新课程之＂螺旋式上升＂

新课程之＂螺旋式上升＂
谢展红
摘要：当前我国的基础教育新课程中，课程设计和教材编排都体现了＂螺旋式上升＂的原则，同时也＂螺旋式上升＂地呈现出数学的重要概念、
定理与思想方法。

这些都体现在新教材的课程内容，例题及习题中．关键词：新课改螺旋式上升衔接
正文：
“螺旋式上升”的课程设计和教材编排兴起于“螺旋式课程”。

“螺旋式课程”(Spiral Curricu—lum)是美国著名教育家、心理学家布鲁纳(J．S．Bruner)在20世纪60年代提出的，意指根据某一学科知识的“概念结构”，以促进学生认知能力发展为目的的一种课程设计。

其基本假设是，任何教材都可以用某种合理的形式来教给任何发展阶段的儿童。

“螺旋式课程”提供了一套具有逻辑先后顺序的概念组合，让学生在一定的时间内学习、探索一套逐渐加深、拓宽的复杂概念体系。

具体来讲，一门课程在教学中反复回到一些基本概念和原理，并以这些基本概念和原理为基础，直到学生掌握与这些基本概念和原理相适应的整个体系。

就是说，在教学中，应该将比较高深的科学知识让学生从低年级起就开始接触，随着年级的升高反复多次学习，逐渐加深理解，最终做到真正的掌握。

但这并非就是在一开始就让低年级学生去学习艰深的公理、概念、公式，而是要用适合学生能力的方式来教学。

教什么知识，使用什么教学方法，都需要经过慎重的选择。

新课程在我省实施已经将近五年时间在课程内容的设计和安排上体现了“螺旋式上升”的原则，即一个模块的知识分散在不同的几本书上慢慢讲,“螺旋式上升”地呈现出数学的重要概念、定理与思想方法，这与以往教材有很大不同，以前的高中数学教材都是以知识块或者专题形式编写，属于一杆到底，独立成篇。

下面从几个方面谈谈对此的看法
一、从课程内容的安排上理解＂螺旋式上升＂
1、函数：在《数学1》（函数的概念与基本初等函数），《数学4》（三角函数），《数学5》（数列），《数学2-2》（导数及其应用）都分阶段，分层次逐步深入学习函数内容。

2、概率：在《数学3》（随机事件的概率），《数学2-3》（随机变量及其分布）
3、立体几何：《数学2》（空间几何体，点、直线、平面之间的位置关系）
《数学2-1》（空间向量与立体几何）
4、解析几何：《数学2》（直线与方程，圆与方程）
《数学2-1》（圆锥曲线与方程）
5、向量：《数学4》（平面向量），《选修2-1》（空间向量及其立体几何）
6、不等式：《数学5》（不等式）；《选修4-5》
7、三角：《数学4》；《数学5》（解三角形）
8、数学归纳法：《数学2-2》（推理与证明），《数学4-5》（数学归纳法证明
不等式）
9、回归分析：《数学3》第二章第三节：变量间的相关关系
《数学2-3》第三章：统计案例
10、算法框图：主要内容在《数学3》中出现，但在整套教材中都有体现
教师应认真阅读整套的新课程教材，这样才能对新课标中螺旋式上升进行准确的把握和定位，才能在教学中胸有成竹，哪些需要事先作些铺垫，哪些需要稍作补充，哪些不需要在第一阶段就一定要求让学生掌握，可以逐步深入，在以后慢慢理解。

比如如《一元二次不等式的解法》这一内容的完整章节是放在必修5里的，但事实上在必修1《集合》一章中必定会遇到解一元二次不等式甚至是绝对值不等式的问题，所以在必修1中，只需要简单地介绍一元二次不等式的解法，要求学生只要会解简单的一元二次不等式即可。

在必修5中再具体的分析二次函数图象、一元二次方程的根和一元二次不等式解集的关系。

以“滚雪球”的方式积累学生的知识量，让学生有较大的空间去理解和接受。

二、从课本的例题及习题中理解＂螺旋式上升＂
在对整套教材的使用中，笔者发现教材在习题的安排上也体现了＂螺旋式上升＂，相同或相近的题目或例题在不同模块中出现，意图一是巩固对本章节知识的的理解和运用，二是加强前后知识的理解，突出数学知识与方法的纵向联系和对其数学本质的理解。

