7.1.2复数的几何意义

7.1.2 复数的几何意义
基础过关练
题组一复数与复平面内点的对应关系
1.已知复数z=-i,则在复平面内对应的点Z的坐标为()
A.(0,-1)
B.(-1,0)
C.(0,0)
D.(-1,-1)
2.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()
A.4+8i
B.8+2i
C.2+4i
D.4+i
3.若x,y∈R,i为虚数单位,且x+y+(x-y)i=3-i,则复数x+yi在复平面内所对应的点在()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i 在复平面内对应的点:
题组二 复数与平面向量的对应关系
5.在复平面内,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3)对应的复数为( ) A.2-3i B.2+3i C.3+2i D.-3-2i
6.已知i 为虚数单位,在复平面内,与x 轴同方向的单位向量e 1和与y 轴同方向的单位向量e 2对应的复数分别是( ) A.1,i B.i,-i C.1,-i D.1或-1,i 或-i
7.已知i 为虚数单位,在复平面内,O 为原点,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为1+4i,向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-3+6i,则向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为( ) A.-3+2i
B.-2+10i
C.4-2i
D.-12i
8.在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:1,-12+√3
2
i,-12-√32
i.
题组三 复数的模及其应用
9.已知复数z=(m-3)+(m-1)i 的模等于2,则实数m 的值为( ) A.1或3 B.1 C .3 D .2
10.在复平面内,O 为原点,若点P 对应的复数z 满足|z|≤1,则点P 的集合构成的图形是( ) A.直线 B .线段
C.圆
D.单位圆以及圆内部
11.使|lo g1
2
x-4i|≥|3+4i|成立的x的取值范围是()
A.[1
8
,8] B.(0,1]∪[8,+∞)
C.(0,1
8
]∪[8,+∞) D.(0,1)∪(8,+∞)
12.若复数z=2a-1
a+2
+(a2-a-6)i是实数,则z1=(a-1)+(1-2a)i的模为.
13.在复平面内画出下列各复数对应的向量,并求出各复数的模.
1,-1+2i,-3i,6-7i.
题组四共轭复数
14.已知i为虚数单位,若z=1+i
2
,则z=()
A.1+i
2B.1-i
2
C.-1+i
2
D.-1-i
2
15.已知i为虚数单位,若(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x,y的值分别是()
A.3,3
B.5,1
C.-1,-1
D.-1,1
16.若复数z1,z2满足z1=z2,则z1,z2在复平面内对应的点Z1,Z2(深度解析)
A.关于实轴对称
B.关于虚轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x对称
17.若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,其中m∈R,则
|z|=,z=.
能力提升练
题组一复数几何意义的综合应用
⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-1+2i,若点A关于直1.()在复平面内,O为原点,向量OA
⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为()
线y=-x的对称点为点B,则向量OB
A.-2-i
B.-2+i
C.1+2i
D.-1+2i
2.(多选)()设复数z满足z=-1-2i,i为虚数单位,则下列命题正确的是()
A.|z|=√5
B.复数z在复平面内对应的点在第四象限
C.z的共轭复数为-1+2i
D.复数z在复平面内对应的点在直线y=-2x上
3.()已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点在同一条直线上,则实数a的值为()
A.5
B.-2
C.-5
D.3
5
4.(2020河南名校联盟高二月考,)设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos B-tan A)+itan B(i为虚数单位)对应的点位于复平面的()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5.(2020天津高一月考,)在复平面内,复数z=(m+1)+(m-1)i对应的点在直线x+y-4=0上,则实数m的值为,|z|=.
6.()若复数z=(-6+k 2)-(k 2-4)i(k ∈R,i 为虚数单位)在复平面内所对应的
点在第三象限,则k 的取值范围是 . 7.(
)在复平面内,已知O 为坐标原点,点Z 1,Z 2分别对应复数
z 1=4+3i,z 2=2a-3i(a ∈R),若OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则a= . 8.(
)已知3-4i=x+yi(x,y ∈R),则|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小关系
为 . 9.(2020北京房山高一期末,)已知复数z=3+ai,且|z|<4,则实数a 的取
值范围是 . 11.()在复平面内,点A,B,C 对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O 为坐标原
点.
(1)求向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB
⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数; (2)求平行四边形ABCD 的顶点D 对应的复数.
