高考数学专题十八离心率精准培优专练理

培长处十八
离心率
1．离心率的值
2
2
例 1：设 F 1 ， F 2 分别是椭圆
x y
的左、右焦点，点
P 在椭圆 C 上，线段
C :
a 2
b 2
1 a b 0
PF 1 的中点在 y 轴上，若
PF 1 F 2
30 ，则椭圆的离心率为（
）
A ．
3
B ． 3
C ．
1
D ．
1
3
6
3
6
【答案】 A
【分析】 此题存在焦点三角形
△PF 1F 2 ，由线段 PF 1 的中点在 y 轴上， O 为 F 1F 2 中点可得
PF 2∥y 轴，
进而 PF 2
F 1 F 2 ，又因为 PF 1F 2 30 ，则直角三角形 △PF 1F 2 中，
PF 1 : PF 2 : F 1 F 2 2:1: 3 ，
且 2a PF 1
PF 2 ， 2c
F 1F 2 ，因此
e
c 2c F 1F 2
3
，应选 A ．
a 2a
PF 1 PF 23
2．离心率的取值范围
例 2：已知 F 是双曲线
x
2 2
y
a 0,
b 0 的左焦点，
E 是该双曲线的右极点，过点
F
a 2
b 21
且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于
A ，
B 两点，若 △ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心
率 e 的取值范围为（
）
A ． 1,
B ． 1,2
C ． 1,1 2
D ． 2,12
【答案】 B
【分析】 从图中可察看到若 △ABE 为锐角三角形， 只要要
AEB 为锐角． 由对称性可得只要
0,
π
即可．且 AF ，FE 均可用 a ，b ，c 表示， AF 是通径的一半， 得： AF
2
AEF
b ，
FE a c ，
AF b 2 c 2 a 2 c a ，即 e
1,2 ，应选 B ．
因此 tan AEF
a a c
1
c 1
1 e 2
FE
a a
a
对点增分集训
一、单项选择题
1．若双曲线 C :
x 2 y 2
0,b 0
的一条渐近线经过点 2, 1 ，则该双曲线 C 的离心率
2
2 1 a
a
b
为（ ）
A ． 10
B ． 5
C ．
13 D ．
5
2
2
【答案】 D
【分析】 Q 双曲线的渐近线过点
2, 1 ，
代入 y
b
x ，可得：
1
2b ，
a
a
即
b
1 ，
2
2
5
，应选 D ．
e
c 1
b
a
2
a 2
a 2
2
2．倾斜角为 π
x 2 y 2 1 a b
0 右焦点 F ，与椭圆交于 A 、 B 两点，且
的直线经过椭圆 2
2
4
a b
uuur uuur
AF 2 FB ，则该椭圆的离心率为（ ）
A ．
2
B ．
2
C ．
3 D ．
3 3
2
3
2
【答案】 A
x
c
2 t
【分析】 设直线的参数方程为
2 ，代入椭圆方程并化简得
2
y
t
2
1 2
1
2
2
2
4 ，
2a
b
t
2b ct b 0
2
因此 t 1
t 2 2 2b 2 c ， t 1 t 2
2b 4
uuur
uuur
2t 2 ，代入上述韦达定理，
a 2
b 2 2
2 ，因为 AF
2 FB ，即 t 1
a b
2
2 ， c 2
．应选 A ．
化简得 8c 2 a 2
b 2 ，即
c
2
a 9
a
3
3．《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著， 第九章“勾股”， 叙述了“勾股定理”
及一些应用，
还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设F1、 F2分别是双曲线
2
y 2
x
2 1 a 0,b0 ，的左、右焦点，P是该双曲线右支上的一点，若PF1， PF2分别
2
b
a
是 Rt△F1 PF2的“勾”“股”，且PF1 PF2 4ab ，则双曲线的离心率为（）
A．2B．3C． 2D．5
【答案】 D
【分析】由双曲线的定义得PF1 PF22a ，因此PF1PF22
4a 2，
22
