2011届高三数学单元检测统计

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山东省潍坊市2011届高三新课程教学质量抽样监测理科数学(附答案)

山东省潍坊市2011届高三新课程教学质量抽样监测数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。

参考公式：下棱锥、圆锥的侧面积公式 12S d =侧锥其中c 表示底面周长，l 表示斜高线或母线长球的体积公式 V 球343R π=其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R ，集合{|13}A x x =<≤，{|2}B x x =>，则U A C B 等于（）A ．{|12}x x <≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|12}x x ≤≤D ．{|13}x x ≤≤2．若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于（）A B ．2C ．D ．63．设,a b R ∈，若||0b a ->，则下列不等式中正确的是（）A ．0a b ->B ．0a b +>C ．220a b ->D ．330a b +<4．已知向量(1,2),5,||a a b a b =⋅=-=则|b|等于（）A B ．C ．5D ．255．已知角α的终边经过点4(,3),cos ,5P m α-=-且则m 等于（）A ．114-B ．114C ．-4D ．46．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若84430,7,S S a ==则的值等于（）A ．14B ．94C ．134D ．1747．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x 单调递减，若120,x x +>则 12()()f x f x +的值（）A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负8．已知直线,m l 和平面α、β，则α⊥β的充分条件是（） A ．,//,//m l m l αβ⊥ B ．,,m l m l αβα⊥⋂=⊂C ．//,,m l m l αβ⊥⊥D ．//,,m l l m βα⊥⊂9．函数12()3sin log 2f x x x π=-的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．510．函数()sin()(0,||)2f x A x A πωϕϕ=+><其中的图象如图所示，为了得到()sin3g x x=的图象，则只要将()f x 的图象（）A ．向右平移4π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度11．直线(13)(32)8120()m x m y m m R ++-+-=∈与圆222610x y x y +--+=的交点个数为（）A ．1B ．2C ．0或2D ．1或212．设变量a ，b 满足约束条件：,34,32.b a a b z a b a ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥-⎩的最小值为m ，则函数321()22316m f x x x x =+-+的极小值等于（）A ．43-B ．16-C ．2D ．196第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸上的相应位置上。

2011年高考数学统计及统计案例配套试卷及答案

2011年《新高考全案》高考总复习配套测评卷单元检测卷(十二)统计及统计案例时间：90分钟，满分：150分一、选择题(共8小题，每小题7分，满分56分)1．在10000个有机会中奖的号码(编号为0000～9999)中，有关部门按照随机抽样的方式确定后两位数字是68的号码为中奖号码，这是运用哪种抽样方式来确定中奖号码的？( )A ．抽签法B ．系统抽样C ．随机数表法D ．分层抽样由题意知中奖号码为0068,0168,0268，…，9968，符合系统抽样． B2．一个容量为20的样本数据分组后，组距与频率如下：(10,20),2；(20,30),3；(30,40),4；(40,50),5；(50,60),4，(60,70),2.则样本在区间(－∞，50)上的频率是( )A ．0.20B ．0.25C ．0.50D ．0.70 频率＝频数样本容量＝2＋3＋4＋520＝1420＝0.7.D3．某高中在校学生2000人，高一级与高二级人数相同并都比高三级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取( )A ．36人B ．60人C ．24人D ．30人全校参与跑步有2000×35＝1200人，高二级参与跑步的学生＝1200×32＋3＋5×2002000＝36.A4．为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔(抽样距)K 为( )A ．40B ．30C ．20D ．12抽样距＝120030＝40.A5．线性回归方程y ∧＝bx ＋a 必过点( )A ．(0,0)B ．(x ，0)C ．(0，y )D ．(x ，y )因为a ＝y －b ·x ，所以y ∧b 2－4ac ＝bx ＋y －b x ，当x ＝x 时，y ＝y ，所以回归方程过点(x ，y )．D6．如图表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是( )A.56分 B ．57分 C ．58分D ．59分甲的中位数是32，乙的中位数是26，故中位数之和是58分． C7．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )A ．若k 2的观测值为k ＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B ．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C ．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D ．以上三种说法都不正确 C8．(2009·四川高考题)设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近C ．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D ．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定用以上各数据与0.618(或0.6)的差进行计算，以减少计算量，说明多思则少算．甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613.A二、填空题(共6小题，每小题7分，满分42分) 9．(2009·湖北高考题)下图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在内的频数为________，数据落在(2,10)内的概率约为________．观察直方图易得频数为200×0.08×4＝64，频率为0.1×4＝0.4. 64 0.4 10．(2009·重庆高考题)从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量为(单位：克)： 125 124 121 123 127，则该样本标准差s ＝________(克)(用数字作答)．因为样本平均数x ＝15(125＋124＋121＋123＋127)＝124，则样本方差s 2＝15(12＋02＋32＋12＋32)＝4，所以s ＝2211．(2009·辽宁高考题)某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 980h,1020h,1032h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h.从第一、二、三分厂的抽取的电子产品数量分别为25,50,25，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为980＋2×1020＋10324＝1013.101312．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下表：若y 与x x ＝30，y＝93.6， 5i ＝1x 2i ＝7900， 5i ＝1x i y i ＝17035，∴回归直线的斜率 b ＝ 5i ＝1x i y i －5x y5i ＝1x 2i －5x 2＝17035－5×30×93.67900－4500≈0.8809.0.8809 13．(2009·广东高考题)某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：则图中判断框应填________，输出的s ＝________.(注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”)该程序框图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数，所图中判断框应填i≤6，输出的s＝a1＋a2＋…＋a6.i≤6；a1＋a2＋…＋a614．给出下列命题：①命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的非命题是“对∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0”；②独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟有关”，这就是“有吸烟习惯的人，必定会患慢性气管炎”；③某校有高一学生300人，高二学生270人，高三学生210人，现教育局欲用分层抽样的方法，抽取26名学生进行问卷调查，则高三学生被抽到的概率最小．其中错误的命题序号是________(将所有错误命题的序号都填上)．本题三个命题重点考查简易逻辑用语、统计案例和统计等基本概念．①中原命题的非命题是“对∀x∈R，都有x2＋x＋1≥0”，所以①错误；②中说法不正确，“患慢性气管炎和吸烟有关”只是说明“患慢性气管炎”和“吸烟”有一定的相关关系，但不是确定关系，所以“有吸烟习惯的人，未必患慢性气管炎”；③中，由于抽样比为26300＋270＋210＝1 30，所以高一学生被抽到的人数为130×300＝10人，高二学生被抽到的人数为130×270＝9人，高三学生被抽到的人数为130×210＝7人，尽管高三学生抽到的人数少，但每个学生被抽到的机会均等，所以“高三学生被抽到的概率最小”这种说法错误．①②③三、解答题(共4小题，满分52分)15．(2009·广东高考题)(本小题满分12分)随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如下图．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差．(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160∶179之间，而乙班身高集中于170∶180之间。

江苏省扬州市2011届高三数学调研试卷及答案解析(原始打印版)

江苏省扬州市2011届高三数学调研试卷2010.12编校:王斌审核:王思亮全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分160分，考试时间120分钟)，第二部分为选修物理考生的加试部分(满分40分，考试时间30分钟)．注意事项:1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第一部分一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上)1．已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}{}1,2,2,3P Q ==，则()U P Q = .2．双曲线221416x y -=的渐近线方程为 . 3．“6πα=”是“1sin 2α=”的条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数n m ,作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5=+y x 上的概率为 .5．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数是 .6．若圆锥的母线长为2cm ，底面圆的周长为2πcm ，则圆锥的体积为3cm .7．执行右边的程序框图,若15p =，则输出的n = .8．已知函数2log (0)(),3(0)xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则1[()]4f f 的值是 . 9．等差数列{}n a 中，若124a a +=, 91036a a +=，则10S = .10．已知实数x 、y 满足2035000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪⎪>⎩，则yx z )21()41(⋅=的最小值为 .11．设向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中πβα<<<0，若|2||2|a b a b +=-，则βα-= .12．如图，已知12,F F 是椭圆2222:1x yC a b += (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b += 相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为 .13．若函数22()243f x x a x a =++-的零点有且只有一个，则实数a = .14．已知数列{}n a 满足:11a =，2a x =(x N *∈)，21n n n a a a ++=-，若前2010项中恰好含有666项为0，则x 的值为 .二、解答题:(本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本题满分14分)已知函数2()2sin 23cos 1f x x x x =-++⑴求()f x 的最小正周期及对称中心； ⑵若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.16．(本题满分14分)如图，平行四边形ABCD 中，CD BD ⊥，正方形ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直，H 是BE 的中点，G 是,AE DF 的交点.⑴求证: //GH 平面CDE ； ⑵求证: BD ⊥平面CDE .17.(本题满分15分)扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，3米．记防洪堤横断面的腰长为x (米)，外周长(梯形的上底．．．．．线段．．BC 与两腰长的和．．．．．．)为y (米). ⑴求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值.18. (本题满分15分) 已知圆22:9C x y +=，点(5,0)A -，直线:20l x y -=. ⑴求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；⑵在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满C x A D60 xyO A PB足:对于圆C 上任一点P ，都有PBPA为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标.19．(本小题满分16分)已知数列{}n a ，(0,0,,,0,*)n nn a p q p q p q R n N λλλ=+>>≠∈≠∈.⑴求证:数列1{}n n a pa +-为等比数列；⑵数列{}n a 中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；⑶设{(,)|3,*}n n n n A n b b k n N ==+∈，其中k 为常数，且k N *∈，{(,)|5,*}n n n B n c c n N ==∈，求A B .20．(本题满分16分)已知函数2()f x x x λλ=+，()ln g x x x λ=+，()()()h x f x g x =+，其中R λ∈，且0λ≠. ⑴当1λ=-时，求函数()g x 的最大值； ⑵求函数()h x 的单调区间；⑶设函数(),0,()(),0.f x x xg x x ϕ≤⎧=⎨>⎩若对任意给定的非零实数x ，存在非零实数t (t x ≠)，使得'()'()x t ϕϕ=成立，求实数λ的取值范围.第二部分(加试部分)(总分40分，加试时间30分钟)注意事项:答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷密封线内．解答过程应写在答题卷的相应位置上，在其它地方答题无效．1．(本题满分10分)已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点(1,2)A 变成了点(7,10)A '，点(2,0)B 变成了点(2,4)B '，求矩阵M ．2．(本题满分10分) 已知曲线:C 3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，直线:l (cos 2sin )12ρθθ-=．⑴将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 距离的最小值．3．(本题满分10分)如图，三棱锥P ABC -中，PB ⊥底面ABC 于B ，90,2BCA PB BC CA ∠==== 点,E F 分别是,PC PA 的中点，求二面角A BE F --的余弦值．4．(本题满分10分)已知230123(1)(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-++-，(其中n N *∈) ⑴求0a 及123n n S a a a a =++++；⑵试比较n S 与2(2)22nn n -+的大小，并说明理由．江苏省扬州市2011届高三数学调研试卷2010.12数学参考答案及评分标准1、{1}2、2y x =±3、充分不必要4、195、40 63 7、5 8、19 9、100 10、161 11、2π125 133 14、8或915．解:⑴()32cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+∴()f x 的最小正周期为22T ππ==， --------------6分令sin(2)06x π+=，则()212k x k Z ππ=-∈，∴()f x 的对称中心为(,0),()212k k Z ππ-∈； ------------8分⑵∵[,]63x ππ∈- ∴52666x πππ-≤+≤ ∴1sin(2)126x π-≤+≤ ∴1()2f x -≤≤∴当6x π=-时，()f x 的最小值为1-；当6x π=时，()f x 的最大值为2。