题组二 共轭复数性质的应用 12.(2020河南洛阳模拟,)设复数z 满足z =|1-i|+i(i 为虚数单位),则复
数z=( ) A.√2-i B.√2+i C.1 D .-1-2i 13.(
)设O 为原点,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB
⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数的共轭复数的模为( ) A.5 B .50 C.25 D.5√2 14.(多选)(
)已知复数z=a+bi(a,b ∈R,i 为虚数单位),且a+b=1,下列命题
正确的是( ) A.z 不可能为纯虚数
B.若z 的共轭复数为z ,且z=z ,则z 是实数
C.若z=|z|,则z 是实数
D.|z|可以等于1
2
15.(多选)()设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,i为虚数单位,则以下结论正确的是()
A.z对应的点在第一象限
B.z一定不为纯虚数
C.z一定不为实数
D.z对应的点在实轴的下方
16.()在复平面内,O为原点,复数z=3+4i对应的点Z关于x轴的对称点为Z1,则向量OZ1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为.
答案全解全析
基础过关练
1.A复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故复平面内对应的点Z的坐标为(0,-1).
2.C复数6+5i对应的点A的坐标为(6,5),-2+3i对应的点B的坐标为(-2,3).由中点坐标公式知点C的坐标为(2,4),∴点C对应的复数为2+4i,故选C.
3.A∵x+y+(x-y)i=3-i,
∴{x+y=3,
x-y=-1,解得{
x=1,
y=2,
∴复数1+2i在复平面内所对应的点为(1,2),在第一象限.
4.解析(1)要使复数z在复平面内对应的点位于第四象限,需满足
{m 2-8m+15>0,
m2+3m-28<0,
∴{m<3或m>5,
-7<m<4,
∴-7<m<3.
(2)要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上,需满足{m2-8m+15<0, m2+3m-28=0,
∴{3<m <5,m =-7或m =4,
∴m=4. (3)要使复数z 在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足m 2+3m-28≥0,解得m ≥4或m ≤-7.
5.A 由复数的几何意义,知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3)对应的复数为2-3i.故选A.
6.A 由题意知e 1=(1,0),e 2=(0,1),故对应的复数分别为1,i,故选A.
7.B 因为向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为1+4i,向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-3+6i,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,6),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4)+(-3,6)=(-2,10),所以向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-2+10i.
8.解析 设复数1,-12+√3
2i,-12-√3
2i 在复平面内对应的点分别为A,B,C,则A(1,0),B (-12,
√32),C (-12,-√3
2
),与之对应的向量可用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示,如图所示.
9.A 依题意可得√(m -3)2+(m -1)2=2,解得m=1或m=3,故选A.
10. D 由|z|≤1,得|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤1,所以满足条件的点P 的集合是以原点O 为圆心,1为半径的圆及其内部.
11.C 由已知得√(log 12
x)2+(-4)2≥2+42,
∴(lo g 12
x)2≥9,
∴lo g 12
x ≥3或lo g 12
x ≤-3,
解得0<x ≤18
或x ≥8. ∴x ∈(0,1
8]∪[8,+∞). 12.答案 √29 解析 ∵z 为实数,
∴a 2-a-6=0且a+2≠0, ∴a=3,
∴z 1=2-5i,∴|z 1|=√29.
13.解析 设复数1,-1+2i,-3i,6-7i 在复平面内对应的点分别为A,B,C,D,对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图所示. |1|=1,
|-1+2i|=√(-1)2+22=√5, |-3i|=√(-3)2=3, |6-7i|=√62+(-7)2=√85.
14.B 根据共轭复数的定义可知,选项B 正确.
15.D ∵(x-2)+yi 和3x-i 互为共轭复数, ∴{x -2=3x,y +(-1)=0,解得{x =-1,y =1.
16.A 设z 1=a+bi,z 2=c+di,其中a,b,c,d ∈R,则Z 1(a,b),Z 2(c,d).由z 1=z 2得,a+bi=c-di,则a=c,b=-d,所以z 1,z 2在复平面内对应的点Z 1,Z 2关于实轴对称. 方法总结
共轭复数的特点:
(1)在复平面内,共轭复数表示的两个点关于实轴对称;
(2)共轭复数的模相等,即|z|=|z |. 17.答案 12;-12i
解析 由题意得{m 2+2m -3≠0,
m 2-9=0,
所以m=3, 因此z=12i,故|z|=12,z =-12i.
能力提升练
1.B 因为复数-1+2i 对应的点为A(-1,2),
所以点A 关于直线y=-x 的对称点为B(-2,1),所以OB
⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-2+i. 2.AC |z|=√(-1)2+(-2)2=√5,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为-1+2i,C 正确;复数z 在复平面内对应的点
(-1,-2)不在直线y=-2x 上,D 不正确.故选AC.
3.A 设复数3-5i,1-i,-2+ai 对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-5),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1),C =(-2,a). ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4), BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,a+1). ∵A,B,C 三点共线, ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC
⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴-2(a+1)-(-3)×4=0,
解得a=5. 故a 的值为5.
