2011年高考全国数学试卷(新课标)-文科(含详解答案)
全国统一高考数学试卷文科新课标版答案与解析
2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•新课标）已知集合{0，1，2，3，4}，{1，3，5}，∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P的子集个数．【解答】解：∵{0，1，2，3，4}，{1，3，5}，∴∩{1，3}∴P的子集共有22=4故选：B【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n个元素，则其子集的个数是2n．2．（5分）（2011•新课标）复数=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2 D．﹣1+2i【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2用﹣1 代替即可．【解答】解：=﹣2故选C【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．3．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．3B．1 C．﹣x2+1 D．2﹣【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】常规题型．【分析】首先由函数的奇偶性排除选项A，然后根据区间（0，+∞）上11、﹣x2+1、2﹣的单调性易于选出正确答案．【解答】解：因为3是奇函数，1、﹣x2+1、2﹣均为偶函数，所以选项A错误；又因为﹣x2+1、2﹣在（0，+∞）上均为减函数，只有1在（0，+∞）上为增函数，所以选项C、D错误，只有选项B正确．故选：B．【点评】本题考查基本函数的奇偶性及单调性．4．（5分）（2011•新课标）椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得c的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据椭圆的方程=1，可得4，2，则2；则椭圆的离心率为，故选D．【点评】本题考查椭圆的基本性质：a222，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．5．（5分）（2011•新课标）执行程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120 B．720 C．1440 D．5040【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【解答】解：经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到；经过第四次循环得经过第五次循环得；输出结果此时执行输出720，故选B【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律．6．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到，故选A．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．7．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2x上，则2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】二倍角的余弦；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到θ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出θ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把θ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：θ=2，所以2θ，则2θ=22θ﹣1=2×﹣1=﹣．故选：B．【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．8．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】作图题．【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选D．【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．9．（5分）（2011•新课标）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，12，P为C的准线上一点，则△的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．48【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】数形结合法．【分析】首先设抛物线的解析式y2=2（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径2p，求出p，△的面积是与乘积一半．【解答】解：设抛物线的解析式为y2=2（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为﹣∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵⊥x轴∴212∴6又∵点P在准线上∴（）6∴S△（•）=×6×12=36故选C．【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．10．（5分）（2011•新课标）在下列区间中，函数f（x）4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】分别计算出f（0）、f（1）、f（）、f（）的值，判断它们的正负，再结合函数零点存在性定理，可以得出答案．【解答】解：∵f（0）0﹣3=﹣2＜0 f（1）1+4﹣3＞0∴根所在的区间x0∈（0，1）排除A选项又∵∴根所在的区间x0∈（0，），排除D选项最后计算出，，得出选项C符合；故选C．【点评】2.71828…是一个无理数，本题计算中要用到等的值，对计算有一定的要求．11．（5分）（2011•新课标）设函数，则f（x）（2）（2），则（）A．（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线对称B．（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线对称C．（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线对称D．（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线对称【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）（2）（2），然后求出对称轴方程，判断（x）在（0，）单调性，即可得到答案．【解答】解：因为f（x）（2）（2）（2）2x．由于2x的对称轴为π（k∈Z），所以2x的对称轴方程是：（k∈Z），所以A，C错误；2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即（k∈Z），函数（x）在（0，）单调递减，所以B错误，D正确．故选D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．12．（5分）（2011•新课标）已知函数（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）2，那么函数（x）的图象与函数的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个【考点】对数函数的图像与性质；函数的周期性．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值估算即可．【解答】解：作出两个函数的图象如上∵函数（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数∴函数（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当1时0；10时1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：A．【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•新课标）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则1．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k值．【解答】解：∵∴∵垂直∴即∴1故答案为：1【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方．14．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件则2y的最小值为﹣6．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数2y变化为﹣，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数2y，变化为﹣，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由﹣9与23的交点得到A（4，﹣5）∴4+2（﹣5）=﹣6故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．15．（5分）（2011•新课标）△中，∠120°，7，5，则△的面积为．【考点】正弦定理的应用；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】先利用余弦定理和已知条件求得，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由余弦定理可知﹣，求得﹣8或3（舍负）∴△的面积为•••×5×3×=故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法．16．（5分）（2011•新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积．【专题】计算题；压轴题．【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为：2；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形由此可以求得球心到圆锥底面的距离是，所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：．故答案为：【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•新课标）已知等比数列{}中，a1=，公比．（Ⅰ）为{}的前n项和，证明：（Ⅱ）设3a13a2+…3，求数列{}的通项公式．【考点】等比数列的前n项和．【专题】综合题．【分析】（I）根据数列{}是等比数列，a1=，公比，求出通项公式和前n项和，然后经过运算即可证明．（）根据数列{}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{}的通项公式．【解答】证明：（I）∵数列{}为等比数列，a1=，∴×=，又∵∴（）∵∴3a13a2+…3﹣33+（﹣233）+…+（﹣33）=﹣（1+2+…）=﹣∴数列{}的通项公式为：﹣【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣中，底面为平行四边形．∠60°，2，⊥底面．（Ⅰ）证明：⊥（Ⅱ）设1，求棱锥D﹣的高．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题；综合题．【分析】（Ⅰ）因为∠60°，2，由余弦定理得，利用勾股定理证明⊥，根据⊥底面，易证⊥，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证⊥；（）要求棱锥D﹣的高．只需证⊥平面，然后得平面⊥平面，作⊥于E，则⊥平面，利用勾股定理可求得的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠60°，2，由余弦定理得，从而222，故⊥又⊥底面，可得⊥所以⊥平面．故⊥．（）解：作⊥于E，已知⊥底面，则⊥，由（I）知，⊥，又∥，∴⊥．故⊥平面，⊥，则⊥平面．由题设知1，则，2．根据••，得，即棱锥D﹣的高为．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数8 20 42 22 8B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数 4 12 42 32 10（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；众数、中位数、平均数；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；综合题．【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（﹣2）=0.04，P（2）=0.54，P（4）=0.42，即X的分布列为X ﹣2 2 4P 0.04 0.54 0.42∴X的数学期望值﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系中，曲线2﹣61与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣0交与A，B两点，且⊥，求a的值．【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣0的交点A，B坐标，通过⊥建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线2﹣61与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2=（2）22，解得1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．法二：圆x2200，1有100，x2 ﹣61=0与x20是同一方程，故有﹣6，1，﹣2，即圆方程为x22﹣6x﹣21=0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）2﹣21=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x12=4﹣a，x1x2=①，由于⊥可得x1x21y2=0，又y11，y22，所以可得2x1x2（x12）2=0②由①②可得﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故﹣1．