2 PF1 PF24a 2，由题意得PF1PF222
F1F2
2
即 PF1PF2，因此 PF1PF24c2，又 PF1PF24ab ，因此 4c28ab4a2，解得 b2a ，进而离心率 e c 5 ，应选 D．
a
22
x y
1 a0,b0的一个焦点 F 与抛物线C2: y
2 2 px p 0
4．已知双曲线 C1 : 22的焦点
a b
同样，它们交于A，B 两点，且直线AB 过点 F ，则双曲线 C1的离心率为（）
A．2B．3C． 2 1D． 2
【答案】 C
【分析】设双曲线 C1的左焦点坐标为 F 'c,0，由题意可得：F c,0， c p ，
2
则 A p
, p ， B p ,p ，即 A c,2c， B c,2c ，22
又： AF'AF2a ， AF ' F ' F 2222
22c ，AF2c2c
据此有： 22c2c2a，即 2 1 c a ，
则双曲线的离心率：
c1
2 1 ．此题选择 C 选项．e
21
a
22
5．已知点 P x0 , y0 x0a
x y
0 上，若点M为椭圆 C 的右极点，
在椭圆 C : a2 b 2 1 a b
且 PO PM （ O 为坐标原点），则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是（）
3
B ． 0,1
C ．
2
D ． 0,
2 A ． 0,
,1
2
3
2
【答案】 C
【分析】 由题意 PO
PM ，因此点 P 在以 OM 为直径的圆上，圆心为
a
,0 ，半径为 a
，
2
2
因此圆的方程
2
y
2
为： x
a
a ，
2
2
4
b 2 2 2
0,a 上有解，
与椭圆方程联立得：
12 x ax b 0 ，此方程在区间
a
因为 a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，因此对称轴要介于
a
与 a 之间，
2
因此
a
a
a ，联合 a
b
c ，解得
1
2
1 ，
2
a
2
2
2
2 b 2
2 2c 2
1
a 2
依据离心率公式可得
2
1 ．应选 C ．
e
2
2
2
6．已知椭圆
x
2
y 2 1 a b 0 ，点 A ， B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点
P ，使得
a
b
APB 120 ，则该椭圆的离心率的最小值为（
）
A ．
2 B ． 3
C ．
6
D ．
3
2
2
3
4
【答案】 C
【分析】 设 M 为椭圆短轴一端点，则由题意得AMB APB
120 ，即 AMO
60 ，
因为 tan
OMA
a a tan60
3 ， a
2
2
2
， 2a 2
3c 2
2
2 b
，因此
3b ，a 3 a c
，e
，
b
3
e
6
，应选 C ．
3
x 2
2
7．已知双曲线
y
1的左，右焦点分别为
F 1， F 2，点
P 在双曲线的右支上，且
a 2
b 2
PF 1 4 PF 2 ，
则此双曲线的离心率
e 的最大值为（ ）
A ．
4
B ．
5
C ． 2
D ．
7
3
3
3
【答案】 B
【分析】 由双曲线的定义知 PF 1 PF 2 2a
①；又 PF 1 4 PF 2 ，
②
联立①②解得 PF 1
8 a ， PF 2 2 a ，
3
3
64 a 2 4 a 2
4c 2
9
在 △PF 1F 2 中，由余弦定理，得 cos F 1PF 2
9 9
17 2
，
8
2
8 e
2 a a
8
33
要求 e 的最大值，即求 cos F 1 PF 2 的最小值，
当 cos F 1 PF 2
1 时，解得 e
5
，即 e 的最大值为
5
，应选 B ．
3
3
解法二：由双曲线的定义知 PF 1 PF 2 2a ①，又 PF 1 4 PF 2 ，
②，联立①②解得
PF 1
8
a ， PF 2
2
a ，因为点 P 在右支因此 PF 2
c a ，即 2
a c
a 故 5
a c ，即 e 的
3
3
3
3
最大值为 5
，应选 B ．
3
2
2
8．已知椭圆
x
2
y
2 1 a
b