1、《数学4》第120页习题2.4B 组第3题.
证明：对于任意,,,,R d c b a ∈恒有不等式))(()(22222d c b a bd ac ++≤+
《数学4-5》第32页定理1.（二维形式的柯西不等式）
对于任意,,,,R d c b a ∈则))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，当且仅当bc ad =时，等号成立。

柯西不等式在不同模块中出现，在《数学4》中主要是加深学生对向量
数量积的理解运用，同时也为《数学4-5》中学习柯西不等式作一些铺垫。

在《数学4-5》中课本用多种方法对柯西不等式进行了证明，其中也就包括了用向量的数量积来证明，既加深了学生对柯西不等式的理解，又联系了前面所学的平面向量知识，同时一题多解，也能锻炼学生的发散性思维．可谓一举三得．
2、（1）《数学1》第152页“指数函数”问题2：当生物死亡后，它机体内原
有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。

根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与
死亡年数t 之间的关系5730)21(t
P = （2）《数学1》第66页习题2.1第9题：当死亡生物组织内的碳14的含量不
足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了。

若死亡生物组织内的碳14经过9个“半衰期”后，用一般的放射性探测器能测到碳14吗？
（3）《数学1》第73页例6、科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射
性碳14。

碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”。

动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织内的碳14含量保持不变。

死亡后的动植物，
停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年。

湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代
（4）《数学5》第61页习题2.4B 组第2题：放射性元素在0=t 时的原子核总
数为O N ，经过一年原子核总数衰变为q N O ，常数q 称为年衰变率．考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定持续衰变现象测定遗址的年代。

已知碳14的半衰期为5730年，那么，
（1）碳14的年衰变率是多少？（精确到61.0）
（2）某动物标本中碳14的含量为正常大气中碳14含量的60%（即衰变了
40%），该动物大约在距今多少年前死亡？
（1）（2）都是出现在《数学1》的指数函数这一节，分别出现在开篇引题及课后习题中，前后呼应，合起来就是一道比较简单的指数函数应用题。

（3）出现在《数学1》的对数函数这一节，是一道对数函数的简单应用题，一是对对数函数模型的应用，二来与前面两道题的再一次回顾，三来也体现了指数与对数运算是互为逆运算．
（4）是出现在《数学5》数列这一章“等比数列”这一节，是一道等比数列的应用题，目的一是可以培养学生的应用意识，二是可以结合前面的函数应用的例题，使学生体会及了解“数列”是一种特殊的函数，培养学生用函数的思想方法去解决数列问题的意识。

3、求方程的近似解
（1）《数学1》第98页“用二分法求方程的近似解”.
（2）《数学1》第103页：信息技术应用------借助信息技术求方程的近似解
（3）《数学3》第4页例2、写出用“二分法”求方程)0(022>=-x x 的近似解
的算法
（4） 《数学3》第18页例2、画出程序框图表示用“二分法”求方程)
0(022>=-x x 的近似解的算法。

（5）《数学2-2》第20页“探究与发现----牛顿法（用导数方法求方程的近似
解）”
近似计算是学生在初中就已经有所接触，在高中进一步学习求方程的近似解，重点及难点在两个，一是求近似解的方法，二是求近似解的原理。

在最后，可以让学生写一篇关于求方程近似解的小论文，对以上内容作个比较，小结，还可以让学生到网上找些相关的，符合高中生现有认知水平的资料，进行整合。

另外，《数学3》第二章第三节的“变量间的相关关系”及《数学2-3》第三章的“统计案例”也是属于这一类型的内容，体现了从简单到难，从不变到变的一个过程。

4、（1）《数学2》第116页
例4.证明平行四边形四边的平方和等于两条对角线的平方和。

（2）《数学4》第121页
例 1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图所示，
AB DB -=+=,，你能发现平行四边形对角线的长度与两
条邻边长度之间的关系吗？
这道习题在《数学2》中是出现在“两点间的距离”这一节中，其目的是通过这一例题，让学生初步体会建立坐标系对证明的作用和重要，小结出用坐标法解决问题的一般步骤，同时也是对两点间距离公式的运用。

