第二章1秩亏自由网平差与拟稳平差

秩亏网平差方法
1)是一种广义逆法：通过求法方程N的某些广义逆 N m , N T ,
或求A的位逆，求出其特解（最优唯一解）。（从原理出发） 2)从传统平差方法出发，寻求秩亏网平差的解法——直接法、 附加条件法、转换法。 规定： ˆ X Qˆ 加权秩亏网平差： P 、 X P ˆ 普通秩亏网平差： 、 ˆ X r QX r 普通拟稳平差：ˆ S 、 X S X Qˆ ˆ 经典自由网平差： C 、 X X Q ˆC
高程基准：
d 3 Cn2 n(n 1) / 2, (n 2).
水准网（一维网），高程基准——位置基准，基准个数 d 0 d1 d 2 =2，当不考虑尺度比 d 0 1 。 三角网，测边网，测角网，导线网（二维网）
d 0 d1 d 2 d 3 1 2 1 4
ˆ ˆ ˆ X T X 2K T ( NX AT Pl)
ˆ 对 X 求偏导数令其等于零，得：
ˆ 2 X T 2 K T N 0(极值点） ˆ X
ˆ X N T k (1) ˆ NX AT Pl(2)
所以
NN T K AT Pl
ˆ K ( NN T ) AT Pl, X r N T ( NN T ) AT Pl N ( NN ) AT Pl
NN m N NN T ( NN T AT A) AT A A或AT A( AT A) AT AT
DDT ( AT A( AT A) AT AT )( A( AT A) AT A A) ( AT A( AT A) AT A( AT A) AT A AT A( AT A) AT A AT A( AT A) AT A AT A 0
ˆ ( N m1 N m2 ) NX 0 ( N m1 N m2 ) AT Pl 0 N m1 AT Pl N m2 AT Pl
两边右乘
ˆ X

例：
ˆ ˆ ˆ X1 X 2 X
是最小范数解是唯一的。
取各点近似高程：
0 0 0 0 H10 X 10 0m, H 2 X 2 12.345m, H 3 X 3 15.823m

( X T X )1 / 2 X = X ( X 1......X n )
2 2 X 12 X 2 ... X n ，一个解
其平方和开方称为向量X的范数,几何意义是向量的长度。
X ＝min
最小范数解 在型中心的范数逆 N m , NN m N N , ( N m N )T N m N 法方程有一个特解：
： d R ( A) R( A) ,当d=0是满秩平差，秩亏自由网平差。 则： 造成秩亏的主要原因是： 网中无足够的起算数据。
网的基准： 上例：水准网中通过观测高差无法确定高程，有一个未知数,需 要有一个高程基准（相对于海平面来说,例H 3 100 ），这时 d=1。 如果还考虑水准尺之间的尺度比，这时尺度比为未知参数，用 高差也无法确定它，那就需要一个尺度标准，这时d= 2。 二维大地网（三角网，导线网），以大地点坐标作为未知数 （X,Y）。 测角网：测方向或角度。 需：一个点位置基准（纵、横坐标）定位。 一个方位基准定向。 一个尺度基准，用来定大小比例。 即需要：4个基准信息，所以d=4。
&3.2 普通秩亏网自由网平差 一、秩亏自由网平差原理（普通） 秩亏自由网平差的误差方程为： V A X 函数模型： n *1 n * t t *1 l , R( A) t 0 t 平差原则：
V T PV min ˆ ˆ X T X min
根据最小二乘得法方程：
NX AT Pl 0 N AT PA, R( N ) R( A) t0 t
X N m AT PL
问题： m 如何求得？ N
根据最小范数条件的不同，秩亏自由网平差主要有： 1）加权秩亏网平差：
X T Px X min
2）普通秩亏网平差：
X T X min
3）拟稳平差： X 网中未知数分为两类： ˆ
ˆ XI ˆ X ˆT 其中是非稳定点，是拟稳定点未知数 X X min 当 Px I 时，加权变为普通秩亏网 若取 Px diag0 I ，则加权变为稳定平差。
令：
N m N (NN )
所以
ˆ X r N m AT Pl
是最小二乘最小范数解，最小范数解中的 N m 应为最小范数逆，
根据最小范数的定义知，该逆应满足：
NN m N N ( N m N )T N m N
可以证明 N m 确实满足上述两个条件：
[证]：
秩亏数
d t t0
N的凯力逆（ N ）不存在，法方程解不唯一， 为了确定唯一的解，加入最小范数条件：
1
ˆ ˆ X T X min
ˆ NX AT Pl 0
在满足
ˆ NX AT Pl 0
的约束条件下，求目标函数
ˆ ˆ X T X min
的条件极值问题。 组成新的函数：
NX AT PL R( A) t 0 ˆ X N 1 AT PL
1
N
——正则逆（凯莱逆）
ii)不设基准 R( A) t 0 t , d d 0
R( N ) t 0 t 秩亏 凯莱逆不存在： 1 NN N N 广义逆 N 不唯一， X N AT PL ( I N N )M ，其中M是任意向量，解不 唯一。 注意：N N I 为求唯一解，需在最小二乘基础上附加另外条件，此条 件应保证所求得的未知参数：唯一，而且最优。可证最优 且唯一存在的条件是最小范数条件：
( N m1 NN T N m2 NN T ) ( N m1 N m2 ) NN T 0

