北师大九年级数学下册知识点汇总

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北师大版九年级数学知识点汇总(总16页)

北师大版九年级数学知识点汇总(总16页)第一章整式与代数式一、定义1、定义1：整式整式是由常数和未知数的乘积以及未知数的幂次构成的一个或多个项的表达式。

2、定义2：代数式代数式是数学中由常数、未知数、及他们的运算符号组成的符号表达式的总称。

二、运算1、加减运算在加减运算中，同类项要求具有相同的底数和指数，再将它们的系数相加减，整式中一些未知数有相同指数，可以合并为一项。

2、乘除运算乘除运算中，同一式子中的若干未知数及其指数要求相同，否则将它们拆开，系数则相乘、相除，未知数则相乘、相除。

三、同类因式1、定义：同类因式是指有相同底数和指数的项。

2、形式当底数相同，有两种形式出现：（1）乘积形式，如：（a+b）2；（2）对比形式，如a2：b2；当指数相同，有三种形式出现：（1）口诀形式，如：a2b2；（2）引号形式，如：(a+b)2；（3）下标形式，如：a2/b2。

第二章平方差一、定义1、定义1：平方平方是数学中指一个数的平方，也可以表示为n²。

2、定义2：差差是指在数学中表示两个或多个数之间的差，也可以表示为a-b。

二、运算1、解平方差要解方程：x²-a=b，须将a和b分别平方，变为x²-a²=b²，再根据等式左右两边分别加或减a²，变为：x²±2a x±a²=b²，再用平方根法求出x的值。

2、完全平方差要解方程：ax²+2bx+c=0，首先设：x²+2px+q=0，其中p=b/a，q=c/a，再将上式化为完全平方差的形式：（x+p）²=q-p²，最后解出 x=–p±√q–p² 。

