广东省广州实验中学高三数学上学期第二次阶段性考试试

2015-2016广东实验中学高三上学期第二次段考试题
数学（文科）
高三文科数学备课组命题 2015.11 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 设集合A ＝{x|x 2
－2x －3<0}，B ＝{y |41≤≤y }，则A∩B＝（ ）
A ．[0,2]
B ．（1,3）
C ．[1,3）
D ．（1,4）
(2) 设1z i =-（i 是虚数单位），则
2
z z
+= A ．22i - B ．22i + C ．3i - D ． 3i + 错误!未找到引用源。

(3)在下列条件下，可以判断平面α与平面β平行的是
A. α、β都垂直于平面γ
B. α内不共线的三个点到β的距离相等
C. l,m 是α内两条直线且l ∥β,m ∥β
D. l,m 是异面直线,且l ∥α,m∥α,l ∥β,m ∥β
(4) 将直线02=+-λy x 沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆04222=-++y x y x 相
切，则实数λ的值为
A.-3或7
B.-2或8
C.0或10
D.1或11 错误!未找到引用源。

(5) 某几何体的三视图如右图所示，且该几何体体积是3，则x 的值是（ ）
A.2
B.3
C.2.5
D.4
(6) 如图所示为函数)sin(2)(ϕω+=x x f )0,0(πϕω≤≤>的部分图像，其中B A ,两点之间
的距离为5，那么=-)1(f
A ．2
B ．3
C ．3-
D ．-2
(7) 已知,y x z +=其中实数,x y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤-≥+m y y x y x 0002，若z 的最小值为-3，则z 的最大值是
( )
A ．6
B ． 7
C ． 8
D ．9
(8)已知实数52,,202
m 构成一个等差数列，则圆锥曲线2
21x y m
+=的离心率为
D.56
或7 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

(9)函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+≠对任意x 都有(
)()44
f x f x π
π
+=-，则()4f π等于
A. 2或0
B. 2-或2
C. 0
D. 2-或0
错误!未找到引用源。

(10) 已知{}n a 是等比数列，4
1
252=
=a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（ ）
A.16（n
--4
1） B.16（n
--2
1） C.
332（n --41） D.3
32（n
--21） 错误!未找到引用源。

(11) 函数)(x f 在定义域R 内可导，若)1()(x f x f -=，且当2
1
≠
x 时，（第6题图）
有0)(')21
(<⋅-x f x ，设)4
3(tan
πf a =，)10(lg f b =，)8(32
f c =，则 A.c b a << B.b a c << C.a b c << D.a c b <<
(12) 已知函数1)(+-=mx e x f x
的图像是曲线C ，若曲线C 不存在与直线y=ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是
A.]1
,(e --∞ B.),1[+∞e C. )1,(e -∞ D.]1,(e
-∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13) ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若222()tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为__________.
(14) 在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，若错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，且错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

的夹角为60°，则错误!未找到引用源。

＝ .
(15)已知三棱锥S-ABC ， 满足,,,SA SC SC SB SB SA ⊥⊥⊥，且SA=SB=SC ，若该三棱锥外接球的半径为3，Q 是外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为________
(16)定义域为R 的偶函数)(x f 满足对∈∀x R ，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]1,0[∈x 时，
242)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的
取值范围是
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =
2
11
n a -（n ∈N *
），若数列{}n b 的前n 项和为n T ，.41T 81n <≤证明： 18．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，已知3
,2π
==C c .
（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；
（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆的面积.
19.（本小题满分12分）
三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面AA 1B 1B 为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1＝60°，
AB ⊥B 1C .
(I)求证：平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ； (II)若AB ＝2，求三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积．
20．（本小题满分12分）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形． （Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过B 1作直线交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．
21．（本小题满分12分）已知函数)1ln(2)1()(2
x x x f +-+=．
(1)若定义域内存在0x ，使不等式0)(0≤-m x f 成立，求实数m 的最小值；
(2)若函数a x x x f x g ---=2
)()(在区间]3,0[上恰有两个不同的零点，求实数a 取值范围.
请从下面三题中选择一题作答，并把答题的题号写在答卷上。