江苏省重点学校2011届高三第一次调研联考数学测试试卷

江苏省重点学校2011届高三第一次调研联考数学测试试卷参考公式：一组样本数据n x x x ,,,21 ，方差2211()ni i s x x n ==-∑一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．命题p ：2,2x R x ∃∈>，则命题p 的否定为 ▲ . 2．若复数i i i z 其中,2)1(=+是虚数单位，则复数z z ⋅= ▲ .3．已知函数2,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则((2))f f -= ▲ . 4．若123123,,,,2,3,3,3,,3n nx x x x x x x x 的方差为则的方差为 ▲ .5．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为6．已知3tan(),45παα+=则tan = ▲ .7．直线110,l x ky -+=:210l kx y -+=:，则1l ∥2l 的充要条件是 ▲ .8．已知|a |=3，|b |=4，(a +b )⋅(a +3b )=33，则a 与b 的夹角为 .9．如果执行右面的程序框图，那么输出的S = ▲ .10．设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，若1F ，2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ▲ .11．函数2cos y x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取最大值时，x 的值是___▲___． 12．我们知道若一个边长为a ，面积为S 的正三角形的内切圆半径23Sr a =，由此类比，若一个正四面体的一个面的面积为S ,体积为V ,则其内切球的半径r = ▲ .13．设12a =，121n n a a +=+，211n n n a b a +=--，*n∈b 14．图为函数()1)f x x =<<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知函数21()2cos 22f x x x x =--∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（Ⅱ）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且()0c f C ==，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，AD CD =，DB 平分ADC ∠，E 为PC 的中点．（Ⅰ）证明：//PA BDE 平面；（Ⅱ）证明：AC PBD ⊥平面．17. (本小题满分15分)如图,某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD ∆”,其中AB 长为定值a ,BD 长可根据需要进行GFDC A DCBP E调节(BC 足够长).现规划在ABD ∆的内接正方形BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积1S 与种花的面积2S 的比值12S S 称为“草花比y ”.(Ⅰ)设DAB θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式； (Ⅱ)当BE 为多长时,y 有最小值?最小值是多少?18. (本小题满分15分)已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.19．（本小题满分16分）已知函数()ln af x x x =-.(Ⅰ)求函数()f x 的单调增区间；(Ⅱ)若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为32，求实数a 的值；(Ⅲ)若函数2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a (其中,a b 均为正整数)． (Ⅰ) 若1122,a b a b ==，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若1213,,,k n n n a a a a a ，，，12(3)k n n n <<<<<成等比数列，求数列{}k n 的通项公式；(Ⅲ) 若11223a b a b a <<<<，且至少存在三个不同的b 值使得等式()m n a t b t N +=∈成立，试求a 、b 的值．附加题部分（满分40分） 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题；每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ．（1）求证：PM2=PA·PC ；（2）若⊙O 的半径为，求MN 的长．OCM NA PB 考试证号—————————————————————B ．选修4－2：矩阵与变换试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，N =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线sin 4l ρθπ⎛⎫-=⎪⎝⎭:．（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当(0,)θ∈π时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．D ．选修4－5：不等式选讲用数学归纳法证明不等式：211111(1)12n n n n n n *++++>∈>++N 且．【必做题】第22题，23题，每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望)(ξE ．23．已知点F(0，1)，点P 在x 轴上运动，M 点在y 轴上，N 为动点，且满足0PM PF ⋅=， PN PM +=0．（1）求动点N 的轨迹C 方程；（2）由直线y= -1上一点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AQ ⊥BQ ．参考答案1、2,2x R x ∀∈≤ 2、2 3、4 4、18 5、1100 6、14-7、1- 8、120︒ 9、650 10、2 11、6π 12、34V S 13、201221- 14、18,427⎛⎫⎪⎝⎭ 15．解：（1）1cos21()2sin 21226x f x x x +π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，（3分）则()f x 的最小值是－2，（4分）最小正周期是22T π==π；（6分）（2）()sin 210,sin 2166f C C C ππ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则， 110,022,2666C C C ππ<<π∴<<π∴-<-<π， 2,623C C πππ∴-==，（8分）sin 2sin B A =，由正弦定理，得12a b =，① （10分）由余弦定理，得222222cos ,33c a b ab a b abπ=+-=+-即， ②由①②解得1,2a b ==．（14分） 16．证明：（1）连结AC ，设ACBD H =，连结EH ，在ADC ∆中，因为AD CD =，且DB 平分ADC ∠，所以H 为AC 的中点，又∵E 为PC 的中点， ∴//EH PA ，……………………………4分又EH BDE ⊂平面，且PA BDE ⊄平面， ∴//PA BDE 平面；……………………7分（2）∵PD ABCD ⊥平面，AC ABCD ⊂平面， ∴PD AC ⊥，由（1）得BD AC ⊥，又PDDB D =，故AC PBD ⊥平面．……………14分17. 解:(Ⅰ)因为tan BD a θ=,所以ABD ∆的面积为21tan 2a θ((0,)2πθ∈)…(2分) 设正方形BEFG 的边长为t ,则由FG DG AB DB =,得tan tan t a t aa θθ-=,解得tan 1tan a t θθ=+,则2222tan (1tan )a S θθ=+…………………………………………………………(6分)所以222212211tan tan tan 22(1tan )a S a S a θθθθ=-=-+,则212(1tan )12tan S y S θθ+==- (9分)(Ⅱ)因为tan (0,)θ∈+∞,所以1111(tan 2)1(tan )2tan 2tan y θθθθ=++-=+1≥… (13分) 当且仅当tan 1θ=时取等号,此时2aBE =.所以当BE 长为2a时,y 有最小值1…………………………… (15分) 18. 解:(Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩…………… (3分) 则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=…………………… (5分) (Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++… (7分) =224x y x y +++-=2x y +-,所以PQ MQ ⋅的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= …………………………………………(11分)因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+………… (13分) 同理,22211B k k x k +-=+, 所以(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OP k所以,直线AB 和OP 一定平行……………………………………(15分)19、解：（1）由题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且221()a x af x x x x +'=+=．……2分①当0a ≥时，()0f x '>，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞．………………(3分) ②当0a <时，令()0f x '>，得x a >-，∴()f x 的单调增区间为(,)a -+∞．…4分（2）由（1）可知，2()x af x x +'=①若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立，()f x 在[1,]e 上为增函数，∴min 3[()](1)2f x f a ==-=，∴32a =-（舍去）．…………… (6分)②若a e ≤-，则0x a +≤，即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立，()f x 在[1,]e 上为减函数，∴min 3[()]()12a f x f e e ==-=，∴2e a =-（舍去）．………………………8分③若1e a -<<-，当1x a <<-时，()0f x '<，∴()f x 在(1,)a -上为减函数，当a x e -<<时，()0f x '>，∴()f x 在(,)a e -上为增函数，∴min 3[()]()ln()12f x f a a =-=-+=，∴a =综上所述，a =………………………………………………………………10分（3）∵2()f x x <，∴2ln ax x x -<．∵0x >，∴3ln a x x x >-在(1,)+∞上恒成立……………………………12分令32()ln ,()()1ln 3g x x x x h x g x x x '=-==+-，则2116()6x h x x x x -'=-=. ∵1x >，∴()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，∴()h x 在(1,)+∞上是减函数，∴()(1)2h x h <=-，即()0g x '<，∴()g x 在(1,)+∞上也是减函数，∴()(1)1g x g <=-．∴当2()f x x <在(1,)+∞恒成立时，1a ≥-．……………………………………16分20．解：（Ⅰ）由1122,a b a b ==得：a ba b ab =⎧⎨+=⎩，解得：0a b ==或2a b ==，,a b N +∈， 2a b ∴==，从而2,2nn n a n b ==…………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得132,6a a ==，∴1213,,,k n n n a a a a a ，，，构成以2为首项，3为公比的等比数列，即：123k k n a +=⋅ ……………………………………………………… 7分1223k k n +=⋅，13k k n +∴=…………………………………………10分(Ⅲ) 由11223a b a <<<得：2a b a b ab a b <<+<<+，由a b ab +<得：()1a b b ->；由2ab a b <+得：()12a b b-<，而*,,a b N a b ∈<，即：1b a >≥，从而得：12211241111b b a b b b b <+=<<=+≤----，2,3a ∴=，当3a =时，2b =不合题意，故舍去，所以满足条件的2a =. …………………………………………………………………12分又2(1)m a b m =+-，12n n b b -=⋅，故()1212n b m t b -+-+=⋅，即：()1212n m b t--+=+①若1210n m --+=，则2t N =-∉，不合题意；………………………………… 14分②若1210n m --+≠，则1221n t b m -+=-+，由于121n m --+可取到一切整数值，且3b ≥，故要至少存在三个b 使得()m n a t b t N +=∈成立，必须整数2t +至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以t 的最小值为10，此时3b =或4或12…………………………………………………………………16分附加题部分21． A ．（1）证明：连结ON ．∵PN 切⊙O 于N ，∴∠ONP=90°．∴∠ONB+∠BNP=90°． ∵OB=ON ，∴∠OBN=∠ONB ．∵BO ⊥AC 于O ，∴∠OBN +∠BMO=90°．∴∠BNP=∠BMO=∠PMN ，∴PM=PN ． ∴PM2=PN2=PA·PC ．………………………………………………………5分（2）解：OM=2，BO=BM=4．∵BM·MN=CM·MA=(+2)(-2)=8，∴MN=2．………………………………10分B ．解：MN = 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=10202⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，---------------------------------------------------4分即在矩阵MN 变换下122x x x y y y ⎡⎤''⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥''⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣，-------------------------------------7分则1sin 22y x ''''=，即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．----------10分C ．解：（1）圆O ：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，圆O 直角坐标方程为：22x y x y +=+，直线sin 4l ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:，即sin cos 1ρθρθ-=，则直线l 的直角坐标方程为：1y x -=； --------------------------------------6分（2）由220,10,x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩得0,1,x y =⎧⎨=⎩故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1,)2π．----------------------------------10分D ．证明：（1）当2n =时，左边＝11113123412++=>，∴2n =时成立； ----------3分（2）假设当(2)n k k =≥时成立，即21111112k k k k ++++>++，那么当1n k =+时，左边2221111()11(1)k k k k =++++++++ 222111111()11(1)k k k k k k =++++++-+++2221111(21)111(1)k k k k k k k -->++⋅-=+>++，∴1n k =+时也成立， --------------------------------------8分根据（1）（2）可得不等式对所有的1n >都成立． ---------------------------10分22．解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件1A 、2A 、3A ；E 表示事件“恰有一人通过笔试”，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.60.50.60.40.50.60.40.50.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.38=；--------------5分（2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，，故()30.30.9E np ξ==⨯=．------------10分解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件AB C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===所以2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．23．解：（1）设N(x ，y)．因PN PM +=0，故P 的坐标为(2x，0)，M(0，-y)，于是，(,)2x PM y =--，(,1)2x PF =-，因0PM PF ⋅=，即得曲线C 的方程为x2=4y ； -------------------5分（2）设Q(m ，-1)．由题意，两条切线的斜率k 均存在，故可设两切线方程为y=k(x-m)-1，将上述方程代入x2=4y ，得x2-4kx+4km+4=0，依题意，∆=(-4k)2-4(4km+4)=0，即k2-mk-1=0，上述方程的两根即为两切线的斜率，其积为-1，即它们所在直线互相垂直． -------------------10分。

2011届高三数学《排列与组合》单元检测题

2010届高三数学单元检测：统计一、选择题1.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[)85.4,8.4（ g ）范围内的概率是（）A ．0.62B ．0.38C ．0.02D ．0.682.某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为03.0,出现丙级品的概率为01.0,则对产品抽查一次抽得正品的概率是( ) A ．09.0 B ．98.0 C ．97.0 D ．96.03.某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现抽取30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（）A ．5,10,15B ．3,9,18C ．3,10,17D ．5,9,16 4.在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( ) (A)预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 (B)解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 (C)可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 (D)可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上5.一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：［25，25.3），6；［25.3，25.6），4；［25.6，25.9），10；［25.9，26.2），8；［26.2，26.5），8；［26.5，26.8），4；则样本在［25，25.9）上的频率为（）A ．203B ．101C ．21D ．416.A ．14和0.14B ．0.14和14C ．141和0.14 D ． 31和141 7.对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是（） A ．r 越大，相关程度越大B ．()0,r ∈+∞，r 越大，相关程度越小，r 越小，相关程度越大C ．1r ≤且r 越接近于1，相关程度越大；r 越接近于0，相关程度越小D ．以上说法都不对8.三维柱形图中柱的高度表示的是（ )A ．各分类变量的频数B ．分类变量的百分比C ．分类变量的样本数D ．分类变量的具体值 9.下列关于三维柱形图和二维条形图的叙述正确的是: ( ) A .从三维柱形图可以精确地看出两个分类变量是否有关系B .从二维条形图中可以看出两个变量频数的相对大小，从三维柱形图中无法看出相对频数的大小C .从三维柱形图和二维条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系D .以上说法都不对10.设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(|| 1.96)P ξ<=A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.975二、填空题（ 5 小题，每小题 5 分）11.实施简单抽样的方法有________、____________12.采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，个体 a 前两次未被抽到，第三次被抽到的概率为____________________13.为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为_______________ 14.若一组观测值（x 1,y 1）（x 2,y 2）…（x n ,y n ）之间满足y i =bx i +a+e i (i=1、2. …n)若e i 恒为0，则R 2为_____15.统计推断，当______时，有95 ％的把握说事件A 与B 有关；当______时，认为没有充分的证据显示事件A 与B 是有关的. 三、解答题（ 6 小题，共 75 分）16.（12分）一个总体中含有4个个体,从中抽取一个容量为2的样本,说明为什么在抽取过程中每个个体被抽取的概率都相等.17.（12分）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。