三、巧解平方差当a、b、c的数值比较简单且不能完全平方差时，则可用巧解方法。

只要将a、b、c 做互质处理，即将a与b、c求公约数，将a、b、c分解为两个数的乘积，如果形式中乘积可以分解完全平方式，则可用巧解方法解方程。

九年级下数学北师大知识点

九年级下数学北师大知识点数学作为一门学科，无疑对学生的思维能力和逻辑分析能力有着极大的提升作用。

而在九年级下学期，北师大数学知识点扮演着重要的角色。

本文将重点介绍九年级下数学北师大知识点的重要性及其内容。

首先，九年级下数学北师大知识点的学习对理解高中数学知识打下了坚实的基础。

北师大数学在全国享有盛誉，其数学体系严谨、深入，能够提高学生的数学思维能力和问题解决能力。

通过学习北师大数学，学生能够形成正确的数学思维方式，培养出良好的数学品味。

一、代数与函数代数与函数是九年级下数学的重点内容之一。

在代数与函数中，我们学习了多项式的四则运算、整式的因式分解、分式方程以及根式的运算等等。

这些内容的学习与应用能够提高学生的抽象思维能力和数学建模能力。

代数与函数还与我们的日常生活息息相关，例如，分式方程可以应用于解决实际生活中的比例问题，而多项式的因式分解则可以帮助我们简化复杂的数学运算。

二、几何几何是另一个重要的数学知识点，九年级下数学北师大知识点中的几何部分主要包括三角形的性质、向量与坐标等内容。

通过学习几何，我们能够加深对图形性质的理解和把握，培养我们的几何直观、空间想象能力。

三、概率与统计在九年级下学期，概率与统计是数学知识体系中不可或缺的一部分。

概率与统计是对事物随机性和不确定性进行量化和描述的一门学科。

学习概率与统计，我们需要了解概率的基本概念、事件的计算、统计分布以及抽样调查等等。

通过这些知识的学习，我们能够更好地理解和解决生活中的一些概率与统计问题，例如评估事件发生的可能性、分析数据并得出结论等。

总之，九年级下数学北师大知识点的学习不仅能够提高学生的数学思维能力和解决问题的能力，还对学生的高中数学学习打下了坚实的基础。

代数与函数、几何以及概率与统计等内容涵盖了数学学科的不同领域，通过学习这些知识，我们能够全面地了解和应用数学在生活中的各个方面。

因此，我们应该重视九年级下数学北师大知识点的学习，不断提高自己的数学水平。

北师大版九年级下册数学第7讲《待定系数法求二次函数的解析式》知识点梳理

1 2 北师大版九年级下册数学第 7 讲《待定系数法求二次函数的解析式》知识点梳理【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1. 二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式： y = ax 2 + bx + c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式： y = a (x - h )2 + k (a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) ( x 1 ， x 2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标，a ≠0)．2. 确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如 y = ax 2 + bx + c 或 y = a (x - h )2 + k ，或 y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) ，其中 a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为 y = ax 2 + bx + c ；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为y = a (x - h )2 + k ；③当已知抛物线与 x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为 y = a (x - x )(x - x ) ．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线经过 A ，B ，C 三点，当时，其图象如图 1 所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.⎩∴ ⎪图 1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为（）.由图象可知 A ，B ，C 的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.⎧c = 2, ⎨16a + 4b + c = 0, ⎪25a + 5b + c = -3，解之，得抛物线的解析式为该抛物线的顶点坐标为 .【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围 .2. （2016•丹阳市校级模拟）形状与抛物线 y=2x 2﹣3x +1 的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为．【思路点拨】形状与抛物线 y=2x 2﹣3x +1 的图象形状相同，但开口方向不同，因此可设顶点式为 y=﹣2（x ﹣h ） 2+k ，其中（h ，k ）为顶点坐标．将顶点坐标（0，﹣5）代入求出抛物线的关系式．【答案】y=﹣2x 2﹣5．【解析】解：∵形状与抛物线 y=2x 2﹣3x +1 的图象形状相同，但开口方向不同，设抛物线的关系式为 y=﹣2（x ﹣h ）2+k ，将顶点坐标是（0，﹣5）代入，y=﹣2（x ﹣0）2﹣5，即 y=﹣2x 2﹣5．∴抛物线的关系式为y=﹣2x2﹣5．【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．3.已知抛物线的顶点坐标为（－1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.【答案与解析】因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为，又因为抛物线与轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：，，则两交点的坐标为（，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：解法(1) ：设抛物线的函数关系式为顶点式：(a≠0)，把（2，0）代入得，所以抛物线的函数关系式为；解法(2) ：设抛物线的函数关系式为两点式：y =a(x + 4（)x- 2）(a≠0)，把（－1，4）代入得，所以抛物线的函数关系式为：y=-4(x+4（)x- 2）；9【总结升华】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.举一反三：【变式】（2014•永嘉县校级模拟）已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式．【答案】y=﹣x 2﹣2x+ .提示：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+，将点（1，0）代入，得a（1+2）2+=0，解得a=﹣，即y=﹣（x+2）2+ ，∴所求二次函数解析式为y=﹣x2﹣2x+ ．类型二、用待定系数法解题⎩ ⎩4.（2015 春•石家庄校级期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，（1）求二次函数的解析式；（2）设此二次函数的顶点为 P ，求△ABP 的面积．【答案与解析】解：（1）由二次函数图象知，函数与 x 轴交于两点（﹣1，0），（3，0），设其解析式为：y=a （x+1）（x ﹣3），又∵函数与 y 轴交于点（0，2），代入解析式得，a ×（﹣3）=2，∴a=﹣ ，∴二次函数的解析式为：，即；（2）由函数图象知，函数的对称轴为：x=1，当 x=1 时，y=﹣×2×（﹣2）= ，∴△ABP 的面积 S===．【总结升华】此题主要考查二次函数图象的性质，对称轴及顶点坐标，另外巧妙设函数的解析式，从而来减少计算量.【答案与解析】(1)把 A(2，0)，B(0，-6)代入 y = - 1 x 2 + bx + c 2得⎧-2 + 2b + c = 0, 解得⎧b = 4, ⎨c = -6, ⎨c = -6. ∴ 这个二次函数的解析式为 y = - 1 x 2 + 4x - 6 ． 2(2)∵ 该抛物线的对称轴为直线 x = - 4 2 ⨯⎛ - 1 ⎫= 4 ， 2 ⎪ ⎝ ⎭ ∴ 点 C 的坐标为(4，0)，∴AC＝OC-OA＝4-2＝2．∴S△ABC =1g AC g OB =1⨯ 2 ⨯ 6 = 6 ．2 2【总结升华】求△ABC 的面积时，一般要将坐标轴上的边作为底边，另一点的纵（横）坐标的绝对值为高进行求解．(1)将A、B 两点坐标分别代入解析式求出b，c 的值．(2)先求出点C 的坐标再求出△ABC 的面积．举一反三：⎛0 3 ⎫【变式】已知二次函数图象的顶点是(-1，2) ，且过点 ⎝ ，⎪．2 ⎭（1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数m，点M (m，-m2 ) 都不在这个二次函数的图象上.【答案】（1）y =-1 x 2-x +3 ；2 2（2）证明：若点M (m，-m2 ) 在此二次函数的图象上，则-m2=-1(m+1)2+2．2得m2- 2m + 3 = 0 ．△=4 -12 =-8 < 0 ，该方程无实根．所以原结论成立．。