22．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()|2|f x x =-，()|3|g x x m =-++． （1）解关于x 的不等式()10f x a +->（a ∈R ）；
（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围．
选修4—4:坐标系与参数方程
23.已知曲线1C 的参数方程为45cos ,
55sin x t y t
=+⎧⎨
=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标(0,02ρθπ≥≤<).
24．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，延长CF 交AB 于E ．
（1） 求证：E 是AB 的中点；（2）求线段BF 的长．
高三文科数学第二次段考 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
B
C
A
B
A
A
C
B
C
B
D
13．
323
ππ
或
14. -9 15. 33__ 16. )3
3
,0(
17.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
11
27
21026a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得13,2a d ==， （3分） 所以321)=2n+1n a n =+-（
； （4分） n S =n(n-1)
3n+
22
⨯=2n +2n ． （6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，
所以b n =
2
1
1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1
⋅，（8分） 所以n T =
111111
(1-+++-)4223n n+1⋅-L =41)111(41<+-
n （11分） .4
1
T 81T T 81n n 1<≤≤=，所以又 （12分） 18.(第9次周四测原题)解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得42
2
=-+ab b a
又3sin 2
1
=C ab Θ
，得4=ab ……3分
联立⎩
⎨⎧==-+4422ab ab b a 解得2,2==b a
……5分
（Ⅱ）由题意得，A A A B A B cos sin 4)sin()sin(=-++ 即A A A B cos sin 2cos sin =. ……7分
3
3
2,334,6
,2
,0cos ==
=
=
=b a B A A π
π
时当 ABC ∆的面积3
3
221=
=bc S ……9分 当A B A sin 2sin ,0cos =≠得时，由正弦定理得a b 2=，
联立方程⎩
⎨⎧==-+a b ab b a 2422 解得33
4,332=
=b a 所以ABC ∆的面积3
3
2sin 21=
=
C ab S ，综上，ABC ∆的面积为332.……12分
19. 解：(I)由侧面AA 1B 1B 为正方形，知AB ⊥BB 1.
又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB ⊥平面BB 1C 1C ， 又AB ⊂平面AA 1B 1B ，所以平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C . ……5分 (II)由题意，CB ＝CB 1，设O 是BB 1的中点，连接CO ，则CO ⊥BB 1.
由(I)知，CO ⊥平面AA 1B 1B ，且CO ＝
32BC ＝3
2
AB ＝ 3. 连结AB 1，则V C —ABB 1＝13S △ABB 1·CO ＝16AB 2·CO ＝23
3.
因为VB 1—ABC ＝V C —ABB 1＝13V ABC —A 1B 1C 1＝23
3，
故三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积VABC —A 1B 1C 1＝2 3.……12分 20. 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为
，F 2（c ，0）
∵△AB 1B 2是的直角三角形，|AB 1|=AB 2|，∴∠B 1AB 2为直角，从而|OA|=|OB 2|，即
∵c 2
=a 2
﹣b 2
，∴a 2
=5b 2
，c 2
=4b 2
，∴
……………………3分
在△AB 1B 2中，OA⊥B 1B 2，∴S=|B 1B 2||OA|=
∵S=4，∴b 2
=4，∴a 2
=5b 2
=20
∴椭圆标准方程为
；……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B 1（﹣2，0），B 2（2，0），由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为x=my ﹣2
代入椭圆方程，消元可得（m 2+5）y 2
﹣4my ﹣16=0①……………………7分 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），
∴
，
……………………8分
∵
，
∴
=
∵PB 2⊥QB 2，∴……………………9分
∴
，∴m=±2……………………10分
当m=±2时，①可化为9y 2
±8y﹣16﹣0，
∴|y 1﹣y 2|==……………………11分
∴△PB 2Q 的面积S=|B 1B 2||y 1﹣y 2|=×4×
=
．……………………12分
21．解：（1）存在x 0使m ≥f(x 0)min ---------------1分
)
1(1)2(212
)1(2)('->++=+-
+=x x
x x x x x f ---------------2分 令00)('>⇒>x x f
01-0)('<<⇒<x x f
∴y=f(x)在（-1，0）上单减，在(0,+∞)单增
f(x 0)min =f(0)=1---------------4分
∴m ≥1 ∴m min =1 --------------------------------------------------5分
∴y=f(x)在[0,1]上单减，(1,3]上单增 h(0)=1-2ln1=1 h(1)=2-2ln2 h(3)=4-2ln4>1
∴2-ln2<a ≤1 ---------------------------------------------12分 22.解：（1）不等式()10f x a +->即为|2|10x a -+->，
当1a =时，解集为2x ≠， 即(,2)(2,)-∞+∞U ；
当1a >时，解集为全体实数R ；
当1a <时，解集为(,1)(3,)a a -∞+-+∞U ------------------5分 （2）()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，
即为|2||3|x x m ->-++对任意实数x 恒成立，即|2||3|x x m -++>恒成立， 又对任意实数x 恒有|2||3||(2)(3)|5x x x x -++--+=≥，于是得5m <， 即m 的取值范围是(,5)-∞ ----------------------------------10分
23解:(1)将45cos 55sin x t y t
=+⎧⎨=+⎩,消去参数t,化学普通方程22
(4)(5)25x y -+-=,
即 1C ： 22
810160x y x y +--+=, 将22cos ,
810160sin x p x y x y y p θθ
=⎧+--+=⎨
=⎩代入得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=;
所以1C 极坐标方程为 2
8cos 10sin 160ρρθρθ--+=. --------------6分
(2)2C 的普通方程为2
2
20x y y +-=,
2222
810160=1=0y=2y=2.20
x y x y x x x y y ⎧+--+=⎧⎧⎪⎨⎨⎨+-=⎪⎩⎩⎩，
，，解得或， 所以12C C 与交点的极坐标为
(2,
),(2,)
42
π
π
. --------------10分 24.解：（1）证明：连结,DF DO ，则CDO FDO ∠=∠，
因为BC 是的切线，且CF 是圆D 的弦，所以
1
2BCE CDF ∠=
∠，即CDO BCE ∠=∠，
故Rt Rt △△CDO BCE ≅，所以
12EB OC AB ==
;
----------------------------------5分。