苏教版高中数学必修五—第二学期高一周考9

扬中市第二高级中学2014—2015学年第二学期高一数学周考9
——解三角形、数列、不等式姓名 成绩
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1.在△ABC 2sin b A =，且b a >，则B 等于____________ ．
2.若0<a ，则不等式(1)(2)0x ax -->的解集是 .
3.已知0<x <43
，则x (4－3x )的最大值= . 4.已知x >0，y >0，且1x ＋9y
＝1，则x ＋y 的最小值= . 5.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.
6.已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝______.
解： 在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝a 3＋a 8＝22，∴a 5＝15.
7.如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.
解： ∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，a 4＝4.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.
8.在等比数列}{n a 中，若29a =-，101a =-，则6a 的值为 ．－3
9.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知3S 3=a 4-2,3S 2=a 3-2,则公比q = .
解：3S 3=a 4-2,3S 2=a 3-2,两式作差得3(S 3-S 2)=a 4-a 3,化简整理得a 4=4a 3.故公比q =4.
10.设M =a +21-a （2＜a ＜3），N =log 2
1（x 2+161）（x ∈R ），那么M 、N 的大小关系是 . M >4,N ≤4,M ＞N
11．若0>a ，0>b ，且3++=b a ab ，则ab 的取值范围为 .[9,)+∞
12．若不等式22214x a x ax ->++对一切R x ∈恒成立，则实数a 的范围
是 .(2,)+∞
13.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋y －4≤0，
x －3y ＋4≤0，
则目标函数z ＝3x －y 的最大值为
________．
解： ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋y －4≤0，
x －3y ＋4≤0表示的平面区域如图所示．
z ＝3x －y 在A (2,2)取得最大值．
z max ＝3×2－2＝4.
14.已知数列{a n }是等差数列，且a 7
a 6
＜－1，它的前n 项和S n 有最小值，则S n 取到最小正数时
n 的值为 ．12 二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15.(1)(7分)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1b
)≥9.
(2)(7分)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5
的最大值； 解（1）因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，
所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理1＋1b ＝2＋a b
. 所以(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋a b
) ＝5＋2(b a ＋a b )≥5＋4＝9. 所以(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12
时等号成立)．(7分) 解(2)∵x <54，∴5－4x >0. y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝
⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－2
5－4x ·15－4x
＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，这时，y max ＝1.(14分) 16（14分）.设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、3sin cos b A a B =.
（1）求角B 的大小；（2）若3,sin 30b C A =-=，求,a c 的值.
解（1）Q 3sin cos b A a B =3sin sin cos B A A B =
Q (0,)A π∈，∴sin 0A >，∴3tan B =
又(0,)B π∈Q ，6B π
=.(7分)
（2）sin 30C A -=Q ，sin 3C A ∴=由正弦定理得3c a =，
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，229323cos
6a a a a π=+-g ，
解得322a =，36c ∴=(14分)
17（15分）.设数列{}n a 是一个公差)0(≠d d 的等差数列，已知它的前10项和为110，且
421,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n a n b )1(+=，求数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的
前n 项和n T .
解：（1）2n a n =(7分)
（2）2(1)
n n T n =+(15分) 18（15分）.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
（1）现有可围36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，
可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为24m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，
可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
解：(1)设长、宽分别为,x y ，则4636x y +=即2318x y +=
s =211232723()6622x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当2x ＝3y 时上式等号成立，即x ＝92
，3y = 答：……(8分)
（2）设长、宽分别为,x y ，则24xy =
总长度L=4624648x y x y +≥⋅=，当且仅当2x ＝3y 时上式等号成立，即x ＝6，4y = 答：……(15分)
19.（16分）.已知函数a x x a x f ,2
)1()(--=为常数. （1）若2)(>x f 的解集为)3,2(，求a 的值；
（2）若3)(-<x x f 对任意()+∞∈,2x 恒成立，求a 的取值范围. 解：（1）1a =(7分)
（2）3)(-<x x f 即(1)(2)(3)a x x x -<--对任意()+∞∈,2x 恒成立 令1t x =- 则23a t t <+-对任意()1,t ∈+∞恒成立，易知：23t t
+-的最小值为223- ∴223a <-(16分)
20.（16分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n
S n An 2Bn 1（A ≠0）．
（1）若a 132，a 294，求证数列{a n n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）已知数列{a n }是等差数列，求
1B A
-的值． 解：（1）分别令n =1，2，代入条件，得 121
21,242 1.a A B a a A B =++⎧⎨+=++⎩…………2分 又a 132
，a 294，解得1,23.2A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………4分
∵a n S n 12n 232n 1，①
∴a n 1S n 112(n 1)232(n 1)1．② ②
①，得2a n 1a n n 2．③………………6分
则a n 1(n 1)12(a n n )．∵a 1112≠0， ∴数列{a n
n }是首项为12，公比12的等比数列．………………8分
a n n 12n ，则a n n 12n ．……………………10分
说明：也可以由③研究1(1)n n a n a n
+-+-=定值
（2）∵数列{a n }是等差数列，∴可设a n dn c ， 则2()()222n n d c dn c d d S n c n +++==++． ∴23()22n n d d a S n c n c +=
+++． ……………………13分 （说明，用首项与公差表示为211()()2
2
n n d d a S n a n a d +=+++-，也得13分） 则2d
A =，32d
B c =+，c 1．
∴1
B A -3．……………………16分。