2011届高考数学复习精编单元测试题—概率、统计初步

辽宁名校2011届高三数学单元测试—概率、统计初步注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名．考号．考试科目涂写在答题卡上．考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．要从已编号（1·50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是（） A ．5,10,15,20,25 B ．3,13,23,33,43 C ．1,2,3,4,5 D ．2,4,8,16,32 2． ①教育局督学组到学校检查工作，需在高三年级的学号为001·800的学生中抽调20人参加关于学校管理的综合座谈； ②该校高三年级这800名学生期中考试的数学成绩有160在120分以上（包括120分），480人在120以下90分以上（包括90分），其余的在90分以下，现欲从中抽出20人研讨进一步改进数学教和学的座谈； ③该校高三年级这800名学生参加2010年元旦聚会，要产生20名“幸运之星”．以上三件事，合适的抽样方法依次为（） A ．系统抽样，分层抽样，系统抽样 B ．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样 C ．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 D ．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样3．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本，有以下三种抽样方法： ①采用随机抽样法，将零件编号为00,01,,99 ，抽签取出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组随机抽取1个； ③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．则下述判断中正确的是（） A ．不论采用何种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为51B ．①、②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为51；③并非如此C ．①、③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为51；②并非如此 D ．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性是各不相同的4．从鱼塘捕得同时放养的鲤鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是1.5,1.6,1.4,1.6,1.3,1.4,1.2,1.7,1.8 (单位：千克)．依此估计这240尾鱼的总质量大约是（） A ．300千克 B ．360千克 C ．1.5千克 D ．320千克 5．在10件同类产品中，其中8件为正品，2件为次品．从中任意抽出3件的必然事件是（） A ．3件都是正品 B ．至少有1件是次品 C ．3件都是次品 D ．至少有1件是正品 6．若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率()f n ，则随着n 的逐渐增加，有（）A ．()f n 与某个常数相等B ．()f n 与某个常数的差逐渐减小C ．()f n 与某个常数差的绝对值逐渐减小D ．()f n 在某个常数附近摆动并趋于稳定7．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为78%”，这是指（） A ．明天该地区有78%的地区降水，其他22%的地区不降水 B ．明天该地区约有78%的时间降水，其他时间不降水 C ．气象台的专家中，有78%的人认为会降水，另外22%的专家认为不降水 D ．明天该地区的降水的可能性为78%8．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．至少有1个白球；都是白球B ．至少有1个白球；至少有1个红球C ．恰有1个白球；恰有2个白球D ．至少有一个白球；都是红球 9．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次5点向上的概率是（）A ．5216 B ．25216 C ．31216 D ．9121610．在长为60m ，宽为40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后，发现该场地内共落有300片树叶，其中落在椭圆外的树叶数为96片，以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为（）A ．2768mB ．21632mC ．21732mD ．2868m11．在区间[]1,1-上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到12之间的概率为（）A ．13B ．2πC ．12D ．2312．从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A ．13125 B ．16125C ．18125D ．19125第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．13．利用简单随机抽样的方法抽查了某校500名学生，其中共青团员有320人，戴眼睛的有365人，若在这个学校随机抽查一名学生，则他是团员的概率为，他戴着眼睛的概率为．14．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为s = ．15．从长度分别为2,3,4,5的线段中任取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是。

2011届正德中学高三数学第二次市统测质量分析报告

2011届正德中学高三数学第二次市统测质量分析报告在市、县、校领导的精心组织下，2011年元月20、21日，高三年级参加统测。

本次统测我们学校共有240份数学试卷参加统一阅卷（正史、史地、理化、理生、艺术四场，共计8场）。

根据计算机统计的数据及阅卷教师反馈的材料，通过定量与定性分析，形成本次统测数学质量分析报告。

（一）试题分析与评价总体评价：试题严格遵守《省教学要求修订版》、《2011考试说明》的规定，深入考查数学思想方法，重视试卷的导向作用，对后期高考复习具有非常重要的指导意义。

注重通性通法、常规解法，淡化特殊技巧。

注重对能力的考查1．此次命题对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，如16题第2问，命制试题过程中注重对数学知识的发生发展过程的考查，以检验教学中的薄弱环节，空间想象能力不强；对于支撑学科知识体系的重点知识，考查时都保持了较高的比例，如三角、解几、立几、函数、数列、应用题等知识构成数学试题的主体。

2．注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面．从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使考查达到必要的深度；如第18题在直线、圆、椭圆、向量交汇点命题，突出实际应用，这也是历年来高考的焦点所在。

3．在具体的情境中，在解决问题的全过程中，考查学生理解概念的水平和运用技能的程度．如填空题第8题集合与概率有机结合。

4．对概念、公式、法则的考查更多地关注知识系统的意义，结合具体的材料对其实际内容的理解和在理解基础上的应用．如填空题11题，能够将概念从文字表述转换成符号的、图形的表述，培养和考查数学交流能力．如第17题立体几何。

注重对数学应用的考查，重视实践能力将现实问题转化为数学问题，并加以解决．第（3）题，第（7）题，第（9）题，第15，第17题，在学生非常熟悉的数学背景下（环境污染指数），命制试题，让人耳目一新。

加强创新意识考查填空题第14题，试题来源于课本但又高于课本，此题有很多种解法，结合函数奇偶性解题更方便，初高中知识都可以解，对数学知识的纵向联系是否心中有数，一般情况填空题“小题不必大作”，解题中是否有创新的意识和能力。

河北省石家庄市2011届高三数学教学质量检测(一)试题(扫描版)新人教A版

河北省石家庄市2011届高三数学教学质量检测(一)试题（扫描版）新人教A版2011石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（一）数学答案二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．15 14． {}|21,3x x x -<<->或15 16．理科1625文科245 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：（Ⅰ）依题意知B B sin 3cos 1=+, ……………………2分∴2sin()16B π-=,可得66B ππ-=或56π，得3B π=或B =π（舍） …………4分 ∴ 3B π= . ……………………5分（Ⅱ）由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=,将3,2,1π===B c a b 代入解得：33=c ,从而332=a ,……………………8分∴ 633sin 3333221sin 21=⋅⋅==∆πB ac S ABC .……………………10分 18．解：记甲击中气球为事件A ，乙击中气球为事件B ，则34(),()45P A P B ==.(I )甲射击3次，可以看作三次独立重复试验，恰好两次击中气球的概率为： 2233127()4464P C ∴=⋅=． ……………………………4分(II )两人各射击2次，至少3次击中气球含两类情况：记击中三次气球为事件D ， 21122234131421()()()45544550P D C C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=；…………………………7分记击中4次气球为事件E ，22349()()()4525P E =⋅=;………………………10分所求概率为21939()()()502550P D E P D P E +=+=+=．………………………12分19．解法一：（I ）如图，连结DE 、连结CD 交AE 于P ,连结FP ,由已知得PF//BD ,…………………………3分PF ⊂平面AEF,BD ⊄平面AEF,∴ BD ∥平面AEF ．……………………………………6分（II ）过点F 作FH ⊥AC ,可知FH ⊥平面ACE ，作HO ⊥AE ,连结OF ,由三垂线定理可得，OF ⊥AE , ∴∠FOH 为二面角F AE C --的平面角.………………8分不妨设1AB =，则1AA =,在Rt FHC ∆中，60FCH ∠=,14FH CH ∴==, 在Rt ACE ∆中,3,4AH AE == AHO ∆∽AEC ∆OH AHCE AE∴=,即4OH =……………………10分在Rt FOH ∆中,tan 1FHFOH OH∠==, π4FOH ∴∠=. 即二面角Q AE C --的大小为π4．……………………12分解法二：（I ）不妨设1AB =，1AA =,如图，建立空间直角坐标系，则，(1,0,0),(0,0,)2B D ，1(2C，1(2E,3(4F. 1323(,,),(,24AE AF ∴==(1,0,2BD =-，1(,22AC = 设平面AEF 的法向量为11(,,1)x y =1n ，则00AE AF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ，即1111102223044x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，（第19题图）解得：11x y ==，22∴=-1n ，……………………3分 0BD ⋅=1n ,BD ∴⊥1n又BD ⊄平面AEF ，//BD ∴平面AEF .…………………………6分（II ）设平面AEC 的法向量为2222(,,)x y z =n ,2200AE AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即11211102102x y z x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令21y =,220x z ==.2(,0)∴=n ，…………………………8分121212cos ,||||2⋅==-⋅n n n n n n ，…………………10分 ∴二面角F AE C --的大小为4π．………………………………12分 20.【理科】解:( I)3,22121211=∴+=+=a a a a a 且，依题意：12,n n S S n -=+)3(),1(221-≥-+=-n n S S n n两式相减得)3(,1)(2211≥+-=----n S S S S n n n n 即)3(,121≥+=-n a a n n ……………………2分)3(),1(211≥+=+-n a a n n可得222)1(1-⨯+=+n n a a ,12-=∴nn a )2(≥n ，……………………4分又11=a 也符合上式,所以12-=∴nn a .…………………………………5分(II) 11++=n n n n a a a b =)12)(12(21--+n n n =)12)(12()12()12(11-----++n n n n ,=1211211---+n n ,………………………………8分 n n b b b T +++=...21=++-+-...7131311(1211211---+n n ) =12111--+n ,………………………………………………10分1111,240213n n ++∴<≤-≥1n T ∴<.…………………………………12分【文科】(I)由题意⎪⎩⎪⎨⎧==3287324S a a a 设公差为d ，则⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+++=+2332288)6)(2()3(111121d a d a d a d a d a ………………………3分 522)1(3-=⨯-+-=∴n n a n .…………………………………5分(II)⎩⎨⎧≥==-221152n n b n n当1=n 时，11=T , …………………………………7分当2≥n 时，5212221--+⋅⋅⋅+++=n n T =6541+-n ，……………………………9分6541111+==-T .…………………………………10分∴=n T 6541+-n *∈N n .………………………………12分21．解：（Ⅰ）由已知23==a c e ，即2243a c =，222241a c a b =-=，所以，椭圆方程为142222=+ay a x ，…………………………2分将)23,1(A 代入得：1412122=+aa ，解得42=a ，可知21b =，所以，椭圆C 的方程为1422=+y x .………………………………4分（Ⅱ）因为直线l 经过椭圆内的点)0,1(-B ，所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点N M ,.当直线l的斜率不存在时，其方程是：1-=x ，代入1422=+y x 得23±=y ，可知)23,1(),23,1(---N M ，所以以MN 为直径的圆不经过坐标原点O .……………6分当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为：)1(+=x k y ，两交点),(),,(2211y x N y x M .由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)1(1422x k y y x 得0448)41(2222=-+++k x k x k ，222122214144,418kk x x k k x x +-=⋅+-=+，………………………………8分因为，以MN 为直径的圆经过坐标原点O ，所以0=⋅OM .………………………10分可得0)()1()1()1(221221221212121=++++=+⋅++=+k x x k x x k x k x k x x y y x x .即04184144)1(2222222=++-⋅++-+k kk k k k k ，解得2±=k . 综上所述，存在过点)0,1(-B 的直线l ，使得以l 被椭圆C 截得的弦为直径的圆经过原点O ,l的方程为22+=x y 或22y x =--.……………………………………12分22．【理科】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,0)-∞.11()ax f x a x x-'=-=. 当0a ≥时，由0x <知10ax -<，即()0f x '>；………………………3分当0a <时，10a <，由()0f x '>得，10x a <<；由()0f x '<得1x a<. 综上所述，当0a ≥时，()f x 的单调增区间为(,0)-∞；当0a <时， ()f x 的单调增区间为1(,0)a，单调减区间为1(,)a -∞.……………………5分（Ⅱ）当1a =-时，()ln()f x x x =---，11()1x f x x x+'=--=-.原不等式即转化为11ln()1(2)22n x f x ---+>+-.……………………………7分由（Ⅰ）知，()f x 为(,1]-∞-上的减函数，又*n ∈N ，即112212n --<-+≤-，从而11(2)(1)12n f f --+≥-=.…………………9分另一方面，令ln()1()2x g x x -=+-，[e,0)x ∈-.又21ln()()0x g x x -+-'=≤对[e,0)x ∈-恒成立，∴ ()g x 为[e,0)-上的减函数. 从而，11()(e)e 2g x g ≤-=+.又e 2>，所以111e 2+<.…………………………11分故当1a =-时，对任意的*n ∈N ，不等式11ln()1(2)()122n x f f x x --'-+>⋅++对于[e,0)x ∈-恒成立.………………………12分【文科】解：（Ⅰ）2()(1)f x x ax b '=-+-,…………………………………2分又(0)1,(0)1f f '==.所以2,1b c ==.………………………………………5分（Ⅱ）设过（0，3）与曲线()()g x f x x =-相切的直线为l ，.切点坐标为(,())t g t ，又3211()132g x x ax =-+，2(),g x x ax '=- 则切线l 的方程为32211(1)()()32y t at t at x t --+=--.又过点(0,3)，所以3232113132t at t at -+-=-+，即3222032a t t -+=，…………………………………………7分又过点(0,3)可作曲线()()g x f x x =-的三条不同切线.等价于方程3222032a t t -+=有三个相异实根.………………………………8分令322()232a h t t t =-+，2()2(2)h t t at t t a '=-=⋅-.由0a >，则,(),()t h t h t '的变化情况列表如下：………………………………………………………………………………………………10分由()h t 的单调性知：要使()0h t =有三个相异实根，当且仅当32024a -<，即a >∴a 的取值范围是)+∞.…………………………………………………………12分。

