝(x －3)2－412. a≥513. ±4或014. y ＝4x 2＋6x －715. 0＜a ＜116. －1＜x 2＜017．218. 719. 解：由题意，得y ＝x(18－3x)＝－3x 2＋18x ＝－3(x －3)2＋27.∵墙长8米，∴0＜18－3x ≤8，∴103≤x ＜6. 当x ＝103时，y 有最大值为803平方米 20. 解：(1)(10＋7x)，(12＋6x)(2)y ＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x(3)w ＝2(1＋x)(2－x)＝－2x 2＋2x ＋4＝－2(x －0.5)2＋4.5，又∵－2＜0，0＜x ≤1，∴w 有最大值，∴当x ＝0.5时，w 最大值＝4.5.答：当x 为0.5时，今年的年销售利润最大为4.5万元21. 解：(1)∵一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y ＝3x 2都相同，顶点与抛物线y ＝(x ＋2)2相同，∴这条抛物线的表达式为：y ＝3(x ＋2)2(2)将抛物线向右平移4个单位会得到的抛物线表达式为：y ＝3(x －2)2(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，则符合此条件的抛物线表达式为：y ＝－3(x －2)222. 解：(1)∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴x ＝－b 2a＝－1，∴b ＜0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴c ＞0，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0(2)证明：∵抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为x ＝－1，∴当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0(3)根据图象可知，当－3＜x ＜1时，y ＞0；当x ＜－3或x ＞1时，y ＜023. 解：(1)当y ＝0时，－x －2＝0，解得x ＝－2，则A(－2，0)，当x ＝0时，y ＝－x －2＝－2，则B(0，－2)，设抛物线表达式为y ＝a(x ＋2)2，把B(0，－2)代入得a(0＋2)2＝－2，解得a ＝－12，所以抛物线表达式为y ＝－12(x ＋2)2 (2)把点C(m ，－92)代入y ＝－12(x ＋2)2 得－12(m ＋2)2＝－92，解得m 1＝1，m 2＝－5 (3)x ＜－2或x ＞024. 解：(1)开口向下，顶点坐标为(4，165)，对称轴为x ＝4 (2)令y ＝0得－15x 2＋85x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝8， ∴球飞行的最大水平距离为8 m(3)要让球刚好进洞而飞行的最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10 m ，∴抛物线的对称轴为x ＝5，顶点为(5，165)，此时对应的抛物线的表达式为y ＝a(x －5)2＋165，又∵点(0，0)在此抛物线上，∴25a ＋165＝0，∴a ＝－16125， ∴y ＝－16125(x －5)2＋165，即y ＝－16125x 2＋3225x 25. 解：(1)∵B(－1，0)，BC ＝4，∴C(3，0)，即抛物线对称轴为直线x ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，－b 2×（－1）＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝7，则抛物线表达式为y ＝－x 2＋6x ＋7(2)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，且AD ＝BC ＝4，∵A 与D 关于对称轴直线x ＝3对称，且AD ＝4，∴A 横坐标为1，D 横坐标为5，把x ＝5代入抛物线表达式得y ＝12，即D(5，12)，设直线BD 表达式为y ＝kx ＋b ，把B 与D 坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝12，－k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2，则直线BD 的表达式为y ＝2x ＋2.。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（） A ．18m >B ．18mC ．18m >-且0m ≠ D ．18m 且0m ≠2．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与自变量x 的部分对应值如表所示，下列说法正确的是（） x … 0 1 3 … y…131…A ．a ＞0B ．x ＞1时y 随x 的增大而减小C ．y 的最大值是3D ．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c=3的解是x 1=1，x 2=23．对于二次函数2y x bx c =++(b ，c 是常数）中自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x1- 0 1 2 3 4 y10 52125A ．函数图像开口向上B ．当5x =时，10y =C ．当2x >时，y 随x 的增大而增大．D ．方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根4．