两边右乘
( N m1 N m2 )T
( N m1 N m2 ) NN T ( N m1 N m2 ) T 0 [(N m1 N m2 ) N ][(N m1 N m2 ) N ]T 0 ( N m1 N m2 ) N 0
1
X L L 0 2 2 2 3 L1 1 1 0 T A L L2 0 1 1 L 3
ˆ 所以 X N 1 AT L ( AT A) 1 AT L 其中( AT A) 1 AT 左逆，
满足最小二乘法则。
N
1
2 1 1 / 3 1 2
如不设其始高程，则X 1 H1 , X 2 H 2 , X 3 H 3 均为未知高程，
那么，误差方程：
0 1 X 1 L1 1 1 1 0 X 2 L2 0 1 1 X 3 L3
ˆ ˆ X 1 N m1 AT Pl, X 2 N M 2 AT Pl
只要证： 所以
ˆ ˆ ˆ X1 X 2 X
NN m N N , ( N m N ) N m N , N T ( NN m N )T N m NN T
即：
N m1 NN T N T , N m2 NN T N T
1 A 1 0 0 1 1 1 0 =0 1
1 0 1 0 1 1
R(A)=2<3，所以A为降秩阵。
2 1 1 N AT A 1 2 1 1 1 2
N =8-1-1-2-2-2=0。
N 1 不存在，不可能得出唯一解，A不是列满秩，即矩阵秩亏。 令 R ( A) —A列满秩数，R(A)—A实际秩数，d为A的秩亏数
当网中没有足够的起算数据： R(A)=T0
T
d 0 = R ( A) R( A) T T0 d （秩亏数基准数）
一般： 几维几何空间大地网，当以点位和尺度比为未知数，而观 测量为边长（高差）和方向（角度）。 基准的类型和个数 尺度基准：
0 d1 Cn 1
位置基准：
1 d 2 Cn n
在矩阵A中任一个K阶行列式不等于零，而所有K+1阶行 列式均为零，则A的秩为K。
1 0 1 0 A中二阶行列式 =-1 =1 或 1 1 0 1
0 1 所以A的秩R(A)=2,为列满秩。 1 1 0 T T T T A 法方程 ： AX A L 0 NX A L 0 A A 1 1 0 1 1 0 1 2 1 X 1 L1 L2
加权包含了普通与拟稳秩亏网平差是一种普通形式。
当 Px E 时 ˆ ˆ ˆ X T Px X X T X min
PX 2 当 Px
0 0 = 0 E 时，则 PX I
ˆ ˆ X T PX X IT

T X

0 0 X IT T X X min 0 E T X
不考虑尺度基准（测边网，边角网，导线网）
d0 d 2 d3 2 1 3
三维网：
d 0 d1 d 2 d 3 1 3 3 7
三、秩亏自由网平差的类型： 1、秩亏网最小二乘解： i）假定某些差数固定——设定基准 V AX L
R ( A) t 0 , d 0 V T PV m in 得：
二、 秩亏自由网平差
3.1 平差问题的基准与网的秩亏数 一、平差问题的基准： 例：
设：H=1.000m 为已知。
x1 H1
x2 H 2
V1 X 1 L1
V2 X 1 X 2 L2 V3 X 2 X 3
P=E
V1 L1 V = 1 0 X 1 L 2 0 1 X 2 + 2 , V=AX-L。 V3 L3
T0
二、网的秩亏数计算 一般确定大地网的网形，必须有足够的观测数据——必 要的观测数据，不足时网形亏，而平差时需要多余观测数， 这就与网秩亏矛盾。 确定大地网的位置，必须有足够的起算数据（定位基 准）, 不足时网秩亏。 R(A)= T0 , R (A) T（未知数） 当网中有足够的起算数据： R(A)=T0 T R ( A) 秩亏数 d= R ( A) R( A) T T0 0 .
( N m N ) T N ( NN ) N T N ( NN ) N N m N
所以 N m 为N的最小范数逆
所以仅满足伪逆中四个条件中的两个 所以最小范数逆不唯一 例如：
N 也是N m
虽然 N m 不唯一，但由 N m
求出的最小范数解是唯一的，即有：
测边网，边角网，导线网：测边长，方向（角度） 需：一个点的位置，和一个方位基准，所以d=3。 如果考虑尺度比作未知参数，仍需一个尺度基准，这 时d=4。 三维大地网，三维坐标为未知数，需要一个位置基 准（一个固定点x、y、z）,一个定向基准（固定方 向，三个方向余铉角 , , ），一个定大小基准 （固定边长），一共有7个基准信息，d=7。
1、误差方程： V AX L
0 X 1 0 V1 1 1 V 0 1 1 X 0 2 2 V3 1 0 1 X 3 6