2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—函数及答案

2019年上海市各区高三二模数学分类汇
编—函数及答案
2019上海各区高三二模汇编-函数
一、填空题
11.（崇明3）设函数f(x)=x^2(x>0)，的反函数为y=f^-1(x)，则y=_______。

答案：√x
2.（崇明11）已知函数f(x)=x+1(x∈[-∞,8])，则f^-
1(4)=_____________。

答案：3
3.（奉贤3）设函数y=f(x)=log2(x+c)的图像经过点（2,5），则y=f(x)的反函数f^-1(x)=_________。

答案：2x-4，x∈R
4.（奉贤9）已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0,+∞)单调递减，当x+y=2019时，恒有f(x)+f(2019)>f(y)成立，则x的取值范围是_________。

答案：(-∞,2019)
5.（虹口7）若函数f(x)=x|x-a|-4（a∈R）有3个零点，则实数a的取值范围是_________。

答案：(4,+∞)
6.（虹口8）若函数f(x)=log3(9x+1)+kx（k∈R）为偶函数，则k的值为_________。

答案：-1
7.（虹口11）若函数f(x)={2-x(x≤1),f(x-1)-f(x-2)(x>1)}，则f(2019)的值为_________。

答案：-1
8.（金山1）函数f(x)=x-4的定义域是_________。

答案：[4,+∞)
9.（闵行3）已知函数f(x)=log2(x)的反函数为f^-
1(x)=_______。

答案：2^x
解析：
1.第一题没有明显错误，不需要改写。

2.第二题已经给出了函数的定义域，没有明显错误，不需要改写。

3.第三题已经给出了函数的反函数，没有明显错误，不需要改写。

4.第四题的解析中，最后一句话应该是“可解得x-y=-(2019-x)，可解得x<2019.因此，x的取值范围为(-∞,2019)。

”
5.第五题的解析中，第二个等式应该是“x|x-a|-4=0”，改写为“x|x-a|-4=0，解得|x-a|=4/x，即|x-a|=4x或|x-a|=-4x，因为取绝对值，所以|x-a|=4x，即a=x±4，而函数f(x)有3个零点，说
明a有两个解，即x+4>4或x-40或x4，即实数a的取值范围为(4,+∞)。

”
6.第六题没有明显错误，不需要改写。

7.第七题的解析中，最后一行应该是“f(2019)=f(3)=-f(-1)=-1”，改写为“因为f(x)是奇函数，所以f(x-1)-f(x-2)=-[f(1-x)-f(2-x)]，当x>1时，f(x)=f(x-1)-f(x-2)，因此，f(2019)=f(3)=f(2)-
f(1)=f(1)-f(0)=-[f(-1)-f(-2)]=-f(-1)=-1.”
8.第八题没有明显错误，不需要改写。

9.第九题已经给出了函数的反函数，没有明显错误，不需要改写。

10.若函数f(x)=4+2x-9(2+x)-9x+18有零点，则其所有零点的集合为{-2,-1,1,2}。

11.已知f(x)=2x+2x+b，是定义在[-1,0]上的函数，若
f(f(x))≤x在定义域上恒成立，且存在实数x满足f(f(x))=x且
f(x)≠x，则实数b的取值范围是(-∞,-1]。

12.函数y=x+log2(1-x)的定义域为(-∞,1)。

13.设a、b、c满足a≥1、b≥1、c≥1，且abc=10，
a×b×c≥10，则a+b+c=12.
14.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，记g(x)=f(x)-x，且函数g(x)在区间[-2,∞)上是增函数，则不等式f(x+2)-f(2)>x+4的解集是(-∞,-4)∪(2,∞)。

15.函数y=|sinx+arcsinx|的最大值为π/2+sin1.
16.已知a、b、c都是实数，若函数f(x)=x在(-∞,a]上，
f(x)=1在(a,c)上，f(x)=x+b在[c,∞)上，并且f(x)的反函数的定义域是(-∞,∞)，则c的取值范围为(∞,a)。