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（）A ．n 2﹣4mk ＜0B ．mk ＞0C ．n ＝2mD ．m ﹣n +k ＝05．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上（如图），它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0）、（3，0）．对于下列结论：①c ＜0；②b ＜0；③4a ﹣2b +c ＞0．其中正确的有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①a ＞0；②b ＞0； ③方程ax 2+bx +c ＝0的两个根是x 1＝﹣1，x 2＝3；④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1＜x ＜3；其中结论正确的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．已知抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线y=3x+1上，且该抛物线与y 轴的交点的纵坐标为n ，则n 的最大值为（） A ．134B ．154C ．238D ．2588．将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价为x 元时，获得的利润为y 元，则下列关系式正确的是（） A ．()()352005y x x =-- B ．()()354005y x x =-- C ．()()402005y x x =--D ．()()403755y x x =--9．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（） A ．35元B ．36元C ．37元D ．36或37元10．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()4,0，其对称轴为直线1x =，结合图像给出下列结论：①0b <；②420a b c -+>；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④所以正确关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．函数k y x=与()20y kx k k =-≠在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的（） A ． B ． C ． D ．12．将抛物线()2214y x =--+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（） A ．()2241y x =-++ B ．()2221y x =--+ C ．()2246y x =--+D ．()2242y x =--+二、填空题13．如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是4，则c 的值等于_________． 14．如图，正方形ABCD 中，AD =4,AE =3DE ,点P 在AB 上运动（不与A 、B 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CB 于点Q ，则BQ 的最大值是______．15．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有如下结论：①0abc >；②20a b -=；③320b c +>；④2(am bm a b m +≤-为实数)．其中正确结论是_____________（只填序号)．16．已知二次函数244513y ax ax a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，当34x ≤≤时，对应的y 的整数值有___________个．17．已知二次函数221y x =-，如果y 随x 的增大而增大，那么x 的取值范围是__________．18．若函数2(1)42y a x x a =+-+的图像与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为____． 19．将抛物线2y x =-先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______．20．把函数y ＝x 2＋3的图像向下平移1个单位长度得到的图像对应的函数关系式为________．三、解答题21．平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m 元（m 为整数，且15m <），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m 的值．22．扶贫工作小组对果农精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果推广进市场．某水果店从果农处直接批发这种水果，批发价格为每千克24元，当每千克的销售价格定为32元时，每天可售出80千克，根据市场行情，若每千克的销售价格降低0.5元，则每天可多售出10千克（销售单价不低于批发价）现决定降价销售，设这种水果每千克的销售价格为x 元，每天的销售量为y 千克．（1）求每天的销售量y 千克与销售单价x 元之间的函数关系式以及x 的取值范围；（2）当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 23．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值互为相反数；当0x <时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x -≥⎧=⎨<⎩．