九年级数学探究类问题解析一例题解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校水源二中九年级数学探究类问题解析〔一〕例题解析一、〔14分〕如以下图，〔1〕正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公一共顶点A,∠EAF=900,
△AEF绕点A旋转,在旋转过程中，BE、DF具有怎样的
数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；
(2)将〔1〕中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，
且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论有什么发生变化？结合图(2)
直接写出结论；
(3)将〔2〕中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，
且∠BAD=∠EAF=α＞90°，其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化？结合
图(3)，假设不变，直接写出结论；假设变化，直接用k表示出线段BE、
DF的数量关系，用α表示出直线BE、DF形成的锐角β.
【解析】〔1〕证明：延长DF分别交AB、BE于点P、G.-----------------------1分在正方形ABCD和等腰直角△AEF中
AD=AB,AF=AE,∠BAD=∠EAF=90°
∴∠FAD=∠EAB
∴△FAD≌△EAB---------------------------2分
∴∠FDA=∠EBADF=BE---------------------3分
∵∠DPA=∠BPG,∠ADP+∠DPA=90°
∴∠EBP+∠BPG=90°
∴∠DGB=90°
∴DF⊥BE-----------------------------------------------5分
〔2〕DF=kBE ，DF ⊥BE-----------------7分
〔3〕改变.DF=kBE ，β=180°-α.------------------------------------------9分 证法〔一〕：延长DF 交EB 的延长线于点H
∵AD=kAB,AF=kAE ∴
AB AD =k,AE
AF
=k ∴
AB AD =AE
AF
∵∠BAD=∠EAF=α∴∠FAD=∠EAB
∴△FAD ∽△EAB------------------------------------------11分 ∴
BE
DF =
AE
AF =k ∴DF=kBE----------------------------12分
由△FAD ∽△EAB 得∠AFD=∠AEB
∵∠AFD+∠AFH=180︒
∴∠AEB+∠AFH=180° ∵四边形AEHF 的内角和为360°， ∴∠EAF+∠EHF=180° ∵∠EAF=α,∠EHF=β
∴α+β=180°∴β=180°-α----------------------------------------14分 证法〔二〕：DF=kBE 的证法与证法〔一〕一样 延长DF 分别交EB 、AB 的延长线于点H 、G. 由△FAD ∽△EAB 得∠ADF=∠ABE ∵∠ABE=∠GBH ∴∠ADF=∠GBH
∵β=∠BHF=∠GBH+∠G ∴β=∠ADF+∠G. 在△ADG 中，∠BAD+∠ADF+∠G=180°,∠BAD=α ∴
α
+
β
=180°∴
β
=180°
-α----------------------------------------------------------14分
证法〔三〕：在平行四边形ABCD 中AB ∥CD 可得到∠ABC+∠C=180°
∵∠EBA+∠ABC+∠CBH=180°∴∠C=∠EBA+∠CBH
在∆BHP 、∆CDP 中，由三角形内角和等于180°可得∠C+∠CDP=∠CBH+∠BHP ∴∠EBA+∠CBH+∠CDP=∠CBH+∠BHP ∴∠EBA+∠CDP=∠BHP
由△FAD ∽△EAB 得∠ADP=∠EBA ∴∠ADP+∠CDP=∠BHP 即∠ADC=∠BHP ∵∠BAD+∠ADC=180︒
,∠BAD=α,∠BHP=β
∴α+β=180︒
∴β=180︒
-α---------------------------------14分
二、：如以下图，直线MA NB MAB ∠∥，与NBA ∠的平分线交于点C ，过点C 作一条直线l 与两条
直线MA NB 、分别相交于点D E 、．
〔1〕如图1所示，当直线l 与直线MA 垂直时，猜想线段
AD BE AB 、、之间的数量关系，请直接写
出结论，不用证明；