北师大版九年级下册数学第18讲《弧长和扇形面积》知识点梳理

北师大版九年级下册数学第 18 讲《弧长和扇形面积》知识点梳理【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R 的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180 都不带单位，R 为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R 的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.3 (3) 扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4) 扇形两个面积公式之间的联系： .【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1. 如图（1），AB 切⊙O 于点 B ，OA= 2，AB=3，弦 BC∥OA ，则劣弧 B»C 的弧长为（）． A ． 3 π B ． 3 π 3 2 C ．π D ． 3π 2A图（1）【答案】A.【解析】连结 OB 、OC ，如图（2）则∠OBA ＝90︒ ，OB= ， ∠A ＝30︒ ， ∠AOB ＝60︒ ，由弦 BC ∥OA 得∠OBC ＝∠AOB = 60︒ ，所以△OBC 为等边三角形， ∠BOC ＝60︒ .则劣弧 B»C 的弧长为 60π 3 = 3π ，故选 A. 图（2） 180 3【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到 0.1mm)3 C B O【答案】R=40mm，n=110∴的长= = ≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．2.如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC⊥AB，OM=MC= OC= OA．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S 扇形= ．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2 为半径的⊙A 与BC 相切于点D，交AB 于E，交AC 于F，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A．4 -4πB．4 -8πC．8 -4πD．8 -8π 9 9 9 9A PE FB D C图（1）的面积是：【答案】连结 AD ，则 AD ⊥BC ，△ABC 的面积是：BC•AD= ×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形 80π 22 EAF = 8π.360 9故阴影部分的面积=△ABC 的面积-扇形 EAF 的面积= 4- 8π．图（2） 9故选 B ．3.（2015•ft西模拟）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，∠A=30°，BC=2，点 D 是 AB 的中点，连接 DO 并延长交⊙O 于点 P ，过点 P 作 PF⊥AC 于点 F ．（1）求劣弧 PC 的长；（结果保留 π）（2）求阴影部分的面积．（结果保留 π）．【答案与解析】解：（1）∵点 D 是 AB 的中点，PD 经过圆心，∴PD⊥AB，∵∠A=30°，∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD ，∵PF⊥AC，∴∠OPF=30°，∴OF=OP ，∵OA=OC，AD=BD ，∴BC=2OD，∴OA=BC=2，∴⊙O 的半径为 2，∴劣弧 PC 的长===π；（2）∵OF=OP ，∴OF=1，∴PF== ，∴S阴影=S 扇形﹣S△OPF=﹣×1×=π﹣．【总结升华】本题考查了垂径定理的应用,弧长公式以及扇形的面积公式等知识，求得圆的半径和扇形的圆心角的度数是解题的关键．类型二、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC= =2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S 扇形OBC=π×OC2= π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。