（1）已知点(1,3)A -在一次函数2y ax =-的相关函数的图象上，求a 的值；（2）已知二次函数2283y x x =-+-．①当点(,4)B m -在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值；②当23x -≤≤时，求函数2283y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值． 24．抛物线y ＝2x 2＋4mx ＋m －5的对称轴为直线x ＝1，求m 的值及抛物线的顶点坐标． 25．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点．（1）抛物线与x 轴的交点坐标为______；（2）求抛物线与坐标轴围成的ABC 的面积；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足6PAB S =△，并求出此时P 点的坐标．26．阅读材料：二次函数的应用小明在学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是8，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，并说明理由．8189⨯，8288⨯，8387⨯，……，8783⨯，8882⨯，8981⨯ 小明结合已学知识做了如下尝试：设两个乘数的积为y ，其中一个乘数的个位上的数为x ，则另一个乘数个位上的数为(10)x -，根据题意得：(80)[80(10)]y x x =++-=(80)(90)(80)(90)x x x x +-=-+-……（1）问题解决：请帮助小明判断以上问题中哪个积最大并求出这个最大的积；（2）问题拓展：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是7，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由．701799⨯，702798⨯，703797⨯，……，797703⨯，798702⨯，799701⨯【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】根据二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，可得△＝221410m m m -⨯->(+)()且0m ≠求解后即可得出结论．【详解】解：∵原函数是二次函数， ∴0m ≠，∵二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，则 △＝240b ac ->，即221410m m m -⨯->(+)()，解得18m >-． ∴m 的取值范围是18m >-且0m ≠．故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，掌握抛物线与x 轴的交点问题与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．2．D解析：D 【分析】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对A 进行判断；利用x=0和x=3时函数值相等可得到抛物线的对称轴，则可对B 、C 进行判断；利用抛物线的对称性可得x=1和x=2的函数值相等，则可对D 进行判断．【详解】解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小， ∴抛物线的开口向下，a ＜0，故A 错误； ∵抛物线过点(0，1)和(3，1)， ∴抛物线的对称轴为直线x=32， ∴x=32对应的y 的值最大，故C 错误； ∵抛物线开口向下，∴x ＞32时y 随x 的增大而减小，故B 错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=32，且抛物线经过点(1，3)，∴点(1，3)关于对称轴的对称点为(2，3)，∴关于x的方程ax2＋bx＋c=3的解是x1=1，x2=2，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性．熟练掌握二次函数的性质和抛物线的对称性是解决此题的关键．3．D解析：D【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由表格可得，当x＜2时，y随x的值增大而减小；当x＞2时，y随x的值增大而增大，该函数开口向上，故选项A、C不符合题意；∴点（−1，10）的对称点是（5，10），∴点（5，10）在该函数的图象上，故选项B不符合题意；由表格可得，该抛物线开口向上，且最小值是1，则该抛物线与x轴没有交点，∴方程20++=无实数根，故选项D符合题意．x bx c故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．D解析：D【分析】根据抛物线与x轴有两个交点可对A进行判断；由抛物线开口向上得m＞0，由抛物线与y 轴的交点在x轴下方得k＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x＝1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（−1，0），所以m−n＋k＝0，则可对D选项进行判断．【详解】解：A．∵抛物线与x轴有两个交点，∴n2﹣4mk＞0，所以A选项错误；B．∵抛物线开口向上，∴m＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴k＜0，∴mk＜0，所以B选项错误；C．∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，∴﹣2nm＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2bx a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．5．A解析：A 【分析】根据抛物线与y 轴的交点位置可对①进行判断；根据抛物线的对称性得到x ＝2ba-＝1，则b ＝﹣2a ＜0，于是可对②进行判断；利用x ＝﹣2，y ＞0可对③进行判断．【详解】解：∵抛物线与y 轴的交点坐标在x 轴下方， ∴c ＜0，所以①正确； ∵抛物线开口向上， ∴a ＞0，∵抛物线与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，即2ba-＝1， ∴b ＝﹣2a ＜0，所以②正确； ∵由图象可知，当x ＝﹣2时，y ＞0， ∴4a ﹣2b +c ＞0，所以③正确．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是树立数形结合思想，准确读取图象信息，认真推理判断．6．B解析：B 【分析】根据抛物线与系数的关系判断即可．【详解】解：抛物线开口向下，a<0，故①错误；对称轴在y 轴右侧，a 、b 异号，b ＞0,故②正确；抛物线与x 轴交点为（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1，根据对称性，另一个交点为（3,0），故③正确；根据图象可知，x 的取值范围是﹣1＜x ＜3时；抛物线在x 轴上方，故④正确；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练正确理解二次函数图象与系数的关系，本题属于中等题型．7．A解析：A 【分析】将抛物线顶点坐标代入一次函数解析式，求出b 与c 的关系，再根据抛物线与y 轴交点的纵坐标为c ，即n c =，再利用二次函数的性质即可解答．【详解】抛物线2y x bx c =-++的顶点在3+1y x =上，抛物线2y x bx c =-++的顶点标为（2b 、24b c +） ∴23142b bc +=+ 23124b bc ∴=+-抛物线与y 轴交点的纵坐标为c n c ∴=23124b b n ∴=+-()21136944n b b ∴=--++ ()2113344n b ∴=--+ n ∴的最大值为134故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数图像上点坐标的特征，熟练掌握二次函数性质是解题关键．8．B解析：B【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润．【详解】解：设这种商品的售价为x 元时，获得的利润为y 元，根据题意可得：[](35)2005(40)y x x =--- 即y=（x-35）（400-5x ），故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“商品每上涨1元，其销售量就减少5个”．9．C解析：C 【分析】根据利润=数量×每件的利润就可以求出关系式，根据（1）的解析式，将其转化为顶点式，根据二次函数的顶点式的性质就可以求出结论．【详解】解：依题意得： y=（30-20+x ）（240-10x ） y=-10x 2+140x+2400．∵每件首饰售价不能高于40元． ∴0≤x≤10．∴求y 与x 的函数关系式为：y=-10x 2+140x+2400，x 的取值范围为0≤x≤10； ∴y=-10（x-7）2+2890． ∴a=-10＜0．∴当x=7时，y 最大=2890．∴每件首饰的售价定为：30+7=37元．∴每件首饰的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2890元．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，根据解析式的函数值求自变量的值的运用，二次函数的顶点式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．10．C解析：C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x 轴y 轴的交点，综合判断即可．【详解】解：抛物线开口向上，因此a ＞0，抛物线的对称轴为x=-2ba=1，所以0b <，所以①正确；抛物线的对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为（4，0），则另一个交点（-2，0），于是4a-2b+c=0，所以②不正确；x ＞1时，y 随x 的增大而增大，所以③正确；抛物线与x 轴有两个不同的交点，因此一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故答案为：C ．【点睛】本题考查二次函数的图形和性质，掌握二次函数的图形和系数之间的关系是正确判断的前提．11．B解析：B 【分析】根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．【详解】解：分两种情况讨论：①当k>0时，反比例函数k y x=在一、三象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向上，与y 轴交点在原点下方，故C 选项错误，B 选项正确；②当k<0时，反比例函数k y x=在二、四象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向下，与y 轴交点在原点上方，故A 选项与D 选项错误．