202104数学文理合答案及评分标准

高考模拟考
数学试卷（文理）参考答案一、填空题(本大题满分56分)
1．12．1
3．3
(1)
x-，x∈R4．π5．
6．
3
2
78．3-9．（理）15（文）123n-10．（理）15 11．（理）
1
14
（文）12．（理）
1
6
（文）2
13．（理）2016（文）
1
14
14．（理）128（文）2016
二、选择题(本大题满分20分)
15．B 16．D
17．C 18．C
三、解答题(
本大题满分74分)
19．(本题满分12分)
[解] 联结PO，AO，由题意，PO⊥平面ABC，因为凳面与地面平行，
所以PAO
∠就是PA与平面ABC所成的角，即60
PAO
∠=︒．（2分）
在等边三角形ABC中，18
AB=，得AO=，（4分）
在直角三角形PAO
中，18
OP=，（6分）
由0.618
OP
h OP
=
-
，解得47.13
h≈厘米．（9分）
三根细钢管的总长度
3
163.25
sin60
h
≈
︒
厘米．（12分）
20．(
本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．
[解]（1
）因为()sin cos)
f
x a x b x
xθ
=++（其中sin
θ=
cosθ=），所以()
f x
=（2分）
及
422
f
π
⎛⎫
=+
=
⎪
⎝⎭
（4分）
解得1
a=-，3
b=或3
a=，1
b=-．（6分）
（2）易知，当x
π
=
于是
1
62
f
π
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
b=（8分）
于是()sin2sin()
3
f x x x x
π
=+=+，（10分）
当()
f x=2
x k
=π或2
3
x k
π
=π+（k∈Z）．（12分）
因为
[0,2]
x∈π，故所求
x的值为0，
3
π
，2π．（13分）
21．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．
[证明]（1）任取
12
1x x
-<<，12
12
12
12
22
()()
11
x x
x x
f x f x a a
x x
--
-=+--
++
1 / 4
2 / 4
1212
12121212223()()()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ⎛⎫---=-+-=-+
⎪++++⎝⎭
．（3分） 因为121x x -<<，1a >，所以12x x a a <，110x +>，210x +>，120x x -<，
于是120x x a a -<，12123()
0(1)(1)
x x x x -<++，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．
因此，函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（6分）
（2）（反证法）若存在负实数0x （01x ≠-），使得0()0f x =，即方程2
01
x x a x -+=+有负实数根．
（8分） 对于21x x a x -=-+，当00x <且01x ≠-时，因为1a >，所以0110,,1x a a a ⎛⎫⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，（10分）
而000231(,1)(2,)11
x x x --=-+∈-∞-+∞++．
（13分） 因此，不存在负实数0x 使得2
1
x x a x -=-
+，得证． 22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． （理）[解]（1）11k =-、22k =-（答案不唯一）．（4分）
（2）由题设，22(1)n n a k
b n k n n
==+-+．（6分）
当21k =，2时，2()k
f n n n =+均单调递增，不合题意，因此，23k ≥．
当2
3k ≥时，对于2()k
f n n n
=
+，当n ()f n 单调递减；当n ()f n 单调递增．
由题设，有123b b b >>，34b b <<．（8分） 于是由23b b >及43b b >，可解得2612k <<． 因此，2k 的值为7，8，9，10，11．（10分）
（3）2,0,
||0,0.n n n n n n a a c a a a >⎧=+=⎨⎩
≤
其中2121212()()()n a n k n k n k k n k k =--=-++，且12k k <．
当120k k <≤时，{}n a 各项均为正数，且单调递增，2n n c a =，也单调递增，不合题意；
当120k k <≤时，222,,0,.n n a n k c n k >⎧=⎨⎩
≤ 不合题意；（12分）
于是，有120k k <<，此时12122,,
0,.n n a n k or n k c k n k <>⎧=⎨⎩
≤≤（14分）
因为0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <），所以i 、12(,)j k k ∉．
于是由212121222()()2[()]n n c a n k n k n k k n k k ==--=-++，可得
1222
k k i j
++=
，进一步得120i k k j <<<<，此时，i 的四个值为1，2，3，4，因此，1k 的最小值为5．（16分） 又1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等， 不妨设+1+2==m m m S S S =，于是有+1+2==0m m c c =，
因为当12k n k ≤≤时，0n c =，所以12512k m m k =+<+<≤≤， 因此，26k ≥，即2k 的最小值为6．（18分）
（文）[解]（1）设直线310x y -+=上点的坐标为00(,31)x x +，代入22x y -，