北师大数学九年级下册二次函数知识点总结

二次函数学问点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++〔a b c，，是常数，0a≠〕的函数，叫做二次函数。

这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的构造特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2y ax=的性质：a 的肯定值越大，抛物线的开口越小。

Array2.2y ax c=+的性质：上加下减。

3.()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形态不变，将其顶点平移到()h k ，处，详细平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞．概括成八个字“左加右减，上加下减〞．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕四、二次函数()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、及y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、及x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设及x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，及x 轴的交点，及y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线及x 轴两交点的横坐标〕. 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象及各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，明显0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 确定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负确定开口方向，a 的大小确定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 确定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好及上述相反，即当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 确定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的断定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线及y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线及y 轴的交点为坐标原点，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线及y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 确定了抛物线及y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必需根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种状况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线及x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的形态肯定不会发生改变，因此a 恒久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以根据题意或便利运算的原那么，选择相宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数及一元二次方程：1. 二次函数及一元二次方程的关系〔二次函数及x 轴交点状况〕：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特别状况.图象及x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象及x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的间隔21AB x x =-=② 当0∆=时，图象及x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象及x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象及y 轴肯定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象及x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大〔小〕值须要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置推断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号推断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，提示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联络：二次函数图像参考：2-322y=3(x+4)22y=3x 2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少y=-2x2y=-2(x-3)2二次函数考察重点及常见题型1．考察二次函数的定义、性质，有关试题常出如今选择题中，如：以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，那么m 的值是2．综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同始终角坐标系内考察两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，假如函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是〔〕A B C D3．考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

北师大版九年级数学下册知识点归纳复习提纲

图1 新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

2.正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二．特殊角的三角函数值h三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。

4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。

用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。

如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

(完整版)北师大版九年级数学下册知识点归纳复习提纲

二．特殊角的三角函数值30 º45 º 60 º sin α21 22 23 h i=h:lBC三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。

4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。

用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。

北师大版数学九年级下册：二次函数知识点总结

北师大版数学九年级下册：二次函数知识点总结二次函数知识点总结一、二次函数概念：二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。

需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax^2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小，a的符号决定开口方向，顶点坐标在对称轴上方（a>0）或下方（a<0）。

性质：当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x等于顶点时，y有最小值（a>0）。

当x增大时，y随之减小，当x减小时，y随之增大，当x等于顶点时，y有最大值（a<0）。

2.y=ax^2+c的性质：上加下减，a的符号决定开口方向，顶点坐标在对称轴上方（a>0）或下方（a<0）。

性质：当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x等于顶点时，y有最小值c（a>0）。

当x增大时，y随之减小，当x减小时，y随之增大，当x等于顶点时，y有最大值c（a<0）。

3.y=a(x-h)^2的性质：左加右减，a的符号决定开口方向，顶点坐标为(h,k)。

性质：当x大于h时，y随之增大，当x小于h时，y随之减小，当x等于h时，y有最小值k。

当x大于h时，y随之减小，当x小于h时，y随之增大，当x等于h时，y有最大值k。

4.y=a(x-h)^2+k的性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为(h,k)。

性质：当x大于h时，y随之增大，当x小于h时，y随之减小，当x等于h时，y有最小值k。

当x大于h时，y随之减小，当x小于h时，y随之增大，当x等于h时，y有最大值k。

三、二次函数图象的平移平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)^2+k，确定其顶点坐标(h,k)处，具体平移方法如下：保持抛物线y=ax^2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)，向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。

新北师大版九年级数学下册知识点复习汇总

新北师大版九年级数学下册知识点汇总第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比；③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