市统一考试暨沈阳市2011届高三数学教学质量监测(二) 理新人教版

2011年东北三省四市统一考试暨沈阳市高三教学质量监测（二）数学（理科）时间：120分钟总分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）题～第（24）题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡及答题纸上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡（纸）一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．（1）已知集合{}1,0,A a =-，{}|01B x x =<<，若AB ≠∅，则实数a 的取值范围是A.{}1B.(,0)-∞C.(1,)+∞D.(0,1)（2）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则43S a 的值为 A.154B.152C.74 D.72（3）已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则21z z ⋅为A ．i 2321+B ．i 2123+C ．i 2321-D ．i 2123-（4）已知命题p ：抛物线22x y =的准线方程为21-=y ；命题q ：若函数)1(+x f 为偶函数，则)(x f 关于1=x 对称．则下列命题是真命题的是A ．q p ∧B.)q (p ⌝∨C.()()p q ⌝∧⌝D.q p ∨（5）等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ．则“1||d a >”是“n S 的最小值为1S ，，，且n S 无最大值”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D（6）已知图象不间断的函数)(x f 是区间],[b a 在区间(,)a b 上存在零点．图1是用二分法求方程(f x ①0)()(<m f a f ； ②0)()(>m f a f ；③0)()(<m f b f ； ④0)()(>m f b f 其中能够正确求出近似解的是（）（2）①、③ B ．②、③ C ．①、④ D ．②、④（7）若1(3)nx x-展开式中各项系数之和为32中含3x 的项的系数为A.5-B.5C.405-D.405 （8）设函数()2cos()23f x x ππ=-，若对于任意的x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值为 A ．4 B ．2 C ．1 D ．12（9）在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2总数为A ．78B ．114C ．108 D. 120 （10）设3()f x x x =+，x R ∈. 若当02πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是A ．(0,1)B ．)0,(-∞C ．)21,(-∞ D ．)1,(-∞（11）已知O 为坐标原点，点M 的坐标为(,1)a （0a >），点(,)N x y 的坐标x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x . 若当且仅当30x y =⎧⎨=⎩时，OM ON ⋅取得最大值，则a 的取值范围是A.1(0,)3B.1(,)3+∞C.1(0,)2D.1(,)2+∞（12）已知函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛=x πsin a x g 622+-a (a >0)，若存在图112[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是A ．14[,]23B ．1(0,]2C ．24[,]33D ．1[,1]2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸相应的位置上．（13）231dx x--=⎰．（14）已知双曲线12222=-by a x 左、右焦点分别为21F F 、，过点2F 作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且621π=∠F PF ，则双曲线的渐近线方程为．（15）对于命题：若O 是线段AB.OB OA 0=⋅+⋅ 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有．（16）已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为．三、解答题：本大题共70分.（17）（本小题满分12分）如图3，ABC∆中，,AB ,ABC sin2332==∠ 点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD （Ⅰ）求BC 的长；（Ⅱ）求DBC ∆的面积.左视图主视图1223.OC S OB S OA S OBA OCA OBC 0=⋅+⋅+⋅（18）（本小题满分12分）如图4，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112,AAAC AC AB BC====，且AB BC ⊥,O 为AC 中点．（Ⅰ）在1BC 上确定一点E ，使得//OE 平面1A AB ，并说明理由；（Ⅱ）求二面角11A A B C --的大小．（19）（本小题满分12分）某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图5所示，成绩不小于90分为及格．（Ⅰ）甲班10名同学成绩的标准差乙班10名同学成绩的标准差（填“>”，“<”）；（Ⅱ）从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格，求乙班同学不及格的概率；（Ⅲ）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为X ，求X 的分布列和期望．甲乙 257 368 58 68 7 8 9 10 896781235 11A B C A 1B 1C O（20）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OP t OB OA =+（O 为坐标原点）-时，求实数t 取值范围．（21）（本小题满分12分）已知()ln(1)()xf x e mx x R =+-∈．（Ⅰ）已知对于给定区间(,)a b ，存在0(,)x a b ∈使得)()()(0x f ab a f b f '=--成立，求证：0x 唯一；（Ⅱ）若1212,x x R x x ∈≠，，当1m =时，比较12()2x x f +和12()()2f x f x +大小，并说明理由；（Ⅲ）设A 、B 、C 是函数()ln(1)(,1)xf x e mx x R m =+-∈≥图象上三个不同的点，求证：△ABC 是钝角三角形．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图6，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A 、B ，直线AF 交圆O 于F （不与B 重合），直线l 与圆O 相切于C ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连接AC ．求证：（Ⅰ）CAG BAC ∠=∠；（Ⅱ）AF AE AC ⋅=2．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，将曲线⎩⎨⎧==αsin y αcos x 4（α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C . 以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲对于任意实数)0(≠a a 和b ，不等式|)2||1(||||2|||-+-≥-++x x a b a b a 恒成立，试求实数x 的取值范围．图62011年东北三省四市统一考试暨沈阳市高三教学质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）D （2）A （3）A （4）D （5） A （6）C （7）C （8）B （9）B （10）D （11）D （12）A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）2ln3（14）x y 2±= （15） ·OA + ·OB + ·OC + ·OD =0 （16）π3520 三、解答题：本大题共共70分. （17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为332sin=∠ABC ，所以313121=⨯-=∠ABC cos . ······· 2分在ABC ∆中，设b AC a BC 3,==，则由余弦定理可得a a b 344922-+= ① ··············· 5分在ABD ∆和DBC ∆中，由余弦定理可得b b ADB 331643164cos 2-+=∠， b a b BDC 338316cos 22-+=∠． ····················· 7分因为BDC ADB ∠-=∠cos cos ，V ACD O -V BCD O -V ABD O -V ABC O -所以有b a b b b 338316331643164222-+-=-+，所以6322-=-a b ② 由①②可得1,3==b a ，即3=BC ． ·················· 9分（Ⅱ）由（Ⅰ）得ABC ∆的面积为223223221=⨯⨯⨯，所以DBC ∆的面积为322． ···················· 12分（注：也可以设b BC a BA==,，所以b a BD 3231+=，用向量法解决；或者以B 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，用坐标法解答；或者过A 作BC 平行线交BD 延长线于E ，用正余弦定理解答．具体过程略）（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）E 为1BC 中点． ························· 2分证法一：取BC 中点F ，连接EF OF ,．················· 3分所以可得1//,//BB EF AB OF ，所以面//OEF 面1A AB ． ········· 5分所以//OE 平面1A AB ． ························ 6分证法二：因为11A A AC =，且Ｏ为AC 的中点，所以1AO AC ⊥．又由题意可知，平面11AAC C ⊥平面ABC ，交线为AC ，且1A O ⊂平面11AA C C ，所以1A O ⊥平面ABC ．以Ｏ为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．…………1分由题意可知，112,A A AC AC ===又,AB BC AB BC =⊥1,1,2OB AC ∴==所以得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0)O A A C C B -则有：11(0,1,3),(0,1,3),(1,1,0)A C AA AB =-==． ············· 2分设平面1AA B 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则有10000AA y x y AB ⎧⎧⋅==⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n ，令1y =，得1,x z =-=1所以(1,1,=-n ． ························4分设0001(,,),,E x y z BE BC λ==即000(1,,)(x y z λ-=-，得00012x y z λλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩所以(1,2),E λλ=-得(1,2),OE λλ=-由已知//OE 平面1A AB ，得=0OE ⋅n ，即120,λλλ-++-=得12λ=．即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点． ················· 6分（Ⅱ）由法二，已知)0,2,0(),3,0,1(111=-=C A B A ，设面11BC A 的法向量为),,(c b a=，则00111==C A B A ⎩⎨⎧==-⇔0203b c a ，令3=c )3,0,3(． ···················8分所以cos 371213⋅--＝772． ··········· 10分由图可得二面角11A A B C --的大小为arccos()7-． ·········· 12分（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）>． ······························ 2分（Ⅱ）甲班有4人及格，乙班有5人及格．事件“从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格”记作A ，事件“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作B ，则7210030110020)()()|(=-==A P B A P A B P ． ················ 6分（Ⅲ）X 取值为0,1,2,3152)0(2102511016=⋅==C C C C X P ；4519)1(2102511014210151511016=⋅+⋅==C C C C C C C C C X P ；4516)2(2101515110142102511016=⋅+⋅==C C C C C C C C C X P ；454)3(2102511014=⋅==C C C C X P ． · 10分所以X 的分布列为所以545)(==X E ． ····················· 12分（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知2c ea ==，所以22222212c a b e a a -===．即222a b =． ···························· 2分又因为1b ==，所以22a =，21b =．故椭圆C 的方程为1222=+y x ． ··················· 4分（Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在.设AB ：(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，212k <. ··············· 6分 2122812k x x k +=+，21228212k x x k-=+. ∵OP t OB OA =+，∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=，21228(12)x x k x t t k +==+， 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++， ∴22216(12)k t k =+. ························· 8分-12x -<，∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-<∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++，∴22(41)(1413)0k k -+>，∴214k >. ················ 10分 ∴21142k <<，∵22216(12)k t k =+，∴222216881212k t k k ==-++，∴2t -<<2t <<， ∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --. ·············· 12分 (注意：可设直线方程为2-=x my ，但需要讨论0m =或0m ≠两种情况)（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：假设存在，使得，且0000),(,x x b a x x ≠'∈' )()()(0x f a b a f b f '=-- ，)'()()(0x f ab a f b f '=-- ，即)()(00x f x f ''=' . · 1分 ∵)()(1)(x f x g m e e x f x x '=-+='，记，∴],[)(,0)1()(2b a x f e e x g x x是'>+='上的单调增函数（或者通过复合函数单调性说明)('x f 的单调性）. ······· 3分∴0000x x x x ≠''=，这与矛盾，即0x 是唯一的. ············· 4分（Ⅱ） 1212()()(),22x x f x f x f ++<原因如下： (法一)设,,2121x x R x x <∈，且则1212121221212()()2()ln(1)ln(1)2[ln(1)]22x x x x x x x x f x f x f e e x x e ++++-=+++---+- 121222ln(1)(1)ln(1)x x x x e e e +=++-+121212122ln(1)ln(12)x x x x x x x x e e ee e +++=+++-++. ············· 5分 ∵2212121212122,0,0x x x x x x x x e e e e e x x ee +=>+∴≠>>，且. ······ 6分 ∴1+21212111221x x x x x x x x e e ee e +++++>++， 121212121212121222ln(1)ln(12),ln(1)ln(12)0.x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e ++++++∴+++>++∴+++-++>12121212()()()()2(), ()222x x x x f x f x f x f x f f +++∴+>∴<. ······ 8分（法二）设2)()()2()(22x f x f x x f x F +-+=，则2)(')2('21)('2x f x x f x F -+=．由（Ⅰ）知)('x f 单调增．所以当2x x >即x x x <+22时，有02)(')2('21)('2<-+=x f x x f x F 所以2x x >时，)(x F 单调减． ···················· 5分当2x x <即x x x >+22时，有02)(')2('21)('2>-+=x f x x f x F 所以2x x <时，)(x F 单调增． ···················· 6分所以0)()(2=<x F x F ，所以2)()()2(2121x f x f x x f +<+． ······· 8分（Ⅲ）证明：设321332211),(),,(),,(x x x y x C y x B y x A <<，且，因为1≥m∵R x x f e m m e e x f x x x ∈∴<+--=-+='是，)(01111)(上的单调减函数． · 9分 ∴123()()()f x f x f x >>．∵)),()(,()),()(,(23232121x f x f x x BC x f x f x x BA --=--= ∴))()())(()(())((23212321x f x f x f x f x x x x BC BA --+--=⋅． ··· 10分 ∵,0)()(,0)()(,0,023212321<->->-<-x f x f x f x f x x x x∴B B BC BA ∠<∴<⋅,0cos ,0为钝角. 故△ABC 为钝角三角形． ···· 12分（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲证明：（Ⅰ）连结BC ， AB 是直径，∴ 90=∠ACB ，∴90ACB AGC ∠=∠=． …2分GC 切圆O 于C ，∴GCA ABC ∠=∠． …4分 ∴BAC CAG ∠=∠． …………………………5分（Ⅱ）连结CF ， EC 切圆O 于C ，∴AFC ACE ∠=∠． ……………………………6分又,CAG BAC ∠=∠∴ACF ∆∽AEC ∆． …8分图6∴AF AE AC ACAF AE AC ⋅=∴=2,． …………10分（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线⎩⎨⎧==αsin y αcos x 4（α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得到⎩⎨⎧==αy αx sin cos 2， ················ 1分然后整个图象向右平移1个单位得到⎩⎨⎧=+=αy αx sin 1cos 2，………………………………2分最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到⎩⎨⎧=+=αy αx sin 21cos 2， ······· 3分所以1C 为4)1(22=+-y x ， ······················ 4分又2C 为θρsin 4=，即y y x 422=+， ················· 5分所以1C 和2C 公共弦所在直线为0342=+-y x ， ·············· 7分所以)0,1(到0342=+-y x 距离为25，所以公共弦长为114542=-． ··················· 10分（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲解：原式等价于|212-+-≥-++|x ||x |a|b||a b||a ，设t ab =，则原式变为|2||1||12||1|-+-≥-++x x t t 对任意t 恒成立． ······· 2分因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+-≥=-++132112213121t ,t t ,t t ,t |t ||t |，最小值为21=t 时取到，为23． ·· 6分所以有23≥=-+-21x x ⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-1232＜＜11232x,x ,x ,,x x 解得]49,43[x ∈． ········ 10分。