【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x），曲线（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．（）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．【解答】解：（I）．由于直线2y﹣3=0的斜率为﹣，且过点（1，1）所以解得1，1（）由（I）知f（x）=所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△的边，上的点，且不与△的顶点重合．已知的长为m，的长为n，，的长是关于x的方程x2﹣140的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠90°，且4，6，求C，B，D，E所在圆的半径．【考点】圆周角定理；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的的长为m，的长为n，，的长是关于x的方程x2﹣140的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取的中点G，的中点F，分别过G，F作，的垂线，两垂线相交于H点，连接，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接，根据题意在△和△中，××，即又∠∠，从而△∽△因此∠∠∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）4，6时，方程x2﹣140的两根为x1=2，x2=12．故2，12．取的中点G，的中点F，分别过G，F作，的垂线，两垂线相交于H点，连接．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为．由于∠90°，故∥，∥．5，（12﹣2）=5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为5【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．23．（2011•新课标）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求．【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4θ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8θ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8．所以ρ2﹣ρ1．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．24．（2011•新课标）设函数f（x）﹣3x，其中a＞0．（Ⅰ）当1时，求不等式f（x）≥32的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{≤﹣1}，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）当1时，f（x）≥32可化为﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥32的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0得﹣3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当1时，f（x）≥32可化为﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥32的解集为{≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得﹣3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{}由题设可得﹣=﹣1，故2【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．。
2011年高考数学文科试卷(全国1卷)(内含答案)(新课标卷卷)
2011年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）I ð （A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法. 【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥. (3)设向量,a b 满足||||1a b ==,12a b ⋅=-r r ,则2a b += （A（B（C（D【答案】B 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =. 解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则CD =（A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,AC BC ∴⊥BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =(A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =,在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12ON OM ==故圆N 的半径r ==,∴圆N 的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年高考新课标卷文科数学试题(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其他题为必考题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2,3,4}M =，{1,3,5}N =，P MN =，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 【答案】B 【解析】P M N =={1,3}，故P 的子集有224=个．2．复数5i12i=- A ．2i - B ．12i - C ．2i -+ D ．12i -+ 【答案】C 【解析】5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)+==-+--+． 3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+ D ．||2x y -=【答案】B【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12C D ．2【答案】D【解析】由221168x y +=可知216a =，28b =，∴2228c a b =-=，∴22212c e a ==，∴22e =． 5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是A ．120B ．720C ．1440D ．5040 【答案】B【解析】由程序框图可得，输出的123456720p =⨯⨯⨯⨯⨯=，选B6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此31()93P A ==． 7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】B【解析】由题知tan 2θ=，222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B ．8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A【答案】D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D ．9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，||AB =12，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为_____．A ．18B ．24C ．36D ．48 【答案】C【解析】设抛物线方程为22y px =，则焦点坐标为(,0)2p ，将2px =代入22y px =可得22y p =，||AB =12，即2p =12，∴p =6．点P 在准线上，到AB 的距离为p =6，所以ABP ∆面积为1612362⨯⨯=． 10．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为_____． A ．1(,0)4- B ．1(0,)4 C ．11(,)42 D ．13(,)24【答案】C【解析】因为114411()432044f e e =+⨯-=-<，112211()431022f e e =+⨯-=->，所以()43xf x e x =+-的零点所在的区间为11(,)42．11．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称【答案】D【解析】因为()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++=2sin(2)2x π+=2cos 2x ， 所以2cos 2y x =，在(0,)2π单调递减，对称轴为2x k π=，即2k x π=(k ∈Z )．12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有_____．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 【答案】A【解析】画出两个函数图象可看出交点有10个．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ．【答案】1【解析】∵+a b 与k -a b 垂直，∴(+a b )·(k -a b ) =0，化简得(1)(1)0k -⋅+=a b ，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得10⋅+≠a b ，得10k -=，即1k =． 14．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．【答案】－6【解析】画出区域图知，当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点(4，-5)时，min 6z =-．15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．153【解析】根据sin sin AB ACC B=得5353sin sin 7AB C B AC === 25311cos 1()1414C =-=， 所以sin sin[()]sin cos sin cos A B C B C C B π=-+=+3111533321421414=⨯-⨯=． 因此ABC S ∆=1133153sin 7522144AB AC A ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________． 【答案】13【解析】设球心为1O ，半径为1r ，圆锥底面圆圆心为2O ，半径为2r ，则有22123416r r ππ⨯=，即212r r =，所以1122r O O ==， 设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为1h 、2h ，则1111211232r r h r h r -==+．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．(Ⅰ)n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=；(Ⅱ)设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．【解析】（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=)21(n +++-=2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ)证明：PA BD ⊥；(Ⅱ)若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．【解析】（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =从而222BD AD AB +=，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E ．已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC ．由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC //AD ，所以BC ⊥BD ． 故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE ． 则DE ⊥平面PBC ．由题设知，PD =1，则BD =3，PB =2，根据BE ·PB =PD ·BD ，得DE =23， 即棱锥D —PBC 的高为.2319．（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表(Ⅰ)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；(Ⅱ)已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【解析】(Ⅰ)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为2280.3100+=，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．(Ⅱ)由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值94t ≥，由试验结果知，质量指标值94t ≥的频率为0．96．所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0．96． 用B 配方生产的产品平均一件的利润为1[4(2)542424] 2.68100⨯⨯-+⨯+⨯=(元)．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值． 【解析】（Ⅰ）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+故可设C 的圆心为（3，t ），则有,)22()1(32222t t +=-+解得t =1.