高速公路立交匝道卵形曲线的坐标计算

高速公路立交匝道卵形曲线的坐标计算
瑞国
二航局分公司测试中心
摘 要：高速公路立交匝道平曲线普遍采用卵形曲线形式，关于其坐标的计算的原理与方法在众多书籍中介绍的较繁琐或不甚全面，笔者结合施工经验，利用工程实例对卵形曲线的坐标计算进行推导及验证。

关键词：高速公路 立交匝道 卵形曲线 坐标计算
1 引言
近年来，随着城市的发展需要，我国也逐渐加大对各城市的高速公路建设的资金投入，高速公路已占据我国公路网中的主要地位，设计单位为了使高速公路中立交匝道的线型美观和流畅，不可避免的需要插入卵形曲线，所以对于测量人员而言，掌握卵形曲线的坐标计算原理与方法显得尤为重要，本文通过对卵形曲线原理的分析以及公式推导，并结合工程实例进行计算验证，以此运用于高速公路的施工测量工程实践。

2 卵形曲线的概念
卵形曲线是指在两个半径不等的同向圆曲线间插入一段非完整的缓和曲线而构成的复曲线。

即卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。

在计算包含卵形曲线的立交匝道时，将卵形曲线转化成完整的缓和曲线后按照缓和曲线公式计算，问题与难点便迎刃而解。

3 卵形曲线坐标计算原理
对于初学者，判定某段缓和曲线是否为卵形曲线的技巧为：将该段的缓和曲线参数平方除以该段缓
和曲线的长度，计算出数值是否等于与其相连接的圆曲线半径，用公式表达为R L
A 2
,若该公式结果成立，则为正常缓和曲线，若结果不成立，则为卵形曲线。

如图1所示，在半径为1R 与2R 的两圆曲线间插入长度为F L 的非完整缓和曲线，此段缓和曲线的端点分别为YH 和HY 点，首先计算出整条完整缓和曲线的起点桩号'ZH 或终点桩号'HZ （该图1中计算出点桩号'HZ ）、'HZ 的坐标)Y ,(X C C 、'HZ 的切线方位角C W （即图1中CD 的方位角），最后根据以上条件求得卵形曲线上任意一点桩号的坐标和切线方位角。

图1 卵形曲线示意图
4 卵形曲线坐标计算过程详解
4.1 卵形曲线参数计算
小
大小大R R L R R A F
-⋅⋅=
------（式1）
式中：A 为完整缓和曲线参数；大R ，小R 分别为卵形曲线两端的圆曲线半径，本文中大R 即为2R ，
小R 即为1R ,单位为m ；F L 为卵形曲线长度，单位为m 。

4.2 完整缓和曲线长度M L 计算
2
M A L R =小
------（式2） 式中：M L 即为YH 至'HZ 的弧长，单位为m ；A 为完整缓和曲线参数。

4.3 'HZ 桩号计算
M L YH HZ +='------（式3）
或E L HY HZ +='------（式4）
式中：2
E A L R =大
，为BC 的弧长，单位为m ；E M F L L L -=，此公式作为检核条件，单位为m 。

4.4 缓和曲线切线角α
2
290A
L M
⋅⋅=πα------（式5） 式中：α即本文中的1α。

4.5 缓和曲线切线支距公式
据图1所示，建立以'HZ 桩号处的C 点为原点，以C 点的切线方向为X 轴，C 点的径向为Y 轴建立独立坐标系，根据缓和曲线切线支距通式，可计算出线段CD 和线段AD 的长度。

缓和曲线切线支距通式为：
()
()()()1
22
4322122!243n n n n n s x L n n RL +---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣
⎦=-÷-⨯⨯-⨯------（式6）
()
()()()121
4121y 121!241n n n n n s L n n RL +---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎣
⎦⎣
⎦=-÷-⨯⨯-⨯------（式7）
式中：n 为项数序号，!为阶乘，R 为圆曲线半径，本文中取小R ，即为1R ;s L 为完整缓和曲线长度，本文中即为M L 。

取（式6）和（式7）中的前6项计算，则CD 和AD 的长度可表达如下：
()()()
6
13
4925599040345640s s s CD
RL L RL L RL L L x -+-= ()()
1010
21
8171080337152.7175472640s s RL L RL L ⨯-+------（式8） ()()()7
155113739676800422403366s s s s AD
RL L RL L RL L RL L y -
+-=()()
1112
23
919108802409472.135********s s RL L RL L ⨯-+------（式9） 式中：M s L L L ==。

4.6 YH 至'HZ 的弦长P 及偏角β计算
根据几何知识可得：
2
222AD CD y x AD CD P +=+=------（式10）
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫
⎝⎛=--CD AD x CD AD y tan tan 11β------（式11） 式中：偏角β为切线支距独立坐标系中弦长P 与X 轴的夹角，本文中即为2α。

