江苏省泰州市姜堰区高一下学期期中考试(4月)数学word版有答案-精编

(第7题)
姜堰区2017～2018学年度第二学期期中调研测试试题
高 一 数 学(卷I)
（考试时间：120分钟 总分160分） 命题人：张新志 沈建军 审核人：缪桂昌 孟泰
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上）
1．已知点(2,3)M ，(4,9)N ，则直线MN 的斜率是 ▲ ． 2．正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 平行的棱有 ▲ 条. 3
．直线4y =+在y 轴上的截距为 ▲ ． 4．圆2
2
230x y x y +-+=的圆心坐标为 ▲ ．
5．已知直线1:(1)260l a x y +++=和直线()2
2:510l x a y a +-+-=垂直，则实数a 的值为 ▲ .
6．直线1l 的方程为3220x y +-=，直线2l 的方程为
(21)10m x my -++=，若1l ∥2l 则实数m 的值为 ▲ .
7．如图,正方体1111ABCD A B C D -中
, AB =点E 为11A D 的中点,点F
在11C D 上,若//EF 平面1ACB ,则EF = ▲ ．
8．若直线20x y --=被圆2
2
()4x y a ++=
所截得的弦长为， 则实数a 的值为 ▲ ． 9．已知,m n 是两条不重合的直线,,αβγ是三个两两不重合的平面给出下列四个
命题:
(1)若,m m αβ⊥⊥,则//αβ (2)若,αγβγ⊥⊥,则//αβ (3)若,,//m n m n αβ⊂⊂,则//αβ (4)若//m β， //βγ，则//m γ
其中正确的命题是 ▲ ．(填上所有正确命题的序号)
10．过点()3,5P 引圆()()2
2
114x y -+-=的切线，则切线长为 ▲ ．
11．已知圆C 经过点()0,6A -， ()1,5B -，且圆心在直线:10l x y -+=上，则圆C 的标准方
程为 ▲ ．
12．已知两圆相交于两点(2,3)(,2)m 和，且两圆的圆心都在直线0x y n ++=上，
则n m +的值是 ▲ ．
13．如图，直三棱柱111C B A ABC -中，2AB =
，BC =，1AC =，
31=AA ，F 为线段1AA 上的一动点，则当1BF FC +最小时，
△1BFC 的面积为 ▲ .
14．已知点()0,2P 为圆:C ()()2
2
22x a y a a -+-=外一点，若圆C 上存在一点Q ，使得60CPQ ∠=，则正数a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分) [来源:Z#xx#k.
已知1,E E 分别为正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AD A D 的中点． （1）求异面直线1AA 和BC 所成的角的大小.
D 1 C 1
(第13题) (第2题)
（2）求证:111C E B CEB ∠=∠.
16．(本小题满分14分) [来源:Z#xx#k.
已知ABC ∆的顶点(0,5)A ,(1,2)B -,(3,4)C --． （1）若D 为BC 的中点，求线段AD 的长．
（2）求AB 边上的高所在的直线方程．
17．(本小题满分14分) [来
四边形ABCD 是正方形， O 是正方形的中心， PO ⊥平面ABCD ， E 是PC 的中点． （1）求证：PA ∥平面BDE ； （2）求证：BD PC ⊥．
18．(本小题满分16分)
已知圆C ：222440x y x y +-+-=．
（1）直线1l 过点(2,0)P ，被圆C 截得的弦长为1l 的方程；
（2）直线2l 的的斜率为1，且2l 被圆C 截得弦AB ，若以AB 为直径的圆过原点，求直线2l 的方程．
19．（本题满分16分）
在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．
（1）求证：AE PC ⊥；
（2）求证：CE ∥平面PAB ；
20．（本题满分16分）
已知圆2
2
:(4)(1)4C x y -+-=,直线:2(31)20l mx m y -++= （1）求证：直线l 过定点；
（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值；
（3）已知点()4,5M ，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点
P ，都有
PM
PN
为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．
姜堰区2017～2018学年度第二学期期中调研测试试题
高 一 数 学(卷I)
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上） 1．3 2．3 3.4
4．3
(1,)2
- 5. 3
6．2 7. 2
8．0或4 9.（1） 10．4 11．()()22
3225x y +++= 12．
14
31a -≤< P
A
D B
C
E
二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15.（本小题14分）
解答：（1）因为//BC AD ,所以1A AD ∠即为异面直线1AA 和BC 所成的角……… 3分 又因为190o
A AD ∠=，所以两条异面直线所成的角为90o ……… 6分
（2）法1：因为1,E E 分别为正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AD A D 的中点． 所以11//CC DD ,11//EE DD ,得到11//CC EE ,且11CC EE =， 四边形11CC E E 为平行四边形，所以11E C EC =,………………… 9分 同理可证11BE B E =，………………………………………………………… 11分
又因为11BC B C =,所以111BEC B E C ∆≅∆,111BEC B E C ∠=∠,即证.……………… 14分 法2：因为1,E E 分别为正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AD A D 的中点．
所以11//CC DD ,11//EE DD ,得到11//CC EE ，11CC EE =四边形11CC E E 为平行四边形，所以
11//C E CE …………… 9分
同理可证11//BE B E ……………………………………………………… 11分
又因为11E C 与EC 方向相同，11E B 与EB 方向相同，所以111BEC B E C ∠=∠.……… 14分 16.（本小题14分）
解答：(1)D 为BC 的中点，由中点坐标公式得到点D 的坐标为（-1，-3）……… 2分
AD ==………………………………………… 6分
（2）52701
