材料力学(I)第四章(配孙训方版)

M (x)
距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根 据截面右侧梁段上的荷载有
FS ( x ) = qx
(0 ≤ x < l ) (0 ≤ x < l )
x qx 2 M ( x ) = − qx ⋅ = − 2 2
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第四章 弯曲应力
2. 作剪力图和弯矩图 根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别如 图b和图c。按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方， 弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁 弯曲时其受拉的边缘一侧)。 (b) FS ( x ) = qx
)(
)
M A = 96.5 kN ⋅ m
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2. 此梁的约束力亦可将梁在中间铰C处拆开，先利用 CB段梁作为分离体求约束力FBy和AC段梁在中间铰C处作用 在CB段梁上的FCx和FCy，然后利用AC段梁作为分离体求约 束力FAx，FAy和MA。
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Fb (0 < x < a ) FS ( x ) = FA = l Fb M ( x ) = FA x = x (0 ≤ x ≤ a ) l
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于是可求得约束力如下：
∑M
− 20 × 103 N
(
C
=0 m
× 3 m × 2.5 m + 5 ×103 N ⋅ m + FBy × 5 m = 0
FBy = 29 kN
)
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∑F
x
= 0, FAx = 0
材料力学电子教案1第四章弯曲应力41对称弯曲的概念及梁的计算简图42梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图43平面刚架和曲杆的内力图44梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件45梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件46梁的合理设计3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积材料力学电子教案241对称弯曲的概念及梁的计算简图
值)，它们都发生在固定端 (c)
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例题4-5 图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试 例题 作梁的剪力图和弯矩图。
(a)
解：1. 求约束力
FA = FB =
ql 2
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2. 列剪力方程和弯矩方程
故根据作用与反作用原理，m－m左边的梁段对于右边 梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指 向和转向相反。这一点也可由m－m右边分离体的平衡条件加 以检验：
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∑F
y
= 0, FS − F + FB = 0
Fa F (l − a ) = l l
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弯曲变形
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工程实例
F1
F2
4
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纵向对称面
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对称弯曲——外力作 对称弯曲 用于梁的纵向对称面内， 因而变形后梁的轴线(挠曲 线)是在该纵对称面内的平 面曲线。
非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因 非对称弯曲 而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并 不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
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§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 §4-2 梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 - 梁的剪力和弯矩· §4-3 平面刚架和曲杆的内力图 §4-4 梁横截面上的正应力 梁的正应力强度条件 - 梁横截面上的正应力· §4-5 梁横截面上的切应力 梁的切应力强度条件 - 梁横截面上的切应力· §4-6 梁的合理设计 惯性矩和惯性积的平行移轴公式· §Ⅰ-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组 合截面的惯性矩和惯性积
思考： 1. 如果上述例题中所示的梁上，没有原来的荷载，但 另外加一个作用在中间铰C上的集中荷载F =100 kN，试求 该梁的约束力。
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2. 在中间铰C的左侧加一个力矩为Me的力偶和在中间 铰C的右侧加一力矩同样大小的力偶，它们产生的约束力 是否一样？
qlx qx 2 M (x ) = − 2 2 (0 ≤ x ≤ l )
由图可见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其 值为 FS,max = ql (正值，负值)，发生在两个支座各自的内 2 ql 2 发生在跨中横截 侧横截面上；最大弯矩其值为 M max = 8 面上。
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FS(x)
M (x)
ql FS ( x ) = FA − qx = − qx (0 < x < l ) 2 x qlx qx 2 (0 ≤ x ≤ l ) M ( x ) = FA x − qx ⋅ = − 2 2 2
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3. 作剪力图和弯矩图 ql FS ( x ) = − qx 2 (0 < x < l )
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简支梁受满布荷载作用是工程上常遇到的计算情况， 初学者对于此种情况下的剪力图、弯矩图和FS,max，Mmax的 计算公式应牢记在心！
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例题4-6 图a所示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的 例题 剪力图和弯矩图。
F
(a)
解：1. 求约束力
(0 ≤ x < l )
(c)
x qx 2 M ( x ) = − qx ⋅ = − 2 2 (0 ≤ x < l )
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(a)
由图可见，此梁横截 面上的最大剪力其值为 FS,max=ql，最大弯矩(按绝
ql 2 (负 = 2
(b)
对值)其值为 M max 右侧横截面上。
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对于平面力系，虽然可列出3个独立平衡方程，但此 梁具有中间铰C，故根据铰不能传递力矩的特点，作用在 中间铰一侧(梁的AC或梁CB段)梁上的外力(荷载和约束力) 对于中间铰C的力矩应等于零，还可列出1个独立的平衡 方程。这样就可利用4个平衡方程求解4个未知支约束力。 由此也可知，此梁是静定梁。
FB =
Fa l
梁的左段内任一横截面m－ m上的内力，由m－m左边分离 体(图b)的平衡条件可知：
F (l − a ) F (l − a ) FS = FA = , M = FA x = x l l
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它们的指向和转向如图b中 所示。显然这些内力是 m－m 右边的梁段对于左边梁段的作 用力和作用力矩。
