高中数学第一章三角函数.5函数y=Asin(ω+φ)的图象二课时作业新人教必修4

【创新设计】〔浙江专用〕2021-2021高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y ＝Asin(ωx＋φ)图象〔二〕课时
作业 新人教版必修4
1.简谐运动f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)图象经过点(0，1)，那么该简谐
运动最小正周期T 与初相φ分别为( ) A.T ＝6，φ＝π
6
B.T ＝6，φ＝π
3
C.T ＝6π，φ＝π
6
D.T ＝6π，φ＝π
3
解析 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0，1)点得sin φ＝1
2
.
∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.
答案 A
2.a 是实数，那么函数f (x )＝1＋a sin ax 图象不可能是( )
解析 当a ＝0时f (x )＝1，C 符合，
当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，A 符合， 当|a |>1时T <2π，B 符合. 排除A 、B 、C ，应选D. 答案 D
3.y ＝f (x )是以2π为周期周期函数，其图象一局部如下图，那么y ＝f (x )解析式为( )
A.y ＝3sin(x ＋1)
B.y ＝－3sin(x ＋1)
C.y ＝3sin(x －1)
D.y ＝－3sin(x －1)
解析 A ＝3，ω＝2π
T
＝1，由ω×1＋φ＝π，∴φ＝π－1，
∴f (x )＝3sin[x ＋(π－1)]＝－3sin(x －1). 答案 D
4.电流强度I (A)随时间t (s)变化函数I ＝A ·sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫ωt ＋π6(A >0，ω≠0)图象如下图，那么当t ＝1
50
s 时，电流强度是_________ A.
解析 由图象可得函数I ＝A ·sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫ωt ＋π6(A >0，ω≠0)振幅是10，周期是T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫4300－1300＝150，所以ω＝2πT ＝100π，所以当时间t ＝150 s 时，电流强度I ＝10sin ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫100π×150＋π6＝10sin π6＝5(A).
答案 5
5.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)图象关于点⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|最小值为______.
解析 y ＝3cos(2x ＋φ)图象对称中心横坐标应满足 2x ＋φ＝π
2
＋k π，k ∈Z .
∵⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫4π3，0是y ＝3cos(2x ＋φ)对称中心，
∴2×4π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴|φ|min ＝π6.
答案 π6
6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π
2)最小值为－2，其图象相
邻最高点与最低点横坐标差是3π，又图象过点(0，1)，求函数解析式.
解 由于最小值为－2，所以A ＝2. 又相邻最高点与最低点横坐标之差为3π. 故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝1
3
，
y ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫13x ＋φ. 又图象过点(0，1)，所以sin φ＝12，
因为|φ|<π2，所以φ＝π
6
.
故所求解析式为y ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫13x ＋π6. 7.曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上一个最高点坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫π8，
2，此点到相邻最低点间曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫38π，0，假设φ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线函数表达式；
(2)用“五点法〞画出(1)中函数在[0，π]上图象. 解 (1)由题意知A ＝
2，T ＝4×⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫38π－π8＝π， ω＝2π
T
＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ).
又∵sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫π8×2＋φ＝1， ∴π4＋φ＝2k π＋π
2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π
4
，k ∈Z ，
又∵φ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
－π2，π2， ∴φ＝π4，∴y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4. (2)列出x 、y 对应值表：
8.函数f (x )＝A sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)最大值为3，其图象相邻两
条对称轴之间距离为π
2.
(1)求函数f (x )解析式；
(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，那么f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫α2＝2，求α值. 解 (1)∵函数f (x )最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.
∵函数图象相邻两条对称轴之间距离为π2，
∴最小正周期T ＝π，
∴ω＝2，故函数f (x )解析式为y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝12，
∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π
6，
故α＝π
3
.
能 力 提 升
9.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
－π6，5π6，只要将y ＝sin x (x ∈R )图象上所有点( )
A.向左平移π3个单位长度，再把所得各点横坐标缩短到原来1
2倍，纵
坐标不变
B.向左平移π
3个单位长度，再把所得各点横坐标伸长到原来2倍，纵
坐标不变
C.向左平移π6个单位长度，再把所得各点横坐标缩短到原来1
2倍，纵
坐标不变
D.向左平移π
6个单位长度，再把所得各点横坐标伸长到原来2倍，纵
坐标不变
解析 由图象，可知函数周期为π，振幅为1，故函数表达式可以是
y ＝sin(2x ＋φ)，代入⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－π6，0可得φ一个值为π
3
，故函数一个表达
式是y ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x ＋π3.故只需将y ＝sin x (x ∈R )图象上所有点向左平
移π3个单位长度，变为y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3，再把所得各点横坐标缩短到原来12，纵坐标不变即变为y ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x ＋π3. 答案 A
10.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2局部图象如下图，那么ω，φ值分别是( ) A.2，－π
3
B.2，－π
6
C.4，－π
6
D.4，π3
解析 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π3＝3π4
，
∴T ＝π，由此可得T ＝2π
ω
＝π，解得ω＝2，又A ＝2，
得函数表达式为f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又因为当x ＝5π
12
时取得最大值2，
所以2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫2×5π12＋φ＝2，可得5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )
因为－π2＜φ＜π2，所以取k ＝0，得φ＝－π
3，应选A.
答案 A
11.函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)图象如以下图所示，那么φ＝_____.
解析 由图象知函数y ＝sin(ωx ＋φ)周期为
2⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45. ∵当x ＝3π
4时，y 有最小值－1，
∴45×3π4＋φ＝2k π－π
2 (k ∈Z ). ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10
.
答案 9π
10
12.关于f (x )＝4sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有以下命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π整数倍；
②y ＝f (x )表达式可改写成y ＝4cos ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π
6对称.
其中正确命题序号为______. 解析 对于①，由f (x )＝0， 可得2x ＋π
3
＝k π(k ∈Z ).
∴x ＝k
2π－π6，∴x 1－x 2是π
2
整数倍，∴①错；
对于②，f (x )＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6.∴②对； 对于③，f (x )＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫2x ＋π3对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，
∴x ＝k
2π－π
6
，k ∈Z .
∴⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫－π6，0是函数y ＝f (x )一个对称中心，∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )对称轴满足2x ＋π3＝π
2＋k π，k ∈Z .
∴x ＝π12＋k π
2，k ∈Z ，∴④错.
答案 ②③
13.假设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在其中一个周期内图象上有一个最高点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，3与一个最低点⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
7π12，－5，求该函数解析式.
解 由题意，知b ＝－5＋32＝－1，A ＝3－〔－5〕2
＝4，
T ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫7π12－π12＝π，∴ω＝2πT ＝2.
∴函数y ＝4sin(2x ＋φ)－1.
∵⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
π12，3为该函数图象上点， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋φ－1＝3.∴sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫
π6＋φ＝1. ∴π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .∴φ＝π
3＋2k π，k ∈Z . ∵|φ|<π2，∴φ＝π3
.
∴该函数解析式为y ＝4sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x ＋π3－1. 探 究 创 新
14.正切函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π
2
)图象与x 轴相交两
个相邻交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，0与⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫5π6，0，且图象过点(0，－3)，求其解析式.
解 由题意知T ＝π
ω＝5π6－π6＝23π，∴ω＝32.
由32×π6＋φ＝k π⇒φ＝－π
4＋k π(k ∈Z )， 又∵|φ|<π2，∴φ＝－π4
.
将(0，－3)代入y ＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x 2－π4，得A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫
－π4＝－3⇒A ＝3， ∴函数解析式为y ＝3tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
3x 2－π4.。