17.已知函数$f(x)=x^2+ax+b(a,b\in\mathbb{R})$在区间$(-1,1)$内有两个零点，则$a^2-2b$的取值范围是$(0,2)$。

解析：设两个零点为$x_1,x_2$，则由韦达定理可得
$x_1+x_2=-a,x_1x_2=b$。

又因为$x_1,x_2\in(-1,1)$，所以
$x_1x_2\in(-1,1)$，即$b\in(-1,1)$。

因此，$a=-x_1-x_2\in(-
2,2)$，$a^2-2b0$，所以$a^2-2b\in(0,2)$。

18.已知点$(2,5)$在函数$f(x)=1+ax(a>0,a\neq 1)$的图像上，则$f(x)$的反函数$f^{-1}(x)=\log_{2}(x-1)$。

解析：因为点$(2,5)$在函数$f(x)$的图像上，所以
$1+2a=5$，解得$a=2$。

因此，$f(x)=1+2x$，$f^{-
1}(x)=\dfrac{x-1}{2}$，化简得$f^{-1}(x)=\log_{2}(x-1)$。

19.已知函数$f(x)=x+\dfrac{1}{x}$，则$f(x)$的值域为$(2,+\infty)$。

解析：对于任意$x\neq 0$，有$f(x)=x+\dfrac{1}{x}\geq 2$，等号成立当且仅当$x=1$或$x=-1$。

当$x\to 0$时，$f(x)\to -
\infty$。

因此，函数$f(x)$的值域为$(2,+\infty)$。

20.若幂函数$f(x)=x^k$的图像过点$(4,2)$，则$f(9)=3$。

解析：因为幂函数$f(x)=x^k$的图像过点$(4,2)$，所以
$4^k=2$，解得$k=\dfrac{\log 2}{\log 4}=\dfrac{1}{2}$。

因此，$f(x)=\sqrt{x}$，$f(9)=3$。

21.函数$y=-1+\arcsin x$的值域是$\left[\dfrac{1-
\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right]$。

解析：因为$y=\arcsin x$的定义域为$[-1,1]$，值域为
$\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$，所以$y=-1+\arcsin
x$的值域为$\left[-1-\dfrac{\pi}{2},-
1+\dfrac{\pi}{2}\right]=\left[\dfrac{1-\pi}{2},-
\dfrac{1}{2}\right]$。

又因为$\dfrac{1-\pi}{2}>-\dfrac{1}{2}$，所以$y=-1+\arcsin x$的值域为$\left[\dfrac{1-
\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right]$。

22.函数$y=\arcsin x^2$的值域是$\left[\dfrac{1-
\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}\right]$。

解析：因为$y=\arcsin x^2$的定义域为$[-1,1]$，值域为
$\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$，所以要求
$x^2\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$。

又因为
$x^2\geq 0$，所以要求$x^2\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$。

因此，$y=\arcsin x^2$的值域为$\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$。

又因为$\arcsin x^2\leq\arcsin 1=\dfrac{\pi}{2}$，所以$y=\arcsin x^2$的值域为$\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$。

又因为
$\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2 }>0$，所以$y=\arcsin x^2$的值域为$\left[\dfrac{1-
\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}\right]$。

23.若定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$的函数
$f(x)=\begin{cases}x,&x<0\\2+mx,&x\geq 0\end{cases}$是奇函数，则实数$m$的值为$-1$。

解析：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$，即
$\begin{cases}-x,&x>0\\2-mx,&x\leq 0\end{cases}=-
\begin{cases}x,&x>0\\2+mx,&x\leq 0\end{cases}$。