山东省青岛市2011届高三数学教学质量3月统一检测理新人教版

山东省青岛市2011届高三教学质量统一检测数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.参考公式：台体的体积公式为：121(3V S S h =++，其中1S ，2S 分别为台体的上、下底面积，h 为台体的高.第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数21iz i =-，则复数z 的共轭复数为 A .1i + B .1i -+ C .1i - D .1i --2. 已知全集U R =，集合2{|20}A x x x =->，{|lg(1)}B x y x ==-，则()UA B 等于A .{|20}x x x ><或B .{|12}x x <<C . {|12}x x <≤D .{|12}≤≤x x3. 下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是A .2log y x =B . 1y x =C .1()2x y =- D .13y x =4. 已知直线 l 、m ，平面α、β，且l α⊥，m β⊂，则//αβ是l m ⊥的A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件5. 二项式62()x x-的展开式中，2x 项的系数为A .15B .15-C .30D .606. 以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆222690x y x y +-++=圆心的抛物线方程是A .2233y x y x ==-或B .23y x =C .2293y x y x =-=或D .22-9y x y x ==或7. 右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为2的等腰梯形，则该几何体的体积是A .283π B .73πC .28πD .7π 8. 若00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值为3，则a 的值是A .1B .2C .3D .49. 已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+(直线MP 不过点O )，则20S 等于 A .15 B .10 C .40 D .2010. 定义运算：12142334 a a a a a a a a =-，将函数sin 3() cos 1xf x x -=向左平移m 个单位(0)m >，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是A .6π B .3πC .56πD .23π11. 下列四个命题中，正确的是A .已知函数0()sin af a xdx =⎰，则[()]1cos12f f π=-；B .设回归直线方程为2 2.5y x =-，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位；C .已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=D .对于命题p ：x R ∃∈,使得210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++>12. 若1()1(1)f x f x +=+，当[0x ∈，1]时，()f x x =，若在区间(1-，1]内()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是正视图侧视图俯视图A .[0，1)2B .1[2，)C .[0，1)3D .(0，1]2第Ⅱ卷 (选择题共60分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过60/km h 的汽车数量为14. 执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为16，图中判断框内?处应填的数为 15. 若不等式1|21|||axx对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围 16. 点P 是曲线2ln y x x 上任意一点，则点P 到直线2yx 的距离的最小值是三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知向量(sin m x ，1)，向量(3cos nx ，1)2，函数.()()f x m n m .(Ⅰ)求()f x 的最小正周期T ； (Ⅱ)已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，23a ，4c ，且()f A 恰是()f x 在[0，]2上的最大值，求A ，b 和ABC 的面积S .18. (本小题满分12分)如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE平面ABCD，11，a b?a2b b1a aCEPDM90BAD ADC ，12AB AD CD a ，2PD a .(Ⅰ)若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ； (Ⅱ)求平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值.19. (本小题满分12分)某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：根据上表信息解答以下问题：(Ⅰ)从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数2()1f x x x 在区间(4，6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；(Ⅱ)从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E .20.(本小题满分12分)已知数列{}n b 满足11124n n b b ，且172b ，n T 为{}n b 的前n 项和. (Ⅰ)求证：数列1{}2n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式； (Ⅱ)如果对任意*n N ，不等式1227122nk n n T 恒成立，求实数k 的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数322()233f x x ax x .(Ⅰ)当14a时，求函数()f x 在[2，2]上的最大值、最小值； (Ⅱ)令()ln(1)3()g x x f x ，若()g x 在1(2，)上单调递增，求实数a 的取值范围.22.(本小题满分14分)已知圆1C ：22(1)8x y ，点2(1C ，0)，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P .(Ⅰ)求动点P 的轨迹W 的方程；(Ⅱ)设、M N 分别是曲线W 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若1+22OM ONOC ，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率k ；(Ⅲ)过点(0S ，1)3且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于，A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由.青岛市高三教学质量统一检测 2011.03高中数学 (理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． A C B B D D B A B A A D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 38 14. 3 15.13[,]22- 16．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）解: (Ⅰ)21()()sin 1cos 2f x m n m x x x =+⋅=++…………2分1cos 2112222x x -=+++12cos 2222x x =-+ sin(2)26x π=-+…………5分因为2ω=，所以22T ππ==…………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：()sin(2)26f A A π=-+[0,]2x π∈时,52666x πππ-≤-≤由正弦函数图象可知,当262x ππ-=时()f x 取得最大值3所以262A ππ-=,3A π=…………8分由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-∴211216242b b =+-⨯⨯∴2b =………10分从而11sin 24sin 602322S bc A ==⨯⨯=12分 18．（本小题满分12分）(Ⅰ) 证明:连结PC ,交DE 与N ,连结MN ，PAC ∆中，,M N 分别为两腰,PA PC 的中点 ∴//MN AC …………2分因为MN ⊂面MDE ,又AC ⊄面MDE ，所以//AC 平面MDE …………4分(Ⅱ) 设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，以D 为空间坐标系的原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(,,0),(0,2,0)P a B a a C a(,,2),(,,0)PB a a a BC a a =-=-…………6分设平面PAD 的单位法向量为1n ，则可设1(0,1,0)n =…………7分设面PBC 的法向量2(,,1)n x y =，应有22(,,1)(,,2)0(,,1)(,,0)0n PB x y a a a n BC x y a a ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 即：00ax ay ax ay ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以22(22n =…………10分 ∴121212cos 2||||1n n n n θ⋅===⨯…………11分所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值为12…………12分 19．（本小题满分12分）解:(Ⅰ) 函数()21f x x x η=--过(0,1)-点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有(4)0(6)0f f <⎧⎨>⎩即：1641036610ηη--<⎧⎨-->⎩，解得：153546η<< 所以，4η=或5η=…………3分当4η=时，211201015125068245C C C P C +==，当5η=时，11201522501249C C P C ==…………5分 4η=与5η=为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式所以12681212824549245P P P =+=+=…………6分 MDx(Ⅱ) 从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3，…………7分于是()22225102015250207C C C C P C ξ+++===，1111115101020152025022(1)49C C C C C C P C ξ++===，1111520101525010(2)49C C C C P C ξ+===，115152503(3)49C C P C ξ===…………10分从而ξ的分布列：ξ的数学期望：0123749494949E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分20．（本小题满分12分）解: (Ⅰ) 对任意*N n ∈,都有11124n n b b +=+，所以1111()222n n b b +-=- 则1{}2n b -成等比数列,首项为1132b -=，公比为12…………2分所以1113()22n n b --=⨯，1113()22n n b -=⨯+…………4分 (Ⅱ) 因为1113()22n n b -=⨯+所以2113(1)111123(1...)6(1)1222222212n n n n n n n T --=+++++=+=-+-…………6分因为不等式1227(122)n k n n T ≥-+-，化简得272nn k -≥对任意*N n ∈恒成立…………7分设272n n n c -=，则1112(1)72792222n nn n n n n nc c ++++----=-=…………8分当5n ≥,1n n c c +≤,{}n c 为单调递减数列，当15n ≤<,1n n c c +>,{}n c 为单调递增数列45131632c c =<=,所以, 5n =时, n c 取得最大值332…………11分所以, 要使272n n k -≥对任意*N n ∈恒成立，332k ≥…………12分21．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)14a =时, 3221()332f x x x x =-++，2()23(23)(1)f x x x x x '=-++=--+ 令()0f x '=,得1x =-或3x =…………2分可以看出在1x =-取得极小值,在2x =取得极大值…………5分而48(2),(2)33f f -==由此, 在[2,2]-上,()f x 在1x =-处取得最小值116-,在32x = 处取得最小值278…………6分(Ⅱ)()ln(1)3()g x x f x '=++-2ln(1)3(243)x x ax =+---++2ln(1)24x x ax =++-2'144(1)14()4411x a x ag x x a x x +-+-=+-=++…………7分在1(,)2-+∞上恒有10x +>考察2()44(1)14h x x a x a =+-+-的对称轴为44182a a x --=-=(i)当1122a -≥-,即0a ≥时，应有216(1)16(14)0a a ∆=---≤ 解得:20a -<≤，所以0a =时成立…………9分(ii)当1122a -<-,即0a <时，应有1()02h ->即:114(1)1402a a --⨯+->解得0a <…………11分综上：实数a 的取值范围是0a ≤…………12分 22. （本小题满分14分）解: (Ⅰ) 因为2QC 的垂直平分线交1QC 于点P . 所以2PC PQ =222211112=>==+=+C C QC PQ PC PC PC所以动点P 的轨迹ω是以点21,C C 为焦点的椭圆……………2分设椭圆的标准方程为12222=+by a x则22,222==c a ，1222=-=c a b ，则椭圆的标准方程为2212x y +=……4分 (Ⅱ) 设1122(,),(,)M a b N a b ，则2222112222,22a b a b +=+= ①因为122OM ON OC +=则121222,20a a b b +=-+= ②由①②解得112215,,24a b a b ===-=……………7分所以直线MN 的斜率k 212114b b a a -==-……………8分 (Ⅲ)直线l 方程为13y kx =-，联立直线和椭圆的方程得: 221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得229(12)12160k x kx +--=…………9分由题意知：点)31,0(-S 在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必交与两点，设).,(),,(2211y x B y x A 则121222416,3(12)9(12)k x x x x k k +==-++ 假设在y 轴上存在定点),0(m D ，满足题设，则1122(,),(,)DA x y m DB x y m =-=- 因为以AB 为直径的圆恒过点D ,则1122(,)(,)0DA DB x y m x y m ⋅=-⋅-=，即:1212()()0x x y m y m +--= (*)因为112211,33y kx y kx =-=-则(*)变为21212121212()()()x x y m y m x x y y m y y m +--=+-++…………11分21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339k x x k m x x m m =+-+++++222216(1)1421()9(21)33(21)39k k k m m m k k +=--++++++ 222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+ 由假设得对于任意的R k ∈,0DA DB ⋅=恒成立，即221096150m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩解得1m =……13分因此，在y 轴上存在满足条件的定点D ，点D 的坐标为(0,1).………………14分。

2011届高三数学综合检测卷及答案

Read xIf x >0 Then1y x ←+Else1y x ←-End If Print y （第7题）2011届高三数学综合检测卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．复数ii4321+-在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 2．设全集{1,3,5,7}U =，集合{1,5}M a =-，M U ⊆，{}5,7U M =ð，则实数a 的值为 ▲ ．3．过点()1,0且倾斜角是直线210x y --=的倾斜角的两倍的直线方程是 ▲ ． 4．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标()n m 、，求点P 落在圆1622=+y x 内的概率为 ▲ ．5．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 ▲ ．6．如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+ ， AQ =23AB+14AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ▲ ．7．下图是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数1100n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()n N +∈ 中的前200项，则所得y 值中的最小值为 ▲ ．8．在ABC ∆中，若,,AB AC AC b BC a ⊥==，则ABC ∆的外接圆半径r ，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R = ▲ ．9．若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为 ▲ ．10．空间直角坐标系中，点,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．（第6题）11请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ．12．如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 ▲ ．13．已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，n n T S ,分别是它们的前n 项和，并且317++=n n T S n n ，则1612108221752b b b b a a a a ++++++= ▲ ．14．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-，函数()1,[2,2g x a x x =-∈-，1[2,2]x ∀∈-，总0[2,2]x ∃∈-，使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是▲ ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

云南省2011届高三第二次复习统一检测数学试题(理)