则圆C 的半径为.3)1(322=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x（Ⅱ）设A (11,y x )，B (22,y x )，其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x 消去y ，得到方程.012)82(222=+-+-+a a x a x由已知可得，判别式.0416562>--=∆a a因此，,441656)28(22,1a a a x --±-=从而2120,422121+-=-=+a a x x a x x①由于OA ⊥OB ，可得,02121=+y y x x 又,,2211a x y a x y +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x②由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a21．（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．(Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-． 【解析】（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x=++，所以 )1ln 2(111ln )(22xx x x x x x f -+-=-=考虑函数()2ln h x x =+xx 12-(0)x >，则22222)1()1(22)(xx x x x x x h --=---=' 所以当1≠x 时，,0)1(,0)(=<'h x h 而故 当)1,0(∈x 时，;0)(11,0)(2>->x h x x h 可得当),1(+∞∈x 时，;0)(11,0)(2>-<x h xx h 可得从而当.1ln )(,01ln )(,1,0->>--≠>x xx f x x x f x x 即且请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．EB(Ⅰ)证明：,,,C B D E 四点共圆；(Ⅱ)若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．【解析】(Ⅰ)连结DE ，根据题意在ADE ∆和ACB ∆中，AD AB mn AE AC ⨯==⨯，即AD AEAC AB=． 又DAE CAB ∠=∠，从而ADE ∆∽ACB ∆． 因此ADE ACB ∠=∠． 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(Ⅱ)4m =，6n =时，方程2140x x mn -+=的两根为12x =，212x =． 故2AD =，12AB =．取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH ． 因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ．由于90A ∠=︒，故//GH AB ，//HF AC ，从而5HF AG ==，()112252DF =-=． 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ． (Ⅰ)求2C 的方程；ADB C GEM(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .【解析】(Ⅰ)设(),P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩． 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)．(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=． 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=，所以12AB ρρ=-=24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． (Ⅰ)当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集．(Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为｛x |1}x ≤-，求a 的值． 【解析】(Ⅰ)当1a =时，()32f x x ≥+可化为12x -≥由此可得3x ≥或1x ≤-，故不等式()32f x x ≥+的解集为{3x x ≥或}1x ≤-． (Ⅱ)由()0f x ≤得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组 30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x aa x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩．由于0a >，所以不等式组的解集为2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎭⎩．由题设可得12a-=-，故2a =．。
2011年高考试题——数学文(全国卷)解析版1
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）（A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=(2)函数(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法. 【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数(0)y x x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥. (3)设向量,a b 满足||||1a b ==,12a b ⋅=-,则2a b += （A 2（B 3 （C 5 （D 7【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法. 【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=,所以23a b += (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =. 解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则CD =（A ） 2 （B（C（D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形. 【解析】因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,AC BC ∴⊥BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =(A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则22(4)(1)a a a =-+-,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出21212122[()4]2(100417)8C C a a a a =+-=⨯-⨯=.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离23OM =,在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=, ∴132ON OM ==,故圆N 的半径2213r R ON =-=,∴圆N 的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年高考新课标卷文科数学试题(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其他题为必考题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2,3,4}M =,{1,3,5}N =，P MN =,则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 【答案】B 【解析】P M N =={1,3}，故P 的子集有224=个．2．复数5i12i=- A ．2i - B ．12i - C ．2i -+ D ．12i -+ 【答案】C 【解析】5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)+==-+--+． 3．下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=【答案】B【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数,||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12C D ．2【答案】D【解析】由221168x y +=可知216a =，28b =，∴2228c a b =-=，∴22212c e a ==,∴22e =． 5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6,那么输出的p 是A ．120B ．720C ．1440D ．5040 【答案】B【解析】由程序框图可得，输出的123456720p =⨯⨯⨯⨯⨯=，选B6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3,甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1,乙2;甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2;甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2;甲3,乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组"，其中事件A 有“甲1，乙1;甲2，乙2；甲3，乙3”,共3个．因此31()93P A ==． 7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】B【解析】由题知tan 2θ=，222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++,选B ．8．在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A【答案】D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D ．9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点,||AB =12，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为_____．A ．18B ．24C ．36D ．48 【答案】C【解析】设抛物线方程为22y px =,则焦点坐标为(,0)2p ，将2px =代入22y px =可得22y p =，||AB =12，即2p =12，∴p =6．点P 在准线上，到AB 的距离为p =6，所以ABP ∆面积为1612362⨯⨯=． 10．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为_____． A ．1(,0)4- B ．1(0,)4 C ．11(,)42 D ．13(,)24【答案】C【解析】因为114411()432044f e e =+⨯-=-<,112211()431022f e e =+⨯-=->,所以()43x f x e x =+-的零点所在的区间为11(,)42．11．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称【答案】D【解析】因为()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++=2sin(2)2x π+=2cos 2x ， 所以2cos 2y x =，在(0,)2π单调递减，对称轴为2x k π=，即2k x π=(k ∈Z ）．12．已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有_____．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 【答案】A【解析】画出两个函数图象可看出交点有10个．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题—第21题为必考题,每个试题考生都必须做答．第22题—第24题为选考题,考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ．【答案】1【解析】∵+a b 与k -a b 垂直，∴(+a b )·(k -a b ) =0，化简得(1)(1)0k -⋅+=a b ,根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得10⋅+≠a b ，得10k -=，即1k =．14．若变量x ,y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．【答案】－6【解析】画出区域图知，当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点(4，—5)时，min 6z =-．15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．153【解析】根据sin sin AB ACC B=得5353sin sin 7AB C B AC === 25311cos 1()1414C =-=， 所以sin sin[()]sin cos sin cos A B C B C C B π=-+=+3111533321421414=⨯-⨯=． 因此ABC S ∆=1133153sin 7522144AB AC A ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________． 【答案】13【解析】设球心为1O ,半径为1r ,圆锥底面圆圆心为2O ,半径为2r ，则有22123416r r ππ⨯=，即212r r =，所以1122r O O ==， 设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为1h 、2h ，则1111211232r r h r h r -==+．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =,公比13q =． （Ⅰ)n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=；（Ⅱ)设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．