高中数学人教A版选修-优化练习抛物线的简单几何性质含解析

(0,2)，则 C 的方程为( )
A．y2＝4x 或 y2＝8x
B．y2＝2x 或 y2＝8x
C．y2＝4x 或 y2＝16x
D．y2＝2x 或 y2＝16x
( ) 解析：由已知得抛物线的焦点 F p，0 ，设点 A(0,2)，抛物线上点 M(x0，y0)，则A→F＝
( ) ( ) p2，－2 ， A→M＝ 2yp20，y0－2 .由 已 知2得 ， A→F·A→M＝ 0， 即 y20－ 8y0＋ 16＝ 0， 因 而 y0＝ 4，
x－1 2＋y2－x＝1(x>0)．
化简得 y2＝4x(x>0)．
(2)假设抛物线 y2＝4x(x>0)上存在不同两点 A、B 关于直线 y＝x＋m 对称，则可设 AB 的方程
为 y＝－x＋b 代入 y2＝4x 并整理得 x2－(2b＋4)x＋b2＝0，
则 Δ＝(2b＋4)2－4b2>0 且 x≠0，即 b＋1>0，且 b≠0.
又 S△ABP＝12|AB|·d，
则 d＝2·S|A△BA| BP，
2|a－5 2|＝23×5 9⇒|a－2|＝3⇒a＝5 或 a＝－1，
故点 P 的坐标为(5,0)或(－1,0)．
[B 组 能力提升]
1．若抛物线 y2＝x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P 的坐标为( )
( ) A. 14， ±
m，过点 B 作 BB1 ⊥m，垂足分别为 A1 ，B1 ，过点 B 作 BD⊥A1A 于点 D，设|AF|
＝2|BF|＝2r，则|AA1|＝2|BB1|＝2|A1D|＝2r，
所以|AB|＝3r，|AD|＝r，则|BD|＝2 2r.
所以 k＝tan ∠BAD＝||ABDD||＝2 2.选 C. 答案：C
∵P1，P2 在抛物线上，
∴y21＝6x1 ，y2＝6x2 .两式相减得
(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．① ∵y1＋y2＝2，代入①得 k＝yx22－ －yx11＝3. ∴直线的方程为 y－1＝3(x－4)，
即 3x－y－11＝0.
10．已知抛物线 y2＝4x 截直线 y＝2x＋m 所得弦长 AB＝3 5， (1)求 m 的值； (2)设 P 是 x 轴上的一点，且△ABP 的面积为 9，求 P 点的坐标． 解析：(1)由Error!⇒4x2＋4(m－1)x＋m2＝0，
→→ 5．已知 F 为抛物线 y2＝x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA·OB＝2(其
中 O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )
A．2
B．3
C.178 2
D. 10
解析：设直线 AB 的方程为 x＝ny＋m(如图)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵O→A·O→B＝2， ∴x1x2＋y1y2＝2. 又 y21＝x1 ，y2＝x2 ，∴y1 y2 ＝－2. 联立Error!得 y2－ny－m＝0， ∴y1y2＝－m＝－2， ∴m＝2，即点 M(2,0)． 又 S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝12|OM||y1|＋ 12|OM||y2|＝y1－y2，
由根与系数的关系得
x1＋x2＝1－m，x1·x2＝m42，
|AB|＝ 1＋k2· x1＋x2 2－4x1x2
＝ 1＋22·
1－m
2－4·
m2 4
＝ 5 1－2m .
由|AB|＝3 5，
即 5 1－2m ＝3 5⇒m＝－4.
(2)设 P(a,0)，P 到直线 AB 的距离为 d，
4
则
d＝
|2a－0－4| 2|a－2| 22＋ －1 2＝ 5 ，
B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为________．
解析：抛物线 y2＝2px 的准线为直线 x＝－p2 ，而点 A(－2,3)在准线上，所以－p2 ＝－2，即 p＝
4，从而
C：y2＝8x，焦点为
F(2,0)．设切线方程为
y－3＝k(x＋2)，代入
y2＝8x
k －4×8k(2k＋3)＝0，所以 k＝－2 或 k＝12.
k xB－4 ＋2－[－k xC－4 ＋2]
＝
xB－xC
k 8k2＋2－8
k ＝
xB＋xC－8 xB－xC
＝
) k2
－8k
1 ＝－4.
( k2
所以直线 BC 的斜率为定值．
6．已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程； (2)是否存在实数 m，使曲线 C 上总有不同的两点关于直线 y＝x＋m 对称？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解析：(1)设 P(x，y)是曲线 C 上任意一点，那么点 P(x，y)满足：
[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．已知抛物线的对称轴为 x 轴，顶点在原点，焦点在直线 2x－4y＋11＝0 上，则此抛物线
的方程是( )
A．y2＝－11x
B．y2＝11x
C．y2＝－22x
D．y2＝22x
解析：在方程 2x－4y＋11＝0 中，
令 y＝0 得 x＝－121，
( ) ∴抛物线的焦点为 F －121，0 ，
即p2＝121，∴p＝11，
∴抛物线的方程是 y2＝－22x，故选 C.