〔2〕如图2所示，当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、都在
AB 的同侧时，
〔1〕中的结论是否成立？假设成立，请证明：假设不成立，请说明理由； 〔3〕当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、在
AB 的异侧时，
〔1〕中的结论是否仍然成立？假设成立，请说明理由；假设不成立，那么线段AD BE AB 、、之间还存在某种数量关系吗？假设存在，请直
接写出它们之间的数量关系．
【解析】解：〔1〕
AD BE AB +=………2分
〔2〕成立．………3分
〔方法一〕：在AB 上截取AG AD =，连接CG ．
ADC AGC ∴△≌△………4分
90ACB ∴∠=°即6790∠+∠=°
A
B E
D C M N
A
B E
D
C
M N
l
A
B
C
M N
A
B C
M N
图1
图2
备用图
备用图 A
B
E
D
C
M
N l
1 2
5
6 3
4
H
F
G A
B
E D
C
M N l
1 2
5 6
3 4
8 7 〔2〕方法一图
34BC BC ∠=∠=，BGC BEC ∴△≌△…………..6分
AD BE AB ∴+=……………………7分
〔方法二〕：过点C 作直线FG AM ⊥，垂足为点F ，交BN 于点G ．
作CH
AB ⊥，垂足为点H ．………………4分 由〔1〕得
AF BG AB +=
CF CG ∴=………5分
AD BE AF BG AB ∴+=+=………7分
〔方法三〕：延长BC ，交
AM 于点F ．………4分
CF CB ∴=………5分
67∠=∠FCD BCE ∴△≌△………6分
DF BE ∴=AD BE AD DF AF AB ∴+=+==………7分
〔3〕不成立．………8分 存在．当点D 在射线AM 上、点E 在射线BN 的反向延长线上时〔如图①〕
，AD BE AB -= 10分 当点D 在射线
AM 的反向延长线上，点E 在射线BN 上时〔如图②〕
， BE AD AB -=………12分
三、，△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点〔点D 不与B 、C 重合〕．以AD 为边作菱形ADEF ，使∠DAF=60°，连接CF ．
⑴如图1，当点D 在边BC 上时，
①求证：∠ADB=∠AFC ；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB ＋∠DAC 是否成立； ⑵如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB ＋∠DAC 是否成立？请写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；
A
B E D
C M
N
l 1
2
5
6
3
4
F
7
A B
E D
C M l
A B
E
C
M
D
l N
〔2〕方法三图 〔3〕图①
〔3〕图②
⑶如图
3，当点
D
在边
CB 的延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC 、
∠ACB 、∠DAC 之间存在的等量关系．
【解析】⑴①证明：∵△ABC 为等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC=60° ∵∠DAF=60°∴∠BAC=∠DAF ∴∠BAD=∠CAF ∵四边形ADEF 是菱形，∴AD=AF ∴△ABD ≌△ACF ∴∠ADB=∠AFC
②结论：∠AFC=∠ACB ＋∠DAC 成立．⑵结论∠AFC=∠ACB ＋∠DAC 不成立．
∠AFC 、，∠ACB 、∠DAC 之间的等量关系是：∠AFC=∠ACB －∠DAC 〔或者这个等式的正确变式〕 证明：∵△ABC 为等边三角形∴AB=AC ∠BAC=60° ∵∠BAC=∠DAF ∴∠BAD=∠CAF ∵四边形ADEF 是菱形∴AD=AF ． ∴△ABD ≌△ACF ∴∠ADC=∠AFC
又∵∠ACB=∠ADC ＋∠DAC ，∴∠AFC=∠ACB －∠DAC ⑶补全图形如以下图
∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间的等量关系是 ∠AFC=2∠ACB －∠DAC
〔或者∠AFC ＋∠DAC ＋∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式〕．
B B
C C
D D
E
E 图1
图2
图3
E
B
C D
E
E
四、如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，假设B 、P 在直线a 的异侧，BM
直线
a 于点M ，CN
直线a 于点N ，连接PM 、PN ；
(1)延长MP 交CN 于点E(如图2)。