【解析】(Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --(Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=)21(n +++-=2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n18．（本小题满分12分）如图,四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =,PD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ)证明：PA BD ⊥;(Ⅱ)若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．【解析】（Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =从而222BD AD AB +=，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD(Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E ．已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC ．由（Ⅰ)知BD ⊥AD ，又BC //AD ，所以BC ⊥BD ． 故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE ． 则DE ⊥平面PBC ．由题设知，PD =1，则BD =3，PB =2，根据BE ·PB =PD ·BD ，得DE =23， 即棱锥D —PBC 的高为.2319．（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验,各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表(Ⅰ)分别估计用A 配方,B 配方生产的产品的优质品率;（Ⅱ）已知用B 配方生产的一种产品利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【解析】（Ⅰ)由试验结果知,用A 配方生产的产品中优质品的频率为2280.3100+=，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3． 由试验结果知,用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．(Ⅱ）由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值94t ≥，由试验结果知，质量指标值94t ≥的频率为0．96．所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0．96． 用B 配方生产的产品平均一件的利润为1[4(2)542424] 2.68100⨯⨯-+⨯+⨯=（元）．20．(本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． (Ⅰ)求圆C 的方程;（Ⅱ)若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点,且OA OB ⊥,求a 的值． 【解析】（Ⅰ）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为（0,1)，与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+故可设C 的圆心为（3，t ）,则有,)22()1(32222t t +=-+解得t =1.则圆C 的半径为.3)1(322=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x（Ⅱ）设A (11,y x )，B (22,y x )，其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x 消去y,得到方程.012)82(222=+-+-+a a x a x由已知可得，判别式.0416562>--=∆a a因此，,441656)28(22,1a a a x --±-=从而2120,422121+-=-=+a a x x a x x①由于OA ⊥OB ，可得,02121=+y y x x 又,,2211a x y a x y +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x②由①,②得1-=a ,满足,0>∆故.1-=a21．(本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ)求a ,b 的值；(Ⅱ）证明：当0x >,且1x ≠时，ln ()1xf x x >-． 【解析】（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =．(Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x=++，所以 )1ln 2(111ln )(22xx x x x x x f -+-=-=考虑函数()2ln h x x =+xx 12-(0)x >,则22222)1()1(22)(xx x x x x x h --=---=' 所以当1≠x 时，,0)1(,0)(=<'h x h 而故 当)1,0(∈x 时，;0)(11,0)(2>->x h x x h 可得当),1(+∞∈x 时，;0)(11,0)(2>-<x h xx h 可得从而当.1ln )(,01ln )(,1,0->>--≠>x xx f x x x f x x 即且请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ,AC 上的点,且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ,AD ,AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．EB(Ⅰ)证明：,,,C B D E 四点共圆；(Ⅱ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．【解析】(Ⅰ)连结DE ，根据题意在ADE ∆和ACB ∆中，AD AB mn AE AC ⨯==⨯，即AD AEAC AB=． 又DAE CAB ∠=∠,从而ADE ∆∽ACB ∆． 因此ADE ACB ∠=∠． 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(Ⅱ)4m =,6n =时，方程2140x x mn -+=的两根为12x =，212x =． 故2AD =，12AB =．取CE 的中点G ,DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点,连结DH ． 因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ．由于90A ∠=︒，故//GH AB ，//HF AC ，从而5HF AG ==，()112252DF =-=． 故C ，B ,D ，E 四点所在圆的半径为23．(本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点,P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ． （Ⅰ）求2C 的方程；ADB C GEM（Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ,求||AB .【解析】(Ⅰ)设(),P x y ,则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩． 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数）．（Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=． 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=，所以12AB ρρ=-=24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． (Ⅰ)当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为｛x |1}x ≤-，求a 的值． 【解析】（Ⅰ)当1a =时，()32f x x ≥+可化为12x -≥由此可得3x ≥或1x ≤-，故不等式()32f x x ≥+的解集为{3x x ≥或}1x ≤-． (Ⅱ）由()0f x ≤得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组 30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x aa x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩．由于0a >，所以不等式组的解集为2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎭⎩．由题设可得12a-=-,故2a =．。
2011年高考试题与答案(全国卷文科数学)答案与解析
2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修II ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1．设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=⋂（M N ）ðA ．{}12，B ．{}23，C ．{}2，4D ．{}1，42．函数2(0)y x x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈ B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈D ．24(0)y x x =≥3．权向量a,b 满足1||||1,2a b a b ==⋅=-,则2a b +=A ．2B ．3C ．5D ．74．若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y -+的最小值为A ．17B ．14C ．5D ．3 5．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b >+ B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差为22,24k k d S S +=-=，则k=A ．8B ．7C ．6D ．57．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．98．已知二面角l αβ--，点,,A AC l α∈⊥C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=A ．2B ．3C ．2D ．19．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A ．12种 B ．24种 C ．30种 D ．36种 10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1211．设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =A ．4B ．42C ．8D ．8212．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060，二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 A ．7π B ．9π C ．11π D ．13π第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011·新课标全国卷(文科数学)高考卷
2011·课标全国卷(课标文数)课标文数1.A1[2011·课标全国卷] 已知集合M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 课标文数 1.A1[2011·课标全国卷] B 【解析】 因为M ＝{}0，1，2，3，4，N ＝{}1，3，5，所以P ＝M ∩N ＝{}1，3，所以集合P 的子集共有，{}1，{}3，{}1，34个．课标文数2.L4[2011·课标全国卷] 复数5i1－2i＝( )A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i课标文数2.L4[2011·课标全国卷] C 【解析】5i1－2i ＝5i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5i －105＝－2＋i.课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x | 课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝⎛⎭⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数4.H5[2011·课标全国卷] 椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13B.12C.33D.22课标文数4.H5[2011·课标全国卷] D 【解析】 由题意a ＝4，c 2＝8，∴c ＝22，所以离心率为e ＝c a ＝224＝22.课标文数5.L1[2011·课标全国卷] 执行下面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )图1－1A ．120B ．720C ．1440D ．5040 课标文数5.L1[2011·课标全国卷] B 【解析】 k ＝1时，p ＝1； k ＝2时，p ＝1×2＝2； k ＝3时，p ＝2×3＝6； k ＝4时，p ＝6×4＝24； k ＝5时，p ＝24×5＝120； k ＝6时，p ＝120×6＝720.课标文数6.G2，K2[2011·课标全国卷] 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34课标文数6.G2，K2[2011·课标全国卷] A 【解析】 甲、乙两名同学参加小组的情况共有9种，参加同一小组的情况有3种，所以参加同一小组的概率为39＝13.课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a ，2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.