故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象性质和二次函数图象性质．关键是根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．12．D解析：D 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=-2（x-1）2+4向右平移3个单位，再向下平移2个单位长度后得到抛物线的解析式为：y=-2（x-1-3）2+4-2，即y=-2（x-4）2+2；故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．二、填空题13．7或15【分析】根据题意可知抛物线顶点纵坐标是±4化成顶点式求解即可【详解】解：∵抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是4∴抛物线顶点纵坐标是±4抛物线y=x2-6x+c-2化成顶点式为：解析：7或15．【分析】根据题意可知，抛物线顶点纵坐标是±4，化成顶点式求解即可．【详解】解：∵抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是4，∴抛物线顶点纵坐标是±4，抛物线y=x2-6x+c-2化成顶点式为：y=(x-3)2+c-11，c-11=4，c=15，c-11=-4，c=7，故答案为：7或15．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是理解到x轴的距离是纵坐标的绝对值，注意：分类讨论．14．【分析】先由正方形的性质及PQ⊥EP得出∠AEP=∠BPQ∠A=∠B=90°从而可判定△APE∽△BQP根据相似三角形的性质得出比例等式；再根据AD=4AE=3DE得出AE和DE的长然后设BQ=yA解析：4 3【分析】先由正方形的性质及PQ⊥EP，得出∠AEP=∠BPQ，∠A=∠B=90°，从而可判定△APE∽△BQP，根据相似三角形的性质得出比例等式；再根据AD=4，AE=3DE，得出AE和DE的长，然后设BQ=y，AP=x，则BP=4-x，将相关数据代入比例等式，变形得出y关于x 的二次函数，配方，即可得出答案.【详解】解：在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，且PQ⊥EP∴∠AEP+∠APE=90°，∠QPB+∠APE=90°∴∠AEP=∠BPQ又∠A=∠B=90°∴△APE∽△BQP∴AE AP BP BQ=，又AD=4，AE=3DE，∴AE=334AD=，DE=4-3=1，设BQ=y ，AP=x ，则BP=4-x ，∴34x x y=- 化简得：21433y x x =-+，整理得：()214233y x =--+， ∴当x=2时，y 有最大值为43，即BQ 的最大值是43，故答案为：43．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.15．①②④【分析】根据抛物线开口向下对称轴抛物线与轴相交于正半轴可得可以判断①和②正确；当时有解得由图像可知化简后可判断得③错误；由图像可知当时抛物线有最大值当时根据得到化简后得故④正确【详解】解：抛物解析：①②④．【分析】根据抛物线开口向下，对称轴12bx a=-=-，抛物线与y 轴相交于正半轴，可得0a <，20b a =<，0c >，可以判断①和②正确；当0y =时，有210a x c a，解得11a cx a，21a cx a，由图像可知，011a c a，化简后可判断得③错误；由图像可知，当1x =-时，抛物线有最大值1y a bc ，当x m =时，22y am bmc ，根据12y y ≥得到20a bcam bmc化简后得2am bm a b +≤-，故④正确．【详解】解：抛物线开口向下，0a ∴<，抛物线的对称轴12bx a=-=-， 20b a ∴=<，抛物线与y 轴相交于正半轴，0c ∴>，∴0abc >，故①正确；∴2220a b a a -=-=，故②正确；当0y =时，2220ax bx c ax ax c，∴210a x c a∴11a cx a， 21a cx a由图像可知，011a c a∴14a c a则有30a c +<，∴62320a c b c +=+<，故③错误；由图像可知，当1x =-时，抛物线有最大值1y a bc ，当x m =时，22y am bmc ，∵12y y ≥ ∴20a bcam bmc则2am bm a b +≤-，故④正确；故答案是：①②④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键．16．4【分析】先将抛物线配方化为顶点式由抛物线开口向上当y 随x 的增大而增大当x=3时y=当x=4时y=y 的整数有-6-7-8即可【详解】解：二次函数抛物线开口向上当y 随x 的增大而增大当x=3时y=当x=解析：4 【分析】先将抛物线配方化为顶点式，由0a >抛物线开口向上，当34x ≤≤，y 随x 的增大而增大，当x=3时，y=35a --，413a <，-9358a <--≤-，当x=4时，y=5-，y 的整数有-6，-7，-8即可．【详解】解：二次函数()2244524513y ax ax a x a a ⎛⎫=--=---< ⎪⎝⎭， 413a <，抛物线开口向上，当34x ≤≤，y 随x 的增大而增大，当x=3时，y=35a --，413a <，334a ≤<，-9358a <--≤-，当x=4时， y=5-，y 的整数有-5，-6，-7，-8，对应的y 的整数值,4个．故答案为：4．【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质，尤其当34x ≤≤时，求出y 的值的范围是解题关键．17．