2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：1.3.1二项式定理含解析

1。

3二项式定理
1．3.1 二项式定理
错误!
问题1：我们在初中学习了（a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导（a＋b)3、（a＋b）4的展开式．
提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3,(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4。

问题2：上述两个等式的右侧有何特点？
提示：(a＋b）3的展开式有4项,每一项的次数是3；（a＋b）4的展开式有5项，每一项的次数为4.
问题3：你能用组合的观点说明（a＋b)4是如何展开的吗？
提示：(a＋b）4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个（a＋b）中选a或选b相乘即得展开式中的一项．若都选a,则得C错误!a4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得C错误!a3b；若有两个选b，其余两个选a，则得C错误!a2b2；若都选b,则得C错误!a0b4.
问题4:能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N＋）的展开式吗？
提示：能，(a＋b)n＝C0，n a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!b n。

1．二项式定理
公式(a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋C错误!a n－2b2＋…＋C错误!a n－r b r ＋…＋C错误!b n（n∈N＋）所表示的规律叫做二项式定理．2．相关概念
(1)公式右边的多项式叫做（a＋b)n的二项展开式．
(2)各项的系数C错误!(r＝0，1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数．
(3）展开式中的C错误!a n－r b r叫做二项展开式的通项，记作：T r＋1，它表示展开式的第r＋1项．
（4)在二项式定理中,如果设a＝1，b＝x，则得到公式（1＋x）n ＝C错误!＋C错误!x＋C错误!x2＋…＋C错误!x r＋…＋C错误!x n.错误!
展开式具有以下特点：
(1）项数:共有n＋1项；
（2)二项式系数：依次为C错误!，C错误!,C错误!，…,C错误!，…,C错误!；
（3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b 的升幂排列展开；
(4)通项T r＋1＝C错误!a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项．
错误!
二项式定理的
正用、逆用
［例1］1)用二项式定理展开错误!5.
(2)化简：C错误!(x＋1）n－C错误!(x＋1）n－1＋C错误!(x＋1）n－2－…＋（－1)r C错误!(x＋1)n－r＋…＋(－1）n C错误!.
[思路点拨] (1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；（2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．
[精解详析] (1）错误!5＝C错误!(2x)5＋C错误!（2x)4·错误!＋…＋C错误!
5
错误!
＝32x5－120x2＋错误!－错误!＋错误!－错误!。

（2)原式＝C0，n（x＋1)n＋C错误!（x＋1)n－1（－1)＋C错误!（x＋1）n－2（－1）2＋…＋C错误!(x＋1）n－r（－1）r＋…＋C错误!（－1)n＝[（x ＋1）＋（－1)］n＝x n。

［一点通］
1．(a＋b）n的二项展开式有n＋1项,是和的形式，各项的幂指数规律是：
(1)各项的次数等于n;
（2）字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到
0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n。

2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
1．求错误!4的展开式．
解：法一：错误!4＝C错误!（3错误!）4＋C错误!(3错误!）3·错误!＋C错误!（3
错误!）2·错误!2＋C错误!(3错误!）错误!3＋C错误!错误!4
＝81x2＋108x＋54＋错误!＋错误!.
法二：错误!4＝错误!
＝错误!（81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)
＝81x2＋108x＋54＋错误!＋错误!。

2．求C2，6＋9C36＋92C4，6＋93C错误!＋94C错误!的值．
解：原式＝错误!（92C错误!＋93C错误!＋94C错误!＋95C错误!＋96C错误!）＝错误!(C错误!＋91C错误!＋92C错误!＋93C错误!＋94C错误!＋95C错误!＋96C 6
6
）－错误!(C错误!＋91C错误!）
＝1
92
（1＋9)6－错误!(1＋6×9）＝错误!（106－55）＝12 345。

求二项展开式中的特
定项或其系数
[例2] （错误!）
A．80 B．－80
C．40 D．－40
（2)（浙江高考)设二项式错误!6（a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A,则a的值是________．
［思路点拨] 求特定项或特定项的系数，可以先写出二项展开式的通项，求出相应的r值后再代入通项求特定项或其系数．［精解详析］（1)设展开式的通项为T r＋1＝C错误!·错误!r·(x2)5－r＝（－2）r C错误!x10－5r，所以当10－5r＝0，即r＝2时，T r＋1为常数．即T r＋1＝(－2）2C错误!＝40.故选C。

(2)由题意得
T r＋1＝C r，6x6－r错误!r＝（－a)r C错误!x r362－，
∴A＝（－a）2C26，B＝（－a)4C4，6.
又∵B＝4A，
∴（－a)4C错误!＝4(－a）2C错误!，解之得a2＝4.
又∵a>0，∴a＝2.
［答案] （1）C (2）2
[一点通］
求二项展开式中的特定项要注意以下几点：
(1）求二项展开式中的特定项是二项展开式的通项的应用；
（2）二项展开式的通项是指T r＋1＝C r n a n－r b r，如T5＝T4＋1＝C错误!
a n－4b4,代入时不要代错值；
（3)常数项是指不含字母的项；
（4)有理项是指字母指数为整数的项．
3．（四川高考)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( ）A．30 B．20
C．15 D．10
解析：只需求(1＋x）6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C错误!＝15，故选C。

