湖南省耒阳二中2014届高三第一次月考(摸底考试)数学(理)试题 Word版含答案[ 高考]

耒阳二中2014届第一次月考理科数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是正确的）. 1、设集合A ＝{x|1＜x ＜4}，B ＝{x|x 2－2x －3≤0}，则A ∩（R C B ）＝ A 、（1,4） B 、（3,4） C 、（1,3） D 、（1,2）∪（3,4） 2、下列命题中，真命题的是
A 、0x R ∃∈，0x
e ＜0 B 、x R ∀∈，2
2x
x > C 、“a ＋b ＝0”的充要条件是“a
b
＝－1” D 、“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1“的充分条件 3.已知ααsin 2sin -=， ⎪⎭
⎫
⎝⎛∈ππα,2，则=αtan （ ） A.
23- B. 5
3
- C. 33- D. 3- 4．执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y 的值为（ ） A.5 B.9 C.17 D.33
5.已知公比不为1的等比数列{}n a 的首项为1，若1233,2,a a a 成等差数列，则数列1
{}n
a 的前5项和为( )
A. 12181
B. 31
16 C. 121 D. 31
6、函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n ＞0)，则
12
m n
+的最小值等于( ) A ．16 B ．12 C ．9 D ．8
7、已知函数y ＝sinax ＋b （a ＞0）的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是
8、设函数f （x ）（x ∈R ）满足f （－x ）＝f （x ），f （x ）＝f （2－x ），且当x ∈［0,1］时，f
（x ）＝x 2
，又函数g （x ）＝｜xcos （πx ）｜，则函数h （x ）＝g （x ）－f （x ）在13[,]
22
-上的零点个数为 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 二、填空题（35分）
9、设a ，b ∈R ，a ＋bi ＝
11712i
i --（i 为虚数单位），则a ＋b ＝＿＿＿＿＿ 10.已知4=a ，3=b ，()()
61232=+∙-b a b a ，则a 与b
的夹角θ为
11、已知曲线y ＝3x 2
＋2x 在点(1，5)处的切线与直线2ax －y －6＝0平行， 则a ＝ ．
12．已知：tan 31
)4(=
+π
α，则ααα2cos )cos (sin 2-＝＿＿
13.设a ＞0.若曲线x y =与直线x ＝a ，y =0所围成封闭图形的面积为a ，则a =____
14. 已知0
(21)n
n a x dx =
+⎰,数列1
{}n
a 的前n 项和为n S ，数列{}n
b 的通项公式为*33,n b n n N =-∈,则n n b S 的最小值为
15、如图所示，将数以斜线作如下分群：(1)，(2，3)，(4，6，5)，(8，12，10，7)， (16，24，20，14，9)，…，并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…，
（1）、第7群中的第2项是： ； （2）、第n 群中n 个数的和是：
三、解答题：（本大题共6小题，共75分）
16．(本小题满分12分)已知a ＝(sin x ，－cos x )，(cos )x x =b ，函数
()2f x =⋅+
a b ．（1）求f (x )的最小正周期；（2）当02
x π
≤≤时，求函数f (x )的值域．
17、（本小题满分12分）
递增的等比数列{n a }的前n 项和为Sn ，且30,642==S S （I ）求数列{n a }的通项公式。

（II ）若n b ＝n a 12
log n a ，数列{n b }的前n 项和为Tn ，求502
1
>⋅++n n n T 成立的最小正整数n 的值。

18．（本小题满分12分）
已知函数()f x =
4x ⋅cos 4x 2cos 4
x
+．
（Ⅰ）若()1f x =，求2cos(
)3
x π
-的值； （Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足1
cos 2
a C c
b +
=，求()f B 的取值范围．
19．(本小题满分13分)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干
时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆． （1）求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )； （2）若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值． 20、（本小题满分13分）
已知函数f （x ）＝a （lnx －x ）（a ∈R ）。

（I ）讨论函数f （x ）的单调性；
（II ）若函数y ＝f （x ）的 图象在点（2，f （2））处的切线的倾斜角为45°，函数 g （x ）＝3
2
[
()]2
m
x x f x ++在区间（2,3）上总存在极值，求实数m 的取值范围。