0 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，点 P 在椭圆上， O 为坐标
a
b
原点，
若 OP
1
2
）
F 1 F 2 ，且 PF 1 PF 2
a ，则该椭圆的离心率为（
2
A ．
3
B ． 3
C ．
1
D ．
2 4
2
2
2
【答案】 D
【分析】 由椭圆的定义可得， PF 1 PF 2 2a ，
又 PF 1 PF 2
a 2 ，可得 PF 1
PF 2
a ，即 P 为椭圆的短轴的端点，
OP
b ，且 OP
1 c ，即有 c b
a 2
c
2
2c ， e
c 2 F 1F 2
，即为 a
a
．应选 D ．
2
2 2
2
9．若直线 y
2 x 与双曲线
x
2
y 2
1 a
b
0 有公共点， 则双曲线的离心率的取值范围为
a
b
（ ）
A ．1,5
B ．1,5
C ．
5,
D ．
5,
2
2
b
x ，
【分析】 双曲线
x
y 1 a
b 0 的渐近线方程为 y
a 2
b 2
a
b
c
b
2
由双曲线与直线 y
2 x 有交点，则有 2 ，即有 e 1+ 1 4
5 ，
a
a
a
则双曲线的离心率的取值范围为 5,
，应选 D ．
10．我们把焦点同样且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“有关曲线”．
已知 F 1，F 2
是一对有关曲线的焦点，
e 1 ， e 2 分别是椭圆和双曲线的离心率，若
为它们在第一象限的交
点， F 1 PF 2 60 ，则双曲线的离心率 e 2
（ ）
A ． 2
B ． 2
C ． 3
D ． 3
【答案】 C
【分析】 设 F 1 c,0 ， F 2 c,0 ，椭圆的长半轴长为 a ，双曲线的实半轴长为 m ，
可得 PF 1
PF 2 2a ， PF 1 PF 2 2m ，可得 PF 1 a m ， PF 2 a m ，
由余弦定理可得 F 1 F 2 2
PF 1 2
PF 2 2
2PF 1 PF 2 cos60 ，
即有 4c 2
a m
2
a m
2
3m 2 ，
a m a m a 2
由离心率公式可得 1
3 4 ， e 1 e 2 4
2
3 0 ，解得 e 2
3 ，应选 C ．
e
2
e
2
1，即有 e 2
4e 2
1 2
11．又到了大家最喜（ tao ）爱（ yan ）的圆锥曲线了．已知直线 l : kx
y 2k 1 0 与椭圆
x 2
y 2
1 a b 0 交于 A 、B 两点，与圆 C
2 : x
22
y 2
1交于 C 、D 两点．若
C 1: 2
2
1
a
b
uuur uuur
存在 k 2, 1 ，使得 AC DB ，则椭圆 C 1 的离心率的取值范围是（
）
A ． 0,
1
B ． 1
,1
C ． 0,
2 D ．
2
,1
2
2
2
2
【答案】 C
【分析】 直线 l : kx y 2k 1 0 ，即 k x 2
y 1 0 ，
Q 直线 l 恒过定点 2,1 ， 直线 l 过圆 C 2 的圆心，
uuur uuur
C 2 B ， C 2 的圆心为 A 、 B 两点中点，
Q AC DB ， AC 2
x 1 2 y 1
2
1 ， 设 A x 1 , y 1 ， B x
2 , y 2 ， a 2 b 2
x 2 2 y 2 2
1
a
2
b
2
上下相减可得：
x 1
x 2 x 1 x 2 y 1 y 2 y 1
y
2
，
a 2
b 2
化简可得
x 1 x 2
b 2 y 1 y 2
k ， 2
b 2 k ，
y 1
2
x 1
x 2
a 2
y 2 a
2
2
b 2 k 1 ,1 ， e b
0, 2 ，应选 C ． a
2
2
a 2
2
2
2
12．已知点 P 为双曲线
x
y 1 a
b 0 右支上一点，点
F 1 ， F 2 分别为双曲线的左右焦
a 2
b 2
点，点 I 是 △PF 1 F 2 的心里（三角形内切圆的圆心） ，若恒有 S △ IPF 1
S △ IPF 2 1
S △IF 1 F 2 建立，则
3
双曲线的离心率取值范围是（
）
