人教版数学八年级上册14 第1课时 运用平方差公式因式分解导学案

第十四章整式的乘法与因式分解
+y)．
(4m+3n)(4m－3n)=．
；a2－4=；
针对训练
（1）5m 2a 45m 2b 4；
（2）a 2－4b 2－a －2b ．
例3：已知x 2－y 2＝－2，x ＋y ＝1，求x -y ，x ，y 的值． 方法总结：在与x 2－y 2，x ±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值．
例4：计算下列各题： （1）1012－992；
（2）53.52×4-46.52×4．
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，运算得以简化．
例5：求证：当n 为整数时，多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除．
方法总结：解决整除基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
二、课堂小结
1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) A ．a 2＋(－b )2 B ．5m 2－20mn C ．－x 2－y 2
D ．－x 2＋9
2．分解因式(2x 3)2-x 2的结果是 ） A ．3(x 2+4x +3) B ．3(x 2+2x +3) C ．(3x +3)(x +3)
D ．3(x +1)(x +3)
3．若a +b =3，a -b =7，则b 2-a 2的值为（ ）
运用平方差公式分解因式
公式：a 2-b 2=______________
步骤：一提：提______； 二套：套______；
三查：检查每一个多项式因式是否都不能再分解
当堂检测
教学备注
3．课堂小结 （见幻灯片22）
教学备注 配套PPT 讲授
4．当堂检测 （见幻灯片17-21）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
4．把下列各式分解因式：
（1）16a2-9b2= ；
（2）(a+b)2-(a-b)2=
（3）9xy3-36x3y= ；
（4）-a4+16= ．
5．若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_________．6．已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
7．如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积．
8．（1）992-1能否被100整除？
（2）n为整数，(2n+1)2-25能否被4整除？
参考答案
自主学习
一、知识链接
1．解：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
2．解：②是因式分解，①是整式乘法，它们互为逆运算．
3．解：可以．
4．（1）a2-25（2）16m2-9n2
二、新知预习
试一试（1）(a+5)(a-5)（2）(4m+3n)(4m-3n)
做一做(a+b)(a-b)
五、自学自测
（1）a2－4(a＋2)(a－2)（2）25－b2(5＋b)(5－b)（3）x2－16y2(x＋4y)(x －4y)
四、我的疑惑
课堂探究
三、要点探究
探究点：用平方差公式进行因式分解
想一想是a，b两数的平方差的形式
要点归纳平方差和差乘积
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（1）×（2）(x+y)(x-y)（3）×
（4）(y+x)(y-x)（5）(x+5y)(x-5y)（6）(m+1)(m-1)
例1解：（1）原式=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)；
（2）[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x-q)]=(2x+p+q)(p-q)．
解：（1）原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b)；
（2）原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝4(m＋
2n)(2m＋n)．
例2解（1）原式＝(x2)2-(y2)2＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2+y2)(x+y)(x-y)；
（2）原式＝ab(a2-1)＝ab(a+1)(a-1)．
解（1）原式＝5m2(a4－b4)＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a －b)；
（2）原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)＝(a＋2b)(a －2b－1)．
例3解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，x＋y＝1①，∴x－y＝－2②．
联立①②组成二元一次方程组，解得
1
,
2
3
.
2 x
y
⎧=-⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
例4解：（1）原式＝(101＋99)×(101－99)＝400；
（2）原式＝4×(53.52－46.52)=4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)＝4×100×7=2800．
例5：证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n．
∵n为整数，∴8n被8整除，即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．当堂检测
1．D2．D3．A
4．（1）(4a+3b)(4a-3b)（2）(a+b)2-(a-b)24ab
（3）9xy3-36x3y9xy(y+2x)(y-2x)（4）-a4+16(4+a2)(2+a)(2-a)
5．4
6．解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n)．当4m+n=40，2m-3n=5时，原式=-40×5=-200．
7．解：根据题意，得
6．82－4×1.62＝6.82－(2×1.6)2＝6.82－3.22＝(6.8＋3.2)×(6.8－3.2)＝10×3.6＝36(cm2)．
答：剩余部分的面积为36cm2．
8．解：（1）因为992-1=(99+1)(99-1)=100×98，所以
992-1能被100整除．
（2）原式=(2n+1+5)(2n+1-5)=(2n+6)(2n-4)=4(n+3)(n-2)．所以(2n+1)2-25能被4整除．
【素材积累】
辛弃疾忧国忧民辛弃疾曾写《美芹十论》献给宋孝宗。

论文前三篇详细分析了北方人民对女真统治者的怨恨，以及女真统治集团内部的尖锐矛盾。

后七篇就南宋方面应如何充实国力，积极准备，及时完成统一中国的事业等问题，提出了一些具体的规划。

但是当时宋金议和刚确定，朝廷没有采纳他的建议。