答案:C
4．在错误!20的展开式中,系数是有理数的项共有（)
A．4项B．5项
C．6项D．7项
解析：T r＋1＝C错误!（错误!x)20－r错误!r
＝错误!r·(错误!）20－r C错误!·x20－r.
∵系数为有理数,∴（错误!）r与2r203－均为有理数，
∴r能被2整除，且20－r能被3整除．
故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20，
∴r＝2，8，14，20.
答案:A
5．在错误!8的展开式中,求：
（1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)展开式的倒数第3项．
解：法一：利用二项式的展开式解决．
(1）错误!8＝（2x2)8－C错误!（2x2)7·错误!＋C错误!(2x2)6·错误!2－C错误!（2x2）5·错误!3＋C错误!(2x2）4·错误!4－C错误!（2x2)3·错误!5＋C错误! (2x2)2·错误!6－C错误!2x2·错误!7＋C错误!错误!8,
则第5项的二项式系数为C错误!＝70，第5项的系数为C错误!·24＝1 120.
(2)由(1）中错误!8的展开式可知倒数第3项为C错误!·(2x2）2·错误! 6＝112x2.
法二：利用二项展开式的通项公式解决．
（1)T5＝C错误!·（2x2)8－4·错误!4＝C错误!·24·x203，则第5项的二项式系数是C错误!＝70，第5项的系数是C错误!·24＝1 120。

(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T7＝C错误!·(2x2)8－6·错误! 6＝112x2。

1．求展开式的特定项的关键是抓住其通项，求解时，先准确写出通项,再把系数和字母分离开来（注意符号），根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出方程或不等式求解即可．2．C错误!(r＝0,1，2，…，n）是二项式系数,它与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数C错误!一定为正，而项的系数与a,b的系数有关，正、负不能确定．
错误!
1．二项式(a＋b）2n的展开式的项数是( ）
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2(n＋1)
解析：根据二项式定理可知，展开式共有2n＋1项．
答案:B
2。

错误!6的展开式中x2的系数为（）
A．－240 B．240
C．－60 D．60
解析：二项展开式的通项为T r＋1＝C错误!(2x）6－r·错误!r＝（－1）r26－r·C错误!x6－2r，当6－2r＝2时，r＝2，所以二项展开式中x2的系数为（－1）2×24×C2，6＝240。

答案：B
3．在错误!n(n∈N＋)的展开式中，若存在常数项,则n的最小值是( )
A．3 B．5
C．8 D．10
解析：T r＋1＝C r，n(2x3)n－r错误!r＝2n－r·C错误!x3n－5r.
令3n－5r＝0，
∵0≤r≤n，∴n的最小值为5.
答案:B
4．（安徽高考）（x2＋2）错误!5的展开式的常数项是( ）
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：错误!5的展开式的通项为T r＋1＝C错误!错误!5－r·(－1）r，r＝0，1，2,3,4,5。

当因式（x2＋2)提供x2时,则取r＝4；
当因式(x2＋2）提供2时，则取r＝5。

所以(x2＋2）错误!5的展开式的常数项是5－2＝3.
答案：D
5．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的
取值范围是________．
解析：由错误!得错误!
解得错误!<x<错误!.
答案：错误!
6．230＋3除以7的余数是____________．
解析：因为230＋3＝（23）10＋3＝810＋3＝(7＋1)10＋3
＝C错误!·710＋C错误!·79＋…＋C错误!·7＋C错误!＋3
＝7×（C0，10·79＋C110·78＋…＋C错误!）＋4，
所以230＋3除以7的余数为4。

答案：4
7．已知m，n∈N＋，f（x)＝（1＋x）m＋(1＋x）n的展开式中x 的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．解：由题设知m＋n＝19。

又m，n∈N＋,
∴1≤m≤18。

x2的系数为C2m＋C错误!＝错误!(m2－m)＋错误!(n2－n)＝m2－19m＋171。

∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为
C错误!＋C错误!＝156.
8．已知在错误!n的展开式中,第6项为常数项．（1)求n；
（2）求含x2的项的系数；
(3）求展开式中所有的有理项．
解:(1)T r＋1＝C错误!·(错误!)n－r·错误!r
＝错误!r·C错误!·x n r23－.
∵第6项为常数项,
∴r＝5时,错误!＝0，∴n＝10。

(2）令错误!＝2，得r＝错误!(n－6)＝2，
∴所求的系数为C错误!错误!2＝错误!。

（3）根据通项公式，由题意得错误!
令10－2r
3
＝k（k∈Z），则10－2r＝3k，
即r＝错误!＝5－错误!k.
∵0≤r≤10且r∈Z，∴k应为偶数，∴k可取2，0，－2。

∴r＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．
它们分别为C2，10·错误!2·x2,C错误!错误!5，C错误!·错误!8·x－2，即错误!x2,－错误!，错误!。