2010年云南省第二次高中毕业生复习统一检测数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考试结束后，将本试卷第答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务心用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试卷上的答案无效.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径球的体积公式 334R V π=球其中R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()( （ k=0，1，2，…，n ）本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题1．已知数列}{n a 是等差数列，如果==+231,12a a a 那么（）A ．4B ．6C ．8D ．102．已知随机变量ξ满足条件则n 与p 的值分别为（）A ．16与54 B ．20与52 C ．15与54 D ．12与53 3．已知实数r 是常数，如果),(00y x M 是圆222r y x =+内异于圆心的一点，那么直线200r y y x x =+与圆222r y x =+的位置关系是（）A ．相交但不经过圆心B ．相交且经过圆心C ．相切D ．相离4．已知i 是虚数单位，复数=-ii 2)1(（）A ．-2B ．2C ．-2iD ．2i5．设21,e e 是相互垂直的单位向量，并且向量21213,23e e x b e e a +=+=，如果b a ⊥，那么实数x 等于（）A ．29-B ．29 C ．-2 D ．26．已知二面角βα--l 的大小为︒60，b 和c 是两条异面直线.在下列给出的四个结论中，是“b 和c 所成的角为︒60”成立的充分条件是（）A ．βα//,//c bB ．βα⊥c b ,//C ．βα⊥⊥c b ,D ．βα//,c b ⊥7．已知⎩⎨⎧>+-≤+=0,1)1(0,23)(x x f x x x f ，则)34(f 的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．88．如果A 是抛物线y x 42=的顶点，过点D （0，4）的直线l 交抛物线y x 42=于B 、C两点，那么AC AB ⋅等于（）A ．43B ．0C ．-3D ．43-9．已知)(x f 的反函数),(1x f -如果)3(log )(31+=-x x f，那么关于x 的方程0)12(=+x f的实数根（）A ．29-B ．211-C ．-9D ．-1110．为了得到)62sin(π-=x y 的图象，只需要将)2sin(x y =的图象（）A ．向左平行移动6π个单位 B ．向右平行移动6π个单位C ．向左平行移动12π个单位D ．向右平行移动12π个单位11．在ABC ∆所在的平面内有一点P ，如果AB PC PB PA =++，那么PBC ∆和面积与ABC ∆的面积之比是（）A ．43B ．32C ．21D ．31 12．现将5名学生分成两个小组，其中甲、乙两人必须在同一个小组里，那么不同的分配方法有（） A ．7种 B ．6种 C ．5种 D ．4种第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 .把答案填在答题卡上. 13．中心在原点，准线方程为4±=x ，离心率等于21的椭圆方程是 . 14．已知6)1(xax +的展开式中常数项为-160，那么常数a= . 15．把一个半径为r 的实心铁球O 熔化铸成两个实心小球O 1与O 2，假设没有任何损耗.设铁球O 的表面积为S ，小球O 1的半径为r 1，表面积为S 1，小球O 2的半径为r 2，两个小球的半径之比2:1:21=r r ，那么球O 1的表面积与球O 的表面积之比S S :1= .16．已知实数a 、b 是常数，n 是正整数，如果,33lim 233b x x ax x x =-+--→那么nn n n n b a b a -+-+∞→11lim= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别是a 、b 、c ，平面向量))sin(,1(A B m -=，平面向量).1),2sin((sin A C n -=（I ）如果,3,3,2=∆==S ABC C c 的面积且π求a 的值；（II ）若,n m ⊥请判断ABC ∆的形状.18．（本小题满分12分）某单位组织职工参加了旨在调查职工健康状况的测试.该测试包括心理健康测试和身体健康两个项目，每个项目的测试结果为A、B、C、D、E五个等级.假设该单位50位职工全部参加了测试，测试结果如下：x表示心理健康测试结果，y表示身体健康测试结果.y人数身体健康A B C D E心理健康A 1 3 10 1B 1 0 7 5 1C 2 1 0 9 3D 1 b 6 0 aE 0 0 1 1 3（I）求a+b的值；（II）如果在该单位随机找一位职工谈话，求找到的职工在这次测试中心理健康为D等且身体健康为C等的概率；（III）若“职工的心理健康为D等”与“职工的身体健康为B等”是相互独立事件，求a、b的值.19．（本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2.（I）求证：PD⊥BC；（II）求二面角B—PD—C的大小.20．（本小题满分12分）已知实轴长为2a ，虚轴长为2b 的双曲线S 的焦点在x 轴上，直线x y 3-=是双曲线S 的一条渐近线，而且原点O ，点A （a ，0）和点B （0，-b ）使等式222||34||||OA OB OA =+·2||OB 成立. （I ）求双曲线S 的方程；（II ）若双曲线S 上存在两个点关于直线4:+=kx y l 对称，求实数k 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数).21ln()(2x x x f ++-= （I ）求)(x f 的最大值；（II ）设).1)((11ln :,0++->++>>b a b a b a a b 证明22．（本小题满分12分）已知函数7232)(-+-=x x x f ，若存在实数,)(,000x x f x =使则称0x 是函数)(x f y =的一个不动点.（I ）证明：函数)(x f y =有两个不动点；（II ）已知a 、b 是)(x f y =的两个不动点，且b a >.当2721≠-≠x x 且时，比较bx a x b x f a x f ----)(8)()(与的大小；（III ）在数列}{n a 中，1,27211=≠-≠a a a n n 且，等式)(1n n a f a =+对任何正整数n 都成立，求数列}{n a 的通项公式.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 1—6 BCDACC 7—12 ABDDBA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 17．（本小题满分10分）解：（I ）由余弦定理及已知条件得,422=-+ab b a.4.3sin 21,3=∴=∴∆ab C ab ABC 的面积等于联立方程组得.2,2,4,422==⎩⎨⎧==-+b a ab ab b a 解得.2=∴a…………5分（II ）.0)sin(2sin sin ,=--∴⊥A B A C n m化简得.0)sin (sin cos =-A B A…………7分.0sin sin 0=-=∴A B csoA 或当,2,0cos π==A A 时此时ABC ∆是直角三角形；当A B A B sin sin ,0sin sin ==-即时，由正弦定理得,a b =此时ABC ∆为等腰三角形.ABC ∆∴是直角三角形或等腰三角形. …………10分18．（本小题满分12分）解：（I ）∵该单位50位职工全部参另了测试， ∴表中标出的总人数也应是50人，.34750=-=+∴b a…………4分（II ）从表中可以看出，职工在这次测试中心理健康为D 等且身体健康为C 等的人数为6人， ∴所求概率为.12.0506= …………8分（III ）∵“职工的心理健康为D 等”与“职工的身体健康为B 等”是相互独立事件， ).()()(B y P D x P B y D x P =⋅====∴且…………10分即.50450750+⨯++=b b a b 又,3=+b a.1,504501050=+⨯=∴b b b 解得 .2=∴a.1,2==∴b a…………12分19．（本小题满分12分）方法一：（I ）证明：∵平面PCD ⊥平面ABCD ，又∵平面PCD ∩平面ABCD=CD ， BC 在平面ABCD 内，BC ⊥CD ， ∴BC ⊥平面PCD. ∴PD ⊥BC. …………6分（II ）解：取PD 的中点E ，连接CE 、BE ，PDC ∆ 为正三角形， .DP CE ⊥∴由（I ）知BC ⊥平面PCD ，∴CE 是BE 在平面PCD 内的射影， ∴BE ⊥PD.∴∠CEB 为二面角B —PD —C 的平面角. …………9分在,3,2,90,==︒=∠∆CE BC BCE ABC 中,332tan ==∠CE BC CEB ∴二面角B —PD —C 的大小为.332arctan…………12分方法二：（I ）证明：取CD 的中点为O ，连接PO ， ∵PD=PC ，∴PO ⊥CD ， ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD=CD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，如图，在平面ABCD 内，过O 作OM ⊥CD 交AB 于M ，以O 为原点，OM 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O —xyz ，由B （2，1，0），C （0，1，0），D （0，-1，0），)3,0,0(P…………4分.,0).0,0,2(),3,1,0(BC PD BC PD BC PD ⊥∴=⋅-=--=∴;BC PD ⊥∴…………6分（II ）解：取PD 的中点E ，连接CE 、BE ，则),23,21,0(-E PCD ∆ 为正三角形，..22||||),3,1,2(),0,2,2(.PD BE BP BD BP BD PD CE ⊥∴==∴--=-=⊥∴CEB ∠∴为二面角B —PD —C 的平面角. …………9分.721||||cos ),23,23,0(),23,23,2(=⋅=∠∴-=-=EC EB EC EB BEC EC EB∴二面角B —PD —C 的大小为.721arccos …………12分20．（本小题满分12分）解：（I ）根据题意设双曲线S 的方程为,12222=-by a x…………2分且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=2222343b a b a a b解方程组得.3,1==b a∴所求双曲线的方程为.1322=-y x …………6分（II ）当k=0时，双曲线S 上显然不存在两个点关于直线4:+=kx y l 对称；…………7分当0≠k 时，设又曲线S 上的两点M 、N 关于直线l 对称，由,MN l ⊥直线MN 的方程为,1m x ky +-= 则M 、N 两点的坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=.33,122y x m x k y 消去y 得.0)3(2)13(2222=+-+-k m kmx x k 显然,0132≠-k.0])3()[13(4)2(2222>+---=∆∴k m k km即.013222>-k m k设线段MN 中点为),,(00y x D则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=.133,1322020k m k y k km x ),(00y x D 在直线,4:上+=kx y l.4131332222+--=-∴k m k k m k …………10分即.1322-=k m k.0131322222⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=∴k m k k m k.10,0222-<>>+∴m m mk m k 或解得.1130132222-<->-∴kk k k 或 .413122<>∴k k 或即.0,21||33||≠<>k k k 且或 k ∴的取值范围是),33()21,0()0,21()33,(+∞---∞ …………12分21．（本小题满分12分）（I ）解：),21ln()(2x x x f ++-=.021>+∴x,21->∴x 即函数)(x f 的定义域为}.21,|{->∈x R x x又xx x f 2122)('++-=,212242xx x ++--=…………2分由.0224210)('2>+--->>x x x x f 得又.2121,21<<-∴->x x)(,2121x f x 函数时当<<-∴是增函数. …………4分由.0224210)('2<+---><x x x x f 得且又.21,21>∴->x x)(,21x f x 函数时当>∴是减函数.…………6分)(,21x f x 函数时当=∴取得最大值..2ln 41)21(+-=f)(x f ∴的最大值等于.2ln 41+-…………7分（II ）证明：,0>>a b.212121>+>+∴a b 根据（I ）知：当)(,21x f x 函数时>是减函数.).21()21(+<+∴a f b f …………9分)].21(21ln[)21()]21(21ln[)21(22++++-<++++-∴a a b b化简得).1)((11ln++->++b a b a b a ).1)((11ln ++->++∴b a b a b a …………12分22．（本小题满分12分）（I ）证明：.0352,72322=--∴=-+-x x x x x.3,2121=-=∴x x经过检验，x x x x x =-+-=-=72323,2121是方程的解.)(x f y =∴函数有两上不动点，它们是.3,2121=-=x x…………3分（II ）解：由（I ）可知,21,3-==b a.21382124821723237232+-⋅=--+-=+-+---+-x x x x x x x xbx a x b x f a x f ----∴)(8)()(与相等.…………6分（III ）解：,2721≠-≠n n a a 且由（II ）知,21)3(821)(3)(+-=+-n n n n a a a f a f .)21()3(821311+-=+-∴++n n n n a a a a…………8分213}213{11+-+-∴a a a a n n 是以数列为首项，8为公比的等比数列. 即以34-为首项，8为公比的等比数列. …………10分.8342131-⋅-=+-∴n n n a a .84382983418342131111----⋅+⋅-=⋅+⋅⋅-=∴n n n n n a…………12分。

辽宁名校2011届高三数学单元测试：统计案例、框图(20201129035938)

辽宁名校2011届高三数学单元测试一统计案例、框图注意事项：1 .本试题分为第I 卷和第n 卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟.2 •答第I 卷前务必将自己的姓名•考号•考试科目涂写在答题卡上•考试结束，试题和答题卡一并收回.3.第I 卷每题选出答案后，都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD 涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案.第I 卷（选择题，共60 分）一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 .下列说法中错误的是（）A. 如果变量x 与y 之间存在着线性相关关系，则我们根据试验数据得到的点散布在某一条直线的附近B.如果两个变量 x 与y 之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据写出一个线性方程C. 设X , y 是具有相关关系的两个变量，且 X 关于y 的线性回归方程为 ? = bx a , b 叫做回归系数D.为使求出的线性回归方程有意义，可用统计检验的方法来判断变量y 与x 之间是否存在线性相关关系2 .对两个变量y 与x 进行线性回归分析，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数程度最好的模型是C. 工序流程图中的流程线表示两相邻工序之间的衔接关系D. 结构图中基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系 4. 为了探究色盲是否与性别有关，调查的者，那么下列说法正确的是 A .色盲与性别没有关系B .色盲与性别关系很小 C.有很大的把握说色盲与性别有关 D .ABC 都不正确5.若回归直线方程中的回归系数 b = 0，则相关指数A . r =1B . r =0D .无法确定已知y 与x 之间数据如下表所示，则C. r = T y 与x 之间的线性回归方程过点(X i ,yJ(i =1,2, ,n)不能r 如下，其中拟合A .模型1的相关系数r 为0.98C.模型3的相关系数r 为0.503 .下列判断不正确的是A. 画工序流程图类似于算法的流程图B. 在工序流程图中可以出现循环回路B .模型2的相关系数r 为0.80 D .模型4的相关系数r 为0.25，自上而下，逐步细化350名男性中有39名色盲患者,500名女性中有6名色盲患21.1675,2.3925y 的回归方程为y =0.577x-0.448 ,如果某人36岁，那么这个( )B .在20.3%附近的可能性比较大 D .以上解释都无道理8. A .总工程师和专家办公室C.总工程师、专家办公室和开发部 : B .开发部 D .总工程师、专家办公室和所有七个部硕士博士合计男 162 27 189女 143 8 151 合计305 35 340 根据以上数据，则 A .性别与获取学位类别有关 B.性别与获取学位类别无关 C.性别决定获取学位的类别 D .以上都是错误的 10 .为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了 100位居民进行调查，经过计算 2K :0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是父母吸烟父母不吸烟合计子女吸烟237 83320 子女不吸烟 678 522 1200 合计 915 6051520 ()A. 有99%的人认为该栏目优秀B. 有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系C. 有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系D. 没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系 11 .为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了 1520青少年及其家长，得数据如下则下列结论较准确的一个是 A. 子女吸烟与父母吸烟无关 B. 有95%的把握说子女吸烟与父母吸烟有关C. 有99%的把握说子女吸烟与父母吸烟有关D. 有99.9%的把握说子女吸烟与父母吸烟有关12 •为了表示n 个点与相应回归直线在整体上的接近程度，我们表示它常用n—B. '% - y C.i di =1D . ' y x -yy2.25 2.37 2.40 2.55 A . (0,0 ) B . (1.1675,0)C.(0,2.3925)D .人的年龄x 与人体脂肪含量的百分数人的脂肪含量 A . —定 20.3%C.无任何参考数据第H卷（非选择题，共90 分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分•把答案填在横线上.13 .有下列关系：（1）人的年龄与其拥有的财富之间的关系；（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；（3）苹果的产量与气候之间的关系；（4）森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；（5）学生与其学校之间的关系•其中有相关关系的是_______________ .14 •在对两个分类变量进行独立性检验时，我们若计算得到K2 =4.05，则我们所做出的判断出错的可能性是_________________ .15 •对于一组数据的两个回归模型，我们计算的残差平方和分别是168和197，那么拟合效果较好的是______________________________ .16 •下面的图示中，是流程图的是__________ 。

福建省莆田市2011届高三高中毕业班质量检查试卷数学理

福建省莆田市2011届高中毕业班教学质量检查数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A 、B 互相独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅; 样本数据12,,,n x x x 的标准差；(n s x x =++-x 为样本平均数;锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.第Ⅰ卷（选择题,共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的,把答案填写在试卷的指定位置。

1．复数(1)(z i i i =-+为虚数单位)在复平面内所对应的点位于( ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．“点*(,)()nnP n a n N ∈都在直线1y x =+上”是“数列{}na 为等差数列”的（）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分不必要条件3．已知函数()(0,1)xf x aa a =>≠是定义在R 上的单调递减函数，则函数4()log (1)g x x =+的图象大致是（）4．某几何体的正视图如左图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．的是（）5．一组数据由小到大依次为2，2，a ,b ，12，20。