2.正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ; 3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二．特殊角的三角函数值图1 图3 图4三．三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。

4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。

用字母i 表示，即A lh i tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。

如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

北师大版九年级数学(下)全书知识总结

2、（1）的值越大，梯子越陡。
（2）的值越大，梯子越陡。
（3）的值越小，梯子越陡。
3、导出公式
（1）；。
（2）。
（3） .
要点诠释：
(1)公式成立的条件是
(2)锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
1.230°、45°、60°角的三角函数值
要点一、1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45°
1
60°
要点诠释：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．
要点二、梯子的倾斜程度与梯子的关系
1、坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）,用字母表示。设坡角为，则坡度 = = ,如图，坡度通常写成的形式.
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大（小）值
y=ax2
a＞0
向上
（0，0）
y轴
x＞0时，y随x增大而增大；
x＜0时，y随x增大而减小.
当x=0时，
y最小=0
y=ax2
a＜0
向下
（0，0）
y轴
x＞0时，y随x增大而减小；

北师大版初三(下)数学重点知识点汇总

初三（下）重点知识点汇总第1课锐角三角函数1．锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作sinA．即sinA=∠A的对边斜边=ac．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作cosA．即cosA=∠A的邻边斜边=bc．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的______，记作tanA．即tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．2．锐角三角函数的增减性（1）锐角三角函数值都是___值．（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1．当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．3．互余两角三角函数的关系在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：（1）一个角的正弦值等于这个角的余角的______值，即sinA=（90°﹣∠A）；（2）一个角的余弦值等于这个角的余角的______值，即cosA=sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．参考答案：1.（1）正弦；（2）余弦；（3）正切2.（1）正3.（1）余弦正弦第2课特殊角的三角函数值1．特殊角的三角函数值特指___、_____、_____角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=；tan60°=；2．特殊角的三角函数值的应用（1）应用中熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐_______，余弦逐渐_______，正切逐渐_______；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（2）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．参考答案：1. 30°、45°、60°2.（1）增大减小增大第2课解直角三角形（1）1．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：__________；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边：斜边=a：c，cosA=∠A的邻边：斜边=b：c，tanA=∠A的对边：邻边=a：b．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）2．特殊角的三角函数值特指___、_____、_____角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=；tan60°=；参考答案：1.（2）a2+b2=c22. 30°、45°、60°第3课解直角三角形（2）1．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做_____，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．3．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是_____的视线与水平线的夹角；俯角是_____向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．4．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．参考答案：2.（1）坡比3.（1）向上看向下看第4课二次函数1．二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为_____，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是__________，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．2．二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是______________，对称轴直线____________，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．3．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据_______的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．参考答案：1.（1）整式；（2）全体实数2.（﹣，）x=﹣①上；②下3.自变量第5课二次函数的图像1．二次函数的图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①_______：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②_______：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③_______：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．2．二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的______和_______．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大，开口就越___．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状____，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．参考答案：1.（1）①列表；②描点；③连线；2.①开口方向大小小3.不变第6课二次函数解析式的判定1．二次函数解析式的三种常见形式二次函数的解析式有三种常见形式：①_________：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②_________：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③_________：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；2．待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择________，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为________来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为_______来求解．参考答案：1.①一般式；②顶点式；③交点式2. 一般式顶点式交点式第7课用函数观点看一元二次函数1．二次函数与一元二次方程的关系如果抛物线与x 轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此______就是方程ax bx c 20++=的一个根。

(完整版)北师大版《数学》(九年级下册)重点知识点总结

北师大版初中数学定理知识点汇总 [九年级 (下册 )第一章直角三角形边的关系※一 . 正切：A 的对边定义：在 Rt △ABC 中，锐角∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正．切．，记作 tanA ，即 tan A;的邻边 A①tanA 是一个完整的符号，它表示∠ A 的正切，记号里习惯省去角的符号 “∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠ ③tanA 不表示 “tan 乘”以 “A ”；A 的对边与邻边的比； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠ A 是锐角的正切；∠A 越大，梯子越陡， tanA 的值越大。

⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠ ※二. 正．弦．： A 越大； A 的对边斜边定义：在 Rt △ ABC 中，锐角∠ A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作 sinA ，即 sin A ;※三. 余弦：A 的邻边斜边定义：在 Rt △ ABC 中，锐角∠ A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作 cosA ，即 cos A ;※余切：A 的邻边 A 的对定义：在 Rt △ ABC 中，锐角∠ A 的邻边与对边的比叫做∠ A 的余切，记作 cotA ，即 cotA;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

（通常我们称正弦、余弦互为余函数。

同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠ A 为锐角，则0o 30 1 2o45 o 2 22 2 60 o3 21 290 o ①sin A cos(90 A) ； cos A sin( 90 A) sin α 0 1 ②tan A cot( 90 A) ； cot A tan(90A)3 2 3 3cos α 1 0 ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯．角．tan α — 0 1 33 3cot α—31※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1) 当角度在 0°～ 90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大 (或减小 ) 而增大 (或减小 )；余弦值、余切值随着角度的增大 (或减小 )而减小 (或增大 ) 。

北师九年级数学知识点总结

北师九年级数学知识点总结第一章直角三角形与勾股定理（一）直角三角形的概念1. 直角三角形的概念2. 直角三角形的性质3. 勾股定理4. 勾股定理的应用5. 勾股定理的证明（二）斜率和距离公式1. 点斜式2. 两点式3. 垂直平分线的性质4. 距离公式5. 距离公式的应用（三）勾股定理的应用1. 三角形的分类及判定2. 三角形周长的计算3. 三角形面积的计算4. 三角形内角的关系5. 三角形的特殊线段6. 三角形的面积公式第二章相似三角形（一）相似三角形的基本概念1. 相似三角形的定义与性质2. 相似三角形的判定条件3. 相似三角形的证明4. 相似三角形的应用（二）相似三角形的性质和应用1. 与相似有关的线段2. 单位正方形与相似三角形3. 角平分线的性质4. 黄金分割与相似三角形5. 节段延长线6. 等角三角形的性质7. 相似三角形的计算第三章几何图形中的位似线段（一）位似线段的概念和性质1. 位似线段的应用2. 完全相似3. 相似图形的性质4. 相似图形的判定5. 相似图形的证明6. 球面上位似三角形的性质（二）位似线段的应用1. 位似线段的计算2. 位似线段的应用3. 位似线段的证明4. 位似线段的演算第四章空间几何图形（一）空间几何的基本概念1. 空间几何图形的概念2. 空间几何图形的性质3. 空间几何图形的计算4. 空间几何图形的证明5. 空间几何图形的应用（二）空间几何的应用1. 空间几何图形的计算2. 空间几何图形的应用3. 空间几何图形的证明4. 空间几何图形的演算第五章平面向量及其运算（一）平面向量的概念1. 平面向量的定义及性质2. 平面向量的线性运算3. 平面向量的应用4. 平面向量的运算5. 平面向量的证明（二）平面向量的应用1. 平面向量的运算2. 平面向量的应用3. 平面向量的证明4. 平面向量的演算第六章计算确定平面图形和几何体（一）新三角形的计算1. 新三角形的计算方法2. 新三角形的应用3. 新三角形的证明4. 新三角形的演算（二）几何体的计算1. 几何体的计算方法2. 几何体的应用3. 几何体的证明4. 几何体的演算第七章解线性方程和不等式（一）一元一次方程的解1. 一元一次方程的解法2. 一元一次方程的应用3. 一元一次方程的证明4. 一元一次方程的演算（二）一元一次不等式的解1. 一元一次不等式的解法2. 一元一次不等式的应用3. 一元一次不等式的证明4. 一元一次不等式的演算第八章平行线与平行四边形（一）平行线及其应用1. 平行线的概念及定义2. 平行线的性质3. 平行线的证明4. 平行线的应用（二）平行四边形1. 平行四边形的概念及性质2. 平行四边形的判定3. 平行四边形的性质和应用4. 平行四边形的证明第九章就地几何中的应用（一）关于角平分线的几何学应用1. 角平分线的性质及判定2. 角平分线的应用3. 角平分线的证明4. 角平分线的演算（二）关于垂直平分线的几何学应用1. 垂直平分线的性质及判定2. 垂直平分线的应用3. 垂直平分线的证明4. 垂直平分线的演算第十章解数学题的基本方法（一）解数学题的基本步骤1. 解数学题的基本方法2. 解数学题的应用3. 解数学题的证明4. 解数学题的演算（二）解数学题的常见技巧1. 解线性方程组的方法及应用2. 解不等式的方法及应用3. 解平行线与平行四边形的方法及应用4. 解几何图形中的应用以上是北师九年级数学知识点的总结内容，总结了直角三角形与勾股定理、相似三角形、几何图形中的相似线段、空间几何图形、平面向量及其运算、计算确定平面图形和几何体、解线性方程和不等式、平行线与平行四边形、就地几何中的应用、解数学题的基本方法等内容。