在《数学4》中是出现在“平面向量应用举例”这一节中，其目的是为了学会运用向量方法解决平面几何中的一些问题，在这道题是考虑用向量的数量积解决有关长度问题，通过这一例题，说明向量方法在平面几何中的运用．
同时我觉得可以在《数学5》---（解三角形）这一章的“正弦定理及余弦定理”这一节的习题中增加一道：用余弦定理证明：证明平行四边形四边的平方和等于两条对角线的平方和。

在《数学4》在习题2.4或2.5中增加一道习题： 求证：)|||(|2||||2222b a b a b a +=-++，如何构造一个图形解释这个公式的几何意义？
这几道习题情境不一样，但数学本质是相同的，都说明了平行四边形的一个重要性质。

意图就是通过以不同的情境，运用不同的方法来加深对同一数学命题的理解，从而巩固所学知识和方法。

类似的例题大致还有：
1、
《数学2》第二章第78页.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

《数学2-1》第三章：空间向量与立体几何
习题3.1B 组第3题：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

2、《数学2-1》第二章：圆锥曲线与方程
第73页例2、已知椭圆19
252
2=+y x ，直线04054:=+-y x l ，椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？
《数学4-4》第二讲：参数方程之椭圆的参数方程
第28页例1、在椭圆14
92
2=+y x 上求一点M ，使点M 到直线0102=-+y x 的距离最小，并求出最小距离。

3、海伦-秦九韶公式
《数学3》第一章：算法初步
第9页例3、已知一个三角形三条边的边长分别为c b a ,,，利用海伦-秦九韶公式
设计一个计算三角形面积的算法，并画出程序框图表示。

《数学5》第一章：解三角形
第24页习题 1.2B 组第2题：已知一个三角形三条边的边长分别为c b a ,,,设
)(2
1c b a p ++=，求证：三角形的面积))()((c p b p a p p S ---= 《数学5》第一章：解三角形
第25页阅读与思考：海伦和秦九韶
4、圆的参数方程
（1）《数学4》第一章：三角函数
第79页复习参考题B 组第9题、（1）我们知道，以原点为圆心，r 为半径的圆的方程是222r y x =+，那么⎩
⎨⎧==θθsin cos r y r x 表示什么曲线？（其中r 是正常数，θ在 )2,0[π内变化）
（2）在直角坐标系中，⎩⎨⎧+=+=θ
θsin cos r b y r a x 表示什么曲线？（其中r b a ,,是常数，r 是
正常数，θ在)2,0[π内变化）
（2）《数学4-4》第二讲参数方程：
第23页至24页：圆的参数方程
从对课本习题的比较分析可知，教材对例题及习题的编写也尽可能的体现着螺旋式上升的原则，就是要通过在不同的形式中加以应用，不断加深理解，进而逐渐掌握，这样的习题设置加强了前后所学知识的联系，体现了整体性。

三、“螺旋式上升”内容的对接
在具体教学过程中，我们对“螺旋式上升”内容的衔接教学很不顺手，主要体现在以下几个方面：1、对于一个模块的知识教学不能“一泻千里” ，只能“挤牙膏” ，每每让人感到意犹未尽；2、由于时效性的影响，学生从学完同一内容的前期基础知识“螺旋”到该模块进阶内容的学习时，已经将前期所学忘得差不多，由此造成对进阶内容学习有较大陌生感的现象；3、因学生对前期基础内容的遗忘，导致教师在新内容的教学过程中需要不断地放慢脚步加以提点，增加了教学进度和教学时间的矛盾，且学生的学习效果也大打折扣。

如何解决以上的矛盾，使我们的教学更加流畅，提升学生的学习效果？ 笔者认为，作为教师，首先在思想上要明确新课程教材对部分内容的“螺旋
式上升”设计和编排是具有科学性的。