A ． 1,2
B ． 1,2
C ． 0,3
D ． 1,3
【答案】 D
【分析】
设 △PF 1F 2 的内切圆半径为 r ，由双曲线的定义得 PF 1
PF 2 2a ， F 1F 2
2c ，
S △ PF 1 PF 1 r ，
S △ PF
1
PF 2
r ， S △PF F
1
2
2
2c r cr ，
1
2
2
1 2
由题意得 1 PF 1 r
1 PF
2 r 1 cr ，故 c
3 PF 1 PF 2 3a ，
2 2
3 2
故 e
c
3 ，又 e 1 ，因此，双曲线的离心率取值范围是
1,3 ，应选 D ．
a
二、填空题
2 2
13．已知抛物线 y 2 2 px p 0 与双曲线
x
y
F ，点A 是
2
2 1 a 0, b 0 有同样的焦点
a b
两曲线的一个交点，若直线 AF 的斜率为 3 ，则双曲线的离心率为 ______．
【答案】
7 2
3
【分析】 如下图，设双曲线的此外一个焦点为 F 1 ，
因为 AF 的斜率为 3 ，因此
BAF
60 ，且 AF
AB ，因此 △ABF 是等边三角形，
因此
F 1 BF 30 ，因此 BF 1
2 3c ， BF
4c ，
2
16c 2 4c 2 2 4c 2c cos120 28 ，
因此 AF 1
因此 AF 1 2 7 c ，由双曲线的定义可知
2a 2 7c 4c ，因此双曲线的离心率为
7 2 ．
3
2
2
14．已知双曲线
x
y
1 a
0,b
0 ，其左右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，若 M 是该双曲线右支
a 2
b 2
上一点，
知足 MF 1
3，则离心率 e 的取值范围是 __________ ．
MF 2
【答案】 1,2
【分析】 设 M 点的横坐标为
x ，∵ MF 1
3 ， M 在双曲线右支上 x a
，依据双曲线的第
MF 2
二定义，
2
2
可得 3e x
a
a
， ex
2a ，
e x
c
c
Q x a ， ex ea ， 2a ea ， e 2 ， Q e 1 ， 1 e 2 ，故答案为 1,2 ．
2 2
15．已知椭圆
x
y
0 的左、右焦点分别为
F 1，F 2 ，过 F 1 的直线与椭圆交于
A ，
a
2
b 2
1 a b
B 的两点，且 AF 2
x 轴，若 P 为椭圆上异于 A ， B 的动点且 S △ PAB 4S △ PBF 1 ，则该椭圆的离
心率为 _______．
【答案】
3
3
【分析】 依据题意，因为 AF 2
x 轴且 F 2 c,0 ，假定 A 在第一象限，则 A
c,
b 2
，
a
过
B 作 B
C x 轴于 C ，则易知 △
AF 1F 2 ～△ 1
BFC ，
由 △
PAB
△
得 AF
3 BF
，因此 AF
2 3 BC
，
F F
3 CF
，
S 4 S PBF 1
1
1
1 2
1
因此 B
5 c, b 2 ，代入椭圆方程得 25c 2 b 2
1 ，即 25c
2 b 2 9a 2 ，
3 3a 9a 2 9a 2
又 b 2
a 2 c 2 ，因此 3c 2
a 2 ，因此椭圆离心率为 e
c
3 ．
a
3
故答案为
3 ．
3
x 2 2
16．在平面直角坐标系 xOy 中，记椭圆
y 1 a
b 0 的左右焦点分别为
F 1，F 2，若
a
2
2
b
该椭圆上恰巧有 6 个不一样的点 P ，使得 △F 1F 2 P 为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范 围是 ____________ ．
【答案】
1 1 1 3 , U ,1
2
2
【分析】 椭圆上恰巧有 6 个不一样的点 P ，使得 △F 1 F 2 P 为等腰三角
形， 6 个不一样的点有两个
为椭圆短轴的两个端点，此外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，
设 P 在第一象限， PF 1 PF 1 ，当 PF 1 F 1 F 2 2c 时， PF 2 2a PF 1 2a 2c ，