已知这组数据的中位数为6，若要使其标准差最小，则a ,b 的值分别为（ ) A ．3，9B ．4，8C ．5，7D ．6,66．某程序框图如右图所示，若该程序运行后输出n 的值是4，则自然数0S 的值为( ）A ．3B ．2]C ．1D ．07．甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了5局,乙共打了6局,而丙共当了2局裁判，那么整个比赛共进行了（）A ．9局B ．11局C ．13局D ．18局8．若双曲线22213x y a-=的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为（）A ．1B ．2C ．3D ．69．已知函数1,0()1,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是( ）A ．（1,2）B ．(,2]-∞-C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．(,1][2,)-∞⋃+∞10．若1,a xdx b c ===⎰⎰⎰,则a ，b ，c 的大小关系是( ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分,把答案填写在试卷的指定位置。

苏北四市2011届高三年级第一次调研测试数学试题答案

1分 )
(10彡卜 )
CK面积的最小值为 225平方米。所以三角形姒 (2)由题意得只仍 320, )≥
凶 =1000(舍去 =⑽ 或 “ 当÷ (“ +塑毋一们 0)=320,解得 “ 由(D知 sJ≤ 幻
,
)。
(14彡卜 )
即 (⒛ -zJ)ε ≤ 们 ,解得的范围是 E5一溽所以莎
所以 BE・
B。
选修 4-2:矩阵与变换
:MN=[: 解 :][_∶ ∶ ]=[_∶
设 P(△
P′
(jε
(4分 )
;]・
′ ′
,丿
)是曲线 2J2— 2J丿 +1=0上任意一点 ,点
P在矩阵 MN对应的变换下变为点
∶
刂砰事贝〓∶
[;]〓 [∶ 2y′ ],
(10彡卜 )
4— (2分 ) =雨i× /J+2+1∷ ×√ェ J, 解;/3=+6+冫 14一宽 )2≤ (3+D(￡ +2十 u-σ )=sd; (8分 ) 由柯西不等式得 (溽 ×/J+2+1× /】 4— 歹
≤ 所以 /3ε +6+/14一 ε 8,当且仅当 J=10时取f≡ ∶ 故常数曰的取值范围是 (— ∞ ,8)。
解 :(1)设 (c″ )公比为 g,由题意得 g>0,∷
∶
且了骂 ∫:=觐缸土气
{:万 c4,即
{∶
∷
,Ⅱ
(2彡卜 )
苏北四市高三数学参考答案 :第 :1页 (共 3页 )
(4分 )
所以数列 (c″ )的通项公式为 c″ =3・ 3m-1=俨 ,″ ∈N` (2)由 (D可得 3″ =logsc″ =″ ,所以 c,3刀 =刀・ sm。所以 S″ =1・ 3+2・ 32+3・ S3+… +m・ 3m, 所以 3S刀 =1・ 32+2・ 33+3・箩+… +m・ Sm+1, 两式相减得

全国各地2011届高三月高三月考数学试题106套考试题(57)

B M 23．（本小题满分 10 分）已知函数 f ( x) 2 x 1 x 3 . （Ⅰ）解不等式 f ( x ) ≤4；（Ⅱ）若存在 x 使得 f ( x ) a ≤0 成立，求实数 a 的取值范围．
C
24．（本小题满分 10 分）
已知直线 l 经过点 P（1，1），倾斜角
B． { x | x 3} D． { x | 2 x 3} （ C．）
i (i是虚数单位 ) 的实部是 1 2i 2 2 A． B． 5 5
2 2
1 5
D．
1 5
（）
3．命题“若 a b 0, 则a 0且b 0 ”的逆否命题是 A．若 a b 0, 则a 0且b 0
11．已知等差数列 {a n } ， a1 15 ， S 5 55 ，则过点 P(3, a 2 ) ，
Q(4, a 4 ) 的直线的斜率为
A． 4பைடு நூலகம்
2
（ C． 4
） D．
B．
1 4
1 4
12．过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点 F 且倾斜角为 60°的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A、B 两点，则 A．5 B．4

1 1 sin( 2x ) . 2 6 2
∵函数 f ( x ) 的最小正周期为 , 且 0,
2 1 …………6 分 , 解得 1, f ( x) sin( 2 x ) 2 6 2 5 （2） x [ , ], 2 x [ , ] ，根据正弦函数的图象可得： 12 2 6 3 6
2 2 2 2 2 2 2
2 S甲
21-14 21-17 21-15 21-24 21-22 21-23 21-32

南通市2011届高三第一次数学调研测试

南通市高三数学试卷南通市2011届高三第一次调研测试数学(满分160分，考试时间120分钟)2011．01一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应的位置上．1.若集合M＝{－1,1}，N＝{x|1≤2x≤4}，则M∩N＝________.2.若射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为________．3.设(1＋2i)z＝3－4i(i为虚数单位)，则|z|＝________.S←0For I from1to10S←S＋IEnd forPrint SEnd4.根据图的算法，输出的结果是________．5.某校对全校1200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数是________人．6.若“x2－2x－3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．7.设a、b为空间的两条直线，α、β为空间的两个平面，给出下列命题：①若a∥α，a∥β，则α∥β；②若a⊥α，a⊥β，则α⊥β；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.上述命题中，所有真命题的序号是________．8.双曲线x24－y212＝1上一点M到它的右焦点的距离是3，则点M的横坐标是________．9.若函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(x∈R)满足f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________．10.若圆C：(x－h)2＋(y－1)2＝1在不等式x＋y＋1≥0所表示的平面区域内，则h的最小值为________．11.在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)、B(－3，－4)两点，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC→|＝10，则点C的坐标是________．12.已知函数f(x)＝13x3＋x2＋(2a－1)x＋a2－a＋1，若f′(x)＝0在(1,3]上有解，则实数a 的取值范围为________．13.已知函数f(x)＝x2，g(x)－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．14.已知等腰三角形腰上的中线长为3，则该三角形的面积的最大值是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本题满分14分)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝1，|a－b|＝2.(1)求a·b的值；(2)求|a＋b|的值．16.(本题满分14分)如图，已知▱ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．(1)求证：直线AE∥平面BDF；(2)若∠AEB＝90°，求证：平面BDF⊥平面BCE.如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y＝A A＞0，ω＞0)，x∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B(－1,2)CD，且CD∥EF；赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧DE.(1)求ω的值和∠DOE的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．如图，已知椭圆C：x216＋y212＝1的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M.(1)若AM＝MN，求∠AMB的余弦值；(2)设过A、F、N三点的圆与y轴交于P、Q两点，当线段PQ的中点坐标为(0,9)时，求这个圆的方程．设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，函数g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(0,1]时，g(x)＝ln x－ax2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于区间(0,1]上任意的x，都有|f(x)|≥1成立，求实数a的取值范围．已知数列{a n}是各项均为正的等比数列，其公比为q.(1)当q＝3}中：2时，在数列{a n①最多有几项在1～100之间？②最多有几项是1～100之间的整数？(2)当q＞1时，在数列{a n}中，最多有几项是100～1000之间的整数？(参考数据：lg3＝0.477，lg2＝0.301)南通市高三数学附加题试卷第页(共2页)南通市2011届高三第一次调研测试数学附加题(选修物理)(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修41：几何证明选讲锐角三角形ABC 内接于⊙O ，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝40°，作OE ⊥AB 交劣弧AB 于点E ，连结EC ，求∠OEC .B.选修42：矩阵与变换曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝1201的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．C.选修44P 为曲线C 1＝1＋cos θ，＝sin θ(θ为参数)上的点，求它到直线C 2＝1＋2t，＝2(t 为参数)距离的最小值．D.选修45：不等式选讲设n ∈N *，求证：C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ≤n (2n －1).【必做题】本题包括22、23共2小题，每小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.用数学归纳法证明：1×2×3＋2×3×4＋…＋n ×(n ＋1)×(n ＋2)＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)4(n ∈N *)．23.某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8∶00、8∶20、8∶40这三个时刻随机发出，且在8∶00发出的概率为14，8∶20发出的概率为12，8∶40发出的概率为14；第二班客车在9∶00、9∶20、9∶40这三个时刻随机发出，且在9∶00发出的概率为14，9∶20发出的概率为12，9∶40发出的概率为14.两班客车发出时刻是相互独立的，张先生预计8∶10到站．求：(1)请预测张先生乘到第一班客车的概率；(2)张先生候车时间的分布列；(3)张先生候车时间的数学期望．。