【分析】由于抛物线y=2x2-1的对称轴是y 轴所以当x≥0时y 随x 的增大而增大【详解】解：∵抛物线y=2x2-1中a=2＞0∴二次函数图象开口向上且对称轴是y 轴∴当x≥0时y 随x 的增大而增大故答案为解析：0x ≥【分析】由于抛物线y=2x 2-1的对称轴是y 轴，所以当x≥0时，y 随x 的增大而增大．【详解】解：∵抛物线y=2x 2-1中a=2＞0，∴二次函数图象开口向上，且对称轴是y 轴， ∴当x≥0时，y 随x 的增大而增大．故答案为：0x ≥．【点睛】本题考查了抛物线y=ax 2+b 的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与a 有关；③对称轴是y 轴；④顶点（0，b ）．18．或或【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解若为二次函数由抛物线与x 轴只有一个交点时b2−4ac ＝0据此求解可得【详解】解：当a ＋1＝0即a ＝−1时函数解析式为y ＝−4x−2与x 轴只有一个交解析：2-或1-或1 【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x 轴只有一个交点时b 2−4ac ＝0，据此求解可得．【详解】解：当a ＋1＝0，即a ＝−1时，函数解析式为y ＝−4x−2，与x 轴只有一个交点；当a ＋1≠0，即a≠−1时，根据题意知，（−4）2−4×（a ＋1）×2a ＝0，整理，得：a 2＋a−2＝0，解得：a ＝1或a ＝−2；综上，a 的值为−1或−2或1．故答案为：2-或1-或1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y ＝0，即ax 2＋bx ＋c ＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根之间的关系：△＝b 2−4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数：△＝b 2−4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2−4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2−4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．19．【分析】根据左加右减上加下减的原则进行解答即可【详解】解：将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：；再向上平移2个单位为：故答案为：【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换要求熟练掌握平移的规解析：()212y x =-++【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x =-向左平移1个单位所得直线解析式为：()2+1y x =-；再向上平移2个单位为：()2+21+y x =-．故答案为：()212y x =-++．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．20．y ＝x2＋2【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标再利用顶点式写出解析式即可【详解】解：函数y ＝x2＋3的顶点坐标为（03）∵函数图象向下平移1个单位长度∴得到的函数图象顶点坐标为（0解析：y ＝x 2＋2．【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标，再利用顶点式写出解析式即可．【详解】解：函数y ＝x 2＋3的顶点坐标为（0，3）， ∵函数图象向下平移1个单位长度， ∴得到的函数图象顶点坐标为（0，2）， ∴得到函数解析式为y ＝x 2＋2．故答案为：y ＝x 2＋2．【点睛】本题考查了二次函数的平移变换，通过平移求出新图象顶点坐标是关键．三、解答题21．（1）20元；（2）3或4 【分析】（1）设每顶头盔应降价x 元，根据题意列出方程求解即可；（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w 元，每顶头盔售价a 元，根据题意列出函数求解即可；【详解】解：（1）设每顶头盔应降价x 元．根据题意，得(10020)(6840)4000x x +--=．解得123,20x x ==．当3x =时，68365-=；当20x时，682048-=；每顶售价不高于58元，∴每顶头盔应降价20元．（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w 元，每顶头盔售价a 元，根据题意，得[10020(68)](40)w a a m =+---220(202260)1460(40)a m a m =-++-+抛物线对称轴为直线1132m a +=，开口向下，当58a 时，利润仍随售价的增大而增大，113582m +∴，解得3m ． 15,35m m <∴<．m 为整数，3m ∴=或4．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，结合一元二次方程的求解是解题的关键．22．（1）()207202432y x x -+≤≤＝；（2）当销售单价为30元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为720元．【分析】（1）根据题意，可以写出每天的销售量y 千克与销售单价x 元之间的函数关系式以及x 的取值范围；（2）根据题意和（1）中的函数解析式，可以得到利润与x 的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元．