同时教师作为课程实施的主体，面对严峻的挑战，教师之间应加强合作，积极开展集体备课，通过不断的交流获取教学信息与灵感。

定时间、定地点、定内容、定主讲人进行集体备课。

其次，教师在教学过程中要探索新方法，对于“螺旋式上升”，难度最大的是进阶内容的教学。

学生学习了一个模块的基础内容后经过一段时间，已经有所遗忘，对于“螺旋”而来的该模块进阶内容，有着较大的“陌生感”。

教师此时将原来的基础内容仔细复习一次不仅挤占教学时间也是教学资源的一种极大浪费，而部分教师采用的“蜻蜓点水”式的简单知识点罗列复习，对于学生的有效回忆也帮助不大。

那么有什么办法能尽快地“唤醒”学生沉睡的记忆，以达到高效地学习进阶内容的要求呢？学生对知识的掌握存在一个有趣的规律性，即在一些自己曾经做错而又认真分析过错误原因的题目能掌握得很好。

受此启发，因此可以在“螺旋式上升”进阶内容教学之初会先上一节复习课，设计该模块内容易混淆、易忽略的概念陷阱、解题方法陷阱、条件陷阱等题目。

在学生花少量时间认真做过，掉入陷阱后，通过课堂上的讲解帮他们走出陷阱、加深记忆，进而达到高效复习的目的。

例如，有关概率的模块知识在人教A版必修3第三章出现，本章节是概率内容的基础知识，需要学生掌握一些有关概率的基本概念和运算。

其进阶内容在人教A版选修2-3的第二章以“螺旋式上升”的形式出现，本章节涉及概率知识的内容要求学生了解条件概率和两个事件相互独立的概念，掌握n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率计算。

针对该进阶内容的教学要求，和学生对已有知识与将学知识的连接难点了解，发现概率的一些概念问题看似相同，实则不同，容易混淆。

如果对概念把握不清将会对条件概率的学习造成极大影响。

因此，在进阶内容教学之前的复习课中，将一些前面学习过的易混淆概念以习题形式提供给学生：
例1、下列两个命题错误的是（）
（1）抛掷100次硬币，出现正面向上的频率为0.4，则该试验中，硬币正面向上的次数为40次。

（2）若一批产品的次品率为0.1，则从该产品中随即抽取100件，一定会有10件次品。

说明：随机事件在试验中发生的频率=试验次数
频数，它随着试验次数的改变而改变。

在大量重复试验中，随机事件的发生呈现一定的规律性，频率的值是稳定的，接近于某个常数，这个常数就是随机事件发生的概率，虽然事件发生的概率反映了事件发生的必然规律，但事件的发生又带有偶然性。

因此不能简单地说“频率=概率” 。

例2、掷两枚骰子，求事件A 为出现的点数之和等于3的概率。

说明：学生在解决此题是容易出现的错误为：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为}{12,4,3,2 ，有利于事件A 的结果只有3，故=)(A P 11
1。

等可能事件的公式=)(A P 基本事件的总数
的基本事件数有利于事件A ，仅当所述的试验结果等可能性时才成立，而点数之和为2和3不是等可能的，点数之和为2只有一种情况)1,1(，而点数之和为3有两种情况)1,2(),2,1(，其它的情况可类推。

而掷两枚骰子可能出现的情况为：），，，，，，61()21()11( ，，，，，，，)62()22()12( )6,6()2,6(),1,6( ，因此基本事件总数为3666=⨯。

在这些结果中，有利于事件A 的只有)1,2(),2,1(两种。

故=)(A P 18
1362= 例如，有关解析几何模块的内容在人教A 版必修2第三章《直线与方程》和第四章《圆与方程》中出现。

其进阶内容在人教A 版选修1-1（侧文）和选修2-1（侧理）的第二章《圆锥曲线与方程》中以“螺旋式上升”形式出现。

在学习了前面的直线与圆的方程的有关知识后，学习进阶内容——圆锥曲线，难度有了较大提高。

因此要求学生能比较熟练地以前期知识为工具。

然而由于该模块知识容量较大且比较抽象，很多公式、定理、方法存在重要前提，学生易忽略，造成进阶知识学习困难。

因此，在新知识的教学之前，设置一些陷阱以唤醒他们对公式、定理、方法使用前提的记忆非常重要。

例3、两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件
说明：许多学生忽略了两直线斜率相等的前提条件是它们的斜率“存在”，不假思索便得出“充要条件”的答案。