21．(本小题满分13分)已知f (x )＝ln x －ax 2
－bx ．
（1）若a ＝－1，函数f (x )在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； （2）f (x )的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)( x 1＜x 2)两点，AB 中点为C (x 0，0)，求证：f ′(x 0)＜0．
耒阳二中2014届第一次月考理科数学答卷
时间：120分钟 总分：150分
二、填空题（每小题5分，7小题，共35分）
9、 8 １０、 3
2
π １１、 4
１２、 3 １３、 4
9
=a
1４、 703
-
１５、 96 3·2n
－2n －3
三、解答题（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
解：（1）∵2
()sin cos 2
f x x x x =-+
………………1分
1sin 221)2x x =
-++ ………………3分 sin(2)3
x π
=-． ………………5分
∴函数f (x )的最小正周期为π． ………………6分 （2）∵02
x π
≤≤
，∴223
3
3
x π
π
π
-
≤-
≤
，………………8分
∴sin(2)13
x π
≤-≤， ………………11分 即23-≦f (x)≦1 f (x )的值域:[ 2
3-,1] ………………12分
座位号：
１７、（１2分）
.解析：（Ⅰ）30,642==S S 2±=⇒q ，………………………………2分
∵数列{}n a 递增，∴2=q 21=⇒a ，∴n
n a 2=…………………………………5分 （Ⅱ）n
n n n n b 22log 22
1⋅-==,)2232221(321n n n T ⋅++⋅+⋅+⋅-=
设n
n n H 223222321⋅++⋅+⋅+= …………..①
14322232222+⋅++⋅+⋅+=n n n H ………..②
①-②得: 123
122222n n n H n +-=+++
+⋅-⋅,
1+112(12)2222=12n n n n n n n T ++-=-⋅=-⋅+--,………………………………………………………..10分
5021>⋅++n n n T ，即+111222250n n n n n ++-⋅+-+⋅>,5221>+n
∴正整数n 的最小值是5…………………………………………………12分 １８、（１2分）
１９、（１3分） 解析：（1）设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量， 依题意，{a n }是首项为128，公比为3
150%2
+=
的的等比数列，
{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列．
{a n }的前n 项和3
128[1()]
32256[()1]3212
n n n S ⨯-==--，
{b n }的前n 项和(1)
4002
n n n T n a -=+．
所以经过n 年，该市更换的公交车总数为
3(1)
()256[()1]40022
n n n n n S n S T n a -=+=-++． …………7分
（2）若计划7年内完成全部更换，所以S (7)≥10000， 所以73
76256[()1]40071000022a ⨯-+⨯+
≥，即21a ≥3082，所以16
14621
a ≥． 又a ∈N*，所以a 的最小值为147．…………13分
２０、（１３分） 解析：（Ⅰ）易知()x f 的定义域为(0,).+∞(1)
()a x f x x
-'=.………………………1分 当0a <时,令(1)()0,a x f x x -'=
>即(1)
0,x x -<解得增区间为(1,)+∞.同理减区间为(0,1); 当>0a 时,令(1)()0,a x f x x -'=>即(1)
>0,x x
-解得增区间为(0,1).同理减区间为(1,)+∞;
当0a =时, ()x f 不是单调函数. …………………………………………………6分 （Ⅱ）∵()x f y =的图像在点()()2,2f 处的切线的倾斜角为45°， ∴ (12)
(2)tan 451,-22a f a -'=
=︒=∴=……………………………………7分
2(1)2(1)
()x x f x x x ---'==
32322(1)()()(2)2,22
m x m
g x x x x x x x -=++=++-……………………………9分
2()3(4)2g x x m x '=++-,
(0)20,g '=-<要使函数()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡'++=x f m x x x g 223在区间（2，3）上总存在极值,只需
(2)0,(3)>0
g g '<⎧⎨'⎩37
<9.3m -<-解得…………………………………………………13分
２１、（１3分）
解析：（1）依题意：f (x )＝ln x ＋x 2
－bx ．
∵f (x )在(0，＋∞)上递增，∴1
()20f x x b x
'=+-≥对x ∈(0，＋∞)恒成立， 即12b x x ≤+对x ∈(0，＋∞)恒成立，只需min 1
(2)b x x
≤+． …………4分
∵x ＞0
，∴
1
2x x
+≥
2x =时取“＝”， ∴≦，∴b
的取值范围为(,-∞． ………………6分
（2）由已知得22
1111111
22
2222111
()ln 0ln ()ln 0ln f x x ax bx x ax bx f x x ax bx x ax bx ⎧⎧=--==+⎪⎪⇒⎨⎨=--==+⎪⎪⎩⎩， 两式相减，得1
1212122ln
()()()x a x x x x b x x x =+-+- 1
12122
ln
()[()]x x x a x x b x ⇒=-++．…………10分 由1
()2f x ax b x
'=
--及2x 0＝x 1＋x 2，得 1001201212122
1221
()2[()]ln x f x ax b a x x b x x x x x x x x '=
+-=-++=-++- 1
12121112122122
2
2(
1)
2()11
[ln ][ln ](1)x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=--+-+ 令1222,()ln (01)1
x t t t t t x t ϕ-=
=-<<+． ∵2
2
(1)()0(1)t t t t ϕ-'=-<+，∴φ(t )在(0，1)上递减，∴φ(t )＞φ(1)＝0．
∵x 1＜x 2，∴f ′(x 0)＜0． …………13分。