因此，$m=-1$。

1.（崇明13）下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数为（C）。

解析：奇函数的定义是f(-x)=-f(x)，单调递减的定义是在
区间上，随着自变量的增加，函数值呈现递减趋势。

只有函数
y=-x^3同时满足这两个条件。

2.（浦东16）已知f(x)=ax-b+c，则对任意非零实数
a,b,c,m,n,t，方程f(m)+f(n)=t有解的充要条件是（B）。

解析：将f(x)代入方程中得到am-an+t=c+c-b，即a(m-
n)=t-2c+b。

因为a是非零实数，所以方程有解的充要条件是t-
2c+b≠0，即f(m)+f(n)不在同一条直线上。

长宁19）为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，
业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年；已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材
料的费用为6万元/毫米厚，且每年的能源消耗费用H（万元）与隔热层厚度x（毫米）满足关系：
$H(x)=\begin{cases}40&(\leq x\leq 10)\\0&(\text{其
他})\end{cases}$；设$f(x)$为隔热层建造费用与20年的能源
消耗费用之和；
1）$H(x)$的实际意义，并求$f(x)$的表达式；
2）求隔热层喷涂多厚时，业主的所付总费用$f(x)$最小？并计算与不建隔热层比较，业主节省多少钱？
解析】
1）$H(x)$表示隔热层厚度为$x$时每年的能源消耗费用，其中当$x\leq 10$时，能源消耗费用为40万元，表示隔热效果好，能够减少能源消耗；当$x>10$时，能源消耗费用为0万元，表示隔热效果不好，不能减少能源消耗。

$f(x)$表示隔热
层建造费用和20年的能源消耗费用之和，即$f(x)=20H(x)+6x$，其中20表示20年的使用期限，$6x$表示隔热层建造费用，因为每毫米厚度的喷涂费用为6万元。

2）$f(x)$最小，即$20H(x)+6x$最小，即$H(x)$最小。

由
于$H(x)$在$x=10$处取得最小值40，因此当$x=10$时，
$f(x)$取得最小值$20\times 40+6\times 10=890$万元。

与不建
隔热层相比，不建隔热层时，能源消耗费用为$H(0)=0$万元，建造费用为$6\times 10=60$万元，总费用为$20\times
0+60=60$万元，因此业主节省了$60-890=830$万元。

答案：（1）$f(x)=20H(x)+6x=+6x(\leq x\leq 10)$；（2）隔热层喷涂
10毫米时，业主的所付总费用$f(x)$最小，为90万元；与不
建隔热层相比，业主节省了830万元。

5.（金山19）XXX博士在《自然——可持续性》杂志上
发表的论文指出，通过植树造林和提高农业效率，中国在地球变绿的过程中发挥了主导作用。

某种树木的高度f(t)（单位：米）与生长年限t（单位：年，t∈N*）满足逻辑斯蒂函数：f(t) = 6/(1+e^(-0.5t+2))，其中e为自然对数的底数，该树栽下的时刻为t=0.
1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确
到个位）
2）在第几年内，该树长高最快？
答案】（1）8年；（2）第四年或第五年
解析】（1）令f(t)≥5，解得t≥4+2ln5≈7.2，即需要经过8年，该树的高度才能超过5米。

2）当t∈N时，f(t)-f(t-1) = (1+e^(-0.5t+2))/(1+e^(-
0.5t+2.5))-6/(1+e^(-0.5(t-1)+2))。

令e^(-0.5t+2)=u，则
u∈(0,e^2)，则f(t)-f(t-1) = (1+u)(1+e^(-0.5t+2))/(6e^(-
0.5t+2))(e^0.5-1)u^0.5.令g(u) = (1+u)(1+e^(-0.5t+2))/(6e^(-
0.5t+2))(e^0.5-1)u^0.5，则g'(u) = (0.5e^(-0.5t+2)+1)/(6e^(-
0.5t+2))(e^0.5-1)u^0.5-0.5(1+u)(1+e^(-0.5t+2))/(6e^(-
0.5t+2))(e^0.5-1)u^1.5，令g'(u) = 0，解得u=e^(-0.25)，此时
u=e^(-0.25)时，g(u)取得最大值，u=e^(-0.25)，解得t=4.5.由于
要求t为正整数，故树木长高最快的t可能值为4或5，又
f(4)-f(3) = 3-(1+e^(-0.5*4+2))/(1+e^(-0.5*3+2))≈0.66，f(5)-f(4) = 3-(1+e^(-0.5*5+2))/(1+e^(-0.5*4+2))≈0.9，故该树木在第四年内
或第五年内长高最快。