4.7 'HZ 的坐标和切线方位角'HZ W 计算
根据图1，结合几何知识可得：
213ααα-=------（式12） AC 方向的方向角为：
3α-=YH AC W W ------（式13）
式中：YH W 为YH 桩号处的切线方位角。

根据（式10）、（式12）和（式13），可求得'HZ 的坐标和切线方位角'HZ W ：
AC YH HZ W P X X cos '⋅+=------（式14） AC YH HZ W P Y Y sin '⋅+=------（式15） 2180'α-︒±=AC HZ W W ------（式16）
式中：'HZ W 的方位指向即为图1中独立坐标系X 轴()CD 的方向。

4.8 卵形曲线任意点坐标计算
建立以'HZ 桩号处的C 点为原点，以C 点的切线方向为X 轴，C 点的径向为Y 轴建立独立坐标系，则缓和曲线上任意一点Q 处的切线支距坐标()
Q Q y x ,可通过（式8）和（式9）公式求得：
()()()
6
13
4925599040345640s s s Q RL L RL L RL L L x -+-= ()()1010
21
8171080337152.7175472640s s RL L RL L ⨯-+------（式17） ()()()7
15
5113739676800422403366s s s s Q RL L RL L RL L RL L y -
+-=()()
1112
23
919108802409472.135********s s RL L RL L ⨯-+------（式18） 式中：L 为'HZ 至Q 的桩号差，s L 即为E L 。

则任意一点Q 从独立坐标系转换到平面直角坐标系中的坐标（即为卵形曲线任意一点的坐标）为：
'''sin cos HZ Q HZ Q HZ Q W y W x X X -+=------（式19） '''cos sin HZ Q HZ Q HZ Q W y W x Y Y ++=------（式20）
式中：对于左转曲线的前半个曲线及右转曲线的后半个曲线计算时，Q y 取负，其余条件Q x 和Q y 均取正。

5 工程实例验证
某高速公路立交F 匝道的线位数据表如表1所示，线位数据图如图2所示。

YH FK0+110.635 2877582.952 443365.689 135°25′38″ HY FK0+155.635 2877558.287 443402.963 112°19′47″ YH FK0+191.302 2877549.635 443437.438 95°50′58″ GQ FK0+236.302 2877550.484 443482.364 85°27′11″ HY FK0+281.302 2877551.497 443527.295 95°13′09″ ZD
FK0+334.312
2877536.345
443577.722
118°13′44″
从图1中可知卵形曲线长度45=F L ，结合图2与表1数据可计算出完整缓和曲线参数657.158=A ,完整缓和曲线长度248=M L ,635.358'=HZ ，缓和曲线切线角997.69=α，YH 至'HZ 的弦长937.231=P ，偏角026.23=β；根据以上数值代入（式14）和（式15）中求得'HZ 的坐标为198.2877589'=HZ X ，542.443597'=HZ Y ，并可求得'HZ 的切线方位角431.245'=HZ W 。

图2 立交F 匝道线位数据图
现复核立交F 匝道1200+FK 与1400+FK 的中桩坐标，根据（式17）与（式18）可计算出
082.82,858.20912001200==++FK FK y x ；867.64,730.199********==++FK FK y x ；由于从'HZ 至YH 曲
线为右转，且可视其处于前半个曲线，故可求出1200+FK 与1400+FK 的坐标为：
589.2877576sin cos '1200'1200'1200=-+=+++HZ FK HZ FK HZ FK W y W x X X 556.443372cos sin '1200'1200'1200=++=+++HZ FK HZ FK HZ FK W y W x Y Y 145.2877565sin cos '1400'1400'1400=-+=+++HZ FK HZ FK HZ FK W y W x X X 924.443388cos sin '1400'1400'1400=++=+++HZ FK HZ FK HZ FK W y W x Y Y
提供的立交F 匝道逐桩坐标表中588.28775761200=+FK X ，556.4433721200=+FK Y ，
144.28775651400=+FK X ，923.4433881400=+FK Y 。

两者对比，mm X FK 11200-=∆+，01200=∆+FK Y ；mm X FK 11400-=∆+，mm Y FK 11200-=∆+。

故本文计算方法精确性高。

6 结论
1) 计算卵形曲线的坐标时，必须将其转化为完整的缓和曲线，求取'ZH 点或'HZ 坐标后方可进
行卵形曲线上任意点的坐标。

2) 对于小半径的匝道，使用切线支距法计算弦长和独立坐标系坐标时，按照施工经验，必须取公
式的前6项，方可保证计算精度。

3) 对于初学者，在计算卵形曲线上任意点的坐标时，必须正确判定出曲线的转向。

参考文献
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