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对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线 与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。 本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。
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Ⅱ. 梁的计算简图 对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的 平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。 这里加“通常”二字是因为简支梁在水平面内对称弯 曲时不能用轴线代表梁。
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综上所述可知： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段 上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向 下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。 (2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁 段上外力对该截面形心的力矩之代数和。 1. 不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引 起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。
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3. 显然可见，作用在此梁CB段上的荷载是要通过中 间铰传递到梁的AC段上的，但作用在AC段上的荷载是不会 传递给CB段的。故习惯上把梁的AC段称为基本梁(或称主 梁)，把梁的CB段称为副梁。
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例题4例题 -4
图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载
作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
(a)
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解：1. 列剪力方程和弯矩方程 当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包 含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。 FS(x)
∑F
y
= 0, − FAy + 50 kN + 20 kN
FAy = 81 kN (↑ )
(
m
× 3 m − 29 kN = 0)ຫໍສະໝຸດ ∑MA=0
M A − 50 × 103 N ×1 m − 20 × 103 N + 29 × 103 × 6.5 m = 0
(
) (
m
× 3 m × 4 m + 5 ×103 N ⋅ m
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例题4例题 -1 试求图a所示有中间铰C的梁A、B处的约束力。
(a) 解：1. 此梁左端A为固定端，有3个未知约束力FAx，FAy 和MA；右端B处为可动铰支座，有1个未知约束力FBy。此梁总 共有4个未知支约束力。
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F
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(1) 支座的基本形式
FRx MR FRy (b) (c) (a) 1. 固定端——实例如图a，计算简图如图b, c。
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2. 固定铰支座——实例 如图中左边的支座，计算简 图如图b，e。
3. 可动铰支座——实例如图a中右边的支座，计算简图 如图c，f。
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2. 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的 弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右 侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。
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剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图 Ⅱ. 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪 力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和 弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则 分别称为剪力图和弯矩图。
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§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 Ⅰ. 关于弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
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梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
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为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横 截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号 要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。
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§4-2 梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图 梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图
梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment) Ⅰ. 梁的剪力和弯矩 图a所示跨度为l的简支梁其 约束力为
FA =
F (l − a ) , l
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(2) 梁的基本形式 悬臂梁
简支梁
外伸梁
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(3) 静定梁和超静定梁 在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由 平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。 图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
Fb FA = , l
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Fa FB = l
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2. 列剪力方程和弯矩方程 此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内 任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁 的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。
F
AC段梁
FS(x)
M (x)
从而有 FS = F − FB = F −
∑M
从而有
− M − F (a − x ) + FB (l − x ) = 0
C
=0
M = − F (a − x ) + FB (l − x ) Fa (l − x ) = − F (a − x ) + l F (l − a ) = x l
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