课标文数8.G2[2011·课标全国卷] 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图1－2所示，则相应的侧视图可以为( )图1－2 图1－3 课标文数8.G2[2011·课标全国卷] D 【解析】 由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，如图，故侧视图选D.图1－4课标文数9.H7[2011·课标全国卷] 已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48 课标文数9.H7[2011·课标全国卷] C 【解析】 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p2，－p ， 所以||AB ＝2p ＝12，所以p ＝6.又点P 到AB 边的距离为p ＝6， 所以S △ABP ＝12×12×6＝36.课标文数10.B9[2011·课标全国卷] 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0B.⎝⎛⎭⎫0，14C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎝⎛⎭⎫12，34课标文数10.B9[2011·课标全国卷] C 【解析】 因为f ⎝⎛⎭⎫14＝e 14－2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 12－1>0， 所以f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12<0，又因为函数y ＝e x 是单调增函数，y ＝4x －3也是单调增函数， 所以函数f (x )＝e x ＋4x －3是单调增函数， 所以函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点在⎝⎛⎭⎫14，12内．课标文数11.C5，C4[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( )A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称课标文数11.C5，C4[2011·课标全国卷] D 【解析】 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos π＝－2，是最小值．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] A 【解析】 由题意作出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5课标文数13.F3[2011·课标全国卷] 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________．课标文数13.F3[2011·课标全国卷] 1 【解析】 由题意，得(a ＋b )·(k a －b )＝k ||a 2－a ·b ＋k a ·b －||b 2＝k ＋(k －1)a ·b －1＝(k －1)(1＋a ·b )＝0，因为a 与b 不共线，所以a ·b ≠－1，所以k －1＝0， 解得k ＝1.课标文数14.E5[2011·课标全国卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y的最小值为________________________________________________________________________．课标文数14.E5[2011·课标全国卷] －6 【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3，y ＝x －9 解得A (4，－5)． 当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A (4，－5)代入， 得z ＝4＋2×(－5)＝－6.图1－6课标文数15.C8[2011·课标全国卷] △ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．课标文数15.C8[2011·课标全国卷] 1534 【解析】 解法1：由正弦定理，有AC sin B ＝ABsin C，即7sin120°＝5sin C，所以sin C ＝5sin120°7＝5314，所以cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫53142＝1114， 又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝60°， 所以sin A ＝sin(60°－C )＝sin60°cos C －cos60°sin C ＝32×1114－12×5314＝3314， 所以S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×5×7×3314＝1534.解法2：设BC ＝x (x >0)，由余弦定理，有 cos120°＝52＋x 2－7210x ，整理得x 2＋5x －24＝0，解得x ＝3，或x ＝－8(舍去)，即BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×sin120°＝12×5×3×32＝1534.课标文数16.G8[2011·课标全国卷] 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．课标文数16.G8[2011·课标全国卷] 13 【解析】 如图，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r ，则球面面积为4πR 2，圆锥底面面积为πr 2，由题意πr 2＝1216πR 2，所以r ＝32R ，所以OO 1＝OA 2－O 1A 2＝R 2－34R 2＝12R ，所以SO 1＝R ＋12R ＝32R ， S 1O 1＝R －12R ＝12R ，所以S 1O 1SO 1＝R23R 2＝13.图1－7课标文数17.D2，D3[2011·课标全国卷] 已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．课标文数17.D2，D3[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n （n ＋1）2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n （n ＋1）2.图1－8课标文数18.G5，G11[2011·课标全国卷] 如图1－8，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：P A ⊥BD ；(2)设PD ＝AD ＝1，求棱锥D －PBC 的高． 课标文数18.G5，G11[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)证明：因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD . 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD ， 所以BD ⊥平面P AD ，故P A ⊥BD . (2)如图，作DE ⊥PB ，垂足为E . 已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC .由(1)知BD ⊥AD ，又BC ∥AD ，所以BC ⊥BD .图1－9故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE . 则DE ⊥平面PBC .由题设知PD ＝1，则BD ＝3，PB ＝2. 根据DE ·PB ＝PD ·BD 得DE ＝32. 即棱锥D －PBC 的高为32. 课标文数19.I2[2011·课标全国卷] 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值 分组 [90，94)[94，98) [98，102)[102，106)[106，110]频数 82042228B 配方的频数分布表(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，t <942，94≤t <102，4，t ≥102.估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．课标文数19.I2[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t ≥94，由试验结果知，质量指标值t ≥94的频率为0.96.所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B 配方生产的产品平均一件的利润为1100[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．课标文数20.H3，H4[2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 课标文数20.H3，H4[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋（t －1）2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，（x －3）2＋（y －1）2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.从而 x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.课标文数21.B12[2011·课标全国卷] 已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln xx －1.课标文数21.B12[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x －ln x （x ＋1）2－bx 2.由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1，1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f ′（1）＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12， 解得a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x ，所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝⎛⎭⎫2ln x －x 2－1x . 考虑函数h (x )＝2ln x －x 2－1x (x >0)，则h ′(x )＝2x －2x 2－（x 2－1）x 2＝－（x －1）2x 2.所以当x ≠1时，h ′(x )<0，而h (1)＝0，故当x ∈(0，1)时，h (x )>0，可得11－x 2h (x )>0.当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，可得11－x 2h (x )>0. 从而当x >0，且x ≠1时，f (x )－ln xx －1>0， 即f (x )>ln xx －1.课标文数22.N1[2011·课标全国卷] 如图1－10，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．图1－10已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 课标文数22.N1[2011·课标全国卷]图1－11【解答】 (1)证明：连结DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ， 即AD AC ＝AEAB，又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB ，即∠ACB 与∠EDB 互补，所以∠CED 与∠DBC 互补， 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC ，从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.课标文数23.N3[2011·课标全国卷] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数) M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的参数方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.课标文数23.N3[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α，(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.课标文数24.N4[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．课标文数24.N4[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1，故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2. 因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－a 2. 由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2.。
2011年高考全国卷文科数学解析版
2011年高考(全国卷)文科数学解析版第Ⅰ卷一、选择题（1）设集合{}1,2,3,4U =，{}1,2,3M =，{}2,3,4N =。
则()=U C M N（A ）{}1,2 （B ）{}2,3 （C ）{}2,4 （D ）{}1,4 [答案]（D ）[解析]依题意知答集中的元素不在集合M N 中，2M N ∈ ，∴排出（A ）、（B ）、（C ），故选（D ）。