南通市2011届高三数学第二次调研测试

南通市高三数学试卷南通市2011届高三第二次调研测试数学(满分160分，考试时间120分钟)2011．03一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.曲线y ＝x 3－2x 在点(1，－1)处的切线方程是__________________．2.若1＋5i 3－i ＝a ＋b i(a 、b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝____________.3.命题“若实数a 满足a ≤2，则a 2＜4”的否命题是__________(填“真”或“假”)命题．4.把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为____________．5.某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，则全班学生的平均分为________分．6.设M ＝{a|a ＝(2,0)＋m (0,1)，m ∈R }和N ＝{b|b ＝(1,1)＋n (1，－1)，n ∈R }都是元素为向量的集合，则M ∩N ＝____________.7.在如图所示的算法流程图中，若输入m ＝4，n ＝3，则输出的a ＝__________.(第7题)8.设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝__________.9.设α、β是空间两个不同的平面，m 、n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________.(填序号)．10.)满足：f (x )＝f (x ＋f (x )＝2－|x －4|.下列四个不等关系：f (sin1)＞f (cos1)；f (cos2)＞f (sin2)．其中正确的个数是______________．11.在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin A －sin B sin C 的值是____________．12.在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，定义：d (P ，Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|.已知点B (1,0)，点M 为直线x －2y ＋2＝0上的动点，则使d (B ，M )取最小值时点M 的坐标是____________．13.若实数x 、y 、z 、t 满足1≤x ≤y ≤z ≤t ≤10000，则x y ＋z t 的最小值为__________．14.在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2＋y 2＝1上相异三点，若存在正实数λ、μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，则λ2＋(μ－3)2的取值范围是______________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，AB ＝BC ＝AC ＝4，PA ＝PC ＝2 2.求证：(1)PA ⊥平面EBO ；(2)FG ∥平面EBO .16.(本小题满分14已知函数f (x )＝3cos x 2－(1)设θ∈－π2，π2，且f (θ)＝3＋1，求θ的值；(2)在△ABC 中，AB ＝1，f (C )＝3＋1，且△ABC 的面积为32，求sin A ＋sin B 的值．在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2.设直线A 1B 1的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．(1)求椭圆E 的离心率；(2)判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由；(3)若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．(1)如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；(2)如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．设定义在区间[x 1，x 2]上的函数y ＝f (x )的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA →＝(x 1，f (x 1))，OB →＝(x 2，f (x 2))，OM →＝(x ，y )，当实数λ满足x ＝λx 1＋(1－λ)x 2时，记向量ON →＝λOA →＋(1－λ)OB →.定义“函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“|MN →|≤k 恒成立”，其中k 是一个确定的正数．(1)设函数f (x )＝x 2在区间[0,1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围；(2)求证：函数g (x )＝ln x 在区间[e m ，e m ＋1](m ∈R )上可在标准k ＝18下线性近似．(参考数据：e ＝2.718，ln(e －1)＝0.541)已知数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意给定的k ∈N *，是否存在p 、r ∈N *(k ＜p ＜r )使1a k 、1a p 、1a r成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r (只要写出一组)；若不存在，请说明理由；(3)证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为an 1、an 2、an 3.南通市高三数学附加题试卷第页(共2页)南通市2011届高三第二次调研测试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修41：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点，过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP ＝100°，∠BPC ＝40°，求∠MPB 的大小．B.选修42：矩阵与变换已知二阶矩阵A ＝a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝32.求矩阵A .C.选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ＝2cos α，＝sin α(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ＝2 2.点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．D.选修45：不等式选讲若正数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求13a＋2＋13b＋2＋13c＋2的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.(1)若λ＝1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；(2)若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值．23.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．(1)设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ；(2)求恰好得到n(n∈N*)分的概率．南通市高三数学参考答案第页(共4页)南通市2011届高三第二次调研测试数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.x －y －2＝02.－8253.真4.26275.26.{(2,0)}7.128.1059.①③④⇒②(或②③④⇒①)10.111.－1212.13.15014.(2，＋∞)二、解答题：本大题共6小题，共90分．15.证明：由题意可知，△PAC 为等腰直角三角形，△ABC 为等边三角形．(2分)(1)因为O 为边AC 的中点，所以BO ⊥AC .因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC .(5分)因为PA ⊂平面PAC ，所以BO ⊥PA .在等腰三角形PAC 内，O 、E 为所在边的中点，所以OE ⊥PA .又BO ∩OE ＝O ，所以PA ⊥平面EBO .(8分)(2)连AF 交BE 于Q ，连QO .因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点，所以AO OG ＝2，且Q 是△PAB 的重心，(10分)于是AQ QF ＝2＝AO OG，所以FG ∥QO .(12分)因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO .(14分)【注】第(2)小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH ∥平面EBO 证得．16.解：(1)f (x )＝23cos 2x 2－2sin x 2cos x ＝3(1＋cos x )－sin x ＝＋3.(3分)由＋3＝3＋1，得＝12.(5分)于是x ＋π6＝2k π±π3(k ∈Z )，因为x ∈－π2，π2，所以x ＝－π2或π6.(7分)(2)因为C ∈(0，π)，由(1)知C ＝π6.(9分)因为△ABC 的面积为32，所以32＝12ab sin π6，于是ab ＝2 3.①在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a 、b .由余弦定理得1＝a 2＋b 2－2ab cos π6＝a 2＋b 2－6，所以a 2＋b 2＝7.②＝2，＝3＝3，＝2.于是a ＋b ＝2＋ 3.(12分)由正弦定理得sin A a ＝sin B b ＝sin C 1＝12，所以sin A ＋sin B ＝12(a ＋b )＝1＋32.(14分)17.解：(1)设椭圆E 的焦距为2c (c >0)，因为直线A 1B 1的倾斜角的正弦值为13，所以b a 2＋b 2＝13，于是a 2＝8b 2，即a 2＝8(a 2－c 2)，所以椭圆E 的离心率e ＝c 2a 2＝78＝144.(4分)(2)由e ＝144，可设a ＝4k (k ＞0)，c ＝14k ，则b ＝2k ，于是A 1B 1的方程为x －22y ＋4k ＝0，故OA 2的中点(2k,0)到A 1B 1的距离d ＝|2k ＋4k |3＝2k .(6分)又以OA 2为直径的圆的半径r ＝2k ，即有d ＝r ，所以直线A 1B 1与圆C 相切．(8分)(3)由圆C 的面积为π知圆半径为1，从而k ＝12.(10分)设OA 2的中点(1,0)关于直线A 1B 1：x －22y ＋2＝0的对称点为(m ，n )，·24＝－1，22·n 2＋2＝0.(12分)解得m ＝13，n ＝423.所以圆C 的方程为＝1.(14分)18.解：(1)于H ，S △RST ＝12SH ·RT .(2分)由题意，△RST 在月牙形公园里，RT 与圆Q 只能相切或相离．(4分)RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P 时(如下左图)，上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST ＝12×4×2＝4(km 2)．(6分)(2)同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BPA ＝θ，则有S 四边形ABCD ＝12×2×2×sin θ×2＋12×2×2×sin(π－2θ)＝4(sin θ＋sin θcos θ＜θ分)令y ＝sin θ＋sin θcos θ，则y ′＝cos θ＋cos θcos θ＋sin θ(－sin θ)＝2cos 2θ＋cos θ－1.(11分)若y ′＝0，cos θ＝12，θ＝π3，又θy ′＞0；θy ′＜0，(14分)所以函数y ＝sin θ＋sin θcos θ在θ＝π3处取到极大值也是最大值，故θ＝π3时，场地面积取得最大值为33(km 2)．(16分)19.(1)解：由ON →＝λOA →＋(1－λ)OB →，得BN →＝λBA →，所以B 、N 、A 三点共线．(2分)又由x ＝λx 1＋(1－λ)x 2与向量ON →＝λOA →＋(1－λ)OB →，得N 与M 的横坐标相同．(4分)对于[0,1]上的函数y ＝x 2，A (0,0)，B (1,1)，则有|MN →|＝x －x 2＋1，故|MN →|∈0，14.所以k 的取值范围是14，＋∞分)(2)证明：对于[e m ，e m ＋1]上的函数y ＝ln x ，A (e m ，m )，B (e m ＋1，m ＋1)，(8分)则直线AB 的方程为y －m ＝1e m ＋1－em (x －e m )，(10分)令h (x )＝ln x －m －1e m ＋1－em (x －e m )，其中x ∈[e m ，e m ＋1](m ∈R )，于是h ′(x )＝1x －1e m ＋1－em ，(13分)列表如下：x e m (e m ，e m ＋1－e m )e m ＋1－e m (e m ＋1－e m ，e m ＋1)e m ＋1h ′(x )＋0－h (x )0增h (e m ＋1－e m )减0则|MN →|＝h (x )，且在x ＝e m ＋1－e m 处取得最大值．又h (e m ＋1－e m )＝ln(e －1)－e －2e －1≈0.123＜18，从而命题成立．(16分)20.(1)解：当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2，n ∈N *时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2，所以a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1.综上所述，a n ＝2n －1(n ∈N *)．(3分)(2)解：当k ＝1时，若存在p 、r 使1a k 、1a p 、1a r 成等差数列，则1a r ＝2a p －1a k ＝3－2p 2p －1.因为p ≥2，所以a r ＜0，与数列{a n }为正数相矛盾，因此，当k ＝1时不存在；(5分)当k ≥2时，设a k ＝x ，a p ＝y ，a r ＝z ，则1x ＋1z ＝2y ，所以z ＝xy 2x －y，(7分)令y ＝2x －1，得z ＝xy ＝x (2x －1)，此时a k ＝x ＝2k －1，a p ＝y ＝2x －1＝2(2k －1)－1，所以p ＝2k －1，a r ＝z ＝(2k －1)(4k －3)＝2(4k 2－5k ＋2)－1，所以r ＝4k 2－5k ＋2.综上所述，当k ＝1时，不存在p 、r ；当k ≥2时，存在p ＝2k －1，r ＝4k 2－5k ＋2满足题设．(10分)(3)证明：作如下构造：an 1＝(2k ＋3)2，an 2＝(2k ＋3)(2k ＋5)，an 3＝(2k ＋5)2，其中k ∈N *，它们依次为数列{a n }中的第2k 2＋6k ＋5项，第2k 2＋8k ＋8项，第2k 2＋10k ＋13项，(12分)显然它们成等比数列，且an 1＜an 2＜an 3，an 1＋an 2＞an 3，所以它们能组成三角形．由k ∈N *的任意性，这样的三角形有无穷多个．(14分)下面用反证法证明其中任意两个三角形A 1B 1C 1和A 2B 2C 2不相似：若△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2相似，且k 1≠k 2，则(2k 1＋3)(2k 1＋5)(2k 1＋3)2＝(2k 2＋3)(2k 2＋5)(2k 2＋3)2，整理得2k 1＋52k 1＋3＝2k 2＋52k 2＋3，所以k 1＝k 2，这与条件k 1≠k 2相矛盾，因此，任意两个三角形不相似．故命题成立．(16分)【注】 1.第(2)小题当a k 不是质数时，p 、r 的解不唯一；2.第(3)小题构造的依据如下：不妨设n 1＜n 2＜n 3，且an 1、an 2、an 3符合题意，则公比q >1.因an 1＜an 2＜an 3，又an 1＋an 2＞an 3，则1＋q ＞q 2，所以1＜q ＜5＋12.因为三项均为整数，所以q an 1含平方数因子，经验证，仅含12或32时不合，所以an 1＝(2k N *)；3.第(3)小题的构造形式不唯一．南通市高三数学附加题参考答案第页(共2页)南通市2011届高三第二次调研测试数学附加题参考答案及评分标准21.A.选修41：几何证明选讲解：因为MA 为圆O 的切线，所以MA 2＝MB ·MC .又M 为PA 的中点，所以MP 2＝MB ·MC .因为∠BMP ＝∠PMC ，所以△BMP ∽△PMC .(5分)于是∠MPB ＝∠MCP .在△MCP 中，由∠MPB ＋∠MCP ＋∠BPC ＋∠BMP ＝180°，得∠MPB ＝20°.(10分)B.选修42：矩阵与变换解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1＝λ1α1，即a b c d 1－1＝－1×1－1，得－b ＝－1，－d ＝1.(5分)a ＋2b ＝12，c ＋2d ＝8，解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝2321.(10分)C.选修解：ρ22化简为ρcos θ＋ρsin θ＝4，则直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4.(4分)设点P 的坐标为(2cos α，sin α)，得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2，即d ＝|5sin (α＋φ)－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25.(8分)当sin(α＋φ)＝－1时，d max ＝22＋102.(10分)D.选修45：不等式选讲解：因为正数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，＋13b ＋2＋a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥(1＋1＋1)2，(5分)即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1，当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1.(10分)22.解：(1)，以→、DC →、DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz .则A (1,0,0)，，12，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，，14，于是DE →，14，CD 1→＝(0，－1,1)．由cos 〈DE →，CD 1→〉＝DE →·CD 1→|DE →||CD 1→|＝36.所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为36.(5分)(2)设平面CD 1O 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO →＝0，m ·CD 1→＝0，1－12y 1＝0，y 1＋z 1＝0，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m ＝(1,1,1).(7分)由D 1E ＝λEO ，则，λ2(1＋λ)DE →，λ2(1＋λ)，又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD →＝0，n ·DE →＝0，＋λy 22(1＋λ)＋z 21＋λ＝0，取x 2＝2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2,0，λ).因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m·n ＝0，得λ＝分)23.解：(1)所抛5次得分ξ的概率为P (ξ＝i )＝C i －5(i ＝5,6,7,8,9,10)，Eξ＝错误!·C i －5(2)令p n 表示恰好得到n 分的概率．不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面．因为“不出现n分”的概率是1－p n ，“恰好得到n －1分”的概率是p n －1，因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－p n ＝12p n －1，(7分)即p n －23＝－n －1n p 1－23＝12－23＝－16为首项，以－12为公比的等比数列．所以p n －23＝－－1，即p n ＝132答：恰好得到n 分的概率是132分)。

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女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动。

（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关系。

18.(2009年广东卷文)（本小题满分12分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.19.（12分）某校高三文科分为四个班．高三数学调研测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如下图所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0．05,此分数段的人数为5人．(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?(2) 求平均成绩.(3) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率．20.（1）将上表中的数据制成散点图.（2）你能从散点图中发现温度与饮料杯数近似成什么关系吗?（3）如果近似成线性关系的话，请求出回归直线方程来近似地表示这种线性关系.（4）如果某天的气温是－5℃时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数.21.（15分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；150m时的销售价格.（3）据（2）的结果估计当房屋面积为2答案一、选择题（ 10 小题，每小题 5 分） 1.C 解析：0.320.30.02-=2.D 解析：()1()10.040.96P A P A =-=-=3.B 解析：抽取的比例为301111,153,459,90181505555=⨯=⨯=⨯= 4.解析：通常把自变量x 称为解析变量,因变量y 称为预报变量.选B5.C 解析：［25，25.9］包括［25，25.3］，6；［25.3，25.6］，4；［25.6，25.9］，10；频数之和为20，频率为201402= 6.A 解析：频数为100(1013141513129)14-++++++=；频率为140.14100= 7.C8.解析: 三维柱形图中柱的高度表示图中各个频数的相对大小.选A 9.C 10.C解析: ξ服从标准正态分布(01)N ，，(|| 1.96)( 1.96 1.96)P P ξξ⇒<=-<<= (1.96)( 1.96)12( 1.96)120.0250.950.ΦΦΦ--=--=-⨯= 二、填空题（ 5 小题，每小题 5 分） 11.抽签法、随机数表法12.110 解析：不论先后，被抽取的概率都是11013.30 解析：12004014.解析: e i 恒为0，说明随机误差对y i 贡献为0. 答案:1.15.解析:当841.3>k 时,就有95 ％的把握说事件A 与B 有关,当076.2≤k 时认为没有充分的证据显示事件A 与B 是有关的. 三、解答题（ 6 小题，75 分）16.（12分）解析：从总体中抽取第1个个体时,其中的任一个体a 被抽取的概率411=p ;从总体中第2次抽取个体时正好抽到a,就是个体a 第1次未被抽到,而第2次被抽到的概率是31; 根据相互独立事件同时发生的概率公式,个体a 第2次被抽到的概率4131432=⨯=p个体a 第1次被抽到与第2次被抽到是互斥事件,根据互斥事件的加法公式,在先后抽取2个个体的过程中,个体a 被抽到的概率21414121=+=+=p p p由于a 的任意性,说明在抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等(都等于21).事实上：用简单随机抽样的方法从个体数为N 的总体中逐次抽取一个容量为n 的样本，那么每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，依次是)1(1,21,11,1----n N N N N ，且在整个抽样过程中每个个体被抽到概率都等于Nn 。

计算2124(43332721) 6.20170546460k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为 5.024k ≥，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关” 18.（12分）解析：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间，而乙班身高集中于170180: 之间。

因此乙班平均身高高于甲班;(2) 15816216316816817017117917918217010x +++++++++==甲班的样本方差为()()()()222221[(158170)16217016317016817016817010-+-+-+-+-()()()()()22222170170171170179170179170182170]+-+-+-+-+-＝57 （3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件； ()42105P A ∴== 。

19.（12分）解析:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为51000.05=人．∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为d ,由4226d ⨯+=100,解得2=d ． ∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人． …8分(2) 9805.012510.011525.010535.09520.08505.075=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯平均成绩为98分。

(3)在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0．35+0．25+0．1+0．05=0．75． 20.（13分）解析：（1）将表中的数据制成散点图如下图.（2）从散点图中发现温度与饮料杯数近似成线性相关关系.（3）利用计算机Excel 软件求出回归直线方程（用来近似地表示这种线性关系），如下图.用y ˆ=－1.6477x+57.557来近似地表示这种线性关系.回归方程y x =-1.6477+57.557（4）如果某天的气温是－5℃，用y ˆ=－1.6477x+57.557预测这天小卖部卖出热茶的杯数约为y ˆ=－1.6477×（－5）+57.557≈66.21.（15分）解析：（1）数据对应的散点图如图所示：（2）1095151==∑=i i x x ，1570)(251=-=∑=x x l i i xx ，308))((,2.2351=--==∑=y y x x l y i i i xy设所求回归直线方程为a bx y +=，则1962.01570308≈==xxxy l l b 8166.115703081092.23≈⨯-=-=x b y a 故所求回归直线方程为8166.11962.0+=x y（3）据（2），当2150x m =时，销售价格的估计值为：2466.318166.11501962.0=+⨯=y（万元）。