6.（闵行19）某知名企业为适应发展需要，计划加大对研发的投入。

据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入m万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名，（x∈N且x∈[45,60]）。

已知研发人员
的年人均投入为2m万元。

若该企业计划将研发投入提高到原
来的2.5倍，问需要增加多少名研发人员？
解析】原有技术人员的总投入为100m万元，研发人员的
总投入为2mx万元，故总投入为100m+2mx万元。

现在研发
投入提高到原来的2.5倍，则总投入为100m+5mx万元。

设需
要增加y名研发人员，则总投入为100m+2m(x+y)万元，故有100m+2m(x+y) = 100m+5mx，解得y = 75-2x。

因为45≤x≤60，所以-30≤2x-75≤-15，即15≤y≤30.故需要增加15~30名研发人员。

1.调整后研发人员的年人均投入增加了2x%，技术人员的年人均投入调整为$\frac{m}{a-3x}\times50$万元。

现在需要满足100-x名研发人员的年人均投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数。

解析：设调整后技术人员的人数为y，则有：
100-x)\times2\times m+y\times\frac{m}{a-
3x}\times50=100\times y\times\frac{m}{50}
整理得：
y=\frac{100-x}{2}\times\frac{50}{a-3x}
要使得调整后100-x名研发人员的年人均投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，就是要使得调整后的技术
人员的年人均投入等于调整前100名技术人员的年人均投入，即：
frac{100-x}{2}\times\frac{50}{a-3x}=m
代入$m=\frac{100m}{50+x^2}$，解得$x=50$，代入可得$y=50$。

2.调整后研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求调整后技术人员的年人均投入的范围。

解析：根据题意，有：
m(100-x)(1+\frac{2}{100})\geq mx(a-)
化XXX：
a-\geq\frac{100-x}{3x}
同时，要保证技术人员的年人均投入不减少，有：m(100-x)(1+\frac{2}{100})\geq mx
化XXX：
a-\geq\frac{50}{3x}
综合以上两个不等式，得到：
a-\geq\max\{\frac{100-
x}{3x},\frac{50}{3x}\}=\frac{1}{3x}\max\{100-x,50x\} 因为$x\leq50$，所以$\max\{100-x,50x\}=100$，代入得：a-\geq\frac{100}{3x}
又因为$a-\leq5$，所以有：
frac{100}{3x}\leq a-\leq5
解得$x\geq\frac{5}{23.5}$，即$x\geq0.213$，所以调整后技术人员的年人均投入的范围是$\frac{50}{a-
3x}\geq\frac{50}{5-3\times0.213}\approx13.4$万元到
$\frac{50}{a-3x}\leq\frac{50}{5-3\times50}\approx-16.7$万元。

3.已知函数$f(x)=\log_a(9-3x)(a>0,a\neq1)$，且$f(x)$的反
函数是其本身，求$a$的值；当$a=3$时，求函数$y=f(x)+f(-
x)$的最小值。

解析：
1）因为$f(x)$的反函数是其本身，所以有$f(f(x))=x$。

又
因为$f(x)=\log_a(9-3x)$，所以$f(f(x))=\log_a(9-3\log_a(9-3x))$。

因此：
begin{aligned}
x&=\log_a(9-3\log_a(9-3x))\\
a^x&=9-3\log_a(9-3x)\\
3\log_a(9-3x)&=9-a^x\\
log_a(9-3x)^3&=9-a^x\\
a^x+3\log_a(9-3x)&=9\\
end{aligned}
将$f(x)=\log_a(9-3x)$代入，得到：
log_a(9-3x)+3\log_a(9-3\log_a(9-3x))=9
化XXX：
begin{aligned}
log_a(9-3x)+\log_a(9-3\log_a(9-3x))^3&=9\\
log_a[(9-3x)(9-3\log_a(9-3x))^3]&=9\\
9-3x)(9-3\log_a(9-3x))^3&=a^9\\
end{aligned}
因为$f(x)$的反函数是其本身，所以$y=f(x)$和$y=x$在同一条直线上，即：
f(x)=x\Rightarrow \log_a(9-3x)=x\Rightarrow a^x=9-3x
代入上式得：
9-3x)(9-x)^3=a^9
将$a=3$代入，解得$x=1$，所以$a=3$。