（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2()4x y x =≥0 （C ）()24y x x R =∈ （D ）24()y x x =≥0[答案]（B ）[解析]依题意知原函数的值域不会是负数，即反函数的定义域是x ≥0，∴排出（A ）、（C ），又点()1,2在原函数上，∴点()2,1必在反函数上，再排出（D ），故选（B ）（3）设向量a 、b 满足1a b == ，12a b ⋅=- ,则2a b +=（A（B（C（D[答案]（B ）[解析]运用公式得：()22222222()(2)2244a b a ba b a b a b a b +=+=++⋅=++⋅1423=+-=2a b ∴+=，故选（B ）（4）若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3[答案]（C ）[解析]（如图）显然当目标函数23z x y =+过直线1x =与32x y -=-的交点(1，1) 时取得最小值5，故选（C ）（5）下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b >+ （B ）1a b >- （C ）22a b > （D ）33a b >[答案]（A ）[解析] 1a b b a b >+>⇒> ，而反之不成立，故选（A ）（6）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5[答案]（D ）[解析] 21211242422241112115k k k k k k S S a a a a k k +++++-=⇒+=⇒+=⇒=⇒+=⇒=故选（D ）（7）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 [答案]（C ）[解析]因为，()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合 所以，函数()cos (0)f x x ωω=>的周期的整数倍是3π即，2()63k k Z k ππωω⋅=∈⇒=，又0ω>，1k ∴=时，ω取得最小值6。
2011年全国卷高考文科数学真题及答案
2011年全国卷高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1．设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=⋂（M N ）A ．{}12，B ．{}23，C ．{}2，4D ．{}1，42．函数0)y x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈ B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈D ．24(0)y x x =≥3．权向量a,b 满足1||||1,2a b a b ==⋅=-,则2a b +=ABCD4．若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y -+的最小值为A ．17B ．14C ．5D ．3 5．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b >+ B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差为22,24k k d S S +=-=，则k=A ．8B ．7C ．6D ．57．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．98．已知二面角l αβ--，点,,A AC l α∈⊥C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=A ．2B C D ．19．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A ．12种 B ．24种 C ．30种 D ．36种 10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1211．设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =A ．4B ．C ．8D ．12．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060，二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 A ．7π B ．9π C ．11π D ．13π第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
年高考数学文科试卷(全国1卷)(内含答案)(新课标卷卷)(可编辑修改word版)
23 5 ⎩21一、选择题2011 年普通高等学校招生全国统一考试(1)设集合 U= {1, 2, 3, 4} , M = {1, 2, 3}, N = {2, 3, 4}, 则ð（U MI N ）=（A ） {1，2} 【答案】D（B ） {2，3} （C ） {2，4} （D ） {1，4}【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】Q M I N = {2, 3},∴ðU (M I N ) = {1, 4}(2) 函数 y = 2 x (x ≥ 0) 的反函数为（A ） y =x 24(x ∈ R )（B ）y = x 24(x ≥ 0)（C ） y = 4x 2 (x ∈ R )（D ） y = 4x 2 (x ≥ 0)【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.y 2 【解析】由原函数反解得 x =,又原函数的值域为 y ≥ 0 ,所以函数 y = 2 4x (x ≥ 0)的反函数为 y = x (x ≥ 0) .4r r 1(3)设向量 a , b 满足| a |=| b |= 1, a ⋅ b = - 2,则 a + 2b =（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.r r r 【解析】 2 2r r u r r r 2 | a + 2b | =| a | +4a ⋅ b + 4| b | = 1+ 4 ⨯(-⎧x + y ≤ 6 ⎪) + 4 = 3 ,所以 a + 2b = 2 (4) 若变量 x ，y 满足约束条件⎨x - 3y ≤ -2 ，则 z =2x + 3y 的最小值为⎪x ≥ 1（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.73AlDCB32【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线 z =2x + 3y 过直线 x=1 与 x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为 5.(5) 下面四个条件中，使a > b 成立的充分而不必要的条件是（A ） a ＞b +1（B ） a ＞b -1 （C ） a 2＞b 2 （D ） a 3＞b 3【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题 P ,使 P ⇒ a > b ,且a > b 推不出 P ,逐项验证知可选 A. (6) 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1 = 1，公差d = 2 ， S k +2 - S k = 24 ，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一S k +2 - S k= [(k + 2) ⨯1+ (k + 2)(k +1) ⨯ 2] -[k ⨯1+ k (k -1)⨯ 2] = 4k + 4 = 24 ，解得k = 5 . 2 2 解法二: S k +2 - S k = a k +2 + a k +1 = [1+ (k +1) ⨯ 2] + (1+ k ⨯ 2) = 4k + 4 = 24 ，解得k = 5 .(7) 设函数 f (x ) = cosx (> 0) ，将 y = f (x ) 的图像向右平移个单位长度后，所3得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A ） 13（B ） 3 （C ） 6 （D ） 9【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将 y = f (x ) 的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，32说明了 3 是此函数周期的整数倍,得 ⨯ k = 3(k ∈ Z ) ,解得= 6k ,又> 0 ,令k = 1 ,得min= 6 .(8) 已知直二面角- l - ,点 A ∈， AC ⊥ l , C 为垂足, B ∈， BD ⊥ l , D 为垂足,若 AB = 2, AC = BD = 1，则CD =（A ） 2（B ） （C ） （D ）1【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形. 【解析】因为- l - 是直二面角, AC ⊥ l ,∴ AC ⊥ 平面,∴ AC ⊥ BC3 2 (a - 4)2 + (a -1)2 2⨯(100 - 4 ⨯17) 4∴ BC = ,又 BD ⊥ l ,∴CD =(9) 4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有(A) 12 种 (B) 24 种 (C) 30 种 (D)36 种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出 2 人选修课程甲有C 2= 6 种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选 1门课程有2 ⨯ 2 种选法，根据分步计数原理，有6 ⨯ 4 = 24 种选法.(10) 设 f (x ) 是周期为 2 的奇函数，当0 ≤ x ≤ 1时， f (x ) = 2x (1- x ) ,则 f (- 5) =2(A) - 1 2 【答案】A(B) - 1 4 (C) 1 4 (D) 12 【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量- 5转化到区间[0,1]上进行求值.2 【 解 析 】 由 f (x ) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 ,利 用 周 期 性 和 奇 偶 性 得 : f (- 5) = f (- 5 + 2) = f (- 1 ) = - f ( 1 ) = -2 ⨯ 1 ⨯(1- 1 ) = - 12 2 2 2 2 2 2(11) 设两圆C 1 、C 2 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离 C 1C 2 =(A)4 (B) 4 (C)8(D) 8【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线 y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为 (a , a )(a > 0) ,则a = ,即 a 2 -10a +17 = 0 ,所 以 由 两 点 间 的 距 离 公 式 可 求 出C 1C 2 = = = 8 .(12) 已知平面α截一球面得圆 M ，过圆心 M 且与α成600 二面角的平面β截该球面得圆 N .若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的面积为(A) 7(B) 9(C )11 (D )13【答案】D222[(a + a )2 - 4a a ] 1 2 1 213 5 )【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质. 【解析】如图所示,由圆 M 的面积为 4知球心O 到圆 M 的距 离 OM = 2 3 ,在 Rt ∆OMN 中 , ∠OMN = 30︒ , ∴ ON = 1OM = 2 ,故圆 N 的半径r = = ,∴圆 N的面积为S =r 2 = 13.第Ⅱ卷注意事项：1 答题前，考生先在答题卡上用直径 0．5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年全国高考文科数学试题及答案-全国
合，则的最小值等于
A． B． C． D． 8．已知二面角，点C为垂足，点，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=
A．2 B． C． D．1 9．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲
的不同选法共有 A．12种 B．24种 C．30种 D．36种 10．设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则= A．- B． C． D． 11．设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离= A．4 B． C．8 D． 12．已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成，二面角的平面截该球面
…………3分
解得 …………6分 当
当 …………10分 18．解：
（I）由正弦定理得 …………3分 由余弦定理得
故 …………6分 （II）
…………8分 故
…………12分 19．解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买； E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。 （I） …………3分
① 设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线为的方程为
② 由①、②得的交点为。 …………9分 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|， 由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上
…………12分
作垂足为F，则SF平面ABCD，
作，垂足为G，则FG=DC=1。 连结SG，则， 又， 故平面SFG，平面SBC平面SFG。 …………9分 作，H为垂足，则平面SBC。 ，即F到平面SBC的距离为 由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有 设AB与平面SBC所成的角为α， 则 …………12分 解法二： 以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标
2011年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)解析版
