高中数学 2.1 圆周角定理学案 新人教A版选修4-1 学案

A
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.1 圆周角定理学案 新人教A 版选修4-1
【学习目标】
1. 探究圆周角定理，并理解圆周角的证明过程；
2. 理解圆心角定理以及圆周角的推论；
3.能利用圆周角定理及其推论解决相关的几何问题. 【重点难点】 1.圆周角定理的证明； 2.圆周角定理的推论的应用. 【课前预习】
阅读课本P24-P26页的内容，完成课前预习内容。

一、问题导学
问题1. 圆周角、圆心角定义？观察课本24页图2-1在⊙O 中，度量BAC ∠和BOC ∠的度数，它们之间有什么关系？自己用尺规作不同的圆，观察圆周角与圆心角的大小之间的关系？
问题2. 结合问题1不改变C B ，的位置，让点A 在圆上运动，BAC ∠的大小会发生变化吗？改变C B ，的位置，让点A 在圆上运动，BAC ∠和BOC ∠的这种关系发生变化了吗？ 问题3.
1、圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__ ___．
2、圆心角定理 圆心角的度数等于______________．
推论1 同弧或等弧所对的圆周角_____；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也______． 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是_____；90°的圆周角所对的弦是______． 【课内探究】
例1、 证明：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（圆周角定理证明）
例2、如图，OA,OB,OC 都是⊙O 的半径，2AOB BOC ∠=∠，求证：2BAC ACB ∠=∠ 、
例3、如图AD 是△ABC 的高，AE
是△ABC 的外接圆直径。

求证：
AB AC AE AD ⋅=⋅
例4、圆O 的两条相交弦,AB CD 相交于园内一点P . 求证： 弧AD 与弧BC 的度数和一半等于APD ∠的度数
【当堂检测】
1.下列说法中：(1)直径相等的两个圆是等圆；(2)长度相同的两条弧是等弧；(3)圆中最长的弦是通过圆心的弦；(4)一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，正确的个数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
M
B A O
C
A
B
D C
O
B
D
A
O
C
D
P
B
2如图，⊙O 中，弦BC 平行于半径OA,AC 交OB 于点M,20C ∠=,则AMB ∠= （ ） A.60 B.50 C.40 D.30
3、（09·广东)如图所示，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则
圆O 的面积等于________．
4、如图OA 是圆O 的半径，以OA 为直径的圆C 与圆O 的弦AB 相交于点D ，求证：D 是AB 的中点。

5、圆的直径AB=13，C 为圆上一点，CD AB ⊥，垂足为D ，且CD=6，求AD 的长。

6、如图：BC 为圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，弧AB =弧AF ，BF 和AD 相交于E 。

求证：AE BE =
【课后作业】
1圆O 的两条相交弦,BA CD 的延长线相交于点P .求证： 弧BC 与弧AD 的度数差的一半等于APD ∠的度数。

2.如图一，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点P ，30,50B APD ∠=∠=，则A ∠= （ ） A.10 B.20 C.40 D.80
3.如图二，AB 是⊙O 的直径，30C ∠=，则ABD ∠=
A.30
B.40
C.50
D.60
图一 图二 图三
4.如图三，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P,若DPB α∠=，那么
CD
AB
= A.sin α B.cos α C.tan α D.
1
tan α
5.如图四，60APC CPB ∠=∠=︒，则ABC ∆是 （ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形
6.已知半径为5的⊙O 中，弦52AB =5AC =，则BAC ∠= A.15︒ B.210︒ C.10515︒或 D.2100︒或3
7.如图五，在⊙O 中，弦BC 平行于半径OA,AC 交OB 于点M,20C ∠=︒,则AMB ∠= （ ） A.60 B.50 C.40 D.30
8.如图六，弦AB 和CD 相交于点,30,80P B APD ∠=∠=,则A ∠=
A.30
B.50
C.70
D.100
图四 图五 图六
9.如图七，正三角形ABC 内接于⊙O ，动点P 在圆周的劣弧AB 上,且不与A 、B 重合，则BPC ∠= A.30 B.60 C.90 D.45
F
O
E D
A O
D
C
B
A
O
B
P A
M
B A
O C
C
B
P
D
A
10.如图八，四边形ABCD 内接于⊙O ，若140BOD ∠=，则BCD ∠=
A.140
B.110
C.70
D.20
图七 图八 图九
二、填空题
11.如图九，AB 为⊙O 的直径，弦4,AC cm =3BC cm =
CD AB ⊥于点D,则CD = cm
12.如图十，在⊙O 中，已知60,3ACB CDB AC ∠=∠==，则ABC ∆的周长是 . 13.如图十一，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是圆上两点，100AOC ∠=，则D ∠= .
14.如图十二，ABC ∆内接于⊙O，120,,BAC AB AC ∠== BD 为⊙O 的直径，AD=6,则BC=
B
D
O
C
A
图十 图十一 图十二 AC 为弦，//OD BC ，交AC 于点D,BC=4cm,
15.如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，(1)试判断OD 与AC 的关系； (2)求OD 的长；
(3)若2sin 10A -=，求⊙O 的直径.
16、如图，ABC ∆的三个顶点都在⊙O 上，
BAC ∠的平分线与BC 边和⊙O 分别
交于点D 、E.
(1)指出图中相似的三角形，并说明理由；
(2)若4,2EC DE ==，求AD 的长.
O B
A
C
D
B
B。