2）当$a=3$时，$y=f(x)+f(-x)=\log_3(9-3x)+\log_3(9+3x)$。

因为$\log_3(9-3x)+\log_3(9+3x)=\log_3[(9-
3x)(9+3x)]=\log_3(81-9x^2)$，所以：
y=\log_3(81-9x^2)
为了求最小值，需要求导数：
y'=-\frac{18x}{81-9x^2}=-\frac{2x}{9-x^2}
令$y'=0$，解得$x=0$或$x=3$。

又因为$x>0$，所以$x=3$时取得最小值，即$y_{\min}=\log_3(81-
9\times3^2)=\log_3(0)=\text{不存在}$。

因此，函数在区间$[7,8]$上单调递增。

4.已知函数$f(x)=\begin{cases}
frac{x-5}{3},& x\leq5\\
x-4,& x>6
end{cases}$，且$f(6)=3$。

1）求实数$a$的值，使得$f(x)=a$有且仅有一个实根。

2）判断并证明函数在区间$[7,8]$上的单调性。

解析：
1）当$x\leq5$时，$f(x)=\frac{x-5}{3}$，当$x>6$时，$f(x)=x-4$。

因此，方程$f(x)=a$可以表示为：
begin{cases}
frac{x-5}{3}=a,& x\leq5\\
x-4=a,& x>6
end{cases}
解得：
begin{cases}
x=3a+5,& a\leq\frac{5}{3}\\
x=a+4,& a>\frac{4}{3}
end{cases}
因为$f(x)$是一个分段函数，所以当$a=\frac{4}{3}$时，$f(x)=a$有两个实根$x=3$和$x=5$；当
$\frac{4}{3}\frac{5}{3}$时，$f(x)=a$有一个实根$x=a+4$。

因此，要使得$f(x)=a$有且仅有一个实根，需要满足
$a=\frac{20}{3}$。

2）在区间$[7,8]$上，$f(x)$是一个单调递增的函数。

当$7\leq x\leq5$时，$f(x)=\frac{x-5}{3}\leq\frac{2}{3}6$时，
$f(x)=x-4\geq4>f(8)=\frac{1}{3}$。

因此，$f(x)$在区间$[7,8]$上单调递增。

文章已经被修改过，以下是修改后的文章：
血液中酒精含量在（20.42，44.72]范围内时，不能驾车。

已知函数f(x)和g(x)在数集D上都有定义，对于任意的x1,x2∈D，当x1<x2时，若g(x1)≤g(x2)成立，则称g(x)是数集D上f(x)的限制函数的解析式；
证明：如果g(x)在区间D1⊆D上恒为正值，则f(x)在D1上是增函数；
求f(x)=-(x/(x-2))的单调区间，其中D=[0,+∞)。

解析：（1）g(x)=2/(x-2)；（2）由于篇幅限制，此处省略证明过程，结论为f(x)在区间D1上是增函数；（3）由(2)可知，当x∈(0,2)时，f(x)单调递减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调递增。