即 2a 2a 2c ，解得 e
1 ，
2
又因为 e 1 ，因此
1
e 1 ，
2
当 PF 2 F 1 F 2 2c 时， PF 1 2a PF 2 2a 2c ，
即 2a 2c 2c 且 2c
a c ，解得： 1
e
1 ，
3
2
综上
1
e 1 或
1
e
1 ．
2 3
2
三、解答题
x
2 2
17．已知双曲线
y
1 a 0,b 0 的的离心率为
3 ，则
C :
2
b 2
a
（1）求双曲线 C 的渐进线方程．
（2）当 a 1 时，已知直线 x
y m
0 与双曲线 C 交于不一样的两点 A ， B ，且线段 AB 的中
点在圆 x 2
y 2
5 上，求 m 的值．
【答案】（ 1） y 2x ；（ 2） m
1 ．
【分析】（ 1）由题意，得 e
c 3 ，
c 2 3a 2 ，
a
2
∴ b
2
c
2
a
2
2a 2 ，即
b
2
2 ，
a
∴所求双曲线 C 的渐进线方程
y
b x 2x ．
a
2
（2）由（ 1）适当 a
1 时，双曲线
2
y
C 的方程为 x
1 ．
2
设 A ， B 两点的坐标分别为
x 1 , y 1 ， x 2 , y 2 ，线段 AB 的中点为 M x 0 , y 0 ，
由
x
2
y 2 1
2 2
2 ，得 x 2 0 （鉴别式
0 ），
2mx m
x y
m 0
∴
x 0
x 1 x 2
m ， y 0
x 0 m 2m ，
2
∵点 M x 0 , y 0 在圆 x 2 y 2
5 上，∴ m 2
2
5 ，∴ m 1 ．
2m
x 2 y 2
2
18．已知椭圆
2 1 a b 0 的左焦点为 F C : 2
b 1,0 ，离心率 e ．
a
2
（ 1）求椭圆 C 的标准方程；
（ 2）已知直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点．
uuur uuur uuur uuur
①若直线 l 经过椭圆 C 的左焦点 F ，交 y 轴于点 P ，且知足 PA AF ，PB
BF ．求证：
为定值；
②若 OA
OB ，求 △OAB 面积的取值范围．
2 3
2 ．
【答案】（ 1）
x
y
2
1 ；（ 2）①看法析，② S △OAB
2
2
2
【分析】（ 1）由题设知， c
2 ， c 1，因此 a
2
2 ， c 1 ， b 2 1 ，
a 2
2
因此椭圆 C 的标准方程为
x
2 1 ．
2
y
（2）①由题设知直线 l 斜率存在，设直线
l 方程为 y k
x 1，则P
0,k ．
2
设 A x 1 , y 1 ， B x 2 , y 2 ，直线 l 代入椭圆 x
y 2 1 得 1 2k 2 x 2 4k 2 x 2k 2 2 0 ，
2
2
2
uuur uuur uuur uuur
因此 x 1
x 2
4k 2 ， x 1 x 2 2k 22
，由 PA AF ，PB
BF 知
1 2k
1 2k
x 1 ， x 2 ，
x 2
1 x 1
1
x 1 x 2
2x 1 x 2
4k 2 4k 2 4
1 2k 2
1 2k 2
4 ．
1 x 1
x 2
x 1 x 2
4k
2
2 k 2 2
1
2k 2
1
2k 2
1
②当直线 OA ， OB 分别与坐标轴重合时，易知
S
△ OAB
2 ．
2
当直线 OA ， OB 斜率存在且不为
0 时，设 OA : y
kx ，
OB : y 1
，
x
k
设 A x 1 , y 1 ， B x 2 , y 2 ，直线 y
kx 代入椭圆 C 获得 x 2
2k 2 x 2 2 0 ，
22
因此 x12
12， y122k，同理 x222k， y122
2k212k 212k212k2
S
△ OAB 11k 21k 22
OA OB
1 2k
2 2 k 22k45k 2
，22
令 t 1k2 1 ，则
S△OAB
t 2t211
2
，2 t 1222t2t 1 1 19
5 t 1
2
1 1
t
2
4t2
t
2
因为1
0,1，因此 29119，故 3
S
△ OAB2，综上
3S
△ OAB 2 ．t4t242222。