3 / 4
得222
220003
1(31)8()88
x y x x x -=-+=--+，
（2分） 对于x ∈R ，22118
x y -<≤，因此，直线31y x =+上的点都在(1,1)C 的外部．（4分）
（2）设点N 的坐标为00(,)x y ，由题设22001x y -≥．（6分）
2
0||MN x =220
01x
y +≥，得||1MN
≥，（8分）
对于0y ∈R ，于是6
||
MN ≥，（10分）
因此，||MN ．
（3）因为圆222
x y r +=和双曲线(
,)a b C
均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象
限及x 、y 轴正半轴的情况．
由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为,22
⎫
⎪⎪⎝⎭．（12分）
将2x =，2y =代入双曲线(,)a b C 方程，得22
22122r r a b
-=（*），（13分）
又因为(,)a b C 过点(2,1)，所以2241
1a b
-=，（15分）
将22241b a b =+代入（*）式，得22
283b r b =-．（17分）
由22
2308
r
b r =>-，解得28r >．因此，r 的取值范围为)+∞．
（18分） 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
（理）[解]（1）由题意，直线1y kx =+上点00(,1)x kx +满足221x y -<，即求不等式2
20
0(1)1x kx -+<的解为一切实数时k 的取值范围．（1分）
对于不等式22
0(1)220k x kx ---<， 当1k =±时，不等式的解集不为一切实数，（2分）
于是有2
22
10,
48(1)0,
k k
k ⎧-<⎪⎨∆=+-<⎪⎩
解得||k > 故k 的取值范围为(,(2,)-∞+∞．（4分）
（2）因为圆222x y r +=和双曲线(,
)a b C 均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及
x 、y 轴正半轴的情况．
由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为
⎝⎭．
将x ，y =代入双曲线(,)a b C 方程，得22
22122r r a b
-=（*），（6分）
又因为(,)a b C 过点(2,1)，所以2241
1a b
-=，（7分）
将22241b a b =+代入（*）式，得22
283
b r b =-．（9分）
4 / 4
由2
2
2308
r b r =>-，解得28r >．因此，r
的取值范围为)+∞．
（10分） （3）由2
||1xy mx =+，得1||||||y m x x =+．将1||||||y m x x =+代入22221x y a b
-<，
由题设，不等式2
222
1||||1m x x x a b ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭-<对任意非零实数x 均成立．（12分） 其中2
222222
222
2221||||1[()2]m x x x a b a m x a m a b a b x
⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=---． 令2x t =，设2222
2()()2a f t b a m t a m t
=---，
（0t >）． 当2220b a m ->时，函数()f t 在(0,)+∞上单调递增，()1f t <不恒成立；（14分）
当2
2
2
0b a m -<
时，2
2
2
2
()a b a m t t
---≤
函数()f t
的最大值为22a m --，
因为0m >
01<<；（16分）
当222
0b a m -=时，22()201a f t a m t =--<<．（17分）
综上，2220b a m -≤，解得b m a ≥．因此，m 的取值范围为,b a ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
．（18分）
（文） [解]（1）11k =-、22k =-（答案不唯一）．（4分）
（2）由题设，22(1)n n a k
b n k n n
==+-+．（6分）
当21k =，2时，2()k
f n n n =+均单调递增，不合题意，因此，23k ≥．
当23k ≥时，对于2()k
f n n n
=+
，当n ()f n
单调递减；当n ()f n 单调递增．
由题设，有123b b b >>，34b b <<．（8分） 于是由23b b >及43b b >，可解得2612k <<． 因此，2k 的值为7，8，9，10，11．（10分）
（3）因为2121212()()()n a n k n k n k k n k k =--=-++，且120k k <<，
所以12122,,||0,.n n n n a n k or n k c a a k n k <>⎧=+=⎨⎩
≤≤（12分）
因为0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <），所以i 、12(,)j k k ∉．（14分）
于是由212122[()]n c n k k n k k =-++，可得
1222
k k i j
++=
，进一步得120i k k j <<<<， 此时，i 的四个值为1，2，3，4，因此，1k 的最小值为5．（16分）
又1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设+1+2==m m m S S S =，
于是有+1+2==0m m c c =，因为当12k n k ≤≤时，0n c =，所以12512k m m k =+<+<≤≤， 因此，26k ≥，即2k 的最小值为6．（18分）。