因此，单调减区间为[0,2)，单调增区间为(2,+∞)。

首先，文章中存在一些数学符号和公式的格式错误，需要进行修正。

修正后的文章如下：
设 $g(x)=2x-\frac{1}{x_1}$，其中 $x_1$ 是其限制函数，任取 $x_1<x<\in [0,+\infty)$。

以下证明 $g(x)=2x-\frac{x_2-x_1}{f(x_1)-f(x_2)}$。

because$ $x_10$。

XXX(x)-=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\cdot(g(x_2)-)+\frac{x_2-x}{x_2-x_1}\cdot(g(x_1)-)$
frac{x-x_1}{x_2-x_1}\cdot(2x_2-\frac{1}{x_1}-\frac{x_2-x_1}{f(x_1)-f(x_2)})+\frac{x_2-x}{x_2-x_1}\cdot(2x_1-
\frac{1}{x_1})$
frac{2x_2-x_1-x}{x_2-x_1}-\frac{x_2-x_1}{f(x_1)-
f(x_2)}\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$
x-x_1+\frac{x_2-x_1}{f(x_1)-f(x_2)}(f(x_1)-f(x_2)-f(x))>0$
XXX(x)$ 在 $(x_1,+\infty)$ 上单调递增。

同理，可以证明 $g(x)$ 在 $(0,x_2)$ 上单调递减。

故：$g(x_1)\leq f(x_1)-f(x_2)\leq g(x_2)$，得证。

对于第 11 题：
1）由于 $\tan[(x-)\pi]$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，故满足条件。

2）由于 $f[g(x)]=\log_2[\sin^2(2x)+1]$，值域为 $[0,1]$，不满足题意。

3）假设 $f(x-y)=f(x)-f(y)$，则有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$。

证明如下：
1.假设 $f(x-y)=f(x)-f(y)$。

令 $y\leftarrow x+y$，则有 $f(x-y)=f(-y)=f(x+y)-f(x)$。

代入假设中的等式，得到 $f(x+y)=f(x)+f(y)$。

2.假设 $f(x+y)=f(x)+f(y)$。

令 $y\leftarrow -y$，则有 $f(x-y)=f(x)+f(-y)$。

再令 $x\leftarrow x+y$，则有 $f(y)=f(x+y)-f(x)$。

代入假设中的等式，得到 $f(x-y)=f(x)-f(y)$。

综上所述，$f(x-y)=f(x)-f(y)$ 成立当且仅当
$f(x+y)=f(x)+f(y)$ 成立。

因此，$f(x+y)=f(x)+f(y)$。

文章中存在格式错误，需要进行修改。

修改后的文章如下：图像分别关于直线x=0和x=p对称。

当x∈R时，若f(x)=f1(x)恒成立，则等价于f1(x)≤f2(x)恒
成立，即2≤3×2x−x−p/x−p≤3，即x−x−p≤log23恒成立。

当p>0时，设g(x)=x−x−p={−p,(xp)}，则g(x)max=p，故
p≤log23成立。

当p≤log23时，f(x)=f1(x)，f1(x)为偶函数，且在(−∞,0]上
递减，在[0,+∞)上递增，方程f(x)=m最多有两个解。

如下图所示。

故关于x的方程f(x)=m恰有三个不同的解，则p>log23.
当x≤p时，f1(x)=2−x<2p−x<f2(x)，从而f(x)=f1(x)。

当x≥p时，f1(x)=2x=2p×2x−p>2log23×2x−p=f2(x)，从而f(x)=f2(x)。

当x∈(0,p)时，f1(x)=2x，f2(x)=3×2p−x。

由2=3×2xp−x，得x=p+log23−2.显然p+log23−2<x<p，表明x在与p之间。

在x∈(0,x]时，f1(x)=2x递增，f2(x)=3×2p−x递减；在
x∈(x,p)时，f1(x)=2递增，f2(x)=3×2xp−x递减。

综上可知，f(x)={f1(x),(0≤x≤x);f2(x),(x<x≤p)}。

f(x)在(−∞,0]和[x,p]上单调减，在[0,x]和(p,+∞)上单调增。

如下图所示。

故关于x的方程f(x)=m恰有三个不同的解，则m=3或
m=f1(x)=2=2x+p+log23−2.
当m=3时，三个解的和为p；当
m=f1(x)=2=2x+p+log23−2时，三个解的和为2p−x=3p−log23.。