新北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系知识点整理复习

直角三角形的边角关系知识点复习考点一、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°正弦：_____sin =∠=斜边的对边A A 余弦：____cos =∠=斜边的邻边A A 正切：_____tan =∠∠=的邻边的对边A A A考点二、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°sin α cos α tan α考点三、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ；（2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）商的关系：tanA=AAcos sin 考点四、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，(1) 正弦值随着角度的增大而_______；(2) 余弦值随着角度的增大而_______；(3) 正切值随着角度的增大而___________；考点五、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：______________________（勾股定理）（2）锐角之间的关系：______________________（3）边角之间的关系：正弦sinA=___________，余弦cosA=____________，正切tanA=______________ (4) 面积公式：c ch ab s 2121==（h c 为c 边上的高）考点六、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

北师大版九年级下册数学知识点

北师大版九年级下册数学知识点北师大版九年级下册数学知识点1 二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。

其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ;顶点式y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线] ;重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。

a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x 3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。

由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1x2) (y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

求根公式x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)(如右图)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

北师大版九年级数学下册定理知识点汇总

北师大版九年级数学下册定理知识点汇总摘要：九年级(下册)北师大版初中数学定理知识点汇总第一章直角三角形边的关系详情内容在word版中第二章二次函数详情内容在word版中第三章圆一.车轮为什么做成圆形1.圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段oa绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个......九年级(下册)北师大版初中数学定理知识点汇总第一章直角三角形边的关系详情内容在word版中第二章二次函数详情内容在word版中第三章圆一. 车轮为什么做成圆形1. 圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。

其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。

对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。

2. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上d=r;②点在圆内 d d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。

二. 圆的对称性:1. 与圆相关的概念：①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径：经过圆心的弦叫做直径。

②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。

半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。

(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。

)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。

④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

北师大版数学九年级下册：章节知识点总结

北师大版初中数学九年级(上册)各章标题第一章证明（二）第二章一元二次方程第三章证明（三）第四章视图与投影第五章反比例函数第六章频率与概率北师大版初中数学九年级(下册)各章标题第一章直角三角形边的关系第二章二次函数第三章圆第四章统计与概率北师大版初中数学九年级(上册)各章知识点第一章证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。

（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。

（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。

（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。

二、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A∠-︒ 2、等腰三角形的判定(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形. 三、等边三角形性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）三线合一判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

四、直角三角形（一）、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总

北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总第一章直角三角形边的关系※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

※二. 正弦．．：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

（通常我们称正弦、余弦互为余函数。

同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒= ②)90cot(tan A A ∠-︒=； )90tan(cot A A ∠-︒=※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成图1图 3图4的锐角称为俯角．．※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。