【详解】解：（1）由题意可得:328010207200.5xy x -=+⨯=-+ ∵销售单价不低于批发价， ∴2432x ≤≤，即每天的销售量y 千克与销售单价x 元之间的函数关系式是()207202432y x x =-+≤≤；（2）设销售利润为w 元，由题意可得，()()()224207202030720w x x x =--+=--+ ，∴当x ＝30时，w 取得最大值，此时w ＝720，即当销售单价为30元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为720元．【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用；关键在于明确题意，列出相应的关系式，利用二次函数的性质解决．23．（1）-5；（2）①m =22-，m =22+，m =22-；②最大值为3，最小值为-27 【分析】（1）先得到2y ax =-的相关函数，再将点A 代入计算即可；（2）①写出二次函数2283y x x =-+-的相关函数，再代入计算；②根据二次函数的最大值和最小值的求法解答．【详解】解：（1）2y ax =-的相关函数为2(0)2(0)ax x y ax x -+≥⎧=⎨-<⎩，将(1,3)A -代入2y ax =-，得5a =-；（2）①二次函数2283y x x =-+-的相关函数为22283(0)283(0)x x x y x x x ⎧-+≥=⎨-+-<⎩，当0m <时，将(,4)B m -代入2283y x x =-+-，得：m =22+（舍去）或m =22-，当0m ≥时，将(,4)B m -代入2283y x x =-+，得：m =22+m =22-，∴m =22-或m =22+或m =22-②当20x -≤<时，2283y x x =-+-，抛物线的对称轴为2x =，此时y 随x 的增大而增大， ∴此时273y -≤<-，当03x ≤≤时，函数2283y x x =-+，抛物线的对称轴为2x =，当2x =有最小值，最小值为-5，当0x =时，有最大值，最大值3y =，∴当23x -≤≤时，函数2283y x x =-+-的相关函数的最大值为3，最小值为-27．【点睛】本题考查的是互为相关函数的定义，掌握二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．24．m 的值是－1，抛物线的顶点坐标是(1，－8)．【分析】根据y=2x 2+4mx+m-5的对称轴为直线x=1，可以求得m 的值，然后代入原来的解析中，将解析式化为顶点式即可解答本题．【详解】解：∵y ＝2x 2＋4mx ＋m －5的对称轴为直线x ＝1，∴－422m⨯＝1，解得m ＝－1，∴y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8， ∴此抛物线的顶点坐标为(1，－8)，∴m 的值是－1，抛物线的顶点坐标是(1，－8)．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是知道抛物线的对称轴是直线x=-2ba，由二次函数的顶点式可以写出它的顶点坐标．25．（1）()1,0-或()3,0；（2）6；（3）点P 的坐标为()17,3+、()17,3-、()0,3-、()2,3-．【分析】（1）令y=0，转化为一元二次方程，方程的根就是与x 轴交点的横坐标；（2）求出AB 的长度，OC 的长度，按公式计算即可；（3）利用面积公式，抛物线的解析式转化成一元二次方程求解即可．【详解】解：（1）当0y =时，2230x x --=，解得 11x =-，23x =，∴抛物线与x 轴的交点坐标为()1,0-或()3,0，故答案为：()1,0-或()3,0．（2）由（1）点()1,0A -，()3,0B ，()0,3C -，∴()314AB =--=，3OC =，∴14362ABC S =⨯⨯=△．（3）∵点()1,0A -，点()3,0B ，()222314y x x x =--=--， ∴此抛物线有最小值，此时4y =-，()314AB =--=，∵6PAB S =△，抛物线上有一个动点P ， ∴点P 的纵坐标的绝对值为6234⨯=， ∴2233x x --=或2233x x --=-，解得，11x =，21x =，30x =，42x =，∴点P 的坐标为()1、()1-、()0,3-、()2,3-．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，抛物线上的内接三角形的面积，动点问题，熟练掌握性质，并能灵活运用是解题的关键．26．（1）8585⨯最大，为7225；（2）750750⨯的积最大，理由见解析【分析】（1）由(80)(90)y x x =-+-，求解抛物线的对称轴，从而得到抛物线的顶点的横坐标，于是可得函数的最大值；（2）设两个乘数的积为w ，其中一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为a ，则另一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为(100)a -，从而可得函数关系式为：：w =(700)(800)a a -+-，再求解抛物线的对称轴为：7008001005022a -+===，再利用二次函数的性质可得答案．【详解】（1）解：(80)(90)y x x =-+-，∴ 抛物线的对称轴为：809010522x -+=== 而对称轴5x =在自变量取值范围内（19x ≤≤且x 为整数）∴当5x =时，2max (580)(590)857225y =-+-==，所以：8585⨯最大，最大积为7225．（2）设两个乘数的积为w ，其中一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为a ，则另一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为(100)a -，依题意，得：(700)[700(100)]w a a =++-=(700)(800)(700)(800)a a a a +-=-+-∴抛物线的对称轴为：7008001005022a -+=== 而对称轴50a =在自变量取值范围内（199a ≤≤且x 为整数）∴当50⨯的积最大．a=时，750750【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，二次函数的性质与二次函数的最值，二次函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．。