AB k --=
=--，………………………………………… 9分
AB 边上的高斜率k ， 1AB k k ⋅=-，则1
7
k =
．………………………………………… 12分 AB 边上的高过点()3,4C --．
∴AB 边上的高线所在的直线方程为()()()1
437
y x --=
--， 整理得7250x y --=． ………………………………………… 14分
17.（本小题14分） 解答：（1）连接AC ， OE ，则AC 经过正方形中心点O ，
由O 是AC 的中点， E 是PC 的中点，得//OE PA ，…………………………… 3分 又OE ⊂平面BDE ， PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE ；……………… 7分 （2）由PO ⊥平面ABCD ，得PO BD ⊥，………………………………………… 9分 又正方形对角线互相垂直，即BD AC ⊥，………………………………………… 11分 PO AC O ⋂=点， PO ⊂平面PAC ，
所以BD ⊥平面PAC ，得BD PC ⊥．………………………………………… 14分 18.（本小题16分）
解： 圆C ：22
(1)(2)9x y -++=，圆心(1,2)C - 半径为3，
（1）因直线1l 过点(2,0)
①当直线斜率不存在时 1l ：2x =
此时1l 被圆C 截得的弦长为∴1l ：2x = …… 3分 ②当直线斜率存在时
可设1l 方程为(2)y k x =- 即20kx y k --=
由1l 被圆C
截得的弦长为C 到1l
1=
1=解得34
k =
∴1l 方程为3
(2)4
y x =
- 即3460x y --= 由上可知1l 方程为：2x =或3460x y --= ……8分
（2）设直线2l 的方程为y x b =+，代入圆C 的方程得22
()24()40x x b x x b ++-++-=． 即22
2(22)440x b x b b ++++-=（*）以AB 为直径的圆过原点O ，则OA⊥OB．
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12120x x y y +=， ……10分 由（*∴22
44(1)0b b b b b +-+--+=即2340b b +-=，∴4b =-或1b =……14分 将4b =-或1b =代入（*）方程，对应的△＞0．
故直线2l ：
40x y --=或10x y -+=． ……16分
19. （本小题16分） 解答：（1）在Rt△ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°，
∴BC AC ＝2．取PC 中点F ，连AF , EF ，
∵PA ＝AC ＝2，∴PC ⊥AF ． ……………………………………………4分 ∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，
∴PA ⊥CD ，又∠ACD ＝90°，即CD AC ⊥， ∴CD PAC ⊥平面，∴CD PC ⊥，
∴EF PC ⊥． ……………………………………………………… 6分 ∴PC AEF ⊥平面．
∴PC ⊥AE ．…………………………………………………8分 （2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ．则
EM ∥PA ．∵EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，
∴EM ∥平面PAB ． ……………………………………………………10分 在Rt△ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2，
∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，
∴MC ∥平面PAB ． …………………………………………………12分
∵EM ∩MC ＝M ，∴平面EMC ∥平面PAB ．…………………………………14分 ∵EC ⊂平面EMC ，∴EC ∥平面PAB ．………………………………………16分 证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ．
∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ，∴C 为ND 的中点．…………………………10分 ∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN …………………………………………………………12分 ∵EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ，∴EC ∥平面PAB ． ………………… 16分 20．解：（Ⅰ）依题意得， ()()2320m x y y -+-= 令230x y -=且20y -=，得3,2x y ==
∴直线l 过定点()3,2A ……4分
（Ⅱ）当AC l ⊥时，所截得弦长最短，由题知()4,1C ， 2r =
∴ 21134AC k -=
=--，得1111l AC k k --===-， ∴由2131
m m =+得1m =-……8分 （Ⅲ）法一：由题知，直线MC 的方程为4x =，假设存在定点()4,N t 满足题意， 则设(),P x y ，
PM PN
λ=，得222||PM PN λ= (0)λ>，且()2
2(4)41x y -=--
∴ ()()()()2
2
2
2
22241541y y y y t λλλ-+-=--+--
整理得， 2
2
2
[(22)8](3)280t y t λλ-+++-=……12分
上式对任意[]
1,3y ∈-恒成立， ∴ 28(22)0t λ+-=且22
(3)280t λ+-= 解得27100t t -+= ,说以2,5t t ==（舍去，与M 重合），2
4,2λλ== 综上可知，在直线MC 上存在定点()4,2N ，使得PM PN
为常数2……16分
法二：设直线MC 上的点()4,N t 取直线MC 与圆C 的交点()14,3P ，则
11
2
3PM PN t =
- 取直线MC 与圆C 的交点()24,1P -，则
2261
P M P N
t =+ 令26
31t t =-+，解得2t =或5t =（舍去，与M 重合），此时2PM PN
= 若存在这样的定点N 满足题意，则必为()4,2N ，…12分 下证：点()4,2N 满足题意，
设圆上任意一点(),P x y ，则()2
2432x y y -=+-
∴
()()()()
22
2
22222
2245||32(5)8284||32(2)27
42x y PM y y y y PN y y y y x y -+-+-+--+====+-+--+-+-
∴
2PM PN
=
综上可知，在直线MC 上存在定点()4,2N ，使得PM PN
为常数2…16分。