而两直线平行的一种情况是它们的倾斜角
为090，此时斜率不存在。

故此题的正确答案为“充分不必要条件”。

例4、过定点），（21，作一条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则直
线斜率k 的取值范围是（ ）
2>k A 、 23B <<-k 、 23>-<k k C 或、 、以上皆不对D 说明：斜率已经存在，学生会很容易设出直线方程：)1(2-=-x k y ，
然后将直线和圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=-++++-=-0
152)1(2222k y kx y x x k y ，得到关于x 的一元二次方程，再利用0=∆进行求解。

造成错误的原因是忽略圆的方程中2240D E F +->这个前提。

再比如，例如，不等式模块内容在人教A 版必修5第三章中出现。

要求学生初步掌握有关不等式的性质、证明和解不等式方法以及利用简单的线性规划求最优解。

其进阶内容在人教A 版选修4-5中以“螺旋式上升”的专题形式出现，与前期内容紧密联系，是前期内容的深化和拓展，难度大大提高。

针对进阶内容的教学要求，以及学生对已有知识与将学知识的连接难点了解，发现学生在利用不等式知识解决实际问题时，往往会因为对解题方法本质的理解不透彻而运用错误，导致解题失败。

因此，在进阶内容教学之前的复习课中，利用“陷阱导学稿”的方式，将一些前面学习过的不等式解题易错方法以习题形式提供给学生：
例５、求函数51
522+++=x x y 的最小值
说明：由于该函数中带根号的两项恒为正数且互为倒数，因此，很多学生拿
到该题后，第一反应即利用基本不等式ab b a ≥+2
来求函数的最小值,得到错误解答：2515251
52222=+⨯+≥+++=x x x x y ，所以2min =y 。

设计此题可以唤起学生在使用基本不等式ab b a ≥+2
解题时，何时取到“=”，能不能取到“=”的记忆，进而明白题中当51
522+=+x x 时42-=x ，无法取到“=”，
所以上面2min =y 的答案是错误的。

因此用基本不等式法解答此题也是错误的。

例６、已知3)1()2(04)2()1(1)(≤-≤≤+≤+=f f f f b ax x f ；且，则
)2(3)1(2f f +的取值范围是
说明：学生在求解此题时，往往会运用题目中所给的两条不等式，先将b
a ，的取值范围算出：2430≤≤-≤≤
b a ，
，再通过计算得到b a f f 58)2(3)1(2+=+，然后将b a ，的取值范围代入b a 85+，得到答案：34)2(3)1(220≤+≤-f f 。

出现这种错误的原因在于误用“局部”盖“整体”。

由于函数b ax x f +=)(中的未知量b a 和是互相制约的整体，在其中一个取得最大（小）值时，另外一个未必可以取得最大（小）值，因此这种解法只是局部地考虑了b a ,各自的取值范围，分割了它们的相互制约性，造成解题失误。

当整体考虑b a ,间相互制约的关系时，可得[][])2(3)1(2)1()2(2
1)2()1(25f f f f f f +=-++，接着再将；4)2()1(1≤+≤f f 3)1()2(0≤-≤f f 整体代入即可得到答案2
23)2(3)1(225≤+≤f f 以上各个小项不能涉及新课程教材中所有“螺旋式上升”模块和内容，相关的内容还有很多，在此提出只作抛砖引玉之用．如何合理地设计，如何将知识点的衔接设计得更加流畅，尽可能发挥“螺旋式课程”的最大功效，更进一步提高学生的课堂学习效率仍然有非常大的探索实践的空间。

学无止境，教亦无止境。

教师只有不断地钻研教材，才会逐步领悟新课程的理念和编者的意图．才能根据学生的具体情况作出更适合本班学生的螺旋式上升的安排，全盘统筹，循序渐进，才能取得更好的教学效果。

参考文献：
1、《小议新课程“螺旋式上升”内容的“无缝对接”》 郑多义 瓯海二高
2、《中学数学教学参考》------《从课本习题理解“螺旋式上升”》
3、《基础教育新课程中“螺旋式上升”的课程设计和教材编排问题探究》 孔凡哲
4、人教A 版全套教材。