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全章综合测评
一、选择题
1.二次函数()2235y x =--+图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）
A.开口向下，对称轴为3x =-，顶点坐标为()3,5
B.开口向下，对称轴3x =，顶点坐标为()3,5
C.开口向上，对称轴3x =-，顶点坐标为()3,5-
D.开口向上，对称轴为3x =，顶点坐标为()3,5-
2.二次函数243y x x =++的图象可以由二次函数2y x =的图象平移而得到，下列平移正确的是（）
A.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
3.某种新型礼炮的升空高度()m h 与飞行时间()t s 的关系式252012
h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）
A.3s
B.4s
C.5s
D.6s
4.二次函数()20y ax bx c a =≠++的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）
A.240b ac ->
B.0a >
C.0c >
D.0b >
5.若二次函数2y ax bx c =++的玉的部分对应值如下表：
x 7- 6- 5- 4- 3- 2- y 27- 13- 3- 3 5
A.5
B.3-
C.13-
D.27-
6.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能是（）
A. B. C. D.
二、填空题
7.已知二次函数2361y x x =--+，请回答：①开口向_____；②顶点坐标：_____；③对称轴：_____；④当x ____时，y 随x 的增大而减小；⑤当x =_____时，y 有____值____；⑥图象与y 轴的交点坐标为____；图象与x 轴的交点坐标为____和______
8.将抛物线213
y x =沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴方向向下平移5个单位，所得图象的函数表达式是_____
9.函数21212
y x x =++写成()2y a x h k =-+的形式是______ 10.已知抛物线的对称轴为1x =-与x 轴、y 轴分别交于()3,0A -，()12C -，
，则抛物线的关系式是_____，与x 轴的另一个交点的坐标是_____
11.如图，一桥拱呈抛物线形状，桥的最大高度CM 是16米，跨度AB 是40米，则距离CM 5米的桥高DE 是_____米
12.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形
需要黑色棋子的个数是_____
三、解答题
（1）请用含x 的式子表示
①销售该运动服每件的利润是_____元（直接写出结果）
②月销售量是_____件（直接写出结果）
（2）设销售该运动服的月利润为y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
14.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC 的长度为m x ，矩形区域ABCD 的面积为2m y
全章综合测评题答案
一、1.B
2.B
3.B
4.D
5.D
6.D
二、7.①下
②()1,2
③直线1x =
④1>
⑤1，大，2
⑥()0,1-,0⎫⎪⎪⎝⎭,,0⎫⎪⎪⎝⎭
8.()212053
y x =-+ 9.()1212
y x 2=-+ 10.()228133
y x =-+,()1,0 11.15
12.22n n +
三、13.解：（1）①60x -；②2400x -+
（2）由题意得()()()2260240025202400021309800y x x x x x =--=--=--+++
∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元
14.解：（1）三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD 的面积是矩形BCEF 的面积的2倍 2AE BE ∴=
设BE a =，则2AE a =，∴8280a x =+，1104a x ∴=-+，12202
a x =-+ 2113201030244y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
++++ 11004
a x =-> +，40x ∴< 则()23300404
y x x x =-<<+ （2）()()2233302030004044y x x x x =-=--<< ++，且304
a =-< ∴当20x =时，y 有最大值，最大值为2300m。

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