《创新设计》2022高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练：突破练4 Word版含解析

突破练(四)
1．已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q . (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值．
解 (1)f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x ＝－1＋cos 2x ＋23sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1 ＝2
32sin 2x ＋12cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6－1. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π
2， 得k π－π3≤x ≤k π＋π
6.
∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．
(2)由于f (C )＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2C ＋π6－1＝1，
∴sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2C ＋π6＝1，
∵C 是三角形的内角，∴2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6.
∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π
6. ∴cos C ＝
a 2
＋b 2
－c 2
2ab ＝32，即a 2＋b 2
＝7.
将ab ＝23代入可得a 2＋12
a 2＝7，解得a 2＝3，或a 2＝4. ∴a ＝3或a ＝2， ∴
b ＝2或b ＝ 3. ∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.
2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PB ⊥底面ABCD ，BC ⊥AB ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，CD ⊥PD ，异面直线P A 和CD 所成角等于60°.
(1)求证：面PCD ⊥面PBD ；
(2)求直线PC 和平面P AD 所成角的正弦值的大小；
(3)在棱P A 上是否存在一点E ，使得二面角A －BE －D 的余弦值为6
6？若存在，指出点E 在棱P A 上的位置，若不存在，说明理由． (1)证明 PB ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥CD ，
又∵CD ⊥PD ，PD ∩PB ＝P ，PD ，PB ⊂平面PBD . ∴CD ⊥平面PBD ，又CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面PBD .
(2)解 如图，以B 为原点，BA ，BC ，BP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设BC ＝a ，BP ＝b ，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0，a,0)， D (2,2,0)，P (0,0，b )．
∵PD
→＝(2,2，－b )，CD →＝(2,2－a,0)，CD ⊥PD ， ∴CD →·PD →＝0，∴4＋4－2a ＝0，a ＝4， 又P A →＝(2,0，－b )，CD →＝(2，－2,0)， 异面直线P A 和CD 所成角等于60°， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪P A →·CD →|P A →|·|CD →|＝12
， 即
4b 2＋4·22＝1
2
，解得b ＝2，
PC →＝(0,4，－2)，AD →＝(0,2,0)，P A →
＝(2,0，－2)． 设平面P AD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，。