求证：△BPM
△CPE ；求证：PM=PN ；
(2)假设直线a 绕点A 旋转到图3的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变。

此时，PM=PN 还成立吗？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由；
(3)假设直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变。

请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM=PN 还成立吗？不必说明理由。

【解析】(1)[证明]
如图2，∵BM
直线a 于点M ，CN
直线a 于点N ，
∴BMN=
CNM=90
，∴BM//CN ，∴
MBP=ECP ，
又∵P 为BC 边中点，∴BP=CP ，又∵
BPM=
CPE ，∴△BPM △CPE ，
∵△BPM △CPE ，∴PM=PE ，∴PM=21ME ，∴在Rt △MNE 中，PN=21
ME ，∴PM=PN ；
(2)成立，如图3，
[证明]延长MP 与NC 的延长线相交于点E ，∵BM 直线a 于点M ，CN
直线a 于点N ， ∴BMN=
CNM=90
，∴
BMN
CNM=180
，∴BM//CN ，∴MBP=
ECP ，
又∵P 为BC 中点，∴BP=CP ，又∵BPM=
CPE ，∴△BPM △CPE ，∴PM=PE ，
∴PM=21ME ，那么在Rt △MNE 中，PN=21
ME ，∴PM=PN 。

(3)四边形MBCN 是矩形，PM=PN 成立。

五、如图，等边三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形〔点M 的位置改变时，△DMN 也随之整体挪动〕．
〔1〕如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？都请
a
A B
C
P
M
N
A B
C
M N a
P
A B
C P
N
M
a
图1
图2
图3
直接写出结论，不必证明或者说明理由；
〔2〕如图②，当点M 在BC 上时，其它条件不变，〔1〕的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立假设成立，请利用图②证明；假设不成立，请说明理由；
〔3〕假设点M 在点C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断〔1〕的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立假设成立请直接写出结论，不必证明或者说明理由．
【解析】〔1〕判断：EN 与MF 相等〔或者EN=MF 〕，点F 在直线NE 上， …………3分
〔说明：答对一个给2分〕 〔2〕成立． …………4分 证明：
法一：连结DE ，DF ． …………5分 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC ． 又∵D ，E ，F 是三边的中点，
∴DE ，DF ，EF 为三角形的中位线．∴DE=DF=EF ，∠FDE=60°． 又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°， ∴∠MDF=∠NDE ．
…………7分
图① 图②
图③
A
·
B
C
D
E F
·
N M
F
E
D
C
B A
N
M
F
E
D
C
B
A
·
在△DMF 和△DNE 中，DF=DE ，DM=DN ，∠MDF=∠NDE ， ∴△DMF ≌△DNE ． …………8分 ∴MF=NE ． …………9分 法二：
延长EN ，那么EN 过点F ．…………5分 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC ． 又∵D ，E ，F 是三边的中点，∴EF=DF=BF ． ∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°， ∴∠BDM=∠FDN ．
…………7分
又∵DM=DN ，∠ABM=∠DFN=60°， ∴△DBM ≌△DFN ． …………8分 ∴BM=FN ．
∵BF=EF ，∴MF=EN ． …………9分 法三：
连结DF ，NF ． …………5分 ∵△ABC 是等边三角形， ∴AC=BC=AC ．
又∵D ，E ，F 是三边的中点，
∴DF 为三角形的中位线，∴DF=21AC=21
AB=DB ．
又∠BDM+∠MDF=60°，∠NDF+∠MDF=60°， ∴∠BDM=∠FDN ．
…………7分
在△DBM 和△DFN 中，DF=DB ，
N C
A
B F
M D
E N
C
A
B
F
M
D
E
F B C
DM=DN ，∠BDM=∠NDF ，∴△DBM ≌△DFN ． ∴∠B=∠DFN=60°． …………8分
又∵△DEF 是△ABC 各边中点所构成的三角形， ∴∠DFE=60°．
∴可得点N 在EF 上， ∴MF=EN ． …………9分 〔3〕画出图形〔连出线段NE 〕，
…………11分
MF 与EN 相等的结论仍然成立〔或者MF=NE 成立〕． …………12分。