答案：C 2．已知直线 y＝kx－k 及抛物线 y2＝2px(p>0)，则( ) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点
解析：∵直线 y＝kx－k＝k(x－1)，
p2 答案： 4 5.如图，过抛物线 y2＝x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB，AC 交抛物线于 B，C 两 点，求证：直线 BC 的斜率是定值． 证明：设 kAB＝k(k≠0)， ∵直线 AB，AC 的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)， ∵AB 的方程是 y＝k(x－4)＋2.
3)．
7
联立方程组Error!
消去 y 后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解． ∴4·xB＝16k2－k126k＋4， 即 xB＝4k2－k42k＋1， 以－k 代换 xB 中的 k，得 xC＝4k2＋k42k＋1，
6
∴kBC＝yxBB－ －yxCC
∴直线过点(1,0)．
又点(1,0)在抛物线 y2＝2px 的内部．
∴当 k＝0 时，直线与抛物线有一个公共点；
当 k≠0 时，直线与抛物线有两个公共点．
答案：C 3．过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 k ·k
OA OB
的值为( ) A．4 B．－4 C．p2 D．－p2 解析： kOA·kOB＝yx11·yx22＝yx11yx22 ，根据焦点弦的性质 x1x2＝p42，y1y2＝－p2，
2 4
( ) B. 18， ±
2 4
( ) C.
1， 4
2 4
( ) D.
1， 8
2 4
解析：设抛物线的焦点为 F，因为点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，所以点 P 为线
( ) 段
OF
的垂直平分线与抛物线的交点，易求点
P
的坐标为
1 8，
±
2 4
.
答案：B
2．设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|＝5.若以 MF 为直径的圆过点
x＝－1.由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1
p ＋2
＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，即 x1＋x2＋2＝7，得 x1＋x2＝5，于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为52.因
此，点 M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.
7 答案：2
8．已知点 A(－2,3)在抛物线 C：y2＝2px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点
16，
∴y21＋y2＝(y1 ＋y2 )2 －2y1 y2 ＝16m2 ＋32
5
当 m＝0 时，y21＋y 2最小值为 32. 答案：32 4．如图，抛物线 C1：y2＝2px 和圆 C2：(x－p2)2＋y2＝p42，其中 p＞0，直线 l
→→ 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于 A，B，C，D 四点，则AB·CD的值为________．
设 AB 的中点为 M(x0，y0)，则 x0＝b＋2， y0＝－x0＋b＝－2，又 M(b＋2，－2)在 y＝x＋m 上， ∴－2＝b＋2＋m，即 b＝－4－m，
∴－3－m>0 且－4－m≠0，
m<－3 且 m≠－4.
∴存在 m 使曲线 C 上总有不同两点关于直线 y＝x＋m 对称，m 的范围为(－∞，－4)∪(－4，－
( ) ( ) M 8，4 .由|MF|＝5 得，
8p －2
2＋16＝5，又 p>0，解得 p＝2 或 p＝8，故选 C.
答案p ：C
p
3．已知抛物线 y2＝4x，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 y21＋
y 2的最小值是________．
解析：设 AB 的方程为 x＝my＋4，代入 y2＝4x 得 y2－4my－16＝0，则 y1 ＋y2 ＝4m，y1 y2 ＝－
→→ 解析：易知AB·CD＝|AB|·|CD|，圆 C2的圆心即为抛物线 C 1的焦点 F.当直 线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x＝p2，所以 A(p2，p)，B(p2，p2)，C(p2，－p2)，D(p2，－p)，|A→B |＝|C→D|＝p2，所以A→B·C→D＝p2·p2＝p42；当直线 l 的斜率存在时，设 A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB| ＝|FA|－|FB|＝x1＋p2－p2＝x1，同理|CD|＝x2，设 l 的方程为 y＝k(x－p2)，由Error!，可得 k2x2－ (pk2＋2p)x＋k24p2＝0，则A→B·C→D＝|AB|·|CD|＝x1·x2＝p42.综上，A→B·C→D＝p42.
1
故 kOA·kOB＝－pp2 2＝－4. 4
答案：B
4．已知直线 l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线 C：y2＝8x 交于 A，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，
若|AF|＝2|BF|，则 k 的值是( )
A.13
22 B. 3
C．2 2
D.
2 4
解析：根据题意画图，如图所示，直线 m 为抛物线的准线，过点 A 作 A1 A ⊥
3，
∴y1＋2 y2＝x1＋x22－2＝6－2 2＝2.
∴所求点的坐标为(3,2)．
答案：(3,2)
7．过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则 AB 的
中点 M 到抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点为
F(1,0)，准线方程为
2
S△AFO＝12|OF|·|y1|＝18y1， ∴S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋18y1
2 ＝98y1＋y21≥2 98y1·y1＝3， 当且仅当 y1＝43时，等号成立． 答案：B 6．直线 y＝x－1 被抛物线 y2＝4x 截得的线段的中点坐标是________． 解析：将 y＝x－1 代入 y2＝4x，整理，得 x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得1 x ＋2 x ＝6，x1＋2 x2＝
因为切点在第一象限，所以 k＝12.
3
将 k＝12代入①中，得 y＝8，再代入 y2＝8x 中得 x＝8， 所以点 B 的坐标为(8,8)，所以直线 BF 的斜率为86＝43. 答案：43 9．已知抛物线 y2＝6x，过点 P(4,1)引一弦，使它恰在点 P 被平分，求这条弦所在的直线方 程． 解析：设弦的两个端点为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．