2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）解析版参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合{1U =，2，3，4}，{1M =，2，3}，{2N =，3，4}，则()(U MN =ð)A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{2，4}D ．{1，4}【考点】1H ：交、并、补集的混合运算 【专题】11：计算题【分析】先根据交集的定义求出MN ，再依据补集的定义求出()U MN ð．【解答】解：{1M =，2，3}，{2N =，3，4}，{2MN ∴=，3}，则(){1U MN =ð，4}，故选：D ．【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法．2．（5分）函数0)y x =…的反函数为( ) A ．2()4xy x R =∈B ．2(0)4x y x =…C ．24()y x x R =∈D ．24(0)y x x =…【考点】4R ：反函数 【专题】11：计算题【分析】由原函数的解析式解出自变量x 的解析式，再把x 和y 交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）． 【解答】解：20)y x x =…，24y x ∴=，0y …，故反函数为2(0)4xy x =…．故选：B ．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）设向量a 、b 满足||||1a b ==，12a b =-，|2|(a b += )A． BC ．D．【考点】91：向量的概念与向量的模；9O ：平面向量数量积的性质及其运算 【专题】11：计算题【分析】由222|2|(2)44a b a b a a b b +=+=++，代入已知可求 【解答】解：||||1a b ==，12ab =-，222|2|(2)44124a b a b a a b b +=+=++=-+故选：B ．【点评】本题主要考查了向量的数量积 性质的基本应用，属于基础试题4．（5分）若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +<⎧⎪--⎨⎪⎩……，则23z x y =+的最小值为( )A ．17B ．14C ．5D ．3【考点】7C ：简单线性规划 【专题】31：数形结合【分析】我们先画出满足约束条件6321x y x y x +<⎧⎪--⎨⎪⎩……的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值． 【解答】解：约束条件6321x y x y x +<⎧⎪--⎨⎪⎩……的平面区域如图所示：由图可知，当1x =，1y =时，目标函数23z x y =+有最小值为5 故选：C ．【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键．5．（5分）下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是( ) A ．1a b >+B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件 【专题】5L ：简易逻辑【分析】利用不等式的性质得到1a b a b >+⇒>；反之，通过举反例判断出a b >推不出1a b >+；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：1a b a b >+⇒>；反之，例如2a =，1b =满足a b >，但1a b =+即a b >推不出1a b >+， 故1a b >+是a b >成立的充分而不必要的条件． 故选：A ．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．6．（5分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则(k =) A ．8B ．7C ．6D ．5【考点】85：等差数列的前n 项和 【专题】11：计算题【分析】先由等差数列前n 项和公式求得2k S +，k S ，将224k k S S +-=转化为关于k 的方程求解．【解答】解：根据题意：22(2)k S k +=+，2k S k = 224k k S S +∴-=转化为：22(2)24k k +-= 5k ∴=故选：D ．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．7．（5分）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A ．13B ．3C ．6D ．9【考点】HK ：由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式 【专题】56：三角函数的求值 【分析】函数图象平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果． 【解答】解：()f x 的周期2T πω=，函数图象平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以23kππω=，k Z ∈．令1k =，可得6ω=．故选：C ．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．8．（5分）已知直二面角l αβ--，点A α∈，AC l ⊥，C 为垂足，点B β∈，BD l ⊥，D 为垂足，若2AB =，1AC BD ==，则(CD = )A ．2B CD ．1【考点】MK ：点、线、面间的距离计算 【专题】11：计算题【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得AC CB ⊥，ACB ∆为直角三角形，利用勾股定理可得BC 的值；进而在Rt BCD ∆中，由勾股定理可得CD 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，直二面角l αβ--，点A α∈，AC l ⊥，可得AC ⊥面β， 则AC CB ⊥，ACB ∆为Rt △，且2AB =，1AC =，由勾股定理可得，BC在Rt BCD ∆中，BC 1BD =，由勾股定理可得，CD =； 故选：C ．【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( ) A ．12种B ．24种C ．30种D ．36种【考点】3D ：计数原理的应用 【专题】11：计算题【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有24C 种结果，余下的两个人各有两种选法，共有22⨯种结果，根据分步计数原理得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有246C =种结果， ∴余下的两个人各有两种选法，共有224⨯=种结果，根据分步计数原理知共有6424⨯=种结果 故选：B ．【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果．10．（5分）设()f x 是周期为2的奇函数，当01x 剟时，()2(1)f x x x =-，则5()(2f -=) A ．12-B ．14-C ．14D ．12【考点】3I ：奇函数、偶函数；3Q ：函数的周期性 【专题】11：计算题【分析】由题意得 51()(22f f -=- 1)()2f =-，代入已知条件进行运算．【解答】解：()f x 是周期为2的奇函数，当01x 剟时，()2(1)f x x x =-， ∴51()(22f f -=- 11)()222f =-=-⨯1(12- 1)2=-，故选：A ．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．11．（5分）设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离12||(C C =)A ．4B ．C ．8D ．【考点】1J ：圆的标准方程 【专题】5B ：直线与圆【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为(,)a a ，(,)b b ，利用条件可得a 和b 分别为210170x x -+= 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离212||2()C C a b -的值．【解答】解：两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，故圆在第一象限内， 设两个圆的圆心的坐标分别为(,)a a ，(,)b b ，由于两圆都过点(4,1)，||a ，||b =， 故a 和b 分别为222(4)(1)x x x -+-= 的两个实数根，即a 和b 分别为210170x x -+= 的两个实数根，10a b ∴+=，17ab =，22()()432a b a b ab ∴-=+-=，∴两圆心的距离212||()8C C a b -=，故选：C ．【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题．12．（5分）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60︒二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π【考点】MJ ：二面角的平面角及求法 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】先求出圆M 的半径，然后根据勾股定理求出求出OM 的长，找出二面角的平面角，从而求出ON 的长，最后利用垂径定理即可求出圆N 的半径，从而求出面积． 【解答】解：圆M 的面积为4π∴圆M 的半径为2根据勾股定理可知OM =过圆心M 且与α成60︒二面角的平面β截该球面得圆N30OMN ∴∠=︒，在直角三角形OMN 中，ON∴圆N 则圆的面积为13π 故选：D ．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）10(1)x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为： 0 ． 【考点】DA ：二项式定理 【专题】11：计算题【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数分别取1；9求出展开式的x 的系数与9x 的系数；求出两个系数的差．【解答】解：展开式的通项为110(1)r r rr T C x +=- 所以展开式的x 的系数10-9x 的系数10-x 的系数与9x 的系数之差为(10)(10)0---=故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5分）已知3(,)2a ππ∈，tan 2α=，则cos α= ． 【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系 【专题】11：计算题【分析】先利用α的范围确定cos α的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cos α的值．【解答】解：3(,)2a ππ∈， cos 0α∴<cos α∴==故答案为：【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号．15．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为23． 【考点】LM ：异面直线及其所成的角【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想【分析】根据题意知//AD BC ，DAE ∴∠就是异面直线AE 与BC 所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE ，设2AD = 易知//AD BC ，DAE ∴∠就是异面直线AE 与BC 所成角，在RtADE ∆中，由于DE =，2AD =，可得3AE = 2cos 3AD DAE AE ∴∠==，故答案为：23．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．16．（5分）已知1F 、2F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2||AF = 6 ． 【考点】KC ：双曲线的性质 【专题】16：压轴题【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径． 【解答】解：不妨设A 在双曲线的右支上AM 为12F AF ∠的平分线∴1122||||82||||4AF F M AF MF === 又12||||26AF AF a -== 解得2||6AF = 故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知26a =，13630a a +=，求n a 和n S ． 【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n 项和 【专题】54：等差数列与等比数列【分析】设出等比数列的公比为q ，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n 项和的公式即可． 【解答】解：设{}n a 的公比为q ，由题意得： 12116630a q a a q =⎧⎨+=⎩， 解得：132a q =⎧⎨=⎩或123a q =⎧⎨=⎩，当13a =，2q =时：132n n a -=⨯，3(21)n n S =⨯-； 当12a =，3q =时：123n n a -=⨯，31n n S =-．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n 项和的公式化简求值，是一道基础题．18．（12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin sin sin a A c C C b B +=，（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若75A =︒，2b =，求a ，c ． 【考点】HU ：解三角形 【专题】11：计算题【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cos B 的值，进而求得B ．（Ⅱ）利用两角和公式先求得sin A 的值，进而利用正弦定理分别求得a 和c ． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得222a c b +=， 由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，故cos B =45B =︒（Ⅱ）sin sin(3045)sin30cos45cos30sin 45A =︒+︒=︒︒+︒︒故sin 1sin A a b B =⨯==sin2sinCc bB∴=⨯==【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【考点】5C：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型【专题】5I：概率与统计【分析】()I设该车主购买乙种保险的概率为P，由相互独立事件概率公式可得(10.5)0.3P-=，解可得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．()II该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果．