4.B 因为A,B 为锐角三角形的两个内角,所以A+B>π
2,即A>π
2-B,所以sin A>cos B,所以cos B-tan A=cos B-sinA
cosA <cos B-sin A<0,又tan B>0,所以点(cos B-tan A,tan B)在第二象限,故选B. 5.答案 2;√10
解析 由题意得点(m+1,m-1)在直线x+y-4=0上,∴(m+1)+(m-1)-4=0, ∴m=2,∴z=3+i,∴|z|=√10. 6.答案 2<k<√6或-√6<k<-2
解析 ∵复数z 所对应的点在第三象限, ∴{k 2-6<0,4-k 2<0,∴2<k<√6或-√6<k<-2. 7.答案 9
8
解析 因为z 1=4+3i,z 2=2a-3i(a ∈R), 所以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3),OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a,-3). 因为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
所以8a=9,解得a=98.
8.答案 |y+2i|<|x-yi|<|1-5i|
解析 由3-4i=x+yi(x,y ∈R),
得x=3,y=-4.
∴|x-yi|=|3+4i|=2+42=5,
|y+2i|=|-4+2i|=√(-4)2+22=√20.
易得|1-5i|=√1+(-5)2=√26,
∵√20<5<√26,
∴|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|.
9.答案 (-√7,√7)
解析 解法一:∵z=3+ai(a ∈R),∴|z|=√32+a 2,由已知得32+a 2<42,∴a 2<7, ∴a ∈(-√7,√7).
解法二:利用复数的几何意义,由|z|<4,知z 在复平面内对应的点在以原点为圆心,4为半径的圆内.
由z=3+ai 知z 对应的点Z 在直线x=3上,
∴线段AB(除去端点)为动点Z 的集合.
由图可知-√7<a<√7.
10.解析 |z 1|=|√3-i|=2,|z 2|=|-12+√32i|=√(-12)2+(√32)2
=1. ∵|z 2|≤|z|≤|z 1|,∴1≤|z|≤2,对应的点Z 的集合是以原点O 为圆心,1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环的边界),如图所示.
11.解析 (1)由已知得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数分别为1+4i,-3i,2,
则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4),OB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0), 所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-4),
故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为1+i,AC
⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为1-4i. (2)解法一:由已知得,点A,B,C 的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),则AC 的中点的坐标为(32,2),由平行四边形的性质知,BD 的中点的坐标也是(32,2).
设D(x 0,y 0),则{0+x 02=32,-3+y 02=2,解得{x 0=3,y 0=7,
所以D(3,7). 故D 对应的复数为3+7i.
解法二:由已知得,点A,B,C 的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),设D(x 0,y 0),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-7),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x 0,-y 0).
因为四边形ABCD 为平行四边形,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{-1=2-x 0,-7=-y 0,解得{x 0=3,y 0=7.
所以D(3,7),故D 对应的复数为3+7i.
解法三:由已知得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4),OB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0), 所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,7),BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3), 由平行四边形的性质得BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,10),所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,7),所以D(3,7),故D 对应的复数为3+7i.
12.A 因为z =|1-i|+i=√2+i,所以复数z=√2-i.故选A.
13.D 由题意知,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),OB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-2), ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,5), ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为5+5i,
∴其共轭复数为5-5i,模为5√2,故选D.
14.BC 当a=0时,b=1,此时z=i,为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z=z ,则 a+bi=a-bi,因此b=0,B 正确;由|z|是实数,且z=|z|知,z 是实数,C 正确;由|z|=12得a 2+b 2=14,又a+b=1,b=1-a,因此8a 2-8a+3=0,Δ=64-4×8×3=-32<0,所以方程无实数解,即|z|不可以等于12,D 错误.故选BC.
15.CD 对于A,2t 2+5t-3=2(t +54)2-498>-498,t 2+2t+2=(t+1)2+1>0,所以复数z 对应的
点可能在第一象限,也可能在第二象限,故A 错误;对于B,当{2t 2+5t -3=0,t 2+2t +2≠0,
即t=-3或t=12时,z 为纯虚数,故B 错误;对于C,因为t 2+2t+2>0恒成立,所以z 一定不为实数,故C 正确;对于D,由选项A 的分析知,z 对应的点在实轴的上方,所以z 对应的点在实轴的下方,故D 正确.故选CD.
16.答案 3-4i
解析 由题意,知点Z 的坐标为(3,4),所以点Z 关于x 轴的对称点Z 1的坐标为(3,-4),所以向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为3-4i.。