【解答】解：()I设该车主购买乙种保险的概率为p，根据题意可得(10.5)0.3p⨯-=，解可得0.6p=，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(10.5)(10.6)0.2--=，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率10.20.8-=()II每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率1230.20.80.384P C=⨯⨯=．【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目．20．（12分）如图，四棱锥S ABCD-中，//AB CD，BC CD⊥，侧面SAB为等边三角形，2AB BC==，1CD SD==．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW ：直线与平面垂直；MI ：直线与平面所成的角 【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD 垂直于面SAB 中两条相交的直线SA ，SB ；在证明SD 与SA ，SB 的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB 与平面S B C 所成的角的大小即利用平面S B C 的法向量n A B 与间的夹角关系即可，当n AB 与间的夹角为锐角时，所求的角即为它的余角；当n AB 与间的夹角为钝角时，所求的角为,2n AB π<>-【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD 中， //AB CD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，1CD =AD ∴==侧面SAB 为等边三角形，2AB = 2SA ∴= 1SD =222AD SA SD ∴=+ SD SA ∴⊥同理：SD SB ⊥ SASB S =，SA ，SB ⊂面SABSD ∴⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则(2A ，1-，0)，(2B ，1，0)，(0C ，1，0)，作出S 在底面上的投影M ，则由四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形知，M 点一定在x 轴上，又2AB BC ==，1CD SD ==．可解得12MD =，从而解得SM =1(2S ，0则331(,1,),(,1,22SB SC =-=-设平面SBC 的一个法向量为(,,)n x y z = 则0SB n=，0SCn = 即302102x y z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 取0x =，y =，1z = 即平面SBC 的一个法向量为(,,)(0n x y z ==，1) 又(0AB =，2，0)cosAB <，3||||7AB n n ABn >===AB ∴<，n >= 即AB 与平面SBC 所成的角的大小为【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．21．（12分）已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ （Ⅰ）证明：曲线()y f x =在0x =处的切线过点(2,2)；（Ⅱ）若()f x 在0x x =处取得极小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围．【考点】6E ：利用导数研究函数的最值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（Ⅰ）求出函数()f x 在0x =处的导数和(0)f 的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；（Ⅱ）()f x 在0x x =处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a 的大致取值范围，然后通过极小值对应的0(1,3)x ∈，解关于a 的不等式，从而得出取值范围【解答】解：（Ⅰ）2()3636f x x ax a '=++- 由(0)124f a =-，(0)36f a '=-，可得曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(36)124y a x a =-+-， 当2x =时，2(36)1242y a a =-+-=，可得点(2,2)在切线上∴曲线()y f x =在0x =的切线过点(2,2)（Ⅱ）由()0f x '=得 22120x ax a ++-=⋯（1）方程（1）的根的判别式244(12)4(1(1a a a a =--=+++①当11a 剟时，函数()f x 没有极小值②当1a <或1a >时，由()0f x '=得12x a x a =--=-+故02x x =，由题设可知13a <-<()i 当1a >时，不等式13a <-没有实数解；()ii 当1a <时，不等式13a <-+<化为13a a +<<+，解得512a -<<综合①②，得a 的取值范围是5(,1)2-【点评】将字母a 看成常数，讨论关于x 的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a 的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．22．（12分）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=． （Ⅰ）证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角；KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想【分析】（1）要证明点P 在C 上，即证明P 点的坐标满足椭圆C 的方程2212y x +=，根据已知中过F 且斜率为l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=，我们求出点P 的坐标，代入验证即可．（2）若A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y椭圆22:12y C x +=①，则直线AB 的方程为：1y =+②联立方程可得2410x --=，则12x x +，1214x x ⨯=-则1212)21y y x x +=++= 设1(P p ，2)p ，则有：10(A x =，1)y ，20(B x =，2)y ，10(P p =，2)p ；∴1200(A B x x +=+，12)(2y y +=，1)；10(P p =，2)(00)(2p A B =-+=，1)-p ∴的坐标为(1)-代入①方程成立，所以点P 在C 上．（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．设线段AB 的中点坐标为12(2x x +，12)2y y +，即1)2，则过线段AB 的中点且垂直于AB 的直线方程为：12y x -=，即14y x =+；③ P 关于点O 的对称点为Q ，故0(0.0)为线段PQ 的中点，则过线段PQ 的中点且垂直于PQ 的直线方程为：y x =④；③④联立方程组，解之得：8x =，18y =③④的交点就是圆心1(O ，1)8，22221199||(((1)864r O P ==-+--=故过P Q 两点圆的方程为：22199(()864x y ++-=⋯⑤，把1y =+ ⋯②代入⑤，有122x x +=，121y y += A ∴，B 也是在圆⑤上的．A ∴、P 、B 、Q 四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．。
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绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题．．．卷上作答无效．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=（M N ）I ð （A ）{}12，（B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4xy x R =∈ （B ）2(0)4xy x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24yx =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.(3)设向量,a b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A （B （C （D【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，A C l ⊥,C 为垂足,B β∈，B D l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则C D = （A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, A C l ⊥,∴AC ⊥平面β,A C B C ∴⊥BC ∴=又B D l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=(A) -12(B)1 4- (C)14(D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111((2)()()2(12222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = (A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离O M =,在R t O M N ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12O N O M ==故圆N 的半径r ==,∴圆N的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。
2第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无．．．．．．．．效．。
3第Ⅱ卷共l0小题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. (注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．) (13)10(1)x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 . 【答案】0【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.【解析】由11010()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-得x 的系数为10-,9x 的系数为91010C -=-,所以x的系数与9x 的系数之差为0. (14)已知3(,)2παπ∈,tan 2α=,则cos α= .【答案】5-【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系式. 要注意角的范围，进而确定值的符号.【解析】3(,)2παπ∈,tan 2α=,则cos α=5-(15)已知正方体1111ABC D A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 . 【答案】23【命题意图】本题主要考查正方体中异面直线AE 与BC 所成的角.【解析】取A 1B 1的中点M 连接EM ，AM ，AE ，则AEM ∠就是异面直线AE 与BC 所成的角。
在A E M ∆中，222352cos 2233AEM +-∠==⨯⨯.(16)已知1F 、2F 分别为双曲线C :221927xy-=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2，0)，A M 为12F AF ∠的平分线．则2||A F = . 【答案】6【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理，双曲线的第一定义和性质. 【解析】Q A M 为12F AF ∠的平分线，∴2211||||41||||82AF M F AF M F === ∴12||2||AF AF =又点A C ∈，由双曲线的第一定义得12222||||2||||||26AF AF AF AF AF a -=-===. 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S .【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a 1和公比q 的方程，求出a 1和q ，然后利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解即可。
【解析】设{}n a 的公比为q,由题设得1116630a q a a q =⎧⎨+=⎩ …………………………………3分解得132a q =⎧⎨=⎩或123a q =⎧⎨=⎩， …………………………………6分当13,2a q ==时，132,3(21)n n n n a S -=⨯=⨯-；当12,3a q ==时，123,31n n n n a S -=⨯=- ……………………………10分 (18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin c sin sin sin a A C C b B +-=.(Ⅰ)求B ；（Ⅱ）若075,2,A b ==a c 求，.【思路点拨】第（I ）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。
（II ）在（I ）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解.【解析】(I)由正弦定理得222a cb +-=…………………………3分由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.故cos 2B =，因此45B = .…………………………………6分（II ）sin sin(3045)A =+sin 30cos 45cos 30sin 45=+4=…………………………………8分故 sin 1sin A a b B=⨯==+sin sin 602sin sin 45C c b B=⨯=⨯=…………………………………12分(19)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (II)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重复试验发生k 次的概率，考